在〈淺談數學素養〉中,許志農教授述說了何謂「數學素養」 。而在考試導向的現 今社會, 「數學素養」與我們有什麼關聯呢?讓我們來看看許志農教授怎麼說?
「有理係數多項式,無理根成對出現」一定是對的嗎?一起來看看吳孝仁老師的〈無 理根成「群」出現〉有什麼樣不同的見解。
江
在數亦優第19期刊載文章:「迴歸直線預測準確度的探討」,引發出一些教學上的問 題。一起來看看鍾國華老師〈迴歸直線範例探討〉的進一步探討吧。
經典之所以是經典,表示其有不可取代之處,就讓彭良禎老師的〈一招「試」天下
~正方體截面試題剖析〉來為您分析近年大考題中的正方體截面試題吧。
依規則搬動方糖的位置可以用數學式子表示嗎?翻開動手玩數學,跟著許教授一起 來解密吧!
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龍騰數亦優 2017.3 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優
許志農 臺灣師大數學系
》 》淺談數學素養
吳孝仁 國立政大附中
》 》無理根成「群」出現
鍾國華 臺北市協和祐德高中退休教師
》 》迴歸直線範例探討
彭 彭 良 良 禎 禎 國立師大附中
》 》一招「試」天下~正方體截面試題剖析
許志農 臺灣師大數學系
》 》動手玩數學專欄
》 》動手玩數學《第 31 期》破解祕笈 3
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19
40
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「我已經在如此的環境下發現或擬定了這道數學題目。這道題目所牽涉到的數學內容,恐怕我 們之中大多數人已經生疏或不熟悉了。但這一點無關緊要,對於評量專家來說,重要的不是題 目的內容,而是發現或擬定這題目時的種種情況。」
——改編自亨利‧龐加萊對巴黎心理學會慶賀演講的一段內省文字
古今之成大事業、大學問者,必經過三種境界:
「昨夜西風凋碧樹,獨上高樓,望盡天涯路」此第一境界也。
「衣帶漸寬終不悔,為伊消得人憔悴」此第二境界也。
「眾裡尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處」此第三境界也。
——王國維《人間詞話》
「無可奈何花落去,似曾相識燕歸來」
——晏殊〈浣溪沙〉
一、前言》
手機除了攝影拍照,撥打電話外,還能上接衛星執行定位導航,下連無線網路瀏覽網站。
眼前的一支手機可以幫人們處理相當可觀的事物,仔細想想,手機除了看得見的硬體零件外,
最重要的是隱藏在零件內部的數學,而且是它讓手機能運作。但是,可曾想過,這隱藏在手機 幕後的種種數學又是如何被數學愛好者發現或發明的呢?別看手機幕前的萬紫千紅,花花世 界,它充其量只是隱藏於手機幕後的數學的僕人,而數學愛好者才是這些數學背後的主人。
在這個瞬息萬變,凡事突飛猛進,講究創新與創意的科技時代,數學扮演著極為重要的角 色。又如同夏爾‧埃爾米特(C. Hermite)所說「我們與其說是數學的主人,倒不如說是數學的 僕人」。那麼,身為僕人的人們,該如何認識主人(發現數學),學會哪些數學,又該如何 學,怎麼用呢?凡此種種都算是數學素養的範疇。
二、何謂數學素養?》
這個千禧年,「經濟合作與發展組織」(簡稱 OECD)所推動的「國際學生評量計劃」
(簡稱 PISA),把「數學素養」定義為「個人在各種情境脈絡裡形成、使用、詮釋數學的能 力。這裡的能力包括了數學推理,以及使用數學概念、程序、事實、工具來描述、解釋、預測 現象等。數學素養有助於了解數學在世界裡扮演的角色,也能幫助未來的公民,做出有所依據 且具反思性的判斷與決策。」顯而易見的,OECD 把人類所處大千世界的種種當背景與腳本,
許志農/臺灣師大數學系
或許是西學東漸,但也不排除是東施效顰?在國內,翁秉仁教授所撰「數學國民核心素 養」計畫中,核心素養以「能解決日常生活的數學問題;能作為科學學習的基礎;作為理性思 考的典範」為依歸。不僅科技部(原國科會),國教院也有數學素養的計畫,並嘗試編寫(高 中職)數學素養導向的教材。這些計畫大都是在PISA 數學素養的基礎上,以增加「向度」或
「維度」來作為其宗旨或理論根據。
除了政府研究部門外,屬於考試單位的心測中心(負責國中會考)及大考中心(負責學 測、數甲與數乙),想必也對PISA 數學素養有興趣。從其過去幾年的試題裡,不難發現數學 素養試題的影子。但是,PISA 是屬於跨國性的評量,而國內中心所負責的是考試,照理說
「評量會比較偏重整體或單一國家的趨勢,而考試會稍微放大或凸顯個人的成績(考試是為了 考生升學而辦)。」況且,PISA 以十五歲前能了解的情境為評量範圍,而考試則受到課綱內 容的限制與規範。臺灣目前還是脫離不了考試領導教學與升學的模式,如何在「評量」與「考 試」上做區分與取得合理的平衡,恐怕才是重重之點。難怪蘇東坡會寫下
「人有悲歡離合,月有陰晴圓缺,此事古難全」
這首詩。
PISA 以學生「幕前」能看到的場景為「題目」,期待他們利用「幕後」的數學來「解 題」。但是,這數學從何而來?它們應該是自古以來的數學愛好者所發現或發明的。或許這
「背後」的「數學創造」歷程,才是一切的核心跟基礎。
綜合以上所言,不妨把數學素養界定為對以下三件事情的了解與實施:
1. 擬定老師該命怎樣的題目?
