『斷線』與『合名線』的運算關係。

(1)

第 5 章《無比例線新解》卷中與卷下之內容分析

《幾何原本》第十卷與《無比例線新解》卷上之末，都引出了「六和線」的六種無理線段的概念，而卷中即從『合名線』的分類（定義）進而討論六『合名線』的想法，並討論六『合名線』的分類與「六和線」可逆關係，進而在卷中的後面引出「六較線」並討論「六較線」與「六和線」的共軛關係；而卷下一開始，

也同於卷中的『斷線』的分類（定義）進而討論六『斷線』的想法，並討論六『斷線』的分類與「六較線」可逆關係，討論與「六較線」可公度的線段，最後討論

『斷線』與『合名線』的運算關係。

從前述所言，其實卷中與卷下，有相當強烈的對稱關係，故筆者在分析的時候便將卷中與卷下合在一起於第五章討論。因其體例與卷上相同，於此便不再贅言。

5.1 界說與定義

卷中與卷下各提出了六個定義來定義六個『合名線』與六個『斷線』，與卷上不同的是，

¹

Heath 版的做法也是如此：

「界說六則 Definitions II

定義十二（第一界）Definition 1.

《幾何原本》置有比例線及合名線，若合名線二分上正方之較積方邊，與大分長短有等，又若大分所置比例線長短有等，則全線為第一合名線。

定義十三（第二界）Definition 2.

《幾何原本》若小分與所置比例線長短有等，則全線為第二合名線。

定義十四（第三界）Definition 3.

《幾何原本》若大小二分與比例線長短俱無等，則全線為第三合名線。

定義十五（第四界）Definition 4.

《幾何原本》若合名線二分上正方之較積方邊，與大分長短無等，又若大分與所置比例線長短有等，則為第四合名線。

1 Heath 版將卷上的定義，濃縮成四個定義。

(2)

定義十六（第五界）Definition 5.

《幾何原本》若小分與比例線長短有等，則為第五合名線。

定義十七（第六界）Definition 6.

《幾何原本》若大小二分與比例線俱無等，則為第六合名線。」

²

「定義十八（第一界）Definition 1.

《幾何原本》置有比例線及斷線，設大線與同宗線上正方之較積方邊，與大線有等，而大線與所設之比例線有等，則為第一斷線。

^大線

即合名線之大分，同宗線即小分，斷線為二分之較

定義十九（第二界）Definition 2.

《幾何原本》若同宗線與所設之比例線有等，則為第二斷線。

定義二十（第三界）Definition 3.

《幾何原本》若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第三斷線。

定義二十一（第四界）Definition 4.

《幾何原本》設大線與同宗線上二正方之較積方邊，與大線無等，而大線與所設比例線有等，則為第四斷線。

定義二十二（第五界）Definition 5.

《幾何原本》若同宗線與所設之比例線有等，則為第五斷線。

定義二十三（第六界）Definition 6.

《幾何原本》若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第六斷線。」

³

由上可知，《幾何原本》將『合名線』與『斷線』分成六種狀況，各自滿足符合的情況，而定成第 N 合名線與第 N 斷線，其實就量的觀點，確實需要『設計』特殊的情況來滿足其需要，而吳起潛利用數的觀點切入提出「無比例十三線，

一言以蔽之曰：『不盡根之平方根』而已，其中線為不盡根獨項之獨項方根，他

2 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 23a-23b。

3 引自上書，頁 36a-36b。

(3)

之六和六較線，則不盡根二項之方根也。」

⁴

更提出「用代數論十三線，可得一般之法，以甲

^|

|

乙甲

^| |

乙甲

^| |

乙三式為其綱，而從二分上

較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六和六較線收其成，復益一四次不盡根為中線，十三線盡於斯矣。」

⁵

在無代數可代，無無理數可用的時代，

⁶

此為必要之設計，唯有如此才可依靠作圖的方式，找到所需的「六和六較線」。 5.2 卷中與卷下的內容分析

既然有相當程度的對稱性，且吳起潛先生也提「不盡根之平方根」，以下內容分析，筆者便採用分進合擊的方式，加以論述，其中相對應的概念，會放在一起討論，而「…」的內容與圖形延續著卷上的分析方式，

⁷

【討論】為 Heath 的分析與筆者的心得與看法。

5.2.1 如何找到定義中的『合名線』與『斷線』

卷中與卷下，於定義（界說）的後面，馬上放了六個應用問題（命題），分別求「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，如：

「問題十三（第四十九題）X.48

《幾何原本》求第一合名線。

辛

庚己

乙甲丙

丁戊

法曰：置甲丙丙乙二數，令總數甲乙與乙丙比，若二平方數比，與甲丙比，非若二平方數比，

^{本卷三十題一例系}

又置有比例線丁，令戊己與丁長短有等，則戊己有比例線，

^{本卷上界說六}

又令甲乙與甲丙比，若戊己與己庚之二正方比，

^本卷六系

則戊己己庚之兩正方有等。

^本卷六

惟戊己有比例，所以己庚亦有比例，

甲乙與甲丙比，既非若二平方數比，則戊己與己庚之二正方比，亦非若二平方數比，所以戊己與己庚長短無等，

^本卷九

故戊己己庚為僅正方有等之二比例線，而戊庚為合名線，

^本卷三

十七

亦為第一合名線。

4 引自吳起潛，《無比例線新解》卷首揭論，頁 1a。

5 引自上書卷首揭論，頁 1b。

6 歐幾里得所處的時代。

7 標楷體為《幾何原本》的內容；新細明體為《無比例線新解》的內容。

(4)

論曰：甲乙與甲丙二數比，既若戊己與己庚之二正方比，而甲乙大於甲丙，則戊己之正方大於己庚之正方，設己庚與辛之兩正方和，與戊己之正方等，甲乙與甲丙比，既若戊己與己庚之二正方比，則甲乙與乙丙比，若戊己與辛之二正方比。

本卷十九系

惟甲乙與乙丙比，若二平方數比，故戊己與辛之兩正方比，若二平方數比，而戊己與辛長短有等，

本卷九

所以戊己之正方，大於己庚之正方，其較積方邊，與戊己有等。惟戊己己庚為有比例線，而戊己與丁長短有等，是以戊庚為第一合名線。

⁸本卷中界說一

《無比例線新解》

法先設叮＝寅，次設呷＝甲，＝乙。俱與叮有等，而於合名線令呷為大分，為二分上較積方邊，則小分＝甲

^二

Τ 乙

^二

＝。此二分為僅正方有等有比例線，合之得呷＝甲 ⊥ 甲

^二

Τ 乙

^二

，為第一合名線。

如以數明之，命叮＝二，而呷＝八，＝六，

則＝二八，而呷＝八 ⊥ 二八，為第一合名線。

⁹

」

【討論】設 k

ρ

與已知有理線段

ρ

，是長度可公度的。取兩數 m n 。使 , m

²

− 不 n

²

是完全平方數。

求一線段 x 使得滿足比例式 m

²

: ( m

²

− n

²

) = k

²ρ²

: x

²

。於是

2 2

1 2

m n

x k k

ρ m⁻ ρ λ

= = −

。

命題證明了 k

ρ

+ k

ρ

1 −

λ²

是一個第一二項線。

¹⁰

吳起潛的如以數明之，似乎更容易理解第一二項線（合名線）的意思。

接著看看斷線的例子：

8 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 1a-2a。

9 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 23b。

10 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.103-104。

叮

(5)

