迪菲七邊形 - 政大學術集成
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(2) 目. 次. 論文摘要 ........................................................................................................................................ i Abstract .......................................................................................................................................... ii 第一章. 前言 .............................................................................................................................. 1. 第一節. 研究動機與目的 ...................................................................................................... 1. 第二節. 研究主題-迪菲七邊形(Diffy Heptagon) ................................................................ 1. 理論基礎與基本性質 ............................................................................................. 3. 第一節 第二節. 研究方法 .................................................................................................................... 9. 學. 第三章. 治 政 大convergence) ............................. 6 迪菲七邊形(Diffy Heptagon)的循環收斂(cyclic 立 迪菲七邊形(Diffy Heptagon)的同構(isomorphism)與相似(similarity) ................. 3. ‧ 國. 第二章. 利用強數學歸納法(Strong Induction)證明 ............................................................ 9. 第二節. 整數型與有理數型的迪菲七邊形(Diffy Heptagon) ............................................ 37. Nat. y. 結論與未來展望 .................................................................................................... 39. sit. 第四章. ‧. 第一節. 第二節. 未來展望 ................................................................................................................ 39. n. al. er. 結論 ........................................................................................................................ 39. io. 第一節. Ch. en. hi. i n U. v. gc 參考文獻 ..................................................................................................................................... 42.
(3) 論文摘要 在迪菲方塊(Diffy Box)中，所輸入的數字經有限次運算後，皆會收斂到0，而本論文主 要是將迪菲方塊的正方形推廣到正七邊形，我們將其定義為迪菲七邊形(Diffy Heptagon)， 討論其經運算後是否亦會收斂到0或存在其他的收斂類型？ 本論文主要是利用強數學歸納法(Strong Induction)證明，得到迪菲七邊形經過有限次 運算後，會收斂到三種收斂類型。接下來再將非負整數型的迪菲七邊形，推廣到整數型及 有理數型，而得到無論是非負整數型、整數型或有理數型的迪菲七邊形，經運算後皆會得 到同構(isomorphic)或相似的(similar)收斂類型。. 治 政 大 產生第Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ型的收斂類型？又收斂類型中除了0以外的數字𝑛，與原輸入數字間存在 立 在論文最後，提出一些尚待解決的問題及建議，例如：輸入何種型態的數字，會分別. 何種關聯？這都值得後續再做更深入的研究。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i. i n U. v.
(4) Abstract In a Diffy Box, after limited steps of calculations, the result converges to all zeros. This essay is commissioned to expand Diffy Box’s square to heptagon, which we call “Diffy Heptagon”. We will discuss if Diffy Heptagon shows the same convergence, or the existence of other result? This article is proved with Strong Induction. The result shows that a Diffy Heptagon will present three types of convergence after limited operations. Moreover, we extend the nonnegative integers to integers and rational numbers. The conclusion is, regardless of the numbers, what we. 政 治 大 Finally, we propose some issues and suggestions. For examples, what type of numbers we 立. obtain is isomorphic or similar convergence.. label individually will cause class I, class II or class III convergence? In addition to the zero. ‧ 國. 學. convergence, what is the connection between the labeled numbers and other convergence types?. Nat. n. al. er. io. sit. y. ‧. All those questions are worth studying Diffy Heptagon even further.. Ch. engchi. ii. i n U. v.
(5) 第一章 第一節. 前言. 研究動機與目的. 在迪菲方塊(Diffy Box)中，所輸入的數字經有限次運算後，皆會收斂到0，而在迪菲五 邊形(Diffy Pentagon)中，卻會收斂到0及某一規律循環中，這樣的結果，引起我們高度的 興趣，曾思考會產生如此不同的結果是因為迪菲多邊形邊的個數奇數與偶數不同所造成 嗎？或是有其他原因？因而有了學習與研究的動力。然而有鑒於若要歸納出迪菲多邊形所 有通則，其過程太過於龐大，因此，本論文只是稍微加以推廣，主要是將迪菲方塊推廣到 正七邊形，定義為迪菲七邊形(Diffy Heptagon)，討論其經運算後是否收斂及收斂類型。. 第二節. 研究主題-迪菲七邊形(Diffy Heptagon). 政 治 大. 本論文的主題：迪菲七邊形(Diffy Heptagon)，主要是由迪菲方塊(Diffy Box)演變而 來，因此，在此章節中，我們首先介紹何謂迪菲方塊(Diffy Box)及其運算規則。. 立. ‧ 國. 學. 迪菲方塊(Diffy Box)： 1.在正方形的四個頂點上各標示一個非負整數。 2.接下來算出相鄰兩數字相減取絕對值，並分別將其標示在四個邊的中點。. 1 0. a5 l. 0. 1. 5. 3. 1 0. 5. 1. sit. n. 4. 9. er. 9. io. 0. y. Nat. 例如：. ‧. 3.依序連接四邊中點的數字，使成為一個新的正方形。 4.重複步驟 2 及步驟 3 的規律，直到四個頂點的數字皆為0。. 0. Ch 4. engchi. i n U. v. 4. 8. 13. 我們亦可將其分解為： 9 0. 9. 4. ⇒ 5 5. 1. 13 [ 0 9 13 5 ]. ⇒. 5 ⇒ 1. 4 ⇒ 8 [9485]. 3 ⇒. 4 [4543] 1. ⇒. 0. 0. 0. 0. 1⇒ 1 [1111]. ⇒. [0000].
(6) 在迪菲方塊中，因為新正方形四個頂點的數字為原正方形四個頂點的數字相減取絕對 值，所以又稱為差異方塊(Difference Box)。接下來我們將依據迪菲方塊的運算規則，將正 方形推廣到正七邊形，並討論其收斂情形。 【定義 1.1】迪菲七邊形(Diffy Heptagon)： 1.在正七邊形的七個頂點上各標示一個非負整數。 2.接下來算出相鄰兩數字相減取絕對值，並分別將其標示在七個邊的中點。 3.依序連接七邊中點的數字，使成為一個新的正七邊形。 4.重複步驟 2 及步驟 3 的規律，直到七個頂點的數字收斂或遵循某一規律。 我們將符合上述條件的七邊形稱為迪菲七邊形(Diffy Heptagon)，並定義 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0}，[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]代表迪菲七邊形七個頂點的數字依順時針或逆 時針方向排列所形成的序列。為了方便，我們統一以最上方的頂點或右上方的頂點作為起 始點，依順時針方向排序，而序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]的運算則以符號“⇒”表示。. 2. 2. 0. 0. 2. 0. a8l. 我們亦可將其分解為： 6 6. 0 8. 6. 6. 8 8 [6868866]. ⇒. 2. 2. 0 2. 2. n. 8. 0 6. 2. io. 2. 0. 2. 0. Nat. 6 2. 2. 8. 0. y. 2. 2. sit. 2. 0. 2. 0. ‧. 0. 0. 2. ‧ 國. 6. 立. 學. 0. 6. er. 例如：. 政 治 大. Ch. engchi. i n U. v. 2. 2 2 2. 0 ⇒ [2220200]. 0 ⇒ 2. 2 0. 2 ⇒ 0 0. 2 2 [2002220]. ⇒. 2 0. ⇒⋯. 2. 0 ⇒ [2020022] ⇒⋯. 從上面的例子，我們發現：經過數次運算後，迪菲七邊形七個頂點所代表的數字只剩 0 與 2，且依順時針方向遵循著某一固定順序排列，而本論文主要就是探討迪菲七邊形經 過有限次運算後，是否有其規律性？而其規律性又是如何？. 2.
