2.4 負載估測器的可行性
3.1.1 順滑模態控制原理
其中 s(x)為一切換函數(switching function)，對時間必須是一次可微分的，且 u+(x)
≠u-(x)，切換函數與切換條件之關係如圖 3.1.1 所示。切換函數將整個狀態空間分
成三個子空間：s(x)>0，s(x)<0，與 s(x)=0。其中順滑平面(sliding surface) s(x)=0 必須是連續且包含平衡點x=0，控制器的設計目標即是在順滑平面 s(x)=0 中產 生順滑模態，所以通常稱 s(x)為順滑函數(sliding function)。
順滑模態的產生，首先是要確保軌跡能在有限的時間內接觸到順滑平面，此 過程稱為迫近模態（reaching mode），而當系統進入順滑平面後，必須確保軌跡朝 著平衡點逼近，在這個順滑平面中的系統行為即為順滑模態(sliding mode)，如圖
保證系統軌跡進入順滑平面的條件，稱之為迫近條件(reaching condition)，說
上式成立的條件為當s
( )
x ≠0且σ >0。在此利用 Lyapunov 原理來說明此條件如頻率切換並朝向平衡點前進，這樣的切換現象(震盪現象)稱之為跳切(chattering)。
上述過程知道，系統的迫近模態是屬於連續性軌跡接近順滑平面，然而進入 順滑平面後，系統軌跡以不連續的切換條件連續的接近平衡點，換言之，如何證 明跳切現象會朝向平衡點前進？一個最早與直接的近似概念，Filippov 法(the method of Filippov)引入的等效控制概念(the method of equivalent control)可獲得合 理的解釋。
( )
x( ) ( )
f x,(
,)
點前進，然而缺點是系統將呈現嚴重跳切(chattering)現象。為改善此一缺點造成 控制器無法實現，是以一個飽和函數(saturation function)來改善跳切現象，如圖 3.1.5所示。( )
3.1.2 順滑函數之選擇順滑函數之選擇順滑函數之選擇－順滑函數之選擇－－以單輸入雙線性系統為例－以單輸入雙線性系統為例以單輸入雙線性系統為例 以單輸入雙線性系統為例
以Aeq
( )
x c, 至少有一根為零，所以設計時選取適當的順滑函數使得Aeq( )
x c, 之根 故(73)式滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，系統軌跡在有限時 間內接觸到順滑平面並持續維持在此平面上。假設Cb+CNx ≠0成立，則選取(72)( )
1 2
在推導等效控制ueq方面，將前面推導降壓型直流轉換器之非理想模型(74)式
(
2 22 2)
滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，故系統軌跡在有限時間內 將接觸並進入順滑層內，且之後將維持在順滑層內。會跳離順滑層，一旦系統軌跡離開順滑層外，利用控制法則將其軌跡移動方向朝 著順滑層移動。在下一章中將對此系統與控制器進行相關模擬與討論。
第四章 第四章 第四章
第四章 降壓型直流轉換器之系統設 降壓型直流轉換器之系統設 降壓型直流轉換器之系統設 降壓型直流轉換器之系統設計 計 計 計與模擬 與模擬 與模擬 與模擬
在本章的第一節，將討論此降壓型直流轉換電路之規格與元件設計，第二節 利用 Matlab/Simulink 數值模擬來驗證控制器與估測器之設計並探討參數變化對 控制器設計之影響。第三節利用 Matlab/SimPowerSystems 套件建立實際降壓型直 流轉換器電路並模擬加入脈波寬度調變後，觀察其與理論值之差異。
4.1 系統規格與設計 系統規格與設計 系統規格與設計 系統規格與設計