「問題十九（第八十六題）X.85

《幾何原本》求第一斷線。

丙庚

丁己

戊乙

辛甲

法曰：置有比例線甲，令乙庚與甲長短有等，則乙庚亦為有比例線，又置戊丁、戊己二平方數，令其較丁己非平方數，

本卷三十題一例系

則戊丁與丁己比，非若二平方數比，又令戊丁與丁己比，若乙庚與庚丙之二正方比，故乙庚與庚丙之二正方有等。

本卷六

惟乙庚之正方有比例，所以庚丙之正方亦有比例，

而庚丙為有比例線。又戊丁與丁己比，非若二平方數比，則乙庚與庚丙之二正方比，亦非若二平方數比，

本卷九

故乙庚與庚丙長短無等，而皆有比例，故乙庚庚丙為僅正方有等二比例線，所以乙丙為斷線。

本卷七十四

為第一斷線者，試置辛之正方為乙庚庚丙之二正方較，戊丁與丁己比，既若乙庚與庚丙之二正方比，則轉理，戊丁與戊己比，若乙庚與辛之二正方比。

五卷十九系

惟戊丁與戊己比，若二平方數比，則乙庚與辛之二正方比，亦若二平方數比，故乙庚與辛長短有等，

本卷九

而乙庚庚丙之二正方較，即辛之正方，故乙庚庚丙上二正方之較積方邊，與乙庚有等。又大線乙庚，與所設之有比例線甲有等，故乙丙為第一斷線。

¹¹本卷下界說一

《無比例線新解》

法先設有比例線叮，其數為寅，次設呷等於甲，

等於乙。俱與叮＝寅有等，而於斷線令呷＝大分，

＝二分上較積方邊，則同宗分＝甲

^二

Τ 乙

^二

＝。此二分為僅正方有等有比例線，其較呷＝甲

⊤ 甲

^二

Τ 乙

^二

，為第一斷線。

11 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 1a-2a。

叮

(6)

如以數明之，命叮＝二，而呷＝八，＝六，則＝二八，而呷＝八 ⊤ 二八，為第一斷線。

¹²

」

【討論】設 k

ρ

與已知有理線段

ρ

，是長度可公度的。取兩數 m n 。使 , m

²

− 不 n

²

是完全平方數。

求一線段 x 使得滿足比例式 m

²

: ( m

²

− n

²

) = k

²ρ²

: x

²

， (1) 於是

2 2

1 2

m n

x k k

ρ m⁻ ρ λ

= = −

。

那麼 k

ρ

− = x k

ρ

− k

ρ

1 −

λ²

是一個第一餘線。

因為：1. 由(1)知

x

是有理的，但與 k

ρ

不可公度，因此 k

ρ

、

x

都是有理的且

∼

，於是 k

ρ

− 是一個餘線。 x

2. 如果 y

²

= k

²ρ²

− ，那麼由(1)得 x

²

m

²

: n

²

= k

²ρ²

: y

²

，從而

2 2 2

y = k

ρ

− x 與 k

ρ

是長度可公度的。

又 k

ρ

_⌢

ρ

。

所以 k

ρ

− = x k

ρ

− k

ρ

1 −

λ²

是一個第一餘線。

顯然它和第一二項線 k

ρ

+ k

ρ

1 −

λ²

（X.48）是方程式

2 2 2 2

2 0

x − k x

ρ

+

λ

k

ρ

= 的根。

¹³

吳起潛的如以數明之，似乎更容易理解第一餘線的意思。

在這兩個問題之後，類似的觀念也應用到「第 N 合名線」與「第 N 斷線」

的各五個命題之中，從 Heath 的分析看出「第 N 合名線」與「第 N 斷線」是滿足某個二元二次方程式的共軛的無理根，不管是「第 N 合名線」與「第 N 斷線」

吳起潛的「如以數明之」，確實對學習者提供了很好切入的點。

5.2.2 有比例線與「第 N 合名線」與「第 N 斷線」成矩形等面正方之邊無比例，

為「六和線」與「六較線」

由 5.2.1 知可求出「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，接著看看這些設計好的無理線段，乘上 k（有理）倍後，開方可得「六和線」與「六較線」，歐幾里得利用這些設計好的無理線段，利用作圖的模式，將「六和線」與「六較線」，不論是李善蘭與 Heath 在做翻譯或分析的時候都還是忠於原味，沒有做太大的變

13 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），p.179。

(7)

動，而吳起潛於卷首揭論「以甲

^| |

乙甲

^| |

乙甲

^| |

乙三式為

其綱，而從二分上較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六合六較線收其成。」

¹⁴

看得出吳氏的代數功力與幾何的連結能力：

「定理三十七（第五十五題）X.54

《幾何原本》有比例線與第一合名線成矩形，等面正方之邊無比例，為合名線。

巳

寅卯未

丑午

辰子

辛

庚己

壬丙

戊丁

乙甲

申

解曰：甲乙丙丁矩形，甲乙為有比例線，甲丁為第一合名線，

題言等甲丙面正方之邊無比例，亦為合名線。

論曰：甲丁既為第一合名線，於戊點分為二分，甲戊為大分，

則甲戊戊丁為僅正方有等之二比例線，而甲戊戊丁上之較積方邊，與甲戊長短有等，又甲戊與有比例線甲乙長短亦有等，

本卷中界說一

平分戊丁於己，甲戊與戊丁上二正方之較積方邊，

既與甲戊長短有等，則大分甲戊上少一正方之矩形，與小分正方四分之一即戊己之正方等，則甲戊必分於庚，為二有等線，

本卷十八

故甲戊線上甲庚庚戊之矩形，與戊己之正方等，

六卷二十八

而甲庚與庚戊長短有等，次於庚戊己三點，與甲乙丁丙平行，作庚辛戊壬己子三線。又另作申寅正方，與甲辛矩形等，

二卷十四

寅己正方與庚壬矩形等，令丑寅寅卯為一直線，

則未寅寅辰亦為一直線，

一卷十四

補成申巳形，必為正方，

本題例

甲庚庚戊之矩形，既與戊己之正方等，則甲庚與戊己比，

若戊己與戊庚比，

六卷十七

故甲辛與戊子比，若戊子與壬庚比，

六卷一

而戊子為甲辛庚壬二矩形連比例中率。惟申寅正方，與甲辛矩形等，寅巳正方，與庚壬矩形等，故戊子為申寅寅巳二正方連比例中率。惟丑未為申寅寅巳連比例中率，

本題例

所以丑未與戊子等。惟丑未與辰卯等，

一卷四十三

而戊子與己丙等，

一卷三十六

故戊丙與丑未辰卯和等。惟甲辛庚壬二矩形和，

14 引自吳起潛，《無比例線新解》卷首揭論，頁 1b。

(8)

與甲寅寅巳二正方和等，故甲丙與申巳等，即與丑卯之正方等，丑卯為合名線者。蓋甲庚與庚戊既有等，則既有等，則甲庚庚戊各與甲戊有等。

本卷十六

惟所設甲戊與甲乙長短有等，故甲庚庚戊各與甲乙有等。

本卷十二

惟甲乙有比例，故甲庚庚戊俱有比例，所以甲辛庚壬亦有比例，

本卷二十

而甲辛與庚壬有等。

本卷十

惟甲辛與申寅等，而庚壬與寅巳等，故申寅寅巳二正方，即丑寅寅卯之二正方，皆有比例，且亦有等，

甲戊與戊丁既長短無等，而甲戊與甲庚有等，丁戊與戊己有等，

本卷三十七

則甲庚與戊己長短無等，故甲辛與戊子無等。惟甲辛與申寅等，而戊子與丑未等，故申寅與丑未無等。惟申寅與丑未比，若辰寅與寅未比，故辰寅與寅未無等。

本卷十

惟辰寅與丑寅等，而寅未與寅卯等，故丑寅與寅卯無等，而丑寅與寅卯之二正方皆有比例，且有等，

本論

故丑寅與寅卯為僅正方有等之二比例線，而丑卯為合名線，其正方與甲丙矩形等。

¹⁵本卷三十七

《無比例線新解》

解有比例線為寅，而 □呷＝ ( 寅甲 ⊥ 甲

^二

Τ 乙

^二

) (呷)，

此求其方邊，準代數無理數理，命寅甲 ( ⊥ 甲

^二

Τ 乙

^二

＝

⊥

天地，則天 ⊥地＝寅甲＝□呷 ⊥□ ，

四天地＝寅

^二

( 天

^二

Τ 地

^二

) ，從此天 ⊤地＝寅乙，故天＝

( ⊥ ) 寅甲乙

二＝ □呷，地＝寅甲乙 ( ) 二

Τ ＝ □ ，則

呷＝

^{寅甲乙}⁽ ^⊥ ⁾

二

⊥

^{寅甲乙}⁽ ⁾ 二

Τ

無比例，從（呷），其正方亦無比例，為合名線。

15 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 9a-11a。

叮

(9)