(7) 理論基礎與基本性質. 第二章 第一節. 迪菲七邊形(Diffy Heptagon)的同構(isomorphism)與相似(similarity). 【定義 2.1】 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ , 𝑑′ , 𝑒 ′ , 𝑓 ′ , 𝑔′ ∈ ℕ ∪ {0} 若序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]及[ 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑑 ′ 𝑒 ′ 𝑓 ′ 𝑔′ ]具有相同的循環(cycle)， 我們稱[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]與[ 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑑 ′ 𝑒 ′ 𝑓 ′ 𝑔′ ]互為同構(isomorphism)關係， 以[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ≈ [ 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑑′ 𝑒 ′ 𝑓 ′ 𝑔′ ]表示之。. (1) 旋轉同構. 政 治 大. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0} ∵在平面上[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]及[ 𝑔 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 ]具有相同的循環 ∴[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ≈ [ 𝑔 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 ] 𝑎. 𝑏. 𝑒. 𝑐. io. al. n. (2) 翻轉同構. sit. 𝑑. 𝑑. y. ≈. 𝑐. Nat. 𝑒. 𝑓. ‧. 𝑓. 𝑏. 𝑎. er. 𝑔. 𝑔. 學. ‧ 國. 立. Ch. i n U. v. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0} ∵在空間中[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]及[ 𝑎 𝑔 𝑓 𝑒 𝑑 𝑐 𝑏 ]具有相同的循環 ∴[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ≈ [ 𝑎 𝑔 𝑓 𝑒 𝑑 𝑐 𝑏 ] 𝑎. 𝑎. 𝑔. 𝑏. 𝑓. 𝑐. 𝑒. engchi. 𝑑. 𝑎. 𝑔. ≈. 𝑏. 𝑓. 𝑐. 𝑒. 𝑑. 𝑏. ≈. 𝑔 𝑓. 𝑐. 𝑑. 𝑒. 經由上述迪菲七邊形旋轉及翻轉性質，我們不難發現∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0}， 序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]無論經過旋轉、翻轉、順時針或逆時針標序，皆代表同一迪菲七邊 形，所以在本論文中，我們將同構圖形皆視為同一類型，不另外做個別討論。 3.
(8) 【定理 2.1】平移同構 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0} 且 𝑚 ≥ −(𝑚𝑖𝑛{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔}),𝑚 ∈ ℤ 則[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ≈ [ 𝑎+𝑚 𝑏+𝑚 𝑐+𝑚 𝑑+𝑚 𝑒+𝑚 𝑓+𝑚 𝑔+𝑚 ] 證明： ∵[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ⇒ [ |𝑎-𝑏| |𝑏-𝑐| |𝑐-𝑑| |𝑑-𝑒| |𝑒-𝑓| |𝑓-𝑔| |𝑔-𝑎| ] 且[ 𝑎+𝑚 𝑏+𝑚 𝑐+𝑚 𝑑+𝑚 𝑒+𝑚 𝑓+𝑚 𝑔+𝑚 ] ⇒ [ |𝑎-𝑏| |𝑏-𝑐| |𝑐-𝑑| |𝑑-𝑒| |𝑒-𝑓| |𝑓-𝑔| |𝑔-𝑎| ] 兩序列經運算後具有相同的循環 ∴[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ≈ [ 𝑎+𝑚 𝑏+𝑚 𝑐+𝑚 𝑑+𝑚 𝑒+𝑚 𝑓+𝑚 𝑔+𝑚 ] 𝑎 𝑔. 𝑏. 𝑓. 𝑐 𝑒. ⇒. |𝑓-𝑔|. |𝑏-𝑐| |𝑑-𝑒|. 𝑑. 且. |𝑐-𝑑|. |𝑒-𝑓|. 立. |𝑔-𝑎| |𝑎-𝑏|. 𝑎+𝑚. |𝑔-𝑎| |𝑎-𝑏| 𝑔+𝑚. 𝑏+𝑚. 𝑓+𝑚. 𝑐+𝑚. ⇒. |𝑓-𝑔|. |𝑏-𝑐| |𝑐-𝑑|. |𝑒-𝑓|. 治 𝑑+𝑚 政 𝑒+𝑚 大. |𝑑-𝑒|. ‧ 國. 學. 【定理 2.2】互補同構 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0} 且 𝑋 ≥ 𝑚𝑎𝑥{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔}, 𝑋 ∈ ℕ ∪ {0} 則[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ≈ [ 𝑋-𝑎 𝑋-𝑏 𝑋-𝑐 𝑋-𝑑 𝑋-𝑒 𝑋-𝑓 𝑋-𝑔 ]. ‧. 證明： ∵[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ⇒ [ |𝑎-𝑏| |𝑏-𝑐| |𝑐-𝑑| |𝑑-𝑒| |𝑒-𝑓| |𝑓-𝑔| |𝑔-𝑎| ] 且[ 𝑋-𝑎 𝑋-𝑏 𝑋-𝑐 𝑋-𝑑 𝑋-𝑒 𝑋-𝑓 𝑋-𝑔 ] ⇒ [ |𝑎-𝑏| |𝑏-𝑐| |𝑐-𝑑| |𝑑-𝑒| |𝑒-𝑓| |𝑓-𝑔| |𝑔-𝑎| ] 兩序列經運算後具有相同的循環 ∴[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] ≈ [ 𝑋-𝑎 𝑋-𝑏 𝑋-𝑐 𝑋-𝑑 𝑋-𝑒 𝑋-𝑓 𝑋-𝑔 ]. n. 𝑎. |𝑔-𝑎|. 𝑔. 𝑏. 𝑓. 𝑐 𝑒. 𝑑. ⇒. |𝑓-𝑔|. er. io. sit. y. Nat. al. i n C |𝑎-𝑏| h e i U n g c h𝑋-𝑎 |𝑏-𝑐| |𝑐-𝑑|. |𝑒-𝑓|. 且. v. 𝑋-𝑔. 𝑋-𝑏. 𝑋-𝑓. 𝑋-𝑐. |𝑑-𝑒|. 𝑋-𝑒. 4. 𝑋-𝑑. |𝑔-𝑎| |𝑎-𝑏| ⇒. |𝑓-𝑔|. |𝑏-𝑐| |𝑐-𝑑|. |𝑒-𝑓| |𝑑-𝑒|.