2. 了解學生的作答與解題行為?
3. 關注人們如何進行數學創造?
顯然地,PISA 較關注這三項裡的前兩項,在本節最後,提個疑問句 跟人們生活相關的情境試題是啟動數學素養的觸媒,還是引擎呢?
三、「解題」與「命題」》
「解題」與「命題」是老師經常要從事的兩件工作,教人解題的書不勝枚舉,但是傳授命 題要領的書卻付之闕如。之所以這樣,是由於解題與命題來自頭腦的兩種截然不同的運作模 式,解題是一種技術,而命題是一項藝術,或者說,「怎麼解題」是一種收斂型思考的過程,
而「如何命題」卻是一種發散型思考的創意行為。
關於解題,早在四百年前,笛卡兒就在他的《方法導論》這本書中,定下解題的四個相當 有名的指導原則:
1. 絕不承認任何事物為真,對於我完全不懷疑的事物才視為真理。
2. 若有需要的話,將每一個難題,盡可能分解成許多部分,以便正確地解決這些難題。
3. 引導思緒從最簡單的問題著手,循序漸進至最複雜的問題。
4. 仔細審視全部的想法,以確定沒有遺漏任何地方。
一生的數學解題者——波里亞(G. Polya)的書《如何解題》,就是在教人解題,並將解 題這項心智活動分成「了解問題,擬定計畫,實行計畫,回顧解答」四步驟。
值得一提的是,華人數學家陶哲軒在十五歲時,受到他參加數學奧林匹亞數學競賽的啟 發,寫了一本數學書籍《解題‧成長‧快樂——陶哲軒教你學數學》,在這本書的第一章提到 解題的九大策略。
「了解學生的作答與解題行為」是評量學生 「知、懂、熟、用、賞」
這些數學能力境界的好方法,而笛卡兒、波里亞或陶哲軒所提出的解題策略比較像是「邏 輯性」的解題策略,對解題來說算是治標方案。那有解題的治本方法嗎?亨利‧龐加萊(Jules Henri Poincaré)從心理學的角度所闡釋的方法,或許可以算是解題的治本策略。
關於解題(命題與數學創造)的整個心理過程,亨利‧龐加萊在1908 年,於巴黎心理學 會上著名慶賀演講中,提出相當精闢的四階段:
1. 準備階段:
當我們開始解題的時候,會反覆探索,希望儘快找到解決問題的辦法,但是往往越著急越 毫無頭緒,且常常不能得到有效的結果。
2. 醞釀階段:
只要把難題擱置到一邊,在做其它事兒的時候就會突然冒出新主意,百思不得其解的難題 一下子就有了解決辦法,這就是「醞釀效應」。
3. 頓悟階段:
當我們束手無策的時候,思維已經進入了醞釀階段,我們如果緊追著不放,只會把自己的 思維弄得更亂,短暫的擱置會讓我們頓悟。因此,我們遇到難題的時候不妨把它放到一 邊,找一些讓自己放鬆的事情做,或許就會出現「踏破鐵鞋無覓處,得來全不費功夫」的 結果。
4. 收割階段:
收割階段就是將頓悟時所感覺到的那些結果嚴格的加以證明,並將其過程精確化,並用語
毫無疑問,龐加萊透過對自己的內省,所描述的這四階段,不僅適用於「解題」,也符合
「命題」,更適合用來闡釋「數學創造」的心理過程(詳見下一節)。
老師命一道數學題目就好像詩人作一首詩或詞人作一曲詞一般,相信「舉頭望明月,低頭 思故鄉」,「明月幾時有?把酒問青天」…等,都是詩人與詞人在「醞釀效應」下,頓悟而出 的好文。在命題策略上,除了亨利‧龐加萊的四階段外,我實在想不出有哪份資料可供參考。
好詩與好詞不難判斷,但好的數學題目該如何分辨呢?我的標準是:迎合「靈活、巧妙、美 麗」,避免「難、偏、怪」,即「靈活而不難、巧妙而不偏、美麗而不怪」為準繩。
本節的最後,讓我們來欣賞幾道數學素養的題目:
試題一(PISA2006 數學樣本試題中編號 M047《地衣》的題目)
全球性暖化會造成一部分冰川融化的結果。約在冰川消失的十二年後,微小的植物─
地衣,會開始在岩石間生長。地衣生長的形式有如圓圈一般:
圓圈的直徑與地衣的年齡之間關係約可用下列的公式來表示:
d 7.0
t12 ,
t12,這裡的圓圈直徑d 是以公釐為單位,而 t 表示冰後的年數。
(1)利用公式,算出冰川消失後 16 年的地衣直徑,並寫出你的計算方法。
(2)安安測量出某地區地衣的直徑為 35 公釐。請問在這地區的冰川是多少年前消失?