如以數明之，命 □呷＝ ( 二八 ⊥ 二八，則呷＝ )

⊥

一四二，為合名線。

¹⁶

」

【討論】設

ρ

為有理線段，而第一二項線為 k

ρ

+ k

ρ

1 −

λ²

。求證

^{ρ ρ}

( ^k ⁺ ^k

^ρ

¹ ⁻

^λ²

) ^{為一個二項線。}

我們用代數加以證明：

(

^k ^k ¹ ²

)

₂^k

⁽

¹ ¹

⁾

²

ρ ρ+ ρ −λ =ρ + +λ −λ

(

¹

) (

¹

)

2 2

k k

ρ λ ρ λ

= + + −

。

顯然 (

¹

) (

¹

)

2 2

k k

ρ +λ ∼ρ −λ

。

故

^{ρ ρ}

( ^k ⁺ ^k

^ρ

¹ ⁻

^λ²

) ^{為一個二項線。}

¹⁷

同理，『斷線』的情形也是如此：

「定理六十八（第九十二題）X.91

《幾何原本》有比例線與第一斷線成矩形，則等面正方之邊，為斷線。

地

人天

酉

申巳午

卯辰

丑

寅

子壬辛

丙乙

丁戊己庚

甲

未

(10)

解曰：有比例線甲丙，與第一斷線甲丁，成甲乙矩形。題言等甲乙面正方之邊為斷線。

論曰：甲丁既為第一斷線，設庚丁為其同宗線，則甲庚庚丁為僅正方有等之二比例線，甲庚與所設之有比例線甲丙長短有等，而甲庚庚丁上二正方之較積方邊與甲庚長短有等，

本卷下界說一

故甲庚上作少一正方之矩形，等於丁庚正方四分之一，則必分甲庚為長短有等之二分，

本卷十八

平分丁庚於戊，

甲庚上少一正方之矩形，即甲己己庚之矩形，與戊庚之正方等，則甲己與己庚長短有等。次從戊己庚三點，作戊辛己壬庚子三線，與甲丙平行，甲己與己庚，既長短有等，則甲庚與甲己己庚，皆長短有等。

本卷十六

惟甲庚與甲丙有等，故甲己己庚，皆與甲丙有等。

本卷十二

惟甲丙有比例，故甲己己庚，

皆有比例，而甲壬己子皆為有比例面，

本卷二十

又丁戊與戊庚，

既長短有等，則丁庚與丁戊戊庚皆有等，而丁庚為有比例線，

與甲丙長短無等，則丁戊戊庚皆有比例，而與甲丙長短無等，

所以丁辛戊子皆為中面。

本卷二十二

作丑寅正方，令與甲壬矩形等，

二卷十四

截丑辰寅公角上卯午正方，令與己子矩形等，則丑寅午卯為同對角線之二正方，以辰未為對角線，而作圖，

甲己己庚之矩形，既與戊庚之正方等，則甲己與戊庚比，若戊庚與己庚比。

六卷十七

惟甲己與戊庚比，若甲壬與戊子二面比，而戊庚與己庚比，若戊子與己子二面比，

六卷一

故戊子為甲壬己子連比例中率，又寅卯為丑寅卯午連比例中率，

本卷五十五題例

而甲壬矩形，與丑寅正方等；己子矩形，與卯午正方等，所以寅卯與戊子等。惟戊子與丁辛等，

一卷三十七

而寅卯與丑午等，

一卷三十四

所以丁子面，與天地人磬折形加卯午正方等，

¹⁸

而甲子面，與丑寅卯午二正方之和等，故餘面甲乙，

與申酉正方等，即與丑卯之正方等，所以丑卯為等甲乙面正方之邊。其為斷線者，蓋甲壬己子既皆為有比例面，而與丑寅卯午二正方等，則丑寅卯午必為有比例面，即丑辰辰卯之二正方為有比例面，又丁辛矩形，既為中面，而與丑午等，

則丑午亦為中面，丑午既為中面，而卯午為有比例面，則丑午與卯午無等，而丑午與卯午比，若丑辰與辰卯比，

六卷一

故丑辰與辰卯長短無等，

本卷十

而皆有比例，故丑辰辰卯為僅正方有等之二比例線，而丑卯為斷線，其正方與甲乙面等，

本卷七十四

故等甲乙面正方之邊，為斷線。

¹⁹

18 「天地人磬折形」為折尺形。

19 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 8b-10b。

(11)

《無比例線新解》

解有比例線為寅，而 □呷＝寅(甲⊤ 甲

^二

Τ 乙

^二

)(呷)，

此求其方邊命寅甲 ( Τ 甲

^二

Τ 乙

^二

) = 天 Τ 地，則得天 ⊥地＝寅甲＝□呷 ⊥□ ，四天地＝ ( 寅甲

^二

Τ 乙

^二

) ＝ ( □叮 ⊥□ )

^二

，從此天＝寅甲乙 ( ⊥ )

二＝ □呷，地＝寅甲乙 ( )

二

Τ ＝ □ ，故呷＝

^{寅甲乙}⁽ ^⊥ ⁾ 二

⊤

( )

寅甲乙二

Τ

無比例，從(呷)，其正方亦無比例，為斷線。

如以數明之，命 □呷＝ ( 二八 Τ 二八 ) ，則呷＝一四 ⊤

^二

，為斷線。

²⁰

」

【討論】設

ρ

是有理線段，第一餘線為 k

ρ

− k

ρ

1 −

λ²

（X.85），求證

( ^k ^k ¹

²

)

ρ ρ

−

ρ

−

λ

是一個餘線。

因為

^{ρ ρ}

(

^k ⁻^k^ρ ¹⁻^λ²

)

⁼^ρ ₂^k⁽¹⁺^λ⁾⁻^ρ ₂^k⁽¹⁻^λ⁾

^。

我們可以證明

(1 ) (1 )

2 2

k k

ρ +λ −ρ −λ

是一個餘線。

它和二項線

(1 ) (1 )

2 2

k k

ρ +λ +ρ −λ

（X.54）是方程式

4 2 2 2 2 4

2 0

x − k

ρ

x +

λ

k

ρ

= 的根。

²¹

20 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 37b-38a。

21 參閱 Heath, Euclid: The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.193-194。

叮

(12)

吳起潛的如以數明之，似乎更容易理解此定理(命題)的意思。

由這兩個定理及 Heath 的分析不難看出，其實「六和線」與「六較線」為對某一元四次方程式的共軛無理根，如果說「第 N 合名線」與「第 N 斷線」為某一元二次方程式的共軛無理根的話，那那再將此共軛無理根開根號即得「六和線」

與「六較線」，指示吳起潛利用了之前求「第 N 合名線」與「第 N 斷線」的數據，

利用數字，做個運算，等於做個驗算(證)，看起來似乎會使得讀者更清楚掌握，

這兩組共軛無理數之間的關連。

5.2.3 凡有比例線上矩形，與「六和線」與「六較線」之正方等，則矩之餘邊為「第 N 合名線」與「第 N 斷線」。

接著的各六個定理（命題），可說是前定理之逆定理（命題），其內容便是將

「六和線」與「六較線」平方後，等於一有理邊之矩形，則其餘邊為「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，歐幾里得利用作圖的想法，但吳起潛的代數思維在此得到的學習回饋應遠大於歐幾里得才對；