在本章的模擬設計中，將依據以下規格來探討降壓型直流轉換器在連續導通 模式下之操作行為，系統規格：Vin=12V、Vdesired=5V、VD=0.7V、L=1800µH、
C=2200µF、
r
ds=0.27Ω、r
L=1.38Ω、r
d=0.005Ω、r
c=0.117Ω，代入(33)式建立降壓型本節之模擬分為兩部分，在數值模擬的部分為利用MATLAB/Simulink建立
降壓型直流轉換器與順滑模態控制器之數學模型，來驗證順滑模態控制器之設 計。在第二部分的降壓型直流轉換器數學模型則利用 SimPowerSystems 建立降壓 型直流轉換器之電路並加入脈波寬度調變(PWM)控制開關之切換，並檢視輸出狀 態是否符合預期。
模擬系統之方塊圖如圖 4.2.1 所示，完整系統方塊圖請參閱附錄。模擬系統分 為四個主要方塊，在 Buck Converter 方塊中建立降壓型直流轉換器之數學模型，
Controller 方塊為順滑模態控制器， Estimator 方塊為一階微分估測器，而 Load 方塊則是依不同模擬需求產生之負載。簡單說明如下，當系統啟動時，控制器將 依順滑模態控制理論將系統軌跡控制在順滑層內，且輸出狀態 x2將控制到預設值 x2d。在負載變動下，控制器將跳離順滑層外之系統軌跡拉回順滑層內，並且將輸 出狀態控制到設定值，而負載估測器則將估測實際的負載值回傳給控制器，以調 整控制器參數。以下模擬將與一未做負載估測之順滑模態控制器做比較，並觀察 兩者之差異。此外將討論控制器參數對於控制器特性之影響及負載估測器之特 性，並觀察在負載變動下，狀態輸出是否符合預期。
圖 4.2.1 模擬系統方塊圖
4.2.1 與未做負載估測之順滑模態控制器比較與未做負載估測之順滑模態控制器比較與未做負載估測之順滑模態控制器比較與未做負載估測之順滑模態控制器比較 用根值指定法(pole assignment method)來求得[24]，其順滑函數參數如下式：
(
2 2)
1c=kT A-λ I − (101)
其中c=
[
c1 c2]
，k為利用根值指定法所得之增益，λ2為其一指定特徵值，且位在 左半面，即Re(λ)<0。利用(101)式所得之順滑函數參數值甚小，在實現上要達到 此甚小之增益值並不容易[9]。控制法則之設計如下式：( )
1( )
o
1 max ( )
eq cNx c sat s
µ µ= − + − δ +σ (102)
其中x=
[
x1 x2]
T，µeqo = − +(
1 cNx)
−1(
k xT +β(
x2−x2d) )
，δmax為不確定量最大值。在此設定 σ 值需大於 1，此與順滑函數之迫近速度有關。利用 4.1 節所選定之相同 被動元件規格，並在不同負載範圍下做數值模擬，其輸出狀態、順滑函數與控制 輸入模擬結果，如以下所示。
圖 4.2.2 負載範圍(0.5A~1A)之輸出狀態
圖 4.2.4 負載範圍(2A~4A)之輸出狀態
圖 4.2.3 負載範圍(0.5A~1A)之順滑函數與控制輸入
在低負載狀況下之輸出狀態，顯然地，未做負載估測之順滑模態控制器在 x1
輸出狀態上，即輸出電流，在系統啟動時會有極大值(spike)出現，此時工作週期 為最大，對電感充電使其達到飽和，這在實際上的降壓型直流轉換器應用時，易 造成負載端之損壞，可加入緩啟動(soft start)電路來解決這種狀況，而在 x2輸出狀 態上，即輸出電壓，在負載變動下則無影響。在順滑函數部分，未做負載估測之 順滑模態控制器在系統啟動時，系統軌跡需在一段時間後才迫近順滑平面，且由 於選取之順滑參數值甚小，故在負載變動下，順滑函數變動很小，一直保持在順 滑層內。未做負載估測之順滑模態控制器，其優點在輸出狀態上可以很快速達到 穩態，並對負載變動具有良好的強健性。但也由於未做負載估測，所以需求得不 確定量之最大值，以降低其影響如(100)式。如能加入負載估測，則可估測實際負 載變動，並將其視為已知量，便能降低不確定量之影響。以下為加入負載估測後 的順滑模態控制器，並在不同負載變動範圍之數值模擬。
