從「定理八十八（第一百十二題）X.111 凡斷線與合名線不同類。」出發，
吳起潛，利用代數的原理，「若云不然，則必 甲 ⊥ 乙 ＝寅( 甲⊤ 乙 )，(寅
⊤一) 甲 ＝(寅⊥一) 乙 ，於此 寅＝一，53則 二 乙=O，無是理也，故不 為同類。」將同類的原則說明清楚，也因為「斷線與合名線不同類」歐幾里得才 會做出以下的「推論（系、準前論）Remark」：54
斷線以下六無比例線，皆非中線，相與非同類。蓋有比例線上作等中線正方 之矩形，餘邊有比例，與原線無等，本卷二十三而有比例線上等斷線正方之矩 形，餘邊第一斷線，本卷九十八等第一中斷線正方之矩形，餘邊第二斷線，本卷 九十九等第二中斷線正方之矩形，餘邊第三斷線，本卷一百等少線正方之矩形，
餘邊第四斷線，本卷一百一等合比中方線正方之矩形，餘邊第五斷線，本卷一百二
等合中中方線正方之矩形，餘邊第六斷線，本卷一百三皆無比例，與等中線正 方矩形之餘邊異，故斷線以下六無比例線，皆非中線，又此六餘邊相與不同 類，故等積正方邊之六無比例線，相與非同類，理自明。
準前論，斷線與合名線不同類，本卷本題故凡有比例線上矩形，與斷線以下六 無比例線之正方等積，則諸餘邊同為斷線，即第一斷線以下六斷線是也。凡 有比例線上矩形，與合名線以下六無比例線之正方等積，則諸餘邊同為合名 線，即第一合名線以下六合名線是也。六斷線、六合名線，相與不同類，所 以無比例線之數共十有三，詳列於左(下)：
一、中線 二、合名線 三、第一合中線 四、第二合中線 五、太線
六、比中方線 七、兩中面之線 八、斷線
53 假設「寅＝一」這招非常的精闢。
54 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 41b-43a。
九、第一中斷線 十、第二中斷線 十一、少線
十二、合比中方線 十三、合中中方線
其實這個 Remark，其實是將前面所討論的「六和六較線」做個簡單的總結，
因為「六和線」與六「合名線」的開方與「六較線」與六「斷線」的開方的因果 關係，也因此歐幾里得才會說「六斷線、六合名線，相與不同類，所以無比例線 之數共十有三。55」所以緊接著又用了「定理八十九（第一百十三題）X.112 合 名線上之矩形，與有比例線之正方等，則其餘邊為斷線，此斷線之二分，與合名 線之二分有等，且比例同，亦為同類。」、「定理九十（第一百十四題）X.113 斷 線上之矩形，與有比例線之正方等，則其餘邊為合名線，其二分，與斷線之二分 有等，且比例同，亦為同類。」、「定理九十一（第一百十五題）X.114 斷線與合 名線成矩形，若斷線與合名線之二分有等，且比例同，則等面之方邊為有比例線。」 這三個命題，看似不同，實為等價關係：
「定理九十一（第一百十五題）X.114
《幾何原本》 斷線與合名線成矩形，若斷線與合名線之二分有等，且比例 同，則等面之方邊為有比例線。
庚 辛
子 丑
丁 戊
乙 己
甲
丙
壬
解曰：甲乙為斷線，與丙丁合名線成矩形，設合名線之二分 丙戊戊丁，與斷線之二分甲己己乙有等，且比例同，等面之 方邊為庚，題言庚為有比例線。
論曰：置有比例線辛，於丙丁上作矩形，與辛之正方等，餘 邊為壬子，一卷四十五則壬子為斷線，其二分人丑子丑，與合名 線之二分丙戊戊丁有等，比例亦同。本卷一百十三惟丙戊戊丁，
與甲己己乙有等，而比例同，故甲己與己乙比，若壬丑與丑 子比，五卷十一屬理，甲己與壬丑比，若己乙與丑子比，故餘 甲乙與餘壬子比，若甲己與壬丑比。五卷十九惟甲己與壬丑有
55 加上「中線」無理線段便有 13 條。
等，所以甲乙與壬子有等。本卷十惟甲乙與壬子比，若丙丁甲 乙之矩形與丙丁壬子之矩形比，六卷一故丙丁甲乙之矩形，與 丙丁壬子之矩形有等。惟丙丁壬子之矩形，與辛之正方等，
故丙丁甲乙之矩形，與辛之正方有等。惟丙丁甲乙之矩形與 庚之正方等，故庚辛之二正方有等。惟辛之正方為有比例面，
故庚之正方亦為有比例面，所以庚為有比例線，其正方與丙 丁甲乙之矩形等。是以斷線與合名線成矩形，若斷線之二分，
與合名線之二分有等，且比例同，則等面正方之邊，為有比 例線。
系：準題，無比例線之矩形中，亦有有比例面。56
《無比例線新解》
解 斷線 呷 ＝ 甲⊤ 乙 ，合名線 呷 ＝寅 甲 ⊥ 寅 乙 。二線二分上絕對值，相與有等，且比例同為寅然則 其矩形 □ ＝
寅 甲 乙 ( Τ )
之等面方邊寅 甲 乙 ( Τ )
為有比例線。定義六
如以數明之， 呷 ＝ 四Τ 三，呷 ＝二 四⊥二 三 ，
57則其矩形之等面方邊
二
，為僅正方有等有比例線，故為 有比例線。58」【討論】延續自定理九十與九十一，吳起潛利用數字，使得此命題變的更清楚
(
四Τ 三 二 四)(
⊥二 三)
=二，則，「其矩形之等面方邊二
，為僅正方有等有比例線，故為有比例線。」