「定理四十三（第六十一題）X.60 定理三十七之逆

《幾何原本》凡有比例線上矩形，與合名線之正方等，則矩之餘邊，為第一合名線。

乙丙

卯辛

壬寅

己戊子

丑丁庚

甲

解曰：甲乙為合名線，於丙點分為二分，甲丙為大分，置丁戊有比例線，其上作丁戊己庚矩形，與甲乙之正方等，其餘邊為丁庚，題言丁庚為第一合名線。

論曰：丁戊有比例線上作丁辛矩形，與甲丙之正方等，又作

壬子矩形，與乙丙之正方等，

一卷四十五

則甲乙正方中餘面倍甲

丙丙乙之矩形，與丑己矩形等，

二卷四

平分丑庚於寅，作寅卯

線，與丑子庚己平行，則丑卯寅己二矩形，各與甲丙丙乙之

矩形等，甲乙既為丙點所分之合名線，則甲丙丙乙為僅正方

有等之二比例線，

本卷三十七

故甲丙丙乙之二正方有比例，而相

與有等，又甲丙丙乙之二正方和，與甲丙丙乙之二正方各有

等，

本卷十六

故甲丙丙乙之二正方和有比例，與丁子矩形等，

(13)

則丁子為有比例線丁戊上之有比例面，故丁丑有比例，而與丁戊長短有等，

本卷二十三

又甲丙丙乙既為僅正方有等之二比例線，則倍甲丙丙乙之矩形，即丑己矩形為中面，因在丑子即戊丁有比例線上，故丑庚有比例，而與丑子長短無等。

本卷二十三

惟丁丑有比例，而與丁戊長短有等，故丁丑與丑庚長短無等。

本卷十三

惟俱有比例，故丁丑丑庚為僅正方有等之二比例線，而丁庚為合名線，

本卷三十七

為第一合名線者，蓋甲丙丙乙之矩形，既為甲丙丙乙之二正方連比例中率，

本卷五十五例

則丑卯為丁辛壬子二矩形連比例中率，故丁辛與丑卯比，若丑卯與壬子比，即丁壬與丑卯比，若丑寅與丑壬比，

六卷一

故丁壬丑壬之矩形，與丑寅之正方等，

六卷十七

又甲丙丙乙二正方既有等，則丁辛壬子二矩形亦有等，

本卷十四

故丁壬與壬丑長短有等，夫甲丙丙乙之二正方和，既大於倍甲丙丙乙之矩形，

本題例

則丁子矩形，大於丑己矩形，所以丁丑大於丑庚，而丁壬壬丑之矩形，與丑寅之正方等，即與丑庚上正方四分之ㄧ等，而丁壬壬丑長短有等，

本論

凡二不等線，其大線上作少一正方之矩形，與小線上正方四分之ㄧ等，而大線所分之二分長短有等，則二線上正方之較積方邊，必與大線有等，

本卷十八

又丁丑丑庚為有比例線，丁丑為大線，與所設之有比例線丁戊有等，

本論

故丁庚為第一合名線。

²²本卷中界說一

《無比例線新解》

解有比例線＝寅，而令 □呷＝寅天＝

( ) ( )

⎛ ⊥ ⊥ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

寅甲乙寅甲乙

二

二二

Τ ＝ ×呷，然則

呷＝天＝甲 ⊥ 甲

^二

Τ 乙

^二

，其大分甲較積方邊乙皆有比例，故此為第一合名線。

如以數明之，命＝二， □呷＝ ( ^一四 ^⊥ ^二 )

^二

^＝

( ^⊥ )

二八二八，則呷＝八 ⊥ 二八，為第一合名線。

²³

」

22 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 18a-19b。

(14)

【討論】從此命題開始的以下六個命題，分別是 X.54~X.59 的逆命題。

我們求證 X.36~X.41 的無理線段上正方形分別等於一個有理線段和第一、第二、第三、第四、第五以及第六二項線構成的矩形。

X.60 為若σ 為有理線段，

ρ

+ k

ρ

為二項線（X.36），求證 ( ^ρ

^k

^ρ )

²

σ

+

為

第一二項線。

取三個線段 , , x y z 使得滿足：

x

2

σ

=

ρ

；

σ

y = k

ρ²

；

σ

⋅ 2 z = 2 k ⋅

ρ²

。

ρ2

， k

ρ²

顯然為原二項線兩段的平方，而 2 k ⋅

ρ²

是兩段構成的矩形的二倍。

於是 ( ) ( )

²

2

k

x y z

ρ ρ σ

+ + = +

。

歐幾里得分兩步證明，首先證 (

^x⁺^y

)

⁺²^z

是一個二項線，再證它是一個第一二項線。

1. 因為

ρ

∼ k

ρ

，於是

ρ²

, k

ρ²

是有理的且可公度，所以

ρ²

+ k

ρ²

或者

(

^x ^y

)

σ

+

是一個有理面。

因此 (

^x⁺^y

) ^{是有理的且} ⌢σ 。 (1)

其次 2

ρ

⋅ k

ρ

是一個中項面，於是 σ

⋅2z

是中項面。

因此 2z 是有理的，但 ∼σ 。 (2)

由(1)(2) (

^x⁺^y

) ， 2z 是僅正方可公度的兩有理線段。 (3) 所以 (

^x⁺^y

)

⁺²^z

是一個二項線。（X.36）

2. 因為

ρ²

: k

ρ²

= k

ρ²

: k

ρ²

，於是

σ σ

x : z =

σ σ

z : y ， : :

x z = z y ，或者

²

¹ ( ) ²

²

xy = z = 4 z 。 (4)

而

ρ²

, k

ρ²

是可公度的，於是

σ

x ,

σ

y 是可公度的，所以 x ⌢y。 (5)

(15)

由引理

ρ²

+ k

ρ²

> 2 k

ρ²

，即 x + > y 2 z (6) 但是

2 2

x y

ρ

k

ρ σ

+ = + (7) 所以由(4)(5)(7)和 X.17

(

^x⁺^y

) ( )

²⁻ ²^z ²

⌢ (

^x⁺^y

) (8)

由(3)，(6)，(8)，(1)知 (

^x⁺^y

)

⁺²^z

^{是一個第一二項線。}

(

^x⁺^y

)

⁺²^z

^{的實際形式為}

^ρ_σ²

( ¹ ^{+ +} ^k ² ^k ) ^。

²⁴

其它的「第 N 合名線」的狀況亦同，而「第 N 斷線」：

「定理七十四（第九十八題）X.97 定理六十八之逆

《幾何原本》有比例線上作矩形，與斷線之正方等，其餘邊為第一斷線。

解曰：甲乙為斷線，丙丁為有比例線，丙丁上作丙戊矩形，

與甲乙之正方等，餘邊為丙己，題言丙己為第一斷線。

子辛卯

丁戊

己寅壬丑

乙庚

甲丙

論曰：設甲乙與乙庚同宗，則甲庚庚乙為僅正方有等二有比例線，

^{本卷七十四}

丙丁上作丙辛矩形與甲庚之正方等。又作壬子矩形與乙庚之正方等，

^{一卷四十五}

則丙子與甲庚庚乙之二正方和等，其丙戊面與甲乙之正方等，故於己子面，與倍甲庚庚乙之二矩形等，

^二卷七

平分己丑於寅，作寅卯線，與丙丁平行，

則已卯子寅，俱與甲庚庚乙之矩形等。又甲庚庚乙之二正方，

既為有比例面，而丙子矩形，與甲庚庚乙之二正方等，則丙子為有比例線丙丁上之有比例面，其餘邊為丙丑，故丙丑有比例，與丙丁長短有等。

^{本卷二十一}

又倍甲庚庚乙之矩形，既為中面，而子己矩形，與倍甲庚庚乙之矩形等，則子己亦為中面，而子己為有比例線丙丁上之面，餘邊為己丑，故己丑有比例，與丙丁長短無等。

^{本卷二十三}

又甲庚庚乙之二正方皆為有

(16)

比例面，而倍甲庚庚乙之矩形為中面，則甲庚庚乙之二正方和，與倍甲庚庚乙之矩形無等。惟丙子矩形，與甲庚庚乙之二正方和等，而己子矩形，與倍甲庚庚乙之矩形等，故丙子己子無等。惟丙子與己子比，若丙丑與己丑比，