並寫出你的計算方法。
試題二(八十七學年度社會組選擇題第1 題)
設 ABCDE 是坐標平面上的一個正五邊形,它的中心與原點重合,且頂點 E 在 y 軸的 負向(如圖所示)。試問下列各直線中,斜率最小者為何?
(A)直線 AB (B)直線 BC (C)直線 CD (D)直線 DE (E)直線 EA。
試題三(九十五學年度指考《數學乙》多選題第4 題)
嘌呤是構成人體基因的重要物質,它的化學結構式主要是由一個正五邊形與一個正六 邊形構成(令它們的邊長均為1)的平面環形,如下圖所示:
試問以下哪些選項是正確的:
(A)BAC 54
(B) O 是三角形 ABC 的外接圓心 (C)AB 3
(D)BC2sin 66 。
試題四(九十二學年度指考《數學乙》單選題第3 題)
下表是2001 年時,從各國國會網站取得有關「該國國會議員席次與人口數」的資料:
國名 議會 席次
人口數
(千人)
冰島 63 270
挪威 165 4480 丹麥 175 5330 泰國 393 60600 日本 500 126540
根據上述資料,一個人口數為 P 千人的國家,他的國會議員席次以下列哪個公式制定 較恰當:
(A) 4 P
(B) 0.1P+36 (C) 4 P (D)10 P 3 (E)27log P 。 10
試題五(作者自命題)
下圖是貼在方格紙上的一個橢圓。問:該橢圓的兩個焦點相距多少單位長?
四、龐加萊的「數學創造」》
數學家雅克‧阿達瑪(Jacques Hadamard)在他的書《數學領域中的發明心理學(An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field)》中,追隨亨利‧龐加萊在 1908 年,於 巴黎心理學會上著名慶賀演講的思想,他們透過內省,並以自己從事數學創造活動的經驗,把 數學家對數學的發現、發明、創造與創新過程區分為準備、醞釀、頓悟與收割等四個階段,而 準備與收割階段屬於有意識思維,醞釀及頓悟階段則為無意識思維。
1. 準備階段:
準備階段是就是對問題下很大功夫,又深陷混亂的階段,在這個階段,人們都會採取 觀察、實作、分析、學習與內化等有意識的策略,但常常不能得到預期的結果。
準備階段的思維:有意識思維;
精髓:邏輯與機遇。
2. 醞釀階段:
發明就是將各種「觀念原子」進行千千萬萬的組合,再從中選出有用的組合,而這種 選擇的標準是所謂「科學的美感」。在發明過程的組合與選擇這兩個大步驟中,由於無意 識思維不受理智之條條框框的約束,而僅僅服從於人的直覺中之和諧的美感,因此比有意 識的思維過程更為深刻與奏效。
醞釀階段就是經過準備階段的深思熟慮,仍不得其解時,暫時丟開手頭的工作,而去 做些其它事情,或去休息一下,而無意識思維卻因此而啟動起來。
保羅‧瓦萊里說道:在發明創造時,存在一個「暗室時期」在這時期「你沒有什麼工 作熱情,感到味同嚼蠟,甚至要添加一些興奮劑才行。你好像是一個被人雇用的雇員或領 班那樣被動的工作著。此時閃光的思想已經出現,現有的任務只是做一些輔助性的工作,
而且這種工作相當囉唆,甚至還會走到邪路上去,因為可能有一系列的錯誤判斷而導致返 工,你會覺得這種工作本來應該是很容易做的,但又怎麼也做不好,…,從而產生了沮喪 和急躁的情緒,直至自暴自棄的認為,似乎永遠也不能把這件事做好了。」
醞釀階段的思維:無意識思維;
精髓:組合與審美。
3. 頓悟階段:
頓悟階段就是經過一段時間的醞釀後,好像得到竅門,直覺湧上心頭,恍然大悟或茅 塞頓開。此時問題的答案或證明的途徑已經出乎意料的突然出現了。
龐加萊對頓悟的經歷「…眾多思緒蜂擁而至,我感到他們在不斷的衝突和碰撞…直到