(9) 【定義 2.2】 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0}，若 𝑖 ′ = 𝑘𝑖 或 𝑖 = 𝑘𝑖 ′ ，其中𝑖 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔} 且 𝑘 ∈ ℕ， 則我們稱[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]與[ 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑑 ′ 𝑒 ′ 𝑓 ′ 𝑔′ ]相似(similarity)， 並以[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]~[ 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑑′ 𝑒 ′ 𝑓 ′ 𝑔′ ]表示之。 (1)縮放相似 ∀𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗 𝑑𝑗 𝑒𝑗 𝑓𝑗 𝑔𝑗 ∈ ℕ ∪ {0}，其中𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛 且 𝑘 ∈ ℕ 則[ 𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗 𝑑𝑗 𝑒𝑗 𝑓𝑗 𝑔𝑗 ]~[ 𝑘𝑎𝑗 𝑘𝑏𝑗 𝑘𝑐𝑗 𝑘𝑑𝑗 𝑘𝑒𝑗 𝑘𝑓𝑗 𝑘𝑔𝑗 ] 且[ 𝑘𝑎𝑗 𝑘𝑏𝑗 𝑘𝑐𝑗 𝑘𝑑𝑗 𝑘𝑒𝑗 𝑘𝑓𝑗 𝑘𝑔𝑗 ]~[ 𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗 𝑑𝑗 𝑒𝑗 𝑓𝑗 𝑔𝑗 ] 證明： ∵[ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑒1 𝑓1 𝑔1 ] ⇒ [ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑒2 𝑓2 𝑔2 ] ⇒ ⋯ ⇒ [ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 𝑑𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑛 𝑔𝑛 ] 且[ 𝑘𝑎1 𝑘𝑏1 𝑘𝑐1 𝑘𝑑1 𝑘𝑒1 𝑘𝑓1 𝑘𝑔1 ] ⇒ [ 𝑘𝑎2 𝑘𝑏2 𝑘𝑐2 𝑘𝑑2 𝑘𝑒2 𝑘𝑓2 𝑘𝑔2 ] ⇒ ⋯ ⇒ [ 𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑏𝑛 𝑘𝑐𝑛 𝑘𝑑𝑛 𝑘𝑒𝑛 𝑘𝑓𝑛 𝑘𝑔𝑛 ] 無論經過幾次運算，皆具有𝑘倍的相似循環. 治 政 大 𝑎. ∴[ 𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗 𝑑𝑗 𝑒𝑗 𝑓𝑗 𝑔𝑗 ]~[ 𝑘𝑎𝑗 𝑘𝑏𝑗 𝑘𝑐𝑗 𝑘𝑑𝑗 𝑘𝑒𝑗 𝑘𝑓𝑗 𝑘𝑔𝑗 ] 𝑎1. 𝑔2. 立. 𝑘𝑔1. 𝑘𝑏1 𝑘𝑐1. 𝑘𝑔2. ⇒. 𝑘𝑎2 𝑘𝑏2. al. 𝑘𝑒2. 𝑘𝑑1 𝑎𝑗. ∴ 𝑓𝑗. 𝑐𝑗. ~. 𝑘𝑏𝑛. 𝑘𝑓𝑛. 𝑘𝑐𝑛. i n U. v. 𝑘𝑒𝑛. 𝑘𝑑𝑛. 𝑘𝑏𝑗. 𝑘𝑓𝑗. 𝑑𝑗. ⇒⋯⇒. engchi. 𝑘𝑔𝑗. 𝑏𝑗. 𝑒𝑗. Ch. 𝑘𝑑2. 𝑘𝑎𝑗. 𝑔𝑗. 𝑑𝑛. 𝑘𝑎𝑛. 𝑘𝑔𝑛. 𝑘𝑐2. n. 𝑘𝑒1. 𝑐𝑛. 𝑒𝑛. 𝑘𝑓2. io. 且 𝑘𝑓 1. 𝑓𝑛. 𝑐2. 𝑑2. Nat. 𝑘𝑎1. ⇒⋯⇒. 𝑏𝑛. y. 𝑑1. 𝑒2. 𝑔𝑛. ‧. 𝑒1. ⇒. ‧ 國. 𝑐1. 1. 𝑏2. 學. ∵𝑓. 𝑓2. sit. 𝑏1. er. 𝑔1. 𝑎𝑛. 2. 𝑘𝑐𝑗 𝑘𝑒𝑗. 𝑘𝑑𝑗. 同理可證，我們亦可得到[ 𝑘𝑎𝑗 𝑘𝑏𝑗 𝑘𝑐𝑗 𝑘𝑑𝑗 𝑘𝑒𝑗 𝑘𝑓𝑗 𝑘𝑔𝑗 ]~[ 𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗 𝑑𝑗 𝑒𝑗 𝑓𝑗 𝑔𝑗 ]. 𝑘𝑎𝑗 𝑘𝑔𝑗. 𝑎𝑗 𝑔𝑗. 𝑘𝑏𝑗. 𝑘𝑓𝑗. 𝑘𝑐𝑗 𝑘𝑒𝑗. 𝑘𝑑𝑗. ~. 𝑏𝑗. 𝑓𝑗. 𝑐𝑗 𝑒𝑗. 𝑑𝑗 5.