六卷一

故丙丑與己丑長短無等，而皆有比例，故丙丑丑己為僅正方有等之二有比例線，而丙己為斷線。

本卷七十四

為第一斷線者，蓋甲庚庚乙之矩形，為甲庚庚乙上二正方之連比例中率，

本卷五十五題例

而丙辛矩形，與甲庚之正方等，寅子矩形，與甲庚庚乙之矩形等，壬子矩形，與乙庚之正方等，則寅子為丙辛壬子連比例中率，故丙辛與寅子比，若寅子與壬子比。惟丙辛與寅子比，若丙壬與寅丑比，而寅子與壬子比，若寅丑與壬丑比，

所以丙壬壬丑之矩形，與寅丑之正方等，

六卷十七

即與己丑上正方四分之一等。又甲庚與庚乙之二正方既有等，則丙辛與壬子二矩形有等。惟丙辛與壬子比，若丙壬與壬丑比，故丙壬與壬丑有等，

本卷十

所以丙丑丑己為二不等分線，而丙丑上作少一正方之矩形，即丙壬壬丑之矩形，與己丑上正方四分之一等，而丙壬與壬丑有等，則丙丑丑己上二正方之較積方邊，與丙丑長短有等。

本卷十八

又丙丑與所設之有比例線丙丁長短有等，故丙己為第一斷線，

本卷下界說一

是以有比例線上矩形與斷線之正方等，則餘邊為第一斷線。

²⁵

《無比例線新解》

解有比例線＝寅，而令 □呷＝寅天＝

( ) ( )

⎛ ⊥ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

寅甲乙寅甲乙二

二二

Τ Τ

＝寅(甲 ⊤ 甲

^二

Τ 乙

^二

)＝ ×

呷，然則呷＝天＝甲 ⊤ 甲

^二

Τ 乙

^二

，其大分甲較積方邊乙，皆有比例，故此為第一斷線。

如以數明之，命＝二， □呷＝ ( ^一四 ^Τ ^二 )

^二

^＝二

25 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 20a-22a。

(17)

( ^八 ^Τ ^二八 ) ，則呷＝八 Τ 二八，為第一斷線。

²⁶

」

【討論】X.97~X.102 這六的命題分別是上述六個命題 X.91~X96 的逆命題。

X.97：設σ 是有理線段，餘線為

ρ

− k

ρ

（X.73），求證 (

^ρ ^k^ρ

)

²

σ

−

是

一個第一餘線。

因為 ( )

² ²

₍ ₎

1 2

k

k k

ρ ρ ρ

σ σ

− = ⎡⎣ + − ⎤⎦

(1)

歐幾里得證明了(1)的兩個部分

^ρ_σ²

( ^{1 k} ^{+ ，} )

^ρ_σ²

^{2 k} ^{是僅正方可公度的兩}

有理線段，因而他們的差是一個餘線，又證明了這兩個部分及

σ

滿足 X. Definitions III.1 的條件，因而它還是一個第一餘線。

²⁷

從這各六個逆定理來說，能說明一件事情，歐幾里得在處裡命題的手法上，

非常在意其『充要條件』完備性，Heath 與吳起潛利用代數是說明，但筆者認為吳起潛的「如以數明之」，更具 Powerful！

5.2.4 凡線與「六和線」、「六較線」有等，為同類「六和線」、「六較線」

探討完「第 N 合名線」、「第 N 斷線」與「六和線」、「六較線」互為因果的充要條件之後，歐幾里得馬上拉回來看看與「六和線」、「六較線」可公度的無理線段，是否為同類「六和線」、「六較線」，

²⁸

利用現今的無理數的想法似乎非常容易，但在當時，所呈現的方法，變有點複雜了：

「定理四十九（第六十七題）X.66

《幾何原本》凡線與合名線有等，為同類合名線。

乙戊

丁己丙

甲

解曰：甲乙為合名線，與丙丁長短有等，題言丙丁為甲乙之同類合名線。

28 「同類」為同級的意思。如 2+ 3與^{2 2}

(

⁺ ³

)

^的關係。

(18)

論曰：甲乙既為合名線，分於戊點，甲戊為大分，則甲戊戊乙為僅正方有等之有比例線，

本卷三十七

設甲乙與丁丙比，若甲戊與丙己比，

六卷十二

則餘戊乙與餘己丁比，若甲乙與丙丁比。

五卷十九

惟甲丙與丙丁長短有等，故甲戊與丙己、戊乙與己丁，

俱長短有等，

本卷十

又甲戊戊乙為有比例線，故丙己己丁亦為有比例線，又甲戊與丙己比，既若戊乙與己丁比，則屬理，

甲戊與戊乙比，若丙己與己丁比。惟甲戊戊乙為僅正方有等之有比例線，故丙己己丁亦為僅正方有等之有比例線，故丙丁為合名線。

本卷三十七

與甲乙為同類者，蓋甲戊戊乙二正方之較積方邊，與甲戊或有等或無等，設有等，則丙己己丁二正方之較積方邊，與丙己長短有等，

本卷十五

如甲戊與所設比例線有等，則丙己與所設比例線亦有等，

本卷十二

是甲乙丙丁俱為第一合名線。又若戊乙與所設比例線有等，則己丁與所設比例線亦有等，是甲乙丙丁俱為第二合名線。如甲戊戊乙與所設比例線俱無等，是皆為第三合名線。若甲戊戊乙二正方之較積方邊，與甲戊長短無等，則丙己己丁二正方之較積方邊，與丙己長短亦無等，

本卷十五

又若甲戊與所設有比例線有等，則丙己與此線亦有等，而皆為第四合名線。若戊乙與此線有等，則己丁與此線亦有等，，而皆為第五合名線。若甲戊戊乙與此線俱無等，則丙己己丁與此線亦俱無等，而皆為第六合名線。是以與合名線有等之線，為同類合名線。

²⁹

《無比例線新解》

解合名線呷＝甲 ⊥ 乙，與叮有等，則不可不叮＝ ^寅 ( ^甲 ^⊥ ^{乙，} )

^{問題一注意及定理四附}

故叮與呷為同類合名線。

³⁰

」

【討論】李善蘭的作法（或歐幾里得的作法）先證明甲乙與丙丁均為合名線，再依據先前幾個命題逐一討論合名線的分類，進而利用窮舉法，

³¹

將所有合名線的情形討論完畢而得證。

而吳啟潛則是利用代數式，換成今日的符號則是

30 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 29a。

31 抑或窮竭法。

(19)

若

ρ= p+ q

，則 ^k

^ρ

⁼ ^k ( ^p ⁺ ^q ) ^{當然是同級的二項線。}

³²

數與量的分別由此可見一斑。

而「六較線」的論證方式也是雷同：

「定理八十（第一百四題）X.103

《幾何原本》凡線與斷線有等，則亦為斷線，且同類。

丁己

乙戊

甲

丙

解曰：甲乙為斷線，設丙丁與甲乙長短有等，題言丙丁亦為斷線，且與甲乙同類。

論曰：甲乙為斷線，設乙戊與之同宗，則甲戊戊乙為僅正方有等二有比例線。

^{本卷七十四}

又設乙戊與丁己比，若甲乙與丙丁比。藩并前率與并後率比，若各前率與各後率比，

^五卷十二

故甲戊與丙己比，若甲乙與丙丁比。惟甲乙與丙丁有等，故甲戊與丙己亦有等，而乙戊與丁己亦有等。惟甲戊戊乙為僅正方有等二有比例線，故丙己己丁亦為僅正方有等二有比例線，

^本卷十

所以丙丁亦為斷線。

^{本卷七十四}

與甲乙同類者，蓋甲戊與丙己比，若戊乙與己丁比，屬理，甲戊與戊乙比，若丙己與己丁比，

^五卷十六

而甲戊戊乙上二正方之較積方邊，與甲戊或有等或無等。設有等，則丙己己丁上上二正方之較積方邊，

與丙己亦有等，若甲戊與所設之有比例線有等，則丙己與有比例線亦有等，若戊乙與有等，則丁己亦與有等。若甲戊戊乙皆與之無等，則丙己己丁亦皆與之無等。又設甲戊戊乙上二正方之較積方邊，與甲戊無等，則丙己己丁上二正方之較積方邊，與丙己亦無等，若甲戊與所設之有比例線有等，則丙己亦與有等，若戊乙與有等，則己丁亦與有等，若甲戊戊乙皆與之無等，則丙己己丁亦皆與之無等，所以丙丁為斷線。

