動手玩數學

面積為36，求 (1)未知數 x 的值。

(2)此三角形的外接圓半徑。

〔 玩 鎖 ‧玩 索 〕

海龍公式可以幫我們求三角形的面積，而 三角形的外接圓半徑可以透過正弦定理求得。

銳角三角形ABC 中，

CAB 

  ， CBA  ，  1

AB ， BC a ， CA b ， 如下圖所示：

(1)利用正弦定理證明

 

^{sin sin}

sin a b

 

    。 (2)證明投影定理

1acos bcos 。 (3)利用(1)與(2)證明和角公式

 

sin   sin cos sin cos 。

可以透過餘弦定理導出差角公式：

在單位圓上取^P



^{cos , sin }



^與



^{cos , sin}



Q   兩點，此時三角形OPQ 的夾角

 

POQ  

   。

 

   

利用餘弦定理得 

 

2 12 12 2cos

PQ     

。 

又

^{PQ2 }



^{coscos}

 

^{2 sinsin}



²

         

^



^{cos2cos2sin2sin2}

  

       

2cos cos 2sin sin 

 

 2 2cos cos 2sin sin 

，  代入前式得 

 

cos   cos cos sin sin 

。   

                         

遊戲126

☆

遊戲127

☆☆

2 2 2

3 3 3

a b c a b c

  ，

三階矩陣

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c B a b c a b c

 

 

  

 

 

及

2 2 1 1 1 1

3 3 3 3 2 2

2 2 1 1 1 1

3 3 3 3 2 2

2 2 1 1 1 1

3 3 3 3 2 2

b c b c b c b c b c b c a c a c a c A a c a c a c

a b a b a b a b a b a b

 

  

 

 

 

  

 

 

  

 

 

。

試著將矩陣乘積AB 內的元素以符號 表示。

〔 玩 鎖 ‧玩 索 〕

行列式的公式雖然複雜，但是在解三元一 次聯立方程組時，是最佳的記憶方式。這裡的 矩陣相乘與三階行列式的降階公式有關。

如果知道矩陣的乘積AB 為何，不妨將三 元一次聯立方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  

   

   

 改寫成矩陣乘積

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a b c x d a b c y d a b c z d

     

     

     

     

     

。

再將兩個等式的左邊各乘以關鍵矩陣A。想想 看，會得到怎樣的結果。

遊戲128

☆☆☆☆

動手玩數學 ~ 破解祕笈

遊戲

121

師大數學系謝淑莉同學的解：

(1)第一位醫師戴上第一副手套之後，再套上 第二副手套，然後進行手術，即第一位醫 師的兩手各戴兩隻手套。術後第二副手套 外部被藍委員的皮膚病感染，第一副手套 內部可能被第一位醫師感染，也可能沒被 感染，但第一副手套外部與第二副手套內 部肯定是乾淨的。第一位醫師將右手的第 二隻手套反套在他的左手。此時，第一位 醫師的右手有一隻手套，而左手套了三隻 手套。

(2)第一位醫師將兩手手套反套給第二位醫 師，此時第二位醫師的右手有一隻手套，

左手套了三隻手套。術後將左手外面兩層 手套套到他的右手。再將兩手的手套反套 給第三位醫師。

(3)這樣就可以完成任務，而且醫師間不會互 相感染。

新北市金山高級中學的郭凡瑞同學的解：

第一位醫師戴上第一副手套之後，右手再套上 第二副手套的兩隻（即第一位醫師左手戴一隻 手套，而右手戴三隻手套的意思）。接下來將 該醫師右手最外的手套反套回他的左手，此時 第一位醫師雙手各套兩隻手套。然後，第一位 醫師將雙手反套給第二位醫師，此時第一位醫 師所接觸的手套變成第二位醫師的外套。接 著，第二位醫師再將右手最外的手套反套回他 的左手。此時第二位醫師左手套三隻手套，右 手僅套一隻，且兩隻外套都是乾淨，未被汙 染。最後第二位醫師只需將手套再反套給第 三位醫師即可。

【註】這問題還有第三種解法，你想到了嗎？

遊戲

122

將三位數abc 改寫成100a10b c ，所以 ^{19 |abc19 | 5}



^{a10b c }



^95a

^{19 | 5}



^{a10b c}



^{19 | 2 5}



^{a10b c}



^{19 | 10}



^a20b2c



^{19 | 10}



^{a b 2c}



^。

從這個推導過程知道：abc 是否為 19 的 倍數，只需判斷10a b 2c是否為19 的倍數 即可。

遊戲

123 因為

4

2

3

3

2

2 1

n



n



n



n





ⁿ⁴

²

^{n3 n2}

  ²

^{n2 n}

 ¹

     



^{n2 n}

 

²

²

^{n2 n}

 ¹

    



^{n2 n}

¹ 

²

  

或

4

2

3

3

2

2 1

n



n



n



n





ⁿ⁴

²

ⁿ²

¹  ²

^{n n}



²

¹ 

ⁿ²

     



ⁿ²

¹ 

²

²

^{n n}



²

¹ 

ⁿ²

    



^{n2 n}

¹ 

²

  

，

在文檔中 編輯室墨記 (頁 41-45)