(10) 第二節. 迪菲七邊形(Diffy Heptagon)的循環收斂(cyclic convergence). 【定義 2.3】 對於任意序列[ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑒1 𝑓1 𝑔1 ]經過有限次運算步驟後 [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑒1 𝑓1 𝑔1 ] ⇒ [ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑒2 𝑓2 𝑔2 ] ⇒ ⋯ ⇒ [ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑐𝑖 𝑑𝑖 𝑒𝑖 𝑓𝑖 𝑔𝑖 ] ⇒ ⋯ ⇒ [ 𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗 𝑑𝑗 𝑒𝑗 𝑓𝑗 𝑔𝑗 ] 若存在一組最小值𝑖, 𝑗，其中𝑖, 𝑗 ∈ ℕ且𝑖 < 𝑗，使得[ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑐𝑖 𝑑𝑖 𝑒𝑖 𝑓𝑖 𝑔𝑖 ] ≈ [ 𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗 𝑑𝑗 𝑒𝑗 𝑓𝑗 𝑔𝑗 ] 則我們把序列[ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑐𝑖 𝑑𝑖 𝑒𝑖 𝑓𝑖 𝑔𝑖 ] ⇒ ⋯ ⇒ [ 𝑎𝑗−1 𝑏𝑗−1 𝑐𝑗−1 𝑑𝑗−1 𝑒𝑗−1 𝑓𝑗−1 𝑔𝑗−1 ] 運算的過程稱為[ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑒1 𝑓1 𝑔1 ]的循環收斂(cyclic convergence)。 【定理 2.3】 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0}，若序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]中的數字皆相等，𝑎=𝑏=𝑐=𝑑=𝑒=𝑓=𝑔， 則[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]必收斂到[ 0 0 0 0 0 0 0 ]。 證明：令 𝑎=𝑏=𝑐=𝑑=𝑒=𝑓=𝑔=𝑛 其中 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} 則[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ] = [ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ] ⇒ [ 0 0 0 0 0 0 0 ] 故得證. 立. 政 治 大. 在本論文，我們將[ 0 0 0 0 0 0 0 ]定義為收斂類型第Ⅰ型。. ‧ 國. 學. 【定理 2.4】. ‧. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0}，若序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]經運算後，產生如[ 𝑛 𝑛 0 0 0 0 0 ]或 [ 0 𝑛 0 0 0 0 𝑛 ]或[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 0 𝑛 ]或[ 0 0 𝑛 0 0 𝑛 0 ]或[ 0 0 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝑛 ]或[ 0 𝑛 0 𝑛 𝑛 0 𝑛 ] 或[ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝑛 ]這七種序列其中一種，其中𝑛 ∈ ℕ，則序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]必會收斂到 依循[ 𝑛 𝑛 0 0 0 0 0 ],[ 0 𝑛 0 0 0 0 𝑛 ],[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 0 𝑛 ],[ 0 0 𝑛 0 0 𝑛 0 ],[ 0 0 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝑛 ], [ 0 𝑛 0 𝑛 𝑛 0 𝑛 ],[ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝑛 ]此一週期為7的循環中。. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. v. 證明： 首先，我們假設[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]經運算後，先產生了[ 𝑛 𝑛 0 0 0 0 0 ]，接下來的運算為： [𝑛𝑛00000] ⇒[0𝑛0000𝑛] ⇒[𝑛𝑛𝑛000𝑛] ⇒ [ 0 0 𝑛 0 0 𝑛 0 ] 第一部分 ⇒[00𝑛𝑛0𝑛𝑛] ⇒[0𝑛0𝑛𝑛0𝑛] ⇒[𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑛𝑛] } ⇒[000𝑛𝑛00] ⇒[000𝑛0𝑛0] ⇒[00𝑛𝑛𝑛𝑛0] ⇒ [ 0 0 𝑛 0 0 0 𝑛 ] 第二部分 ⇒[0𝑛𝑛00𝑛𝑛] ⇒[𝑛𝑛0𝑛0𝑛0] ⇒[0𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛] } ⇒[𝑛𝑛00000]. Ch. engchi. 由左式的運算過程，我們發現[ 𝑛 𝑛 0 0 0 0 0 ] 經過14次運算後，又會回到自己本身，我們將其 視為循環週期為14的循環序列。然而，因為第一 部分與第二部份的序列同構，所以，我們只需考 慮第一部份週期為7的循環序列即可。. 6.
(11) [𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔]⇒⋯⇒. 同理可證，若[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]經運算後，先產生了[ 0 𝑛 0 0 0 0 𝑛 ]或[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 0 𝑛 ]或 [ 0 0 𝑛 0 0 𝑛 0 ]或[ 0 0 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝑛 ]或[ 0 𝑛 0 𝑛 𝑛 0 𝑛 ]或[ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝑛 ]任一序列，經運算後亦 會進入此循環。在本論文，我們將其定義為循環收斂第Ⅱ型。 【定理 2.5】 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔 ∈ ℕ ∪ {0}，若序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]經運算後，產生[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]或 [ 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 0 0 ]形式的序列，其中𝑛 ∈ ℕ，則序列[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]必會收斂到 [ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]。. 政 治 大. 立. ‧ 國. 學. 證明： 首先，我們假設[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]經運算後，先產生了[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]，接下來的運算為： [ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ] }第一部分. ‧. 由左式的運算過程，我們發現[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ] 經過14次運算後，又會回到自己本身；雖然經過 11次運算後，亦會得到[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]，但在不. sit. 考慮旋轉及翻轉同構的性質下，其七邊形的方向 是不同的，所以我們依然將其視為循環週期為14 的循環序列。然而，我們亦發現無論經過幾次運 算，其結果皆與[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]同構，因此在本論 文我們將[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]定義為循環收斂第Ⅲ型。. n. er. io. al. y. Nat. ⇒[00𝑛0𝑛𝑛𝑛] ⇒[𝑛0𝑛𝑛𝑛00] ⇒[𝑛𝑛00𝑛0𝑛] ⇒[00𝑛0𝑛𝑛𝑛] ⇒[0𝑛𝑛𝑛00𝑛] ⇒[𝑛𝑛00𝑛0𝑛] ⇒ [ 0 𝑛 0 𝑛 𝑛 𝑛 0 ] 第二部分 ⇒[0𝑛𝑛𝑛00𝑛] ⇒[𝑛00𝑛0𝑛𝑛] ⇒[0𝑛0𝑛𝑛𝑛0] ⇒[𝑛𝑛𝑛00𝑛0] ⇒[𝑛00𝑛0𝑛𝑛] ⇒[𝑛0𝑛𝑛𝑛00] } ⇒[𝑛𝑛𝑛00𝑛0]. Ch. engchi. i n U. v. [𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔]⇒⋯⇒. 同理可證，因為[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 0 0 ] ≈ [ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]，所以當[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ]經運算後， 若先產生[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 0 0 ]，其結果亦會收斂到[ 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 ]。 7.
(12) 【定理 2.6】 若0 ≤ 𝑎 < 𝑀且0 ≤ 𝑏 < 𝑀，則0 ≤ |𝑎 − 𝑏| < 𝑀 證明：∵0 ≤ 𝑎 < 𝑀且0 ≤ 𝑏 < 𝑀 ∴0 − 𝑀 < 𝑎 − 𝑏 < 𝑀 − 0 ⇒ −𝑀 < 𝑎 − 𝑏 < 𝑀 故得證0 ≤ |𝑎 − 𝑏| < 𝑀. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 8. i n U. v.