本卷下界說

且與甲乙同類。

³³

《無比例線新解》

32 「k」為有理數，因其可公度。

33 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 32a-33b。

叮

(20)

解斷線為呷＝甲 Τ 乙，與有等，則不可

不＝ ^寅 ( ^甲 ^Τ ^乙 ) ^＝ ^{寅甲}

^二

^Τ ^{寅乙}

^二

^。

^{問題一注意及定理}

四附

故亦為斷線，且與呷同類。

³⁴

」

【討論】李善蘭的作法（或歐幾里得的作法）先證明甲乙與丙丁均為斷線，再利用窮舉法，

³⁵

證明與原斷線同類，進而得證。

而吳啟潛則是利用代數式，換成今日的符號則是

若

ρ = p− q

，則 k

ρ

= k p

²

− k q

²

當然是同級的二項線。

³⁶

數與量的分別由此可見一斑。

由此二題的比較分析，不難發現『數與量的分別』竟如此的大，同樣的論證模式，也適用於其他「六和線」、「六較線」的各 4 個命題中，

³⁷

但這十個命題，

吳起潛並無「如以數明之」這與其它命題有很大不一樣的地方，可能是吳起潛認為這裡無須再重述，而且也不易分類的緣故。

5.2.5「六和線」、「六較線」與不盡根之開方

卷中、卷下分別在討論完「六和線」、「六較線」的可公度的情形完之後，分別針對其組成分子，進行開方所得之六種情形，進行分類，如卷中的「定理五十四（第七十二題）X.71 凡有比例面與中面和，則等積方邊無比例，或為合名線、

或為第一合中線、或為比中方線，凡四類。」、「定理五十五（第七十三題）X.72 凡二無等之中面和，則等積方邊無比例，或為第二合中線、或為兩中面之線，凡二類。」；卷下的「定理八十五（第一百九題）X.108 有比例面內減中面，則較積方邊無比例，或為斷線或為少線。」、「定理八十六（第一百十題）X.109 中面內減有比例面，則較積方邊無比例，或為第一中斷線、或為合比中方線。」、「定理八十七（第一百十一題）X.110 兩無等之中面相較，則較積方邊無比例，或為第二中斷線、或為合中中方線。」，在這五個定理（命題）中巧妙的說明「六和線」、「六較線」如何經由幾何的方法創造，說穿了便是吳起潛於《無比例線新解》

卷首之揭論中提到的，「以甲

^| |

乙甲

^| |

乙甲

^| |

乙三式為其

綱，而從二分上較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六和六較線收其

35 抑或窮竭法。

36 「k」為有理數，因其可公度。

37 原本應為各六個命題，但第一合中線與第二合中線合為一命題，第一中斷線與第二中斷線合為一命題，故只剩下各 5 個命題。

(21)

成。」

³⁸

，利用現在的運算符號：

x

²

± yz 、 yz ± x

²

、 xy ± pq 分別代表「六和線」、「六較線」如：

「定理五十四（第七十二題）X.71

《幾何原本》凡有比例面與中面和，則等積方邊無比例，或為合名線、或為第一合中線、或為比中方線，凡四類。

庚子

壬

乙丁

丙

辛

己甲

戊

解曰：甲乙為有比例面，丙丁為中面，題言等甲丁面之方邊，

或為合名線、或為第一合中線、或為太線、或為比中方線。

論曰：甲乙或大於丙丁、或小於丙丁，先設大於丙丁，置有比例線戊己，於上作戊庚矩形，與甲乙等，餘邊為戊辛，戊己即辛庚，餘上作辛子矩形，與丙丁等，餘邊為辛壬，甲乙既為有比例面，與戊庚等，則戊庚為有比例線戊己上有比例面，故餘邊戊辛有比例，而與戊己長短有等，

本卷二十一

又丙丁既為中面，與辛子等，則辛子為有比例線戊己即辛庚上之中面，故餘邊辛壬有比例，而與戊己長短無等，

本卷二十三

又丙丁既為中面，而甲乙為有比例面，則甲乙與丙丁無等，故戊庚與辛子無等。惟戊庚與辛子比，若戊辛與辛壬比，

六卷一

故戊辛與辛壬長短無等，而皆有比例，故戊辛辛壬為僅正方有等之二比例線，所以戊壬為辛點所分之合名線。又甲乙既大於丙丁，而甲乙與戊庚等、丙丁與辛子等，則戊庚大於辛子，

所以戊辛亦大於辛壬，而戊辛與辛壬上二正方之較積方邊，

與戊辛或有等或無等，若有等，因戊辛與所設之比例線戊己長短有等，故戊壬為第一合名線，

本卷中界說一

戊己為有比例線，

凡有比例線與第一合名線成矩形，等面正方之邊，為合名線，

38 引自吳起潛，《無比例線新解》卷首揭論，頁 1b。

(22)

本卷五十五

故等戊子面正方之邊為合名線，即等甲丁面正方之邊，為合名線，若戊辛與辛壬上二正方之較積方邊，與戊辛無等，因戊辛與所設之比例線戊己長短有等，則戊壬為第四合名線，

本卷中界說四

戊己為有比例線，凡有比例線與第四合名線成矩形，等面正方之邊為太線，

本卷五十八

故等戊子面正方之邊為太線，即等甲丁面正方之邊，為太線。

庚子辛壬

丁己乙

丙甲

戊

次設甲乙小於丙丁，則戊庚必小於辛子，故戊辛線小於辛壬，

而辛壬與戊辛上二正方之較積方邊，與辛壬或有等或無等，

若有等，因戊辛與所設之比例線戊己有等，故壬戊為第二合名線，

本卷中界說二

戊己為有比例線，凡有比例線與第二合名線成矩形，等面正方之邊，為第一合中線，

本卷五十六

故等戊子面正方之邊為第一合中線，即等甲丁面正方之邊為第一合中線，若辛壬與戊辛上二正方之較積方邊，與辛壬長短無等，

因戊辛與所設之比例線戊己長短有等，則戊壬為第五合名線，

本卷中界說五

戊己為有比例線，凡有比例線與第五合名線成矩形，等面正方之邊為比中方線，

本卷五十九

故等戊子面正方之邊為比中方線，即等甲丁面正方之邊，為比中方線。

是以凡有比例面與中面和，等積方邊無比例，或為合名線、

或為第一合中線、或為比中方線，凡四類。

³⁹

《無比例線新解》

叮

(23)

解有比例面 □呷＝甲，中面 □ 叮＝乙，或中面

□呷＝甲，有比例面 □ 叮＝乙，合之為 □呷叮＝

甲 ⊥ 乙，或 □呷叮＝甲 ⊥乙，此等積正方邊為

⊥

甲乙＝甲 ⊥ 甲

^二

乙 ⊥ 甲甲

^二

乙

二二

Τ Τ Τ (呷)，及

⊥

甲乙＝甲 ⊥ 甲乙

^二

⊥ 甲甲乙

^二

二二

Τ Τ Τ ( )，

於(呷)