高斯對頓悟的經歷「…該定理搞了好幾年而沒有證出來,但兩天之前,我突然證出來 了,這簡直不是我自己努力的結果,而是由於上帝的恩賜——如同一個閃電那樣突然出現 在我腦海之中,而且問題就這樣解決了。我自己也說不清楚在這種思路與以前我所認為頗 有成功希望的想法之間究竟存在什麼聯繫。」
莫札特對頓悟的經歷「當我感覺良好並又處於優美的情緒中時,當我乘車外出兜風 時,當我美餐一頓之後出去散步之時,或者當我夜晚難以入眠的場合,往往各種思緒即如 我所希冀的那樣流暢的湧現在我的腦海中。它們從何而來?它們又如何而至?我常常不得 而知,而且我也並沒有對此做過什麼努力。我只是在腦海中把它們留住,並且輕輕的哼出 來,…。當我抓住一個旋律之後,另外的旋律就會相繼出現,…。此時,我激情奔放,全 神貫注,作品在不自覺地形成,我繼續擴展它,它也越來越清晰,而且不管它有多麼長,
過程總會繼續進行,直到整個作品在我的腦海中完整出現為止。雖然它的一些細節還有待 繼續推敲,但就整體而言,我已經能夠傾聽到這首樂曲的動人心弦的演奏了。」
頓悟階段的思維:無意識思維;
精髓:靈感與頓悟。
4. 收割階段:
收割階段就是將頓悟時所感覺到的那些結果嚴格的加以證明,並將其過程精確化,並 用語言或符號把結果記錄與書寫下來。
收割階段的思維:有意識思維;
精髓:驗證與詮釋。
五、思考模式…向左走 vs 向右走》
你是否有這樣的驗光經驗?到眼鏡行驗光,驗光師拿出一片光碟,叫你用雙手把光碟片架 住,移到正前面,睜開雙眼,瞄準光碟片正中央的孔,並且讓驗光板上的字出現在孔的中央位 置。接著,驗光師會把你左、右眼依序遮住,進行前面的程序。這是在檢測你的用眼模式,有 人以右眼為主,左眼為輔,但有的卻相反,就像人們慣用左右手一樣。同樣的事情也發生在思 考模式上,一個人是以左後腦思考(收斂型)為主,或用右後腦思考(發散型)為主呢?這在 心理學上是有研究過的。但是,在進行數學創造時,思考行為會有不同嗎?一般會區分為邏輯 性與直覺性思考兩種模式,這跟左後腦的收斂型思考及右後腦的發散型思考有很多類似的地 方。比如,一生的數學解題者…波里亞被歸類為邏輯性思考的數學家,而高斯、愛因斯坦及龐 加萊被認為是直覺性思考的科學家。
人的思考可以粗分成兩大類,也就是收斂型思考與發散型思考,它們分別由左後腦與右後 腦所啟發。當學生在做一道單一選擇題時,他就正在使用收斂型思考,將可能的範圍縮小,最 後聚焦於正確的答案上。這種逐步縮小範圍的思考模式就是收斂型思考,由左後腦來啟動,優 點就是可以井然有序、專注、聚精會神,缺點就是缺乏創造力。學校的教育就是典型的收斂型 思考方式,補習教育更是如此,原因是收斂型思考對考試成績是有幫助的。另一個思考模式為 發散型思考,當一位認真負責的老師在出一道單一選擇題時,他必須注意到潛在的所有錯誤選 項,並將它們設計為選項之一。這樣的單一選擇題才有意思,才能達到真正的測驗目標。找出
所有潛在錯誤選項的思考模式就是典型的,也是最簡單的發散型思考,它由你的右後腦發動。
發散型思考是整個創造力的泉源,它不預設任何立場,也不會太早作判斷,容許任何思緒與想 法並存。
有關收斂型與發散型思考,我們節錄一段吉弗德的話「對收斂型思考而言,結論或答案只 有一個,思考會被限制或控制,而循著獲得特定答案的方向進行…,相反地,進行發散型思考 時,你的大腦會恣意揮灑,搜尋所有可能的答案,這種思考模式常發生在沒有固定結論的時 候。發散型思考的特性是不受目標束縛。你有足夠的自由,可以進行多方位的思考,推翻舊的 解決之道,在必要時朝某方面突破、創新。愈能尋獲資源的生物體,成功的機率愈大。」
