第三章 研究方法
第一節 利用強數學歸納法(Strong Induction)證明
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第三章 研究方法
第一節 利用強數學歸納法(Strong Induction)證明
【定理3.1】
任意一個非負整數的迪菲七邊形，會在有限個步驟內得到Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ型的收斂類型。
【循環收斂第Ⅰ型】 【循環收斂第Ⅱ型】 【循環收斂第Ⅲ型】
證明：
設𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7為非負整數，且𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7}
(1)當𝑀 = 0時，[ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 ] = [ 0 0 0 0 0 0 0 ] 成立(循環收斂第Ⅰ型) (2)設𝑀 = 0,1,2,3, ⋯ , 𝑘時，皆成立
(3)當𝑀 = 𝑘 + 1時，
○1 若𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7皆不為0，則七個數都減1，
此時𝑀 = 𝑘，根據數學歸納法(Mathematical Induction)⇒成立 ○2 若𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7至少有一個數為0，
此時減 1 後，無法滿足迪菲七邊形屬於非負整數的條件，
所以接下來只需討論𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7中，含有0的情況。
(我們以𝑁(𝑀)及𝑁(0)分別代表迪菲七邊形中，最大值𝑀及0的個數。) 3.1.1 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 1時
(1) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| |𝑥4-𝑥5| 𝑘+1-𝑥5 ]
令 𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = |𝑥3-𝑥4|, 𝑎4 = |𝑥4-𝑥5|, 𝑎5 = 𝑘+1-𝑥5 ∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎5 = 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎5 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| |𝑥4-𝑥5| 𝑘+1-𝑥5 ]
= [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑎5 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| |𝑎3-𝑎4| |𝑎4-𝑎5| ] ∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑎5 < 𝑘+1
由定理2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|, |𝑎3-𝑎4|, |𝑎4-𝑎5| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎5, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎5, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|, |𝑎3-𝑎4|, |𝑎4-𝑎5|} ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]必存在一循環收斂
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(2) [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| |𝑥4-𝑥5| 𝑘+1-𝑥5 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 < 𝑘+1
由定理2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑥5| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑥5|, 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑥5|, 𝑘+1-𝑥5} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 |𝑥3-𝑥4| |𝑥4-𝑥5| 𝑘+1-𝑥5 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 < 𝑘+1
由定理2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2|, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑥5| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑥2|, 𝑥2, 𝑥3, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑥5|, 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑥2|, 𝑥2, 𝑥3, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑥5|, 𝑘+1-𝑥5} ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]必存在一循環收斂
3.1.2 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 2時 (1) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ]
令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = |𝑥3-𝑥4|, 𝑎4 = 𝑘+1-𝑥4 ∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎4 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎4 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| |𝑎3-𝑎4| ]
令𝑏1 = 𝑘+1-𝑎4, 𝑏2 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏3 = |𝑎1-𝑎2|, 𝑏4 = |𝑎2-𝑎3|, 𝑏5 = |𝑎3-𝑎4| ∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑎4 < 𝑘+1
0 < 𝑏1 = 𝑘+1-𝑎4 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| |𝑎3-𝑎4| ] = [ 𝑏1 𝑘+1 𝑥1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑏1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑏4| |𝑏4-𝑏5| |𝑏5-𝑏1| ]
∵0 ≤ 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑏1 < 𝑘+1 由定理2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, |𝑏5-𝑏1| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏1, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, |𝑏5-𝑏1| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏1, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, |𝑏5-𝑏1|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂
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(2) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 0, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 0, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 0 𝑥3 |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2|, |𝑥3-𝑥4| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑥2|, 𝑥2, 0 , 𝑥3, |𝑥3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑥2|, 𝑥2, 0 , 𝑥3, |𝑥3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂
(4) [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ] 令𝑎1 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎2 = |𝑥3-𝑥4|, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1-𝑥1 0 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ]
∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑎3 < 𝑘+1 由定理2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑥2|, |𝑥2-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1, 0, |𝑥1-𝑥2|, |𝑥2-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1, 0, |𝑥1-𝑥2|, |𝑥2-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂
(5) [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥3-𝑥4| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, |𝑥3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, |𝑥3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂
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(6) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥3-𝑥4|, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 |𝑥3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑥3 𝑎2 𝑎3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ]
∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑎3 < 𝑘+1 由定理2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑥2|, |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑥2|, |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑥2|, |𝑥2-𝑥3|, |𝑥3-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|} ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂
(7) [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑥4 𝑘+1-𝑥4 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, 𝑥3,𝑥4, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, 𝑥3,𝑥4, 𝑘+1-𝑥4} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ]必存在一循環收斂
(8) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑥4 𝑘+1-𝑥4 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑥4 𝑘+1-𝑥4 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑥3 𝑥4 𝑎3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| |𝑥4-𝑎3| ]
∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑥3, 𝑥4, 𝑎3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑎3| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑎3| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑥3|, |𝑥3-𝑥4|, |𝑥4-𝑎3|} ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ]必存在一循環收斂
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(9) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| 𝑥4 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = |𝑥3-𝑥4| ∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| |𝑥3-𝑥4| 𝑥4 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑥4 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| |𝑎3-𝑥4| 𝑘+1-𝑥4 ]
∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑥4 < 𝑘+1 由定理2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|, |𝑎3-𝑥4| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|, |𝑎3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|, |𝑎3-𝑥4|, 𝑘+1-𝑥4} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 0 ]必存在一循環收斂
3.1.3 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 3時 (1) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ]
令𝑏1 = 𝑘+1-𝑎3, 𝑏2 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏3 = |𝑎1-𝑎2|, 𝑏4 = |𝑎2-𝑎3|
∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑎3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ] = [ 𝑏1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑏1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑏4| |𝑏4-𝑏1| ]
令𝑐1 = 𝑘+1-𝑏1, 𝑐2 = |𝑥1-𝑏2|, 𝑐3 = |𝑏2-𝑏3|, 𝑐4 = |𝑏3-𝑏4|, 𝑐5 = |𝑏4-𝑏1|
∵0 ≤ 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑏1 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑐1 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1-𝑏1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑏4| |𝑏4-𝑏1| ] = [ 𝑐1 𝑘+1 𝑥1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑐5 ] ⇒ [ |𝑐5-𝑐1| 𝑘+1-𝑐1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑐2| |𝑐2-𝑐3| |𝑐3-𝑐4| |𝑐4-𝑐5| ]
∵0 ≤ 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑐1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知
0 ≤ |𝑐5-𝑐1|, |𝑥1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑐1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
∴0 ≤ |𝑐5-𝑐1|, 𝑘+1-𝑐1, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{|𝑐5-𝑐1|, 𝑘+1-𝑐1, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
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(2) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 0, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘 +1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 0, 𝑥2, |𝑥2-𝑥3|, 𝑘+1-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥2-𝑥3| = 0
[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(8)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥2-𝑥3| ≠ 0
由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(4) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 0 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 0, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 0, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(5) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 0 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.2.(5)知 [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
由 3.1.1.(3)知 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
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(6) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(4)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(7) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 0 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥2-𝑥3| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.2.(5)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥2-𝑥3| ≠ 0
由 3.1.1.(3)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
(8) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑥3 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
令𝑏1 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏2 = |𝑎1-𝑎2|, 𝑏3 = |𝑎2-𝑥3|, 𝑏4 = 𝑘+1-𝑥3
∵0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏4 < 𝑘+1
∴[ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑏4| 𝑏4 ]
令𝑐1 = 𝑘+1-𝑥1, 𝑐2 = |𝑥1-𝑏1|, 𝑐3 = |𝑏1-𝑏2|, 𝑐4 = |𝑏2-𝑏3|, 𝑐5 = |𝑏3-𝑏4|
∵0 ≤ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑏4 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑐1 < 𝑘+1
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∴[ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑏4| 𝑏4 ] = [ 𝑘+1 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑐5 𝑏4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑏4 𝑘+1-𝑐1 |𝑐1-𝑐2| |𝑐2-𝑐3| |𝑐3-𝑐4| |𝑐4-𝑐5| |𝑐5-𝑏4| ]
∵0 ≤ 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏4, 𝑐1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知
0 ≤ |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5|, |𝑐5-𝑏4| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏4, 𝑘+1-𝑐1 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏4, 𝑘+1-𝑐1, |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5|, |𝑐5-𝑏4| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏4, 𝑘+1-𝑐1, |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5|, |𝑐5-𝑏4|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
(9) [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
≈ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3, 𝑥3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3, 𝑥3} ≤ 𝑘 成立
[ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (10) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘 +1
∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 0 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘 +1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑥2|, |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑥2|, |𝑥2-𝑥3|, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘 +1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑥2|, |𝑥2-𝑥3|, 𝑘+1-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
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3.1.4 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 4 (1) [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 ] ⇒ [ 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由 3.1.2.(1)知 [ 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