(13) 第三章 第一節. 研究方法. 利用強數學歸納法(Strong Induction)證明. 【定理 3.1】 任意一個非負整數的迪菲七邊形，會在有限個步驟內得到Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ型的收斂類型。. 【循環收斂第Ⅰ型】 【循環收斂第Ⅱ型】 【循環收斂第Ⅲ型】 證明： 設𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 為非負整數，且𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 } (1)當𝑀 = 0時，[ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 ] = [ 0 0 0 0 0 0 0 ] 成立(循環收斂第Ⅰ型). 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. (2)設𝑀 = 0,1,2,3, ⋯ , 𝑘時，皆成立 (3)當𝑀 = 𝑘 + 1時， 1 若𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 皆不為0，則七個數都減1， ○. ‧. 此時𝑀 = 𝑘，根據數學歸納法(Mathematical Induction)⇒成立 2 若𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 至少有一個數為0， ○ 此時減 1 後，無法滿足迪菲七邊形屬於非負整數的條件， 所以接下來只需討論𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 中，含有0的情況。 (我們以𝑁(𝑀)及𝑁(0)分別代表迪菲七邊形中，最大值𝑀及0的個數。). n. er. io. sit. y. Nat. al. 3.1.1 (1). Ch. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 1時. engchi. i n U. v. [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | |𝑥4 -𝑥5 | 𝑘+1-𝑥5 ] 令 𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑎4 = |𝑥4 -𝑥5 |, 𝑎5 = 𝑘+1-𝑥5 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎5 = 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎5 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | |𝑥4 -𝑥5 | 𝑘+1-𝑥5 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎5 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | |𝑎3 -𝑎4 | |𝑎4 -𝑎5 | ] ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑎5 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |, |𝑎3 -𝑎4 |, |𝑎4 -𝑎5 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎5 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎5 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |, |𝑎3 -𝑎4 |, |𝑎4 -𝑎5 |} ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]必存在一循環收斂 9.
(14) (2). [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | |𝑥4 -𝑥5 | 𝑘+1-𝑥5 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑥5 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑥5 |, 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑥5 |, 𝑘+1-𝑥5 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]必存在一循環收斂. (3). [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 |𝑥3 -𝑥4 | |𝑥4 -𝑥5 | 𝑘+1-𝑥5 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑥5 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑥2 , 𝑥3 , |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑥5 |, 𝑘+1-𝑥5 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑥2 , 𝑥3 , |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑥5 |, 𝑘+1-𝑥5 } ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ]必存在一循環收斂. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 2時 [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]. y. sit. io. n. al. ‧. Nat. ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑎4 = 𝑘+1-𝑥4 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎4 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎4 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ]. er. (1). 學. 3.1.2. ‧ 國. 立. 政 治 大. i n U. v. = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | |𝑎3 -𝑎4 | ] 令𝑏1 = 𝑘+1-𝑎4 , 𝑏2 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏3 = |𝑎1 -𝑎2 |, 𝑏4 = |𝑎2 -𝑎3 |, 𝑏5 = |𝑎3 -𝑎4 | ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑎4 < 𝑘+1. Ch. engchi. 0 < 𝑏1 = 𝑘+1-𝑎4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4 , 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | |𝑎3 -𝑎4 | ] = [ 𝑏1 𝑘+1 𝑥1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑏1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑏4 | |𝑏4 -𝑏5 | |𝑏5 -𝑏1 | ] ∵0 ≤ 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4 , 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑏1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, |𝑏5 -𝑏1 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏1 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏1 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, |𝑏5 -𝑏1 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏1 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, |𝑏5 -𝑏1 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂 10.
(15) (2). [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 0, 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 0, 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂. (3). [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 𝑥4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 0 𝑥3 |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥3 -𝑥4 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑥2 , 0 , 𝑥3 , |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑥2 , 0 , 𝑥3 , |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂. 立. [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] 令𝑎1 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎2 = |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4. ‧ 國. 學. (4). 政 治 大. ‧. ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ]. sit. y. Nat. n. al. er. io. = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1-𝑥1 0 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑎3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 , 0, |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 , 0, |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂 (5). Ch. engchi. i n U. v. [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥3 -𝑥4 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂 11.
(16) (6). [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥3 -𝑥4 |, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 |𝑥3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑥3 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑎3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |} ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 𝑥4 ]必存在一循環收斂. 立. 政 治 大. [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑥4 𝑘+1-𝑥4 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑥3 ,𝑥4 , 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑥3 ,𝑥4 , 𝑘+1-𝑥4 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ]必存在一循環收斂. (8). [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑥4 𝑘+1-𝑥4 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑥4 𝑘+1-𝑥4 ]. ‧. ‧ 國. 學. (7). n. engchi. er. io. Ch. sit. y. Nat. al. i n U. v. = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑥3 𝑥4 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | |𝑥4 -𝑎3 | ] ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑎3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑎3 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑎3 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑥3 |, |𝑥3 -𝑥4 |, |𝑥4 -𝑎3 |} ≤ 𝑘成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 𝑥4 ]必存在一循環收斂. 12.
(17) (9). [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | 𝑥4 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = |𝑥3 -𝑥4 | ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | |𝑥3 -𝑥4 | 𝑥4 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑥4 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | |𝑎3 -𝑥4 | 𝑘+1-𝑥4 ] ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑥4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |, |𝑎3 -𝑥4 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |, |𝑎3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |, |𝑎3 -𝑥4 |, 𝑘+1-𝑥4 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 0 ]必存在一循環收斂. 3.1.3. 立. 政 治 大. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 3時. ‧ 國. 學. (1) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3. ‧. ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ]. sit. y. Nat. n. al. er. io. ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] 令𝑏1 = 𝑘+1-𝑎3 , 𝑏2 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏3 = |𝑎1 -𝑎2 |, 𝑏4 = |𝑎2 -𝑎3 | ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑎3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1-𝑎3 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] = [ 𝑏1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 ]. Ch. engchi. i n U. v. ⇒ [ 𝑘+1-𝑏1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑏4 | |𝑏4 -𝑏1 | ] 令𝑐1 = 𝑘+1-𝑏1 , 𝑐2 = |𝑥1 -𝑏2 |, 𝑐3 = |𝑏2 -𝑏3 |, 𝑐4 = |𝑏3 -𝑏4 |, 𝑐5 = |𝑏4 -𝑏1 | ∵0 ≤ 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑏1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 , 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑐1 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1-𝑏1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑏4 | |𝑏4 -𝑏1 | ] = [ 𝑐1 𝑘+1 𝑥1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑐5 ] ⇒ [ |𝑐5 -𝑐1 | 𝑘+1-𝑐1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑐2 | |𝑐2 -𝑐3 | |𝑐3 -𝑐4 | |𝑐4 -𝑐5 | ] ∵0 ≤ 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 , 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑐1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑐5 -𝑐1 |, |𝑥1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑐1 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ |𝑐5 -𝑐1 |, 𝑘+1-𝑐1 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{|𝑐5 -𝑐1 |, 𝑘+1-𝑐1 , 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 13.