甲乙Τ ^二

為完全平方數，則為合名線，否則為太線。

於( ) 甲乙 Τ

^二

與甲有等，則為第一合中線，否則為比中方線。

⁴⁰

」

【討論】歐幾里得「量的證明」方式，可以說是利用「等積方邊」，亦即開雙重根號，將之前證明過的的定義，重新分類。

而吳啟潛先生則以「數的證明」方式，成功亦方便地完成相同的工作，

只能說時代背景的不同，工具的不同，而需要的算式或方法，便有跳躍式的進步了。

下一個命題（定理五十五）亦是如此的操作。

「定理八十五（第一百九題）X.108

《幾何原本》有比例面內減中面，則較積方邊無比例，或為斷線或為少線。

子壬辛

丁庚戊

丙甲

乙己

解曰：有比例面乙丙，內減中面乙丁，戊丙為較面，題言等戊丙面正方之邊，無比例，或為斷線、或為少線。

論曰：置有比例線己庚，其上作庚辛矩形，與乙丙面等，其內減庚壬矩形，與乙丁面等，則餘辛子矩形，與丙戊面等。

夫乙丙為有比例面，乙丁為中面，而乙丙與庚辛等，乙丁與庚壬等，則庚辛為有比例線己庚上有比例面，而庚壬為有比

(24)

例線己庚上之中面，故己辛與己庚長短有等，

本卷二十一

而己壬有比例，與己庚長短無等，

本卷二十三

故己辛與己壬長短無等，

本卷二十三

己辛己壬為僅正方有等二有比例線，所以壬辛為斷線，壬己與之同宗，

本卷七十四

而己辛己壬上二正方之較積方邊，與己辛或有等或無等。若有等，因大線己辛，與所設之有比例線己庚有等，故壬辛為第一斷線。

本卷下界說一

凡正方面與有比例線及第一斷線所成之矩形等積，則方邊為斷線，

本卷九十二

故等子辛即丙戊面正方之邊為斷線。若辛己己壬上二正方之較積方邊，與辛己無等，因辛己與所設之有比例線己庚有等，故壬辛為第四斷線。

本卷下界說四

凡正方面與有比例線及第四斷線所成之矩形等積，則方邊為少線，

本卷九十五

故等子辛即丙戊面正方之邊為少線。

⁴¹

《無比例線新解》

解有比例面 □呷＝甲，內減中面 □ ＝乙，

則較積 □呷叮＝甲⊤ 乙之方邊甲乙 Τ ＝

⊥

^二 ^二

甲甲乙甲甲乙

二二

Τ Τ Τ Τ 。

甲^二Τ乙

為完全平方數，

則為斷線，否則為少線。

⁴²

」

【討論】而吳起潛，依然使用代數的原理，「甲 Τ 乙＝

⊥

^二 ^二

甲甲乙甲甲乙

二二

Τ Τ Τ Τ 。

甲^二Τ乙

為完全平方數，則為斷線，

否則為少線。」更為精闢，且更容易懂。

綜上兩個定理可知，歐幾里得「量的證明」，是需要設計的，在分類上較麻煩，而吳起潛的「數的證明」方式，成功亦方便地完成相同的工作，而且因為工具的不同，處理的方法也隨著數學的演進而有所不同。

41 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 37b-38b。

叮

(25)

5.2.6 卷中論六較線

在卷中文末先利用六個定理（命題）定出「六較線」的定義，「定理五十六

（第七十四題）X.73 僅正方有等二有比例線，其較無比例，命為斷線。」、「定理五十七（第七十五題）X.74 僅正方有等二中線，其矩形為有比例面，二線之較無比例，命為第一中斷線。」、「定理五十八（第七十六題）X.75 僅正方有等二中線，其矩形為中面，二線之較無比例，命為第二中斷線。」、「定理五十九（第七十七題）X.76 二正方無等之線，二正方之和為有比例面，矩形為中面，

二線之較無比例，命為少線。」、「定理六十（第七十八題）X.77 二正方無等之線，二正方之和為中面，倍矩形為有比例面，二線之較無比例，命為合比中方線。」、「定理六十一（第七十九題）X.78 二正方無等之線，二正方之和為中面，倍矩形亦為中面，二正方之和，與倍矩形無等之二線之較無比例，命為合中中方線。」如：

「定理五十六（第七十四題）X.73

《幾何原本》僅正方有等二有比例線，其較無比例，命為斷線。

丙乙

甲

解曰：甲乙乙丙僅正方有等二有比例線，甲乙內減乙丙。題言其較甲丙無比例，命為斷線。

論曰：甲乙與乙丙，既長短無等，而甲乙與乙丙比，若甲乙之正方，與甲乙乙丙之矩形比，則甲乙之正方，與甲乙乙丙之矩形無等。

^六卷一

惟甲乙乙丙之二正方和，與甲乙之正方有等，

^本卷十六

而倍甲乙乙丙之矩形，與甲乙乙丙之矩形有等，

故甲乙乙丙之二正方和，與倍甲乙乙丙之矩形無等，所以甲乙乙丙之二正方和，與其較甲丙之正方無等。蓋甲乙乙丙之二正方和，與倍甲乙乙丙之矩形加甲丙之正方等，故也，

^二卷

七

而甲乙乙丙之二正方和有比例，故甲丙之正方無比例，所以甲丙無比例，

^本卷十一

命為斷線。

⁴³

《無比例線新解》

解兩僅正方有等有比例線，呷＝甲，＝乙。

問題三

其較呷＝甲 ⊤ 乙，此為無理數，故長短無等。

又＝甲 ⊥乙⊤二甲乙，一部分為無理數，故正方亦

43 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 35b-36a。

『斷線』與『合名線』的運算關係。

第 5 章 《無比例線新解》卷中與卷下之內容分析

也同於卷中的『斷線』的分類（定義）進而討論六『斷線』的想法，並討論六『斷 線』的分類與「六較線」可逆關係，討論與「六較線」可公度的線段，最後討論

『斷線』與『合名線』的運算關係。

從前述所言，其實卷中與卷下，有相當強烈的對稱關係，故筆者在分析的時 候便將卷中與卷下合在一起於第五章討論。因其體例與卷上相同，於此便不再贅 言。

5.1 界說與定義

卷中與卷下各提出了六個定義來定義六個『合名線』與六個『斷線』 ，與卷 上不同的是，

Heath 版的做法也是如此：

「界說六則 Definitions II

定義十二（第一界）Definition 1.

《幾何原本》 置有比例線及合名線，若合名線二分上正方之較積方邊，與 大分長短有等，又若大分所置比例線長短有等，則全線為第 一合名線。

定義十三（第二界）Definition 2.

《幾何原本》 若小分與所置比例線長短有等，則全線為第二合名線。

定義十四（第三界）Definition 3.

《幾何原本》 若大小二分與比例線長短俱無等，則全線為第三合名線。

定義十五（第四界）Definition 4.

《幾何原本》 若合名線二分上正方之較積方邊，與大分長短無等，又若大 分與所置比例線長短有等，則為第四合名線。

定義十六（第五界）Definition 5.

《幾何原本》 若小分與比例線長短有等，則為第五合名線。

定義十七（第六界）Definition 6.

《幾何原本》 若大小二分與比例線俱無等，則為第六合名線。」

「定義十八（第一界）Definition 1.

《幾何原本》 置有比例線及斷線，設大線與同宗線上正方之較積方邊，與 大線有等，而大線與所設之比例線有等，則為第一斷線。

定義十九（第二界）Definition 2.

《幾何原本》 若同宗線與所設之比例線有等，則為第二斷線。

定義二十（第三界）Definition 3.

《幾何原本》 若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第三斷線。

定義二十一（第四界）Definition 4.

《幾何原本》 設大線與同宗線上二正方之較積方邊，與大線無等，而大線 與所設比例線有等，則為第四斷線。

定義二十二（第五界）Definition 5.

《幾何原本》 若同宗線與所設之比例線有等，則為第五斷線。

定義二十三（第六界）Definition 6.