在 1900 年,佛洛伊德出版他最有名的心理學書籍《夢的解析》,書裡有一段跟人的創造 力有關的文字,那是偉大的詩人席勒與哥爾納通訊中的一段文字,在那段文字裡,席勒對一位 抱怨著自己缺乏創造力的朋友,作如下的回答:「就我看來,你之所以會有這種抱怨,完全歸 咎於你的理智加在你的想像力之上的限制,這兒我將提出一份觀察,並舉一譬喻來說明。如果 理智對那已湧入大門的意念,仍要作太嚴格的檢查,那便扼殺了心靈創作的一面。也許就單一 個意念而言,它可能毫無意義,甚至極端荒唐的,但跟隨而來的幾個意念,卻可能是很有價值 的,也許,雖然幾個意念都是一樣的荒謬,但合在一起,卻成了一個饒具意義的聯繫。理智其 實並無法批判所有意念,除非它能把所有湧現心頭的意念一一保留,然後再統籌作一比較批 判,就我看來,一個充滿創作力的心靈,是能把理智由大門的警衛哨撤回來,好讓所有意念自 由地,毫無限制地湧入,而後再就整體進行檢查。你的那份可貴的批判力(或者你自己要稱它 作什麼),就因為無法容忍所有創造者心靈的那股短暫的紛亂,而扼殺了靈感的泉湧。這份容 忍功夫的深淺,也就是一位有思想的藝術家與一般夢者的分野。因此,你之所以發現毫無靈 感,實在都是因為你對自己的意念批判得太早、太嚴格。」這是一七八八年十二月一日的信,
被佛洛伊德收錄在《夢的解析》這本書的第二章。
附錄:
昨夜西風凋碧樹,獨上高樓,望盡天涯路
晏殊〈蝶戀花〉
衣帶漸寬終不悔,為伊消得人憔悴
柳永〈鳳棲梧〉
眾裏尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處
辛棄疾〈青玉案‧元夕〉
一、緣起》
小潔拿了一道題目來問我,題目裡有一個選項是這樣敘述:
「 f x 是有理係數多項式且
f
132
,則0 f
132
。」 0小潔問為什麼這個選項錯?我反問為什麼對!她說:「有理係數多項式,無理根成對出現!」
我問:你在哪裡看過這個?
她答:講義裡這樣寫,老師(不是我)上課也提過這個,almost everywhere。
我看她,她看我,四目相交,兩人默默無語,故事從這裡談起。
二、虛根成對 vs.無理根成對》
我翻了手上幾本各家的複習講義,在多項式單元的重點整理裡有著這樣的敘述。
● 虛根成對定理:若 f x 為 n 次實係數多項式有一虛根 z,即
f z
,則0 f z
, 0即z 也是一個根。
● 無理根成對定理:若 f x 為 n 次有理係數多項式,且
f a b c
,其中 ,0 a b ,c ,則f a b c
,即 a b c0 也是一個根。以上「定理」的敘述當然沒有錯誤。而且為了便於學生統整概念,將之擺在一起方便學生 類比更顯編者的用心。但是對於標題,我們有一些想法如下:在實係數多項式裡,虛根成對當 然沒有問題。虛根 z, z 這兩個同伴一定一起成為實係數多項式的根。而對於有理係數多項 式,「僅有」a b c ,a b c (a b, , c )這種形式的根彼此是同伴,如果一個是 根,同伴也是根。
但是,132,132這兩個無理數卻不是同伴,不會一起成為有理係數多項式的根。
「無理根成對」這樣子的標題可能比較容易產生誤解。畢竟,中文字裡「成對」有著成雙成對 的含意,而「無理根成對」對132是有理係數多項式的一根容易產生過度推論。
所以,我們提出拙見如下:要不不要下無理根成對出現這個標題,或者為了類比實係數多 項式虛根成對出現,將標題改為有理係數多項式無理根成「群」出現。即
虛根成對出現 vs.無理根成「群」出現
我們想要表達的是,有理係數多項式的無理根是「一群一群」出現。我們把一起出現的無 理根擬人地稱為同伴,因為同伴總是「成群結隊」的。
吳孝仁/政大附中
三、有理係數多項式無理根成「群」出現》
重新整理一下我們的問題。如果 f x
x 且 f
132
,則 0(1)132的同伴是誰?即誰會跟著132一起成為 f x 的根。 ( ) (2)132的同伴有幾個?