4.2.2 不同不同不同不同負載狀況下之狀態輸出負載狀況下之狀態輸出負載狀況下之狀態輸出負載狀況下之狀態輸出
依據 4.1 節所設定之系統參數，驗證在高低負載變動下，觀察輸出狀態以及 控制器之順滑函數是否符合預期。以下為負載輸出電流 0.5A~1A 之輸出狀態，如
圖 4.2.5 負載範圍(2A~4A)之順滑函數與控制輸入
圖 4.2.6 所示，及此負載範圍之順滑函數與控制輸入波形，如圖 4.2.7 所示。
由上圖可知從系統起始到負載變動，系統軌跡均落在順滑層內。由於負載增 加，故工作週期提高增加輸出電流，反之負載減少，則工作週期降低，觀察在負 載變動下均不影響輸出電壓值。以下為負載輸出電流 2A~4A 之輸出狀態，如圖 4.2.8 所示，及此負載範圍之順滑函數與控制輸入波形如圖 4.2.9 所示。
圖 4.2.7 低負載下之順滑函數與控制輸入 圖 4.2.6 低負載下之輸出狀態
相較於低負載狀況，在高負載狀況下，工作週期需更加提高。由於控制器輸 出端加入飽和函數限制，故在負載變動時，工作週期已經相當接近飽和值。負載 變動時造成順滑函數跳離順滑層外，負載估測器需對負載變動做估測，等負載估 測值穩定後，系統軌跡將在有限時間內回到順滑層內。
圖 4.2.9 高負載下之順滑函數與控制輸入 圖 4.2.8 高負載下之狀態輸出
與未做負載估測之順滑模態控制器比較，由圖 4.2.2 與圖 4.2.6 可知，在系統 啟始時，負載估測器需一段時間對預設負載做估測，所以輸出狀態在進入穩態的 時間並不如未做負載估測快，控制輸入也是緩慢上升到穩定之工作週期。但在輸 出電流比較上，並不會在系統啟始時產生瞬間極大值。在順滑函數比較上，在系 統啟始時，也較未做負載估測之順滑模態控制器更快迫近到順滑平面，如圖 4.2.3 與圖 4.2.7 之順滑函數。
在本節中利用第二章中建立降壓型直流轉換器之數學模型做數值模擬，來驗 證系統在負載變動時是否穩定，並觀察輸出狀態是否達到預期目標。然而在輸出 狀態中，並無法看出實際在固定頻率切換時開關導通或截止所造成的變化。
4.2.3 控制器參數對控制器特性之影響控制器參數對控制器特性之影響控制器參數對控制器特性之影響控制器參數對控制器特性之影響
在 3.2 節中推導順滑模態控制器之設計，在控制器的輸出端加入飽和函數，
限制其輸出在 0~1 範圍內變動，使得控制器的輸出符合實際降壓型直流轉換器開 關控制之工作週期。以下數值模擬將討論參數 γ、σ、β 對控制器特性之影響。
當順滑函數 s 較大時，如圖 4.2.10 所示，且由(97)式可知系統軌跡之迫近速 度將由參數 γ 來決定，亦即選取較大 γ 值來得到較快之迫近速度。以下是利用系 統參數值與負載變動建立一個順滑函數 s 較大的環境，來進行模擬。以 γ=0,1,10 為例，比較 γ 值對迫近速度之影響。
由上圖可知系統在啟動時，由於狀態輸出尚未達到穩態，造成系統軌跡離開 順滑平面，由於負載估測器需對負載做估測，系統軌跡將於一定時間內回到順滑 層內。在系統進入穩態後，順滑函數之誤差積分項趨於定值。在負載變動下造成 系統軌跡跳離順滑層外，待負載估測穩定後，亦會在一定時間拉回順滑層內。觀 察負載估測器之誤差程度，如圖 4.2.11，顯然地在系統啟始時，負載估測誤差較 大，造成系統軌跡離開順滑平面，但在估測穩定後，系統軌跡逐漸迫近順滑平面。
此外較大 γ 值對於負載估測值之準確度也有所幫助。
此外較大 γ 值對於負載估測值之準確度也有所幫助。