(18) (2) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 0, 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘 +1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 0, 𝑥2 , |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑘+1-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (3) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥2 -𝑥3 | = 0. 政 治 大. [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(8)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2 -𝑥3 | ≠ 0 由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. Ch. engchi. sit er. io. al. y. Nat. (4) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 0 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 0, 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 0, 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂. i n U. v. (5) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 0 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.2.(5)知 [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 由 3.1.1.(3)知 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 0 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 14.
(19) (6) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0 [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(4)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (7) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 0 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥2 -𝑥3 | = 0. 學. ‧ 國. 立. 政 治 大. ‧. [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.2.(5)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2 -𝑥3 | ≠ 0 由 3.1.1.(3)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. v. (8) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 | ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑥3 𝑘+1 ]. Ch. engchi. ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑏1 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏2 = |𝑎1 -𝑎2 |, 𝑏3 = |𝑎2 -𝑥3 |, 𝑏4 = 𝑘+1-𝑥3 ∵0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏4 < 𝑘+1 ∴[ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑏4 | 𝑏4 ] 令𝑐1 = 𝑘+1-𝑥1 , 𝑐2 = |𝑥1 -𝑏1 |, 𝑐3 = |𝑏1 -𝑏2 |, 𝑐4 = |𝑏2 -𝑏3 |, 𝑐5 = |𝑏3 -𝑏4 | ∵0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑏4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 , 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑐1 < 𝑘+1 15.
(20) ∴[ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑏4 | 𝑏4 ] = [ 𝑘+1 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑐5 𝑏4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑏4 𝑘+1-𝑐1 |𝑐1 -𝑐2 | |𝑐2 -𝑐3 | |𝑐3 -𝑐4 | |𝑐4 -𝑐5 | |𝑐5 -𝑏4 | ] ∵0 ≤ 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 , 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏4 , 𝑐1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 |, |𝑐5 -𝑏4 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏4 , 𝑘+1-𝑐1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏4 , 𝑘+1-𝑐1 , |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 |, |𝑐5 -𝑏4 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏4 , 𝑘+1-𝑐1 , |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 |, |𝑐5 -𝑏4 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (9) [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ≈ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 , 𝑥3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 , 𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂. 政 治 大. 學. ‧ 國. 立. ‧. (10) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |. io. sit. y. Nat. ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘 +1 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]. n. al. er. ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 0 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘 +1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘 +1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑘+1-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. 16. i n U. v.
(21) 3.1.4. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 4. (1) [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0 [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 ] ⇒ [ 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(1)知 [ 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 由 3.1.3.(1)知 [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. (2) [ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 0, 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1， 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂. n. al. er. io. sit. y. Nat. (3) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(1)知 [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. i n U. v. (4) [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(3)知 [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂. 17.
(22) (5) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 | ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] 令𝑏1 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏2 = |𝑎1 -𝑥2 |, 𝑏3 = 𝑘+1-𝑥2 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏3 < 𝑘+1 ∴[ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | 𝑏3 ] 令𝑐1 = |𝑥1 -𝑏1 |, 𝑐2 = |𝑏1 -𝑏2 |, 𝑐3 = |𝑏2 -𝑏3 | ∵0 < 𝑥1 , 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | 𝑏3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑏3 ]. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. ⇒ [ 𝑘+1-𝑏3 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑐1 | |𝑐1 -𝑐2 | |𝑐2 -𝑐3 | |𝑐3 -𝑏3 | ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑏3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 < 𝑘+1. ‧. 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑐1 |, |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑏3 | < 𝑘+1 且 0< 𝑘+1-𝑏3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏3 , 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑐1 |, |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑏3 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏3 , 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑐1 |, |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑏3 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. v. (6) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ] ≈ [ 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(1)知 [ 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. (7) [ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ] ≈ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(3)知 [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂. 18.
(23) (8) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(6)知 [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂 (9) [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 0 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 | ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 0 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑥2 0 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] 令𝑏1 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏2 = |𝑎1 -𝑥2 |. 政 治 大. ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 ∴[ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑥2 𝑘+1 ]. 立. ‧ 國. 學. ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 ] 令𝑐1 = 𝑘+1-𝑥1 , 𝑐2 = |𝑥1 -𝑏1 |, 𝑐3 = |𝑏1 -𝑏2 |, 𝑐4 = |𝑏2 -𝑥2 |, 𝑐5 = 𝑘+1-𝑥2. ‧. ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑐1 , 𝑐5 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑐5 𝑘+1 ]. n. er. io. al. sit. y. Nat. ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑐1 |𝑐1 -𝑐2 | |𝑐2 -𝑐3 | |𝑐3 -𝑐4 | |𝑐4 -𝑐5 | 𝑘+1-𝑐5 ] ∵0 < 𝑐1 , 𝑐5 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 < 𝑘+1. i n U. v. 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 | < 𝑘+1 且 0< 𝑘+1-𝑐1 , 𝑘+1-𝑐5 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑐1 , |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 |, 𝑘+1-𝑐5 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑐1 , |𝑐1 -𝑐2 |, |𝑐2 -𝑐3 |, |𝑐3 -𝑐4 |, |𝑐4 -𝑐5 |, 𝑘+1-𝑐5 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 0 ]必存在一循環收斂. 3.1.5. Ch. engchi. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 5時. (1) [ 𝑘+1 0 0 0 0 0 𝑥1 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由 3.1.4.(1)知 [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 0 𝑥1 ]必存在一循環收斂. 19.