答案是:132的同伴有 3 個(含132自己),另外 2 個為132,1322,其中
2 3
i
e
。
我們簡述如何得到這個結論:
首先132也是 p x
x1
3 2 x33x23x 的一根,考慮3 r x
ax2bx c 是 f x 除
以p x 的餘式,其中 , ,
a b c 。因為 f
132
,所以0 r
132
,即 0a
132
2b 132
; c 0
a b c
2a b
32
a 34 0 ,從而a b c 0(1),即p x f x 。因為三次式
p x 的另外兩根為
132,1322,所以f
132
f 1322
。 0從上面的推論知道132,132,1322之所以會成為同伴(成群出現),全是因 為 p x 是
f x 的因式所致。而且
132的同伴(含自己),就是多項式 p x 的根。一般來
說,這個p x 可以被更深刻的刻畫如下:
假設 ,若 p x
x 滿足:(1)p x 是首 1 多項式(領導係數為 1)。
(2)p
。 0(3)p x 在有理係數上不可約
(2)。我們稱 p x 是
在有理係數 上的不可約多項式,記做p x
irr( , ) 。事實上,上述關於p x 的定義等價於
p x 是以
為根、首1 且次數最低的有理係數多項式。於是,對於任意以為根的有理係數多項式 f x 。我們有定理如下:
〈定理1〉
f x x , 。若 f
,則0 irr
,
f x 。定理 1 中, irr( , ) 的根顯然也是 f x 的根。於是,無理數
的同伴完全由irr( , ) 的 根來決定,而且與一起出現,而irr( , ) 的次數就是 的同伴個數。在 1 32這個例子 中,p x
x1
3 2 x33x23x 在有理係數上不可約。所以 3irr( , ) x33x23x3。
四、有理係數不可約多項式》
假設 ,一般來說要找一個首 1 且以為根的有理係數多項式p x
x 並不困難。這樣子的 p x 必須是在有理係數上不可約,才能推論
p x
irr
, 。所以,判斷一個有理
係數多項式是不是在有理係數上不可約就顯得重要了。如果 p x 是一個 3 次有理係數多項
式,下面性質提供一個很簡單的判斷方法,至少是中學生可以理解的範圍。
〈性質1〉
若 p x
x ,deg
p x
,則 3
p x 是有理係數不可約⇔p x 沒有有理根。
第 3 段末提到的p x
x33x23x 。可能的有理根為±1,±3。檢查後都不是根,所以3
p x 在有理係數上不可約。
如果次數超過 3 次,我們或許可以用反證法逐一否定各種可能的有理因式分解形式。而下 面定理有效的提供有理係數不可約多項式的充分條件:
〈定理2〉艾森斯坦判別(Eisenstein’s Criterion)
設
1 1 1 0
n n n n
f x a x a x a x a x (3)。若存在質數p 滿足:
(1)p ∤a 。 n
(2)p an1,, ,a a1 0。 (3) p2 ∤a 。 0
則 f x
x 在有理係數上不可約。以 p x
x33x23x 為例,我們可以取3 p 並利用艾森斯坦判別3 p x 在有理係數上
不可約。
五、幾個例子》
我們來看幾個例子。下表中,對無理數 ,我們關心irr( , ) 為何?藉由以上的討論知 道:irr( , ) 的次數就是的同伴個數(含自己),這是明確的。而的同伴就是irr( , ) 的根,如果irr( , ) 有明確的根型式,我們會把的同伴寫出來。有些例子巧妙,有些例子不 僅重要,更引我們往更深的領域探索下去。
無理數 irr( , ) 的同伴(含自己)
i k3 p k, ,
p 是質數
x k
3 p3 , 3 , 3 2
k p k p k p , 其中
2 3
i
e
ii cos 7
3 1 2 1 1
2 2 8
x x x cos , cos3 , cos5
7 7 7
iii p q, ,
p q 是相異質數 x42
p q x
2
p q
2 p qiv
2 i
e p
, p 是質數
1 2 1
p p
x x x , 2, 3, , p1
v p3q, ,
p q 是相異質數
6 3 4 2 3 3 2 2f x x px qx p x
2 3
6pqx q p
p 3q
, p3q,
3 2
p q
,其中
2 3
i
e
vi e2 in
, 1
k n
n k
x x
k k n n k , ,
1
以下對這些例子做一些說明:
(i) 設p x
x k
3p。因為p x
3 x k
20,所以3 次多項式p x
是遞增函數,故
p x 恰有一實根,即為k3 p。而k3 p不是有理數,由性質1 得知p x
是有理係數不可約多項式。
(ii) 利用cos cos3 cos5 1
7 7 7 2
及三倍角公式可得cos 7
是
3 1 2 1 12 2 8
p x x x x 的一 根,但 p x
沒有有理根,由性質1 得知p x
是有理係數不可約多項式。(iii) 設p x
x42
p q x
2
p q
2,如果p x
不是有理係數不可約多項式,則p x
可分解成兩個有項係數多項式乘積,且次數為1 次 3 次,或是 2 次 2 次,我們逐一說明這兩 種情形都是不可能的。
case 1:
4 2
2
2
3 2
, ,p x x p q x p q x a x ax bx ab a b 。展開比較係數後得 a2 b 2
p q
,a b2
p q
2。因此,以a b2, 為根的二次方程式為
T22
p q T
p q
20,其判別式D