由 3.1.3.(1)知 [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(2) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1，
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(1)知 [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(4) [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(3)知 [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
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(5) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|
∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ]
令𝑏1 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏2 = |𝑎1-𝑥2|, 𝑏3 = 𝑘+1-𝑥2 ∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏3 < 𝑘+1
∴[ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| 𝑏3 ]
令𝑐1 = |𝑥1-𝑏1|, 𝑐2 = |𝑏1-𝑏2|, 𝑐3 = |𝑏2-𝑏3|
∵0 < 𝑥1, 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1 由定理2.6 知 0 ≤ 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| 𝑏3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑏3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑏3 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑐1| |𝑐1-𝑐2| |𝑐2-𝑐3| |𝑐3-𝑏3| ]
∵0 < 𝑥1, 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 < 𝑘+1 由定理2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑐1|, |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑏3| < 𝑘+1 且 0< 𝑘+1-𝑏3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏3, 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑐1|, |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑏3| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏3, 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑐1|, |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑏3|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂
(6) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]
≈ [ 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(1)知 [ 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂
(7) [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]
≈ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(3)知 [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂
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(8) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(6)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(9) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 0 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|
∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 0 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑥2 0 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ]
令𝑏1 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏2 = |𝑎1-𝑥2|
∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1
∴[ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑥2 𝑘+1 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 ]
令𝑐1 = 𝑘+1-𝑥1, 𝑐2 = |𝑥1-𝑏1|, 𝑐3 = |𝑏1-𝑏2|, 𝑐4 = |𝑏2-𝑥2|, 𝑐5 = 𝑘+1-𝑥2
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1 由定理2.6 知 0 ≤ 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑐1, 𝑐5 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑐5 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑐1 |𝑐1-𝑐2| |𝑐2-𝑐3| |𝑐3-𝑐4| |𝑐4-𝑐5| 𝑘+1-𝑐5 ]
∵0 < 𝑐1, 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4 < 𝑘+1 由定理2.6 知
0 ≤ |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5| < 𝑘+1 且 0< 𝑘+1-𝑐1, 𝑘+1-𝑐5 < 𝑘+1
∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑐1, |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5|, 𝑘+1-𝑐5 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑐1, |𝑐1-𝑐2|, |𝑐2-𝑐3|, |𝑐3-𝑐4|, |𝑐4-𝑐5|, 𝑘+1-𝑐5} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 0 ]必存在一循環收斂
3.1.5 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 5時 (1) [ 𝑘+1 0 0 0 0 0 𝑥1 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.4.(1)知 [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
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(2) [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.4.(6)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥1 𝑘+1 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 ]
≈ [ 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 0, 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1} ≤ 𝑘 成立
[ 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 0 ]必存在一循環收斂
3.1.6 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 6時 (1) [ 𝑘+1 0 0 0 0 0 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 0 0 𝑘+1 ]
≈ [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 0 ] ≈循環收斂第Ⅱ型
∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 0 0 ]必收斂到循環收斂第Ⅱ型
3.1.7 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 1時
∵由 3.1.2 知 𝑁(𝑀) = 1, 𝑁(0) = 2 存在一循環收斂
又𝑁(𝑀) = 2, 𝑁(0) = 1 ≈ 𝑁(𝑀) = 1, 𝑁(0) = 2 (互補同構)
∴𝑁(𝑀) = 2, 𝑁(0) = 1必存在一循環收斂
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3.1.8 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 2時 (1) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑎3 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ]
令𝑏1 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏2 = |𝑎1-𝑎2|, 𝑏3 = |𝑎2-𝑎3|
∵0 < 𝑥1, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 < 𝑘+1
∴[ 𝑎3 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ] = [ 𝑎3 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑎3| ]
∵0 < 𝑥1, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知
0 ≤ |𝑥1-𝑏1|, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑎3| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3, 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑏1|, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑎3| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{ 𝑘+1-𝑎3, 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑏1|, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑎3|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(2) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ | 𝑥2-𝑥3| < 𝑘+1
∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, | 𝑥2-𝑥3|, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, | 𝑥2-𝑥3|, 𝑘+1-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥2-𝑥3| = 0
[ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(4)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥2-𝑥3| ≠ 0
由 3.1.1.(1)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
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(4) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]
⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(5) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]
⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(8)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
由 3.1.1.(1)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(6) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ]
⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1
∴[ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑥3 𝑘+1 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
令𝑏1 = 𝑘+1-𝑥1, 𝑏2 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏3 = |𝑎1-𝑎2|, 𝑏4 = |𝑎2-𝑥3|, 𝑏5 = 𝑘+1-𝑥3
∵0 < 𝑥1, 𝑥3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1, 𝑏5 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑏1 |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑏4| |𝑏4-𝑏5| 𝑘+1-𝑏5 ]
∵0 < 𝑏1, 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知
0 ≤ |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏1, 𝑘+1-𝑏5 < 𝑘+1
∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑏1, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, 𝑘+1-𝑏5 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑏1, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, 𝑘+1-𝑏5} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
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(7) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 0 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ]
∵0 < 𝑥1, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1, 𝑎2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3, 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3, 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑎1|, |𝑎1-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(8) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] 令 𝑎1 = 𝑘+1-𝑥1, 𝑎2 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎2 < 𝑘 +1 且0 < 𝑎1, 𝑎3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑎1 𝑥1 𝑥2 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 0 𝑘+1-𝑎1 |𝑎1-𝑥1| |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑎1, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎2 < 𝑘 +1 由定理 2.6 知
0 ≤ |𝑎1-𝑥1|, |𝑥1-𝑥2|, |𝑥2-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘 +1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3, 𝑘+1-𝑎1 < 𝑘 +1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3, 0, 𝑘+1-𝑎1, |𝑎1-𝑥1|, |𝑥1-𝑥2|, |𝑥2-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3| < 𝑘 +1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3, 0, 𝑘+1-𝑎1, |𝑎1-𝑥1|, |𝑥1-𝑥2|, |𝑥2-𝑎2|, |𝑎2-𝑎3|} ≤ 𝑘 成立
∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (9) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥2-𝑥3| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]
由 3.1.2.(4)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥2-𝑥3| ≠ 0
由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
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(10) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 0 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(11) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
≈ [ 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之)
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑥1, 0, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3, 𝑥3} ≤ 𝑘 成立 [ 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(12) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 0 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥2-𝑥3| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2-𝑥3| ≠ 0
[ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑥3 𝑘+1 ]
≈ [ 𝑘-𝑥1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2-1 |𝑥2-𝑥3|-1 𝑥3-1 𝑘 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘-𝑥1, 𝑘, 𝑥2-1, |𝑥2-𝑥3|-1, 𝑥3-1 < 𝑘 +1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘-𝑥1, 𝑘, 𝑥2-1, |𝑥2-𝑥3|-1, 𝑥3-1} ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘-𝑥1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2-1 |𝑥2-𝑥3|-1 𝑥3-1 𝑘 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂
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(13) [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
令𝑎1 = 𝑘+1-𝑥1, 𝑎2 = |𝑥1-𝑥2|, 𝑎3 = |𝑥2-𝑥3|, 𝑎4 = 𝑘+1-𝑥3
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎2, 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎1, 𝑎4 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑎1 |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| |𝑎3-𝑎4| ]
令𝑏1 = 𝑘+1-𝑎4, 𝑏2 = 𝑘+1-𝑎1, 𝑏3 = |𝑎1-𝑎2|, 𝑏4 = |𝑎2-𝑎3|, 𝑏5 = |𝑎3-𝑎4|
∵0 < 𝑎1, 𝑎4 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎2, 𝑎3 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑎1 |𝑎1-𝑎2| |𝑎2-𝑎3| |𝑎3-𝑎4| ] = [ 𝑏1 𝑘+1 𝑘+1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑏1 0 𝑘+1-𝑏2 |𝑏2-𝑏3| |𝑏3-𝑏4| |𝑏4-𝑏5| |𝑏5-𝑏1|]
∵0 < 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5 < 𝑘+1 由定理 2.6 知
0 ≤ |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, |𝑏5-𝑏1| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏1, 𝑘+1-𝑏2 < 𝑘+1
∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏1, 0, 𝑘+1-𝑏2, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, |𝑏5-𝑏1| < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏1, 0, 𝑘+1-𝑏2, |𝑏2-𝑏3|, |𝑏3-𝑏4|, |𝑏4-𝑏5|, |𝑏5-𝑏1|} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(14) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
由 3.1.2.(8)知 [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
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(15) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 0 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
[ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]
≈ [ 𝑘-𝑥1 |𝑥1-𝑥2|-1 𝑘-𝑥2 𝑘 𝑥3-1 𝑥3-1 𝑘 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘-𝑥1, |𝑥1-𝑥2|-1, 𝑘-𝑥2, 𝑘, 𝑥3-1 < 𝑘 +1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘-𝑥1, |𝑥1-𝑥2|-1, 𝑘-𝑥2, 𝑘, 𝑥3-1} ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘-𝑥1 |𝑥1-𝑥2|-1 𝑘-𝑥2 𝑘 𝑥3-1 𝑥3-1 𝑘 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (16) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥2-𝑥3| = 0
[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2-𝑥3| ≠ 0
[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