(24) (2) [ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥1 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由 3.1.4.(6)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 𝑥1 0 ]必存在一循環收斂 (3) [ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥1 𝑘+1 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 ] ≈ [ 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 0, 𝑥1 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 } ≤ 𝑘 成立 [ 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 0 0 ]必存在一循環收斂. 立. ‧ 國. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 1, 𝑁(0) = 6時. [ 𝑘+1 0 0 0 0 0 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 0 0 0 0 𝑘+1 ] ≈ [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 0 0 ] ≈循環收斂第Ⅱ型 ∴[ 𝑘+1 0 0 0 0 0 0 ]必收斂到循環收斂第Ⅱ型. ‧. (1). 學. 3.1.6. 政 治 大. n. sit er. io. 3.1.7. y. Nat. al. Ch. i n U. v. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 1時 ∵由 3.1.2 知 𝑁(𝑀) = 1, 𝑁(0) = 2 存在一循環收斂 又𝑁(𝑀) = 2, 𝑁(0) = 1 ≈ 𝑁(𝑀) = 1, 𝑁(0) = 2 (互補同構) ∴𝑁(𝑀) = 2, 𝑁(0) = 1必存在一循環收斂. engchi. 20.
(25) 3.1.8. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 2時. (1) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑎3 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] 令𝑏1 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏2 = |𝑎1 -𝑎2 |, 𝑏3 = |𝑎2 -𝑎3 | ∵0 < 𝑥1 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑎3 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] = [ 𝑎3 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑎3 | ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 < 𝑘+1. 政 治 大. 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑏1 |, |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑎3 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3 , 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑏1 |, |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑎3 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{ 𝑘+1-𝑎3 , 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑏1 |, |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑎3 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. 立. n. al. er. io. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. Nat. (2) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ | 𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘+1 ∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , | 𝑥2 -𝑥3 |, 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , | 𝑥2 -𝑥3 |, 𝑘+1-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. i n U. v. (3) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥2 -𝑥3 | = 0 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(4)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2 -𝑥3 | ≠ 0 由 3.1.1.(1)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 21.
(26) (4) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (5) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0 [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(8)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 由 3.1.1.(1)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂. 立. ‧ 國. 學. (6). 政 治 大. [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ]. ‧. ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |. n. al. er. io. sit. y. Nat. ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 ∴[ 0 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑥3 𝑘+1 ]. i n U. v. ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑏1 = 𝑘+1-𝑥1 , 𝑏2 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏3 = |𝑎1 -𝑎2 |, 𝑏4 = |𝑎2 -𝑥3 |, 𝑏5 = 𝑘+1-𝑥3 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1 , 𝑏5 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 ]. Ch. engchi. ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑏1 |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑏4 | |𝑏4 -𝑏5 | 𝑘+1-𝑏5 ] ∵0 < 𝑏1 , 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏1 , 𝑘+1-𝑏5 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑏1 , |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, 𝑘+1-𝑏5 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑏1 , |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, 𝑘+1-𝑏5 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂. 22.
(27) (7) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 0 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 , 𝑎2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3 , 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3 , 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑎1 |, |𝑎1 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. 政 治 大. (8) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] 令 𝑎1 = 𝑘+1-𝑥1 , 𝑎2 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎3 = 𝑘+1-𝑥3 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎2 < 𝑘 +1 且0 < 𝑎1 , 𝑎3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑎1 𝑥1 𝑥2 𝑎2 𝑎3 ]. 立. ‧ 國. 學. ‧. ⇒ [ 𝑘+1-𝑎3 0 𝑘+1-𝑎1 |𝑎1 -𝑥1 | |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑎1 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎2 < 𝑘 +1. Nat. y. sit. n. al. er. io. 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑎1 -𝑥1 |, |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘 +1 且 0 < 𝑘+1-𝑎3 , 𝑘+1-𝑎1 < 𝑘 +1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑎3 , 0, 𝑘+1-𝑎1 , |𝑎1 -𝑥1 |, |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 | < 𝑘 +1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑎3 , 0, 𝑘+1-𝑎1 , |𝑎1 -𝑥1 |, |𝑥1 -𝑥2 |, |𝑥2 -𝑎2 |, |𝑎2 -𝑎3 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. i n U. v. (9) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥2 -𝑥3 | = 0 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(4)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2 -𝑥3 | ≠ 0 由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 23.
(28) (10) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 0 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (11) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ≈ [ 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑥1 , 0, 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 , 𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 [ 𝑥1 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂. 政 治 大. ‧ 國. 立. 學. (12) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 0 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥2 -𝑥3 | = 0. ‧. [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2 -𝑥3 | ≠ 0. io. sit. y. Nat. n. al. er. [ 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑥3 𝑘+1 ] ≈ [ 𝑘-𝑥1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2 -1 |𝑥2 -𝑥3 |-1 𝑥3 -1 𝑘 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘-𝑥1 , 𝑘, 𝑥2 -1, |𝑥2 -𝑥3 |-1, 𝑥3 -1 < 𝑘 +1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘-𝑥1 , 𝑘, 𝑥2 -1, |𝑥2 -𝑥3 |-1, 𝑥3 -1} ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘-𝑥1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2 -1 |𝑥2 -𝑥3 |-1 𝑥3 -1 𝑘 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. 24. i n U. v.
(29) (13) [ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] 令𝑎1 = 𝑘+1-𝑥1 , 𝑎2 = |𝑥1 -𝑥2 |, 𝑎3 = |𝑥2 -𝑥3 |, 𝑎4 = 𝑘+1-𝑥3 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎2 , 𝑎3 < 𝑘+1 且 0 < 𝑎1 , 𝑎4 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑎1 |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | |𝑎3 -𝑎4 | ] 令𝑏1 = 𝑘+1-𝑎4 , 𝑏2 = 𝑘+1-𝑎1 , 𝑏3 = |𝑎1 -𝑎2 |, 𝑏4 = |𝑎2 -𝑎3 |, 𝑏5 = |𝑎3 -𝑎4 | ∵0 < 𝑎1 , 𝑎4 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎2 , 𝑎3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏3 , 𝑏4 , 𝑏5 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1-𝑎4 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑎1 |𝑎1 -𝑎2 | |𝑎2 -𝑎3 | |𝑎3 -𝑎4 | ] = [ 𝑏1 𝑘+1 𝑘+1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑏1 0 𝑘+1-𝑏2 |𝑏2 -𝑏3 | |𝑏3 -𝑏4 | |𝑏4 -𝑏5 | |𝑏5 -𝑏1 |] ∵0 < 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑏3 , 𝑏4 , 𝑏5 < 𝑘+1. 政 治 大. 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, |𝑏5 -𝑏1 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑏1 , 𝑘+1-𝑏2 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 𝑘+1-𝑏1 , 0, 𝑘+1-𝑏2 , |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, |𝑏5 -𝑏1 | < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘+1-𝑏1 , 0, 𝑘+1-𝑏2 , |𝑏2 -𝑏3 |, |𝑏3 -𝑏4 |, |𝑏4 -𝑏5 |, |𝑏5 -𝑏1 |} ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. sit er. io. al. y. Nat. (14) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0. i n U. v. [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.2.(8)知 [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 由 3.1.1.(1)知 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. 25.