《幾何原本》 若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第六斷線。」

一言以蔽之曰： 『不盡根之平方根』而已，其中線為不盡根獨項之獨項方根，他

之六和六較線，則不盡根二項之方根也。」

更提出「用代數論十三線，可得一 般之法，以 甲

乙 甲

乙 甲

乙 三式為其綱，而從二分上

較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六和六較線收其成，復益一四次 不盡根為中線，十三線盡於斯矣。」

在無代數可代，無無理數可用的時代，

此 為必要之設計，唯有如此才可依靠作圖的方式，找到所需的「六和六較線」 。 5.2 卷中與卷下的內容分析

既然有相當程度的對稱性，且吳起潛先生也提「不盡根之平方根」 ，以下內 容分析，筆者便採用分進合擊的方式，加以論述，其中相對應的概念，會放在一 起討論，而「…」的內容與圖形延續著卷上的分析方式，

【討論】為 Heath 的 分析與筆者的心得與看法。

5.2.1 如何找到定義中的『合名線』與『斷線』

卷中與卷下，於定義（界說）的後面，馬上放了六個應用問題（命題） ，分 別求「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，如：

「問題十三（第四十九題）X.48

《幾何原本》 求第一合名線。

法曰：置甲丙丙乙二數，令總數甲乙與乙丙比，若二平方數 比，與甲丙比，非若二平方數比，

又置有比例線 丁，令戊己與丁長短有等，則戊己有比例線，

又令 甲乙與甲丙比，若戊己與己庚之二正方比，

則戊己己 庚之兩正方有等。

惟戊己有比例，所以己庚亦有比例，

甲乙與甲丙比，既非若二平方數比，則戊己與己庚之二正方 比，亦非若二平方數比，所以戊己與己庚長短無等，

故 戊己己庚為僅正方有等之二比例線，而戊庚為合名線，

亦為第一合名線。

惟甲乙與乙丙比，若二平方數比，故戊己與辛之兩正 方比，若二平方數比，而戊己與辛長短有等，

所以戊己 之正方，大於己庚之正方，其較積方邊，與戊己有等。惟戊 己己庚為有比例線，而戊己與丁長短有等，是以戊庚為第一 合名線。

《無比例線新解》

法 先設 叮＝寅，次設 呷 ＝甲， ＝乙。 俱與叮 有等，而於合名線令 呷 為大分， 為二分上較積方 邊，則小分＝ 甲

Τ 乙

＝ 。此二分為僅正方有等有比 例線，合之得 呷 ＝甲 ⊥ 甲

Τ 乙

，為第一合名線。

如以數明之，命 叮＝二，而 呷 ＝八， ＝六，

則 ＝ 二八 ，而 呷 ＝ 八 ⊥ 二八 ，為第一合名 線。

」

【討論】設 k

與已知有理線段

，是長度可公度的。取兩數 m n 。使 , m

− 不 n

是完全平方數。

求一線段 x 使得滿足比例式 m

: ( m

− n

) = k

: x

。 於是

。

命題證明了 k

第 5 章《無比例線新解》卷中與卷下之內容分析

也同於卷中的『斷線』的分類（定義）進而討論六『斷線』的想法，並討論六『斷線』的分類與「六較線」可逆關係，討論與「六較線」可公度的線段，最後討論

從前述所言，其實卷中與卷下，有相當強烈的對稱關係，故筆者在分析的時候便將卷中與卷下合在一起於第五章討論。因其體例與卷上相同，於此便不再贅言。

卷中與卷下各提出了六個定義來定義六個『合名線』與六個『斷線』，與卷上不同的是，

《幾何原本》置有比例線及合名線，若合名線二分上正方之較積方邊，與大分長短有等，又若大分所置比例線長短有等，則全線為第一合名線。

《幾何原本》若小分與所置比例線長短有等，則全線為第二合名線。

《幾何原本》若大小二分與比例線長短俱無等，則全線為第三合名線。

《幾何原本》若合名線二分上正方之較積方邊，與大分長短無等，又若大分與所置比例線長短有等，則為第四合名線。

《幾何原本》若小分與比例線長短有等，則為第五合名線。

《幾何原本》若大小二分與比例線俱無等，則為第六合名線。」

《幾何原本》置有比例線及斷線，設大線與同宗線上正方之較積方邊，與大線有等，而大線與所設之比例線有等，則為第一斷線。

《幾何原本》若同宗線與所設之比例線有等，則為第二斷線。

《幾何原本》若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第三斷線。

《幾何原本》設大線與同宗線上二正方之較積方邊，與大線無等，而大線與所設比例線有等，則為第四斷線。

《幾何原本》若同宗線與所設之比例線有等，則為第五斷線。

《幾何原本》若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第六斷線。」

一言以蔽之曰：『不盡根之平方根』而已，其中線為不盡根獨項之獨項方根，他

更提出「用代數論十三線，可得一般之法，以甲

乙甲

乙甲

乙三式為其綱，而從二分上

較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六和六較線收其成，復益一四次不盡根為中線，十三線盡於斯矣。」

此為必要之設計，唯有如此才可依靠作圖的方式，找到所需的「六和六較線」。 5.2 卷中與卷下的內容分析

既然有相當程度的對稱性，且吳起潛先生也提「不盡根之平方根」，以下內容分析，筆者便採用分進合擊的方式，加以論述，其中相對應的概念，會放在一起討論，而「…」的內容與圖形延續著卷上的分析方式，

【討論】為 Heath 的分析與筆者的心得與看法。

卷中與卷下，於定義（界說）的後面，馬上放了六個應用問題（命題），分別求「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，如：

《幾何原本》求第一合名線。

法曰：置甲丙丙乙二數，令總數甲乙與乙丙比，若二平方數比，與甲丙比，非若二平方數比，

又置有比例線丁，令戊己與丁長短有等，則戊己有比例線，

又令甲乙與甲丙比，若戊己與己庚之二正方比，

則戊己己庚之兩正方有等。

甲乙與甲丙比，既非若二平方數比，則戊己與己庚之二正方比，亦非若二平方數比，所以戊己與己庚長短無等，

故戊己己庚為僅正方有等之二比例線，而戊庚為合名線，

惟甲乙與乙丙比，若二平方數比，故戊己與辛之兩正方比，若二平方數比，而戊己與辛長短有等，

所以戊己之正方，大於己庚之正方，其較積方邊，與戊己有等。惟戊己己庚為有比例線，而戊己與丁長短有等，是以戊庚為第一合名線。

法先設叮＝寅，次設呷＝甲，＝乙。俱與叮有等，而於合名線令呷為大分，為二分上較積方邊，則小分＝甲

＝。此二分為僅正方有等有比例線，合之得呷＝甲 ⊥ 甲

如以數明之，命叮＝二，而呷＝八，＝六，

則＝二八，而呷＝八 ⊥ 二八，為第一合名線。

。於是

《幾何原本》求第一斷線。

法曰：置有比例線甲，令乙庚與甲長短有等，則乙庚亦為有比例線，又置戊丁、戊己二平方數，令其較丁己非平方數，

則戊丁與丁己比，非若二平方數比，又令戊丁與丁己比，若乙庚與庚丙之二正方比，故乙庚與庚丙之二正方有等。

而庚丙為有比例線。又戊丁與丁己比，非若二平方數比，則乙庚與庚丙之二正方比，亦非若二平方數比，

故乙庚與庚丙長短無等，而皆有比例，故乙庚庚丙為僅正方有等二比例線，所以乙丙為斷線。

為第一斷線者，試置辛之正方為乙庚庚丙之二正方較，戊丁與丁己比，既若乙庚與庚丙之二正方比，則轉理，戊丁與戊己比，若乙庚與辛之二正方比。

惟戊丁與戊己比，若二平方數比，則乙庚與辛之二正方比，亦若二平方數比，故乙庚與辛長短有等，

而乙庚庚丙之二正方較，即辛之正方，故乙庚庚丙上二正方之較積方邊，與乙庚有等。又大線乙庚，與所設之有比例線甲有等，故乙丙為第一斷線。

法先設有比例線叮，其數為寅，次設呷等於甲，

等於乙。俱與叮＝寅有等，而於斷線令呷＝大分，

＝二分上較積方邊，則同宗分＝甲

＝。此二分為僅正方有等有比例線，其較呷＝甲

如以數明之，命叮＝二，而呷＝八，＝六，則＝二八，而呷＝八 ⊤ 二八，為第一斷線。

都是有理的且