圖 2.1.3 為理想的降壓型直流轉換器之等效電路，所謂理想的轉換器代表該電 路中非電阻元件均無功率消耗。以圖 2.1.2 為例，電晶體 T 可視為無損失單軸單
輸出開關 (SPST，single pole single throw) ，由外部控制器來控制其為導通或截
d 定義為開關元件導通工作週期(duty-cycle)，根據傅立葉分析可知，A 點電 壓為一週期性方波，包含直流成份與奇次諧波，其直流成份可表示為
為了在輸出端得到理想的直流電壓，利用低通濾波器隔離因為開關元件狀態切換 作模式(CCM，continuous-conduction mode)與非連續操作模式(DCM，discontinuous -conduction mode)。如圖 2.1.5(a)所示，實線為電感電流波形，虛線為電感電壓波 形，圖中電感電流恆正為連續導通模式(CCM)。當開關 S 為導通狀態時，如圖 2.1.5(c)所示，因電源對電感充電故電流上升，同時對電容充電且此時在負載上面 就會有帶極性電壓產生，假設系統此時操作於穩態，電容充電時間可忽略，則電 感上的壓降為 E-Vo，此時開關 D 因為逆偏狀態而截止。若開關為截止狀態，如 圖 2.1.5(d)所示，電感兩端的壓降為-Vo，此時二極體為順向偏壓，且提供電感電 流釋放路徑，故此二極體 又稱之為飛輪(flywheel)或自由轉輪(free-wheeling)二極 體。
圖 2.1.5 降壓型直流轉換器電感電壓與電流波形 1977年提出的狀態空間平均法 ( State-Space Averaging Approach )。在單一的開關
時間T 內，對兩個因為開關切換而分別存在的狀態表示式加以平均，可得狀態空S
間平均模型，包含穩態(Steady-State DC model)與小信號模型(Small signal AC
model)。步驟如下：
期望工作週期的時變擾動量。代入(6)式可得下式
(a) 電晶體：等效電路可視為一電壓控制開關，其狀態由閘-源極電壓控制。當開 關截止時(VGS < VGS(th))，阻抗無限大，以一單軸單輸出開關(SPST)開路表示 之。當開關導通時(VGS > VGS(th))，片段線性模型在源極(source)與汲極(drain) 間視為一等效電阻，以 rds(on)表示之。N-通道 MOS-FET 之等效電路如圖 2.2.1(a)
長以及線徑越小，其等效串聯電阻(ESR，equivalent series resistance)值也越
將(13)式中的狀態變數分別對時間 t 微分，可以得到以下式子
O C L
依據 KVL 電壓定律可知
1 1
此兩子系統可視為兩線性非時變系統(Linear Time Invariant system，LTI system)，
滿足系統穩定的條件其系統極點必須位在 S-domain 的左半平面[22]，分別為：
子系統 1：系統狀態矩陣A 的特徵值須小於零，所以1 a111 +a122必須小於零。
子系統 2：系統狀態矩陣A 的特徵值須小於零，所以2 a112 +a222 必須小於零。
由(21)與(28)式可知，元件參數大於零，所以兩子系統滿足有限輸入有限輸出 (Bounded-input Bounded-output，BIBO)之穩定條件。
在討論降壓型直流轉換器的控制器設計中，如果僅考慮理想降壓型直流轉換
其中
的作法是利用包含積分器的電路來近似微分的運算，稱為微分估測器(derivative
estimator)，在這一節中將設計一階的微分估測器[7]來當作降壓型直流轉換器之負
其中 21 1 , 22 1 估測器，控制目標為在有界輸入(bounded input, [0,1])將系統輸出電壓控制到期望 值且不受負載變化影響其閉迴路系統之穩定性。
第三章
可變結構系統(Variable Structure System, VSS) 是一種結構可以改變的系統，
包含兩個以上的子結構與切換條件(switching condition)，使得系統在符合條件下 (switching surface)或順滑面(sliding surface)。被稱為切換平面是因為，當系統軌跡”