p q
2 p q
24pq不是完全平方數,故a b2, ,矛盾。case 2:
4 2
2
2
2
2
,p x x p q x p q x ax p q x ax p q a。 展開比較係數後得
a2 2
p q
2
p q
,即a24p,那麼a,矛盾。
(iv) 設p x
xp1xp2 x 1。考慮
1
g x p x
x 1
p1
x 1
p2
x 1
1
11
1 p 1 p k
k
x p
k x x
。因為p x
,g x
有相同的因式分解形式且 p , 1, 2, , 1p k p
k
。利用艾森斯坦判別,
我們有g x
是有理係數不可約多項式,同理,p x
是有理係數不可約多項式。目前為止的討論還沒有脫離中學生可以理解的範疇,儘管沒有證明所提及的性質與定 理,但是對應用層面並沒有影響。而關於 (v),我們不直接處理 f x
是有理係數不可約多項式,而是討論一個基於有理數上的結構與 p3q在有理係數上的不可約多項式 之間的關係。這已屬於擴域(field extension)理論裡的典型例子,我們也一併進行說 明。
(v) 設 p3q並考慮擴域
p,3q
,首先,
p,3q
: 6且
1, p,3q, p q3 ,3q2, p q3 2
是
p,3q
在上的基底。因為
: deg irr
,
且
:
p,3q
: 6,所以
: 1, 2, 3, 6
。另外,因為
p,
p,3q
,
p,
: p 3。所以
:3。從而deg irr
,
3, 6。如果deg irr
,
3,表示存在一個3 次首1 有理係數不可約多項式k x
x3ax2bx c 使得3a2b c 0, 即
ap q c
b p
p
3p b
3q
2a p q3
a 3q23 p q3 20,這與
1, p,3q, p q3 ,3q2, p q3 2
是
p,3q
在上的基底明顯矛盾,所以
deg irr , 6。又f x
是首1 的 6 次有理係數多項式且f
0,於是推論
irr , f x ,即f x
是有理係數不可約多項式。最後,(vi) 裡的n
x 稱為n 的分圓多項式(cyclotomic polynomial),n
x 的根集合 為
k k n n k , ,
1
,因此其次數為
n 。Dedekind(1857),Landau(1929)和 Schur(1929)各自證明n
x 是有理係數不可約多項式。以下方法一樣是看一個與2 i
e n
有關的結構與irr
,
的關係,然後再採用類似Dedekind 證明的手法來處理。(vi) 考慮伽羅瓦群Gal
,因為Gal
XZn
,且
Gal : deg irr ,
,所以deg irr
,
ZnX
n 。設irr
,
n
x ,我們要證明
, 1
k n
n k
x x
,因為n ,由定理 1 得知1 0 n
x xn1。於是xn 1 n
x g x ,其中n
x g x,
x (4)。對於任意k n n k , ,
1,如果n
k ,那便完成了證明。如果處理簡化的情形為0
p 0n
,其中 p 是 k 的質因數,我們可以用歸納法過渡到n
k 。 0因此,以下證明n
p :若0 n
p ,則0 g
p 。所以 0
n x g x, p
1,從而
n
x g x,
p
1模p(5)。又g x
p g x 模 p。所以
p
n x g x, p
1模p 蘊含
n
x g x,
1模p。於是xn 1 n
x g x 模 p 有重根,矛盾(6)。故n
p ,從而0 n
k 0,k n n k , ,
。而1 k n n k , ,
1恰好有
n 個,又n
x 是首 1 多項式,所以
, 1
k n
n k
x x
是有理係數不可約多項式 (7)。六、評註》
最後再次回到一開始的標題,我們講有理係數多項式無理根應該修正為成「群」出現。這 裡的無理根事實上僅是無理數的一部分,也就是無理的代數數。這確保以之為根的有理係數多 項 式 是 存 在 的 。 否 則 會 產 生 下 列 的 錯 誤 命 題 , 例 如 :log 2 , 若 f x
x 使 得
log 2
0f ,則 log 2 的同伴有幾個?命題錯誤在於,因為 log 2 是超越數,這樣的 f x
x使得 f
log 2
是不存在的。但是為了類比「實係數多項式虛根成對出現」,所以請原諒0「有理係數多項式無理根成「群」出現」這個對對象無理根需再說明的講法。
我和幾位夥伴提及這件事,普遍都遇過學生產生過度推論的現象。但是,卻也很少有機會 深入討論下去。的確,在教學現場我們不需要討論到這麼深入的地方,畢竟現實層面來講,不 會考(8)。只是,數學老師的存在是否為數學考高分的單一價值所服務?絕對未必。我們借用保 羅.拉克哈特(Paul Lockhart)在《Measurement》書裡一段話:
『 我 想 談 一 種 完 全 不 同 的 世 界 , 我 準 備 稱 呼 它 「 數 學 實 在 」 (Mathematical Reality)。我的心智可以看到一種世界,美麗的幾何形狀與模式翱翔其間,做出讓我驚嘆 的有趣行徑。這個世界很讚,我真的很喜歡。』
『我假定你熱愛美的事物,願意花心力理解。這趟旅程中需要具備的只有常識和好奇 心。請放輕鬆!藝術是供人享受的,數學不是賽跑或競賽,而是跟自己的想像力玩耍。希 望你玩得開心!』
引領適性的學生進入數學實在不需要感到惶恐,不需要問「唸數學可以幹甚麼?為什麼要 唸數學?(9)」,也可以是數學老師存在的一種價值。我們手握數學實在免費招待卷,送禮自用 兩相宜,夥伴們準備要發給誰呢?