≈ [ 𝑘 𝑥1-1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2-1 |𝑥2-𝑥3|-1 𝑘-𝑥3 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘, 𝑥1-1, 𝑘-𝑥1, 𝑥2-1, |𝑥2-𝑥3|-1, 𝑘-𝑥3 < 𝑘 +1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘, 𝑥1-1, 𝑘-𝑥1, 𝑥2-1, |𝑥2-𝑥3|-1, 𝑘-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘 𝑥1-1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2-1 |𝑥2-𝑥3|-1 𝑘-𝑥3 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (17) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]
≈ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之)
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2, 𝑘+1-𝑥3, 𝑥3} ≤ 𝑘 成立 [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂
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(18) [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2-𝑥3| < 𝑘 +1
(𝑎)若|𝑥2-𝑥3| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2-𝑥3| ≠ 0
[ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2-𝑥3| 𝑘+1-𝑥3 ]
≈ [ 𝑘-𝑥1 𝑥1-1 𝑘 𝑘 𝑥2-1 |𝑥2-𝑥3|-1 𝑘-𝑥3 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘-𝑥1, 𝑥1-1, 𝑘, 𝑥2-1, |𝑥2-𝑥3|-1, 𝑘-𝑥3 < 𝑘 +1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘-𝑥1, 𝑥1-1, 𝑘, 𝑥2-1, |𝑥2-𝑥3|-1, 𝑘-𝑥3} ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘-𝑥1 𝑥1-1 𝑘 𝑘 𝑥2-1 |𝑥2-𝑥3|-1 𝑘-𝑥3 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂
3.1.9 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 3時 (1) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]
⇒ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 ] 由 3.1.4.(6)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
由 3.1.3.(8)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(2) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
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(3) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(9)知 [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(4) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(6)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(5) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ]
令𝑎1 = |𝑥1-𝑥2| ∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1
∴[ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑘+1 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ]
令𝑏1 = |𝑥1-𝑎1|, 𝑏2 = |𝑎1-𝑥2|, 𝑏3 = 𝑘+1-𝑥2 ∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏3 < 𝑘+1
∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑎1| |𝑎1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⇒ [ 0 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑏1| |𝑏1-𝑏2| |𝑏2-𝑏3| 𝑘+1-𝑏3 ]
∵0 ≤ 𝑏1, 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1, 𝑏3 < 𝑘+1
由定理2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑏1|, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3| < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑏3 < 𝑘+1
∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑏1|, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, 𝑘+1-𝑏3 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, |𝑥1-𝑏1|, |𝑏1-𝑏2|, |𝑏2-𝑏3|, 𝑘+1-𝑏3} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂
(6) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.7 知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂
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(7) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ]
≈ [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| 𝑥2 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之)
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| 𝑥2 ] = [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑥2 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由 3.1.2.(1)知 [ 𝑥2 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
∵0 < 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| < 𝑘+1
由 3.1.3.(1)知 [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| 𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(8) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.7 知 [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(9) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
≈ [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之)
∵0 < 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2} ≤ 𝑘 成立 [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(10) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑥2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1 ] ≈ [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之)
∵0 < 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由 3.1.4.(2)知 [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 0 ]存在一循環收斂
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∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑥2 𝑘+1 ]
≈ [ 𝑘 𝑘 𝑘 𝑥1-1 |𝑥1-𝑥2|-1 𝑥2-1 𝑘 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘, 𝑥1-1, |𝑥1-𝑥2|-1, 𝑥2-1 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘, 𝑥1-1, |𝑥1-𝑥2|-1, 𝑥2-1} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂 (11) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.2.(1)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(12) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 0 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂
(13) [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 ]
≈ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| 𝑥2 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之)
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| 𝑥2 ] = [ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑥2 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由 3.1.7 知 [ 𝑥2 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| < 𝑘+1
由 3.1.3.(8)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1-𝑥2| 𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂
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(14) [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.7 知 [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(15) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 0 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1-𝑥2| < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1-𝑥2| = 0
[ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑘+1 ] 由 3.1.9.(14)知 [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑘+1 ]存在一循環收斂
∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1-𝑥2| ≠ 0
由 3.1.8.(13)知 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1-𝑥2| 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 0 ]必存在一循環收斂
(16) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.7 知 [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