低於”此一平面，在控制路徑上會得到強迫系統”上升”回到平面的增益，反之，若 系統軌跡”高於”此一平面，控制路徑產生的增益強迫系統”下降”回到平面。簡而 言之，順滑模態控制是，先使受控系統產生兩個以上的子結構，再利用刻意加入 的切換條件使系統穩定在切換平面上的一種技術。
3.1.1 順滑模態控制原理順滑模態控制原理順滑模態控制原理 順滑模態控制原理
其中 s(x)為一切換函數(switching function)，對時間必須是一次可微分的，且 u+(x)
≠u-(x)，切換函數與切換條件之關係如圖 3.1.1 所示。切換函數將整個狀態空間分
成三個子空間：s(x)>0，s(x)<0，與 s(x)=0。其中順滑平面(sliding surface) s(x)=0 必須是連續且包含平衡點x=0，控制器的設計目標即是在順滑平面 s(x)=0 中產 生順滑模態，所以通常稱 s(x)為順滑函數(sliding function)。
順滑模態的產生，首先是要確保軌跡能在有限的時間內接觸到順滑平面，此 過程稱為迫近模態（reaching mode），而當系統進入順滑平面後，必須確保軌跡朝 著平衡點逼近，在這個順滑平面中的系統行為即為順滑模態(sliding mode)，如圖
保證系統軌跡進入順滑平面的條件，稱之為迫近條件(reaching condition)，說
上式成立的條件為當s
( )
x ≠0且σ >0。在此利用 Lyapunov 原理來說明此條件如頻率切換並朝向平衡點前進，這樣的切換現象(震盪現象)稱之為跳切(chattering)。
上述過程知道，系統的迫近模態是屬於連續性軌跡接近順滑平面，然而進入 順滑平面後，系統軌跡以不連續的切換條件連續的接近平衡點，換言之，如何證 明跳切現象會朝向平衡點前進？一個最早與直接的近似概念，Filippov 法(the method of Filippov)引入的等效控制概念(the method of equivalent control)可獲得合 理的解釋。
( )
x( ) ( )
f x,(
,)
點前進，然而缺點是系統將呈現嚴重跳切(chattering)現象。為改善此一缺點造成 控制器無法實現，是以一個飽和函數(saturation function)來改善跳切現象，如圖 3.1.5所示。( )
3.1.2 順滑函數之選擇順滑函數之選擇順滑函數之選擇－順滑函數之選擇－－以單輸入雙線性系統為例－以單輸入雙線性系統為例以單輸入雙線性系統為例 以單輸入雙線性系統為例
以Aeq
( )
x c, 至少有一根為零，所以設計時選取適當的順滑函數使得Aeq( )
x c, 之根 故(73)式滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，系統軌跡在有限時 間內接觸到順滑平面並持續維持在此平面上。假設Cb+CNx ≠0成立，則選取(72)( )
1 2
在推導等效控制ueq方面，將前面推導降壓型直流轉換器之非理想模型(74)式
(
2 22 2)
滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，故系統軌跡在有限時間內 將接觸並進入順滑層內，且之後將維持在順滑層內。會跳離順滑層，一旦系統軌跡離開順滑層外，利用控制法則將其軌跡移動方向朝 著順滑層移動。在下一章中將對此系統與控制器進行相關模擬與討論。
第四章 第四章 第四章
第四章 降壓型直流轉換器之系統設 降壓型直流轉換器之系統設 降壓型直流轉換器之系統設 降壓型直流轉換器之系統設計 計 計 計與模擬 與模擬 與模擬 與模擬
在本章的第一節，將討論此降壓型直流轉換電路之規格與元件設計，第二節 利用 Matlab/Simulink 數值模擬來驗證控制器與估測器之設計並探討參數變化對 控制器設計之影響。第三節利用 Matlab/SimPowerSystems 套件建立實際降壓型直 流轉換器電路並模擬加入脈波寬度調變後，觀察其與理論值之差異。
4.1 系統規格與設計 系統規格與設計 系統規格與設計 系統規格與設計
在本章的模擬設計中，將依據以下規格來探討降壓型直流轉換器在連續導通 模式下之操作行為，系統規格：Vin=12V、Vdesired=5V、VD=0.7V、L=1800µH、
C=2200µF、
r
ds=0.27Ω、r
L=1.38Ω、r