七、附註》
(1)若 , ,a b c 且a b 32c34 0 ,則a b c ,這個命題比較適合中學生的解釋方式。0 將上式乘上32 得2c a 32b34 0 ,於是
ab b 2 32bc34 0 , 2c2ac32bc34 0 。
從而
ab2c2
b2ac
32 0 。故ab2 ,c b2 2 ac。如果a b c, , ,則 0
2 2
3 2 2 2 2 3
c c 2
b bb b ac c
a a
,
於是x3 有一有理根2 b
c ,矛盾。a b c 有一為, , 0 情形較為簡單,此處省略。
(2)p x 不能再因式分解成兩個次數比
p x 絕對小的有理多項式。
(3) c ,則f x
x 在有理係數上不可約。若且唯若cf x
x 在有理係數上不可約。所以可以選取整數c 使得cf x
x ,再尋找適當的質數 p 並利用艾森斯坦判別
cf x x 在有理係數上不可約。
(4)假設xn 1 n
x g x ,n
x g x,
x 。存在u v, 使得 n
x uA x g x
, vB x
,A x B x
,
x ,且A x B x 為樸多項式。
,由高斯引理A x B x 亦為樸多項式。因為
xn 1 uvA x B x
,所以uv 。考慮上式的領導係數, 1 1 Led A x
LedB x 。
故LedA x
LedB x
1。又n
x 為首1 多項式,所以u v 1,從而推論 n
x g x,
x 。(5)注意
A x B x
,
1
A x B x
,
1模p。 逆命題不成立,例如:
x2x x, 2 1
x 1模2,但
x2x x, 2 1
1。(6) f x
沒有重根
f x
, f x
1。因為
n p,
1,
xn1,nxn1
xn1,xn1
1模p,所以xn1模p 沒有重根。
(7)由(4)得知,n
x
x 且在有理係數上不可約。更進一步可推論n
x 在整係數上不可 約。(8)或者,不應該赤裸裸的考。以下是經過包裝的命題。例如:
a b c, , ,解 cos cos3 cos5 0
7 7 7
a b c
。但是比較適合做為專題討論用。
(9)
因為愛。
一、前言》
在《龍騰數亦優》第 19 期刊載文章:「迴歸直線預測準確度的探討」(註 1),引發出 許多教學上的問題。
問題一:是否要建立兩條迴歸直線(Regression line)?一般來說,我們不會想要蒐集兩組或 更多組數據,也不會想要求出各自的迴歸直線。
問題二:高一學生尚未學習微積分及克拉瑪公式,如何了解迴歸直線方程式的推導?
問題三:決定係數R2(Coefficient of determination 讀作 R square)是否等於相關係數
(Correlation coefficient)r 的平方?
問題四:高一學生尚未學習柯西不等式,如何了解相關係數的值會介於 與 1 之間? 1 問題五:相關係數及迴歸直線方程式,因人工計算太煩瑣,可否採用電腦計算?
問題六:如何檢驗迴歸模式是否成立?
本文針對問題二至問題六分別探討說明。
二、迴歸直線方程式推導》
本文假設高一學生在二次函數與數列級數有一定的基礎,能接受並運用「Σ」符號,又高 一學生尚未學習到克拉瑪公式的條件下,推導迴歸直線方程式。
對給定有限多個數對
x y1, 1
, x y2, 2
,,
x y ,要求出一個線型函數n, n
y a bx ,使得殘 差的平方和(Sum of Squares for Errors,簡寫為 SSE)為最小,這種方法稱為最小平方法(Least square method)。SSE=
n i
ei 1
2=
n
i
i
i a bx
y
1
)
2(
,如表2-1。表2-1 迴歸直線與殘差
鍾國華/臺北市協和祐德高中退休教師