歐幾里得利用這三個定理（命題），來討論「斷線」與「合名線」的共軛關 係，雖然歐幾里得應不知何謂『共軛』，但是透過「若斷線之二分，與合名線之 二分有等，且比例同，則等面正方之邊，為有比例線。」亦能掌握『共軛』的思 維。
56 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 47b-48b。
57 吳起潛於此有筆誤了「二 四 二 三Τ 」應為錯誤。
58 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 44a。
Heath 版的《幾何原本》只有 115 題，以下一個定理做結束：
「定理九十二（第一百十六題）X.115
《幾何原本》 從中線起，依法遞推，得無數無比例線，各與前六和六較線，
皆不同類。
甲
乙
丙
丁
解曰：甲為中線，從甲起，依法遞推，得無數無比例線，題 言此無數無比例線，各與前六和六較線皆不同類。
論曰：置有比例線乙，令丙之正方，與甲乙之矩形等，則丙 為無比例線，本卷上界説十一蓋無比例線與有比例線成矩形，為 無比例之面故也，本卷三十九題案此面與前諸題中六和六較線之 正方面不同類，蓋前諸題中各線之正方積，在有比例線上，
其餘邊皆非中線故也。本卷六十一至六十六、九十八至一百三又令丁之正 方，與乙丙之矩形等，則丁之正方，為無比例面，本卷三十九題 案所以丁為無比例線，與前六和六較線不同類，蓋前諸題中 各線之正方積在有比例線上，其餘邊皆非丙故也，依此法遞 推可得無數無比例線，皆與六合六較線不同類。
又解曰：以甲丙為中線，題言從甲丙起，遞推得無數無比例 線，各與前六和六較線不同類。
戊
丁 己 丙
乙 甲
論曰：設甲乙有比例線，與甲丙成乙丙矩形，則乙丙為無比 例面，其等積方邊無比例，以丙丁為等積方邊，則丙丁無比 例，而與前六和六較線不同類。蓋前諸線之正方積，在有比 例線上，其餘邊皆非中線故也。又成戊丁矩形，則戊丁為無 比例面，其等積方邊為丁己，亦無比例，與前六和六較線不 同類。蓋前諸線之正方積，在有比例線上其餘邊皆非丙丁故 也。所以從中線起，依法遞推，可得無數無比例線，皆與六
和六較線不同類。59
《無比例線新解》
解 任設中線 呷 ＝四甲。 有比例線 ＝乙。 聯 之為直徑規半圓周 叮呷。作 叮，然則 叮＝
四
八甲乙 。為 呷 、 中率。與前六和六較線，皆 不為同類，如是遞推所得無數無比例線，與前所得，皆非同 類。60」
【討論】吳起潛利用代數，使得此命題變的更清楚。
而李版用下一個定理（命題）做結束：
「定理九十三（第一百十七題）
《幾何原本》 凡正方形之邊，與對角線無等。
己 甲 乙
丁 丙
戊 庚
辛
解曰：甲乙丙丁為正方形，甲丙為對角線，題言甲丙與甲乙 無等。
論曰：甲丙與甲乙若有等，則二數必皆為偶，或皆為奇，此 理即甲丙之正方，倍於甲乙之正方，可明之，一卷四十七甲丙與 甲乙有等，則甲丙與甲乙比，若二數比，令二數若戊己與庚，
而同比最小數，設戊己為一，則一與庚比，若甲丙與甲乙比。
59 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 48b-50a。
60 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 44a。
叮
惟甲丙大於甲乙，則戊己大於庚，於理不合，故戊己非一，
而為數。又甲丙與甲乙比，既若戊己與庚比，則甲丙甲乙之 二正方比，若戊己與庚之二正方比，而甲丙之正方，倍與甲 乙之正方，故戊己之正方，倍於庚之正方，則戊己之正方為 偶數，而戊己亦為偶數。蓋無論有若干數，其邊為奇，則其 積亦必為奇，其邊為偶，則其積必為偶也，九卷二十三故戊己為 偶，平分戊己於辛，戊己與庚比依，既為同比之最小數，則 相與為無等之數，戊己為偶數，庚必為奇，若庚亦為偶，則 二可度戊己，亦可度庚。蓋凡偶數可折半故也。今戊己與庚，
為無等之數，於理不合，故庚必為奇數，戊己既倍於戊辛，
則戊己之正方，必四倍戊辛之正方。八卷十一惟戊己之正方，
倍於庚之正方，故庚之正方，倍於戊辛之正方，所以庚之正 方為偶，九卷二十九今庚為奇，於理不合，故甲丙與甲乙長短非 有等，而為無等之線。
又解曰：以甲為對角線，乙為邊，題言甲與乙長短無等。
甲 乙
己 辛 戊
庚
論曰：若云甲與乙有等，試令甲與乙比，若戊己與庚比，而 戊己與庚為同比最小數，則相與為無等之數。七卷二十四設庚為 一，甲與乙比，既若戊己與庚比，則甲乙之正方比，若戊己 與庚之二正方比。惟甲之正方，倍於乙之正方，故戊己之正 方，倍於庚之正方。惟庚為一，故戊己之正方為二，於理不 合，故庚非一而為數。又甲與乙之二正方比，若戊己與庚之 之二正方比，則反理，乙與甲之二正方比，若庚與戊己之二 正方比。惟乙之正方，可度甲之正方，故庚之正方，可度戊 己之正方，所以庚可度戊己。八卷十四惟庚可自度，是庚可度 戊己及庚兩無等數之數，於理不合，故甲與乙長短非有等，
而為無等之線。61
《無比例線新解》
《無比例線新解》