(30) (15) [ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 0 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 [ 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1 𝑥3 𝑥3 𝑘+1 ] ≈ [ 𝑘-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 |-1 𝑘-𝑥2 𝑘 𝑥3 -1 𝑥3 -1 𝑘 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘-𝑥1 , |𝑥1 -𝑥2 |-1, 𝑘-𝑥2 , 𝑘, 𝑥3 -1 < 𝑘 +1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘-𝑥1 , |𝑥1 -𝑥2 |-1, 𝑘-𝑥2 , 𝑘, 𝑥3 -1} ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘-𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 |-1 𝑘-𝑥2 𝑘 𝑥3 -1 𝑥3 -1 𝑘 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1 0 𝑥3 0 ]必存在一循環收斂. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. (16) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥2 -𝑥3 | = 0. n. al. er. io. sit. y. Nat. [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2 -𝑥3 | ≠ 0. Ch. i n U. v. [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ≈ [ 𝑘 𝑥1 -1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2 -1 |𝑥2 -𝑥3 |-1 𝑘-𝑥3 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘, 𝑥1 -1, 𝑘-𝑥1 , 𝑥2 -1, |𝑥2 -𝑥3 |-1, 𝑘-𝑥3 < 𝑘 +1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘, 𝑥1 -1, 𝑘-𝑥1 , 𝑥2 -1, |𝑥2 -𝑥3 |-1, 𝑘-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘 𝑥1 -1 𝑘-𝑥1 𝑘 𝑥2 -1 |𝑥2 -𝑥3 |-1 𝑘-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. engchi. (17) [ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑘+1-𝑥3 ] ≈ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 , 𝑘+1-𝑥3 , 𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 𝑘+1-𝑥3 𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑥1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑥3 ]必存在一循環收斂 26.
(31) (18) [ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ] ⇒ [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥2 -𝑥3 | < 𝑘 +1 (𝑎)若|𝑥2 -𝑥3 | = 0 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] = [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ] 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 0 𝑘+1-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥2 -𝑥3 | ≠ 0 [ 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥2 |𝑥2 -𝑥3 | 𝑘+1-𝑥3 ] ≈ [ 𝑘-𝑥1 𝑥1 -1 𝑘 𝑘 𝑥2 -1 |𝑥2 -𝑥3 |-1 𝑘-𝑥3 ] (平移同構，同時減去 1) ∵0 ≤ 𝑘-𝑥1 , 𝑥1 -1, 𝑘, 𝑥2 -1, |𝑥2 -𝑥3 |-1, 𝑘-𝑥3 < 𝑘 +1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘-𝑥1 , 𝑥1 -1, 𝑘, 𝑥2 -1, |𝑥2 -𝑥3 |-1, 𝑘-𝑥3 } ≤ 𝑘 成立 [ 𝑘-𝑥1 𝑥1 -1 𝑘 𝑘 𝑥2 -1 |𝑥2 -𝑥3 |-1 𝑘-𝑥3 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑥1 0 𝑘+1 0 𝑥2 𝑥3 ]必存在一循環收斂. (1). 學. 3.1.9. ‧ 國. 立. 政 治 大. 當𝑁(𝑀) = 𝑁(𝑘+1) = 2, 𝑁(0) = 3時 [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]. ‧. ⇒ [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0. io. sit. y. Nat. n. al. er. [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 ] 由 3.1.4.(6)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 由 3.1.3.(8)知 [ 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. (2) [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 0 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂. 27. i n U. v.
(32) (3) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(9)知 [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂 (4) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(6)知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂 (5) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] 令𝑎1 = |𝑥1 -𝑥2 |. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1 ∴[ 0 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑘+1 ]. ‧. ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] 令𝑏1 = |𝑥1 -𝑎1 |, 𝑏2 = |𝑎1 -𝑥2 |, 𝑏3 = 𝑘+1-𝑥2 ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 且 0 ≤ 𝑎1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑏3 < 𝑘+1 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑎1 | |𝑎1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ]. io. sit. y. Nat. n. al. er. ⇒ [ 0 0 𝑘+1-𝑥1 |𝑥1 -𝑏1 | |𝑏1 -𝑏2 | |𝑏2 -𝑏3 | 𝑘+1-𝑏3 ] ∵0 ≤ 𝑏1 , 𝑏2 < 𝑘+1 且 0 < 𝑥1 , 𝑏3 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑏1 |, |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 | < 𝑘+1 且 0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑏3 < 𝑘+1 ∴0 ≤ 0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑏1 |, |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, 𝑘+1-𝑏3 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑘+1-𝑥1 , |𝑥1 -𝑏1 |, |𝑏1 -𝑏2 |, |𝑏2 -𝑏3 |, 𝑘+1-𝑏3 } ≤ 𝑘 成立 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. i n U. (6) [ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ] ⇒ [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.7 知 [ 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑘+1 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 0 ]必存在一循環收斂. 28. v.
(33) (7) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 0 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑘+1-𝑥2 ] ≈ [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0 [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 ] = [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑥2 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.2.(1)知 [ 𝑥2 0 0 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂 (𝑏)若|𝑥1 -𝑥2 | ≠ 0 ∵0 < 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-|𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘+1 由 3.1.3.(1)知 [ 0 0 0 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-|𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 0 𝑥1 𝑥2 ]必存在一循環收斂. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. (8) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.7 知 [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 𝑥1 0 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂. sit. y. Nat. n. al. er. io. (9) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑘+1-𝑥2 ] ≈ [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 則𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑥2 , 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 } ≤ 𝑘 成立 [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1-𝑥2 𝑥2 ]存在一循環收斂 ∴[ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 0 𝑥2 ]必存在一循環收斂. Ch. engchi. i n U. v. (10) [ 𝑘+1 0 𝑘+1 0 𝑥1 𝑥2 0 ] ⇒ [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] ∵0 < 𝑥1 , 𝑥2 < 𝑘+1 由定理 2.6 知 0 ≤ |𝑥1 -𝑥2 | < 𝑘+1 (𝑎)若|𝑥1 -𝑥2 | = 0 [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 |𝑥1 -𝑥2 | 𝑥2 𝑘+1 ] = [ 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑥1 0 𝑥2 𝑘+1 ] ≈ [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 0 ] (互補同構，同時以𝑘+1減之) ∵0 < 𝑘+1-𝑥1 , 𝑘+1-𝑥2 < 𝑘+1 由 3.1.4.(2)知 [ 0 0 0 𝑘+1-𝑥1 𝑘+1 𝑘+1-𝑥2 0 ]存在一循環收斂 29.
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