d=0.005Ω、r
c=0.117Ω，代入(33)式建立降壓型本節之模擬分為兩部分，在數值模擬的部分為利用MATLAB/Simulink建立
降壓型直流轉換器與順滑模態控制器之數學模型，來驗證順滑模態控制器之設 計。在第二部分的降壓型直流轉換器數學模型則利用 SimPowerSystems 建立降壓 型直流轉換器之電路並加入脈波寬度調變(PWM)控制開關之切換，並檢視輸出狀 態是否符合預期。
模擬系統之方塊圖如圖 4.2.1 所示，完整系統方塊圖請參閱附錄。模擬系統分 為四個主要方塊，在 Buck Converter 方塊中建立降壓型直流轉換器之數學模型，
Controller 方塊為順滑模態控制器， Estimator 方塊為一階微分估測器，而 Load 方塊則是依不同模擬需求產生之負載。簡單說明如下，當系統啟動時，控制器將 依順滑模態控制理論將系統軌跡控制在順滑層內，且輸出狀態 x2將控制到預設值 x2d。在負載變動下，控制器將跳離順滑層外之系統軌跡拉回順滑層內，並且將輸 出狀態控制到設定值，而負載估測器則將估測實際的負載值回傳給控制器，以調 整控制器參數。以下模擬將與一未做負載估測之順滑模態控制器做比較，並觀察 兩者之差異。此外將討論控制器參數對於控制器特性之影響及負載估測器之特 性，並觀察在負載變動下，狀態輸出是否符合預期。
圖 4.2.1 模擬系統方塊圖
4.2.1 與未做負載估測之順滑模態控制器比較與未做負載估測之順滑模態控制器比較與未做負載估測之順滑模態控制器比較與未做負載估測之順滑模態控制器比較 用根值指定法(pole assignment method)來求得[24]，其順滑函數參數如下式：
(
2 2)
1c=kT A-λ I − (101)
其中c=
[
c1 c2]
，k為利用根值指定法所得之增益，λ2為其一指定特徵值，且位在 左半面，即Re(λ)<0。利用(101)式所得之順滑函數參數值甚小，在實現上要達到 此甚小之增益值並不容易[9]。控制法則之設計如下式：( )
1( )
o
1 max ( )
eq cNx c sat s
µ µ= − + − δ +σ (102)
其中x=
[
x1 x2]
T，µeqo = − +(
1 cNx)
−1(
k xT +β(
x2−x2d) )
，δmax為不確定量最大值。在此設定 σ 值需大於 1，此與順滑函數之迫近速度有關。利用 4.1 節所選定之相同 被動元件規格，並在不同負載範圍下做數值模擬，其輸出狀態、順滑函數與控制 輸入模擬結果，如以下所示。
圖 4.2.2 負載範圍(0.5A~1A)之輸出狀態
圖 4.2.4 負載範圍(2A~4A)之輸出狀態
圖 4.2.3 負載範圍(0.5A~1A)之順滑函數與控制輸入
在低負載狀況下之輸出狀態，顯然地，未做負載估測之順滑模態控制器在 x1
輸出狀態上，即輸出電流，在系統啟動時會有極大值(spike)出現，此時工作週期 為最大，對電感充電使其達到飽和，這在實際上的降壓型直流轉換器應用時，易 造成負載端之損壞，可加入緩啟動(soft start)電路來解決這種狀況，而在 x2輸出狀 態上，即輸出電壓，在負載變動下則無影響。在順滑函數部分，未做負載估測之 順滑模態控制器在系統啟動時，系統軌跡需在一段時間後才迫近順滑平面，且由 於選取之順滑參數值甚小，故在負載變動下，順滑函數變動很小，一直保持在順 滑層內。未做負載估測之順滑模態控制器，其優點在輸出狀態上可以很快速達到 穩態，並對負載變動具有良好的強健性。但也由於未做負載估測，所以需求得不 確定量之最大值，以降低其影響如(100)式。如能加入負載估測，則可估測實際負 載變動，並將其視為已知量，便能降低不確定量之影響。以下為加入負載估測後 的順滑模態控制器，並在不同負載變動範圍之數值模擬。
4.2.2 不同不同不同不同負載狀況下之狀態輸出負載狀況下之狀態輸出負載狀況下之狀態輸出負載狀況下之狀態輸出
依據 4.1 節所設定之系統參數，驗證在高低負載變動下，觀察輸出狀態以及 控制器之順滑函數是否符合預期。以下為負載輸出電流 0.5A~1A 之輸出狀態，如
依據 4.1 節所設定之系統參數，驗證在高低負載變動下，觀察輸出狀態以及 控制器之順滑函數是否符合預期。以下為負載輸出電流 0.5A~1A 之輸出狀態，如