(17) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]
⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 | 𝑘+1-2𝑥1| 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 0 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ | 𝑘+1-2𝑥1| < 𝑘+1
∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1, | 𝑘+1-2𝑥1|, 𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, | 𝑘+1-2𝑥1|, 𝑥1, 𝑘+1-𝑥2} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂
(18) [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 0 𝑥2 ]
⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑥2, 𝑘+1-𝑥1, 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1
由3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂
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3.1.10 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 4時 (1) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 ]
⇒ [ 0 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.4.(5)知 [ 0 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
(2) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(7)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(10)知 [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 0 ]必存在一循環收斂
(4) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]
≈ [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(1)知 [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
(5) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]
≈ [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.4.(1)知 [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂
(6) [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]
≈ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(13)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
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(7) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]
≈ [ 0 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(5)知 [ 0 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
(8) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 𝑥1 0 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]
≈ [ 0 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(5)知 [ 0 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂
(9) [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑘+1 𝑥1 ]
⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ] ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(15)知 [ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑘+1 𝑥1 ]必存在一循環收斂
3.1.11 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 5時 (1) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 0 ]
∵[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 0 ] ≈ 循環收斂第Ⅱ型 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 0 ]必收斂到循環收斂第Ⅱ型 (2) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 0 0 ]
∵[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 0 0 ] ≈ [ 0 𝑘+1 0 0 0 0 𝑘+1 ] ≈循環收斂第Ⅱ型
∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 0 0 ]必收斂到循環收斂第Ⅱ型 (3) [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 0 0 ]
∵[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 0 0 ] ≈ [ 0 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 ] ≈循環收斂第Ⅱ型
∴[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 0 0 ]必收斂到循環收斂第Ⅱ型
3.1.12 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 3, 𝑁(0) = 1時
∵由 3.1.3 知 𝑁(𝑀) = 1, 𝑁(0) = 3 存在一循環收斂
又𝑁(𝑀) = 3, 𝑁(0) = 1 ≈ 𝑁(𝑀) = 1, 𝑁(0) = 3 (互補同構)
∴𝑁(𝑀) = 3, 𝑁(0) = 1必存在一循環收斂
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3.1.13 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 3, 𝑁(0) = 2時
∵由 3.1.9 知 𝑁(𝑀) = 2, 𝑁(0) = 3 存在一循環收斂
又𝑁(𝑀) = 3, 𝑁(0) = 2 ≈ 𝑁(𝑀) = 2, 𝑁(0) = 3 (互補同構)
∴𝑁(𝑀) = 3, 𝑁(0) = 2必存在一循環收斂
3.1.14 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 3, 𝑁(0) = 3時 (1) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 ]
⇒ [ 0 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ] ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.4.(9)知 [ 0 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
(2) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 ] ⇒ [ 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(13)知 [ 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂
(3) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.13 知 [ 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
(4) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]
≈ [ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.4.(5)知 [ 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂
(5) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.13 知 [ 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 0 ]必存在一循環收斂
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(6) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.13 知 [ 0 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂
(7) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]
∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.13 知 [ 0 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂
(8) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]
≈ [ 0 0 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1, 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1, 𝑥1} ≤ 𝑘 成立 [ 0 0 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂 (9) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 ]
⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]
≈ [ 0 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.4.(5)知 [ 0 0 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 ]必存在一循環收斂
(10) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 𝑥1 ]
⇒ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ] ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1
由3.1.9.(13)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 𝑥1 ]必存在一循環收斂
3.1.15 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 3, 𝑁(0) = 4時 (1) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 ]
⇒ [ 0 0 𝑘+1 0 0 0 𝑘+1 ]
≈ [ 0 0 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 ] ≈循環收斂第Ⅱ型
∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 ]必收斂到循環收斂第Ⅱ型
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國立 政 治 大 學
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
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(2) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1 ]
≈ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 ] ≈循環收斂第Ⅲ型
≈ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑘+1 0 ] ≈循環收斂第Ⅲ型