圖 3.11 (a)具有（110）平面縮小球之 BCC 單位晶胞(b) BCC 之
（110）平面的原子堆積，原子相對位置如(a)所示
z 「平面族」是包含結晶學對等的所有平面，例如{100}族，
對正方晶體結構則不包括(001) 及(001) 。
z 在立方晶體系統中， {100}族不管其順序或符號為何，只要 具有相同指標都是對等，例如(123)和(312)是屬於{123}族-
-六方晶體 (Hexagonal Crystals)
z使用圖 3.8 所示的米勒一布拉維斯系統，此方法可得到四個 指標(hkil)。其中 i 可由 h 和 k 的和來決定。
(3.8)
( )
i = − +h k
3.11
線性和平面的密度
(Linear and Planar density)z 對一特定材料而言，相當方向具有相同的線性密度( linear density, LD )，對晶體的平面，相對的參數是平面密度
( planar density, PD )，具有相同平面密度值的平面亦是相當 z 線性密度( LD )定義每單位長度的原子數，
原子中心位於方向向量上的原子數 方向向量之長度
線性密度( LD ) =
線密度的單位是長度的倒數(nm-1或m-1)
z FCC 在 [110] 方向的線密度
線性密度(LD) 110= ＝2個原子 2個原子 = aF
2 4R 2R
1 z 線性密度等於重複距離（r）的倒數，在兩鄰近間之線密
度為 1
LD 110 = r
2 2R a =
圖 3.12(a) 在縮小球模 型的 FCC 單位晶胞中 標示出 [110] 平面之示 意圖；(b) 位於此單位 晶胞底面的 5 個原
子，並標示出在 [110]
方面的
z FCC 在 [110] 方向的線密度
線密度(LD) 110 = ＝2個原子 2個原子 = aF
2 4R 2R
1 z 線性密度等於重複距離（r）的倒數，在兩鄰近間之線密
度為 1
LD 110 = r
2 2R a =
圖 3.12(a) 在縮小球模 型的 FCC 單位晶胞中 標示出 [110] 平面之示 意圖；(b) 位於此單位 晶胞底面的 5 個原
子，並標示出在 [110]
方面的
z 平面密度（PD）定義為每單位面積的原子數目，單位是面 積的倒數
平面密度（PD） ＝ 原子中心位於平面的原子數目 結晶平面的面積
平面密度的單位是面積的倒數( 例如 nm-2，m-2 )
z (110)平面截面內原子 A，C，D 和 F 各只有1/4，原子 B，E，各只有1/2，此平面有 2 個原子。
2 2R a =
z 此長方形截面積 的長等於 4R，而 寬等於 2 R 。 此平面的面積是 8R2 。
2 2
z 平面密度（PD）110 ＝ ＝ = 2個原子
aF
2 · aF 4R2
1
2
2 2R a =
8R2 2
2
z 在滑移過程也就是金屬塑性變形的機構上，線和平面密度 是重要參數。滑移發生在最密堆積的結晶學平面上，且在 這些平面上，滑移是沿著具有最大原子堆積方向上
例題1：試求出 FCC 其（1）配位數，（2） 單位晶胞原子 數，（3）單位晶胞參數 a 與原子半徑 r 之關係，
（4）原子堆積因子 ，（5） (020)及(110)平面密 度。
解： （1）配位數：12
（2） 單位晶胞原子數：（ 1/8 ）× 8 + （1/2）× 6 ＝ 4
（3） a2 + a2 = (4r)2，
（4）
（5）
(020) of
(110) of
3 3
2 ] r [ 4
3 r 4 4
APF
⋅
= × π
2 r aF = 4
⋅ =
⋅
× +
= ×
F F
a PD a
2
2 2 4 1
4 1
⋅ =
= ×
F F a PD a
2 4 1
(110)
4R2 1
4R2 1
2
緊密堆積之結晶構造
(Close-packed Crystal Structures) 金屬(Metals)z 面心立方和六方最密堆積晶體結構二者都具有 0.74 的原子堆 積因子，除了以單位晶胞來表示原子堆積因子之外，可利用 原子最密堆積平面（即平面具有最大或球堆積密度）來描 述；示於圖 3.13a。兩種晶體結構可由這些緊密堆積平面在 其上堆積而成；兩種結構間的差別在於堆積序上的差異。
圖 3.13(a)面心立方和六方緊密堆積之 晶體結構中具有最大原子堆積密度 的平面示意圖，將所有位於緊密堆 積平面上的原子的中心標為 A，伴 隨在此平面上有兩組相同的三角 形，是由三個鄰近原子間的凹陷所 形成，三角形頂點向上者標為 B，
向下者為 C。
z 第一個緊密堆積平面上的原子如圖3.13(a)。第二個緊密堆積 平面上的原子，可將其原子的中心位置至於 B 或 C 的位置 上，在此兩者是等同的。假設選擇 B 位置，則其堆疊順序以 AB 來稱呼，說明如圖 3.13(b)。
圖 3.13(b) 將第二層緊密堆 積平面的原子中心置於 B 上，而得到 ABAB 之 堆積結構。
圖 3.13(a) 第一層緊密堆積平 面的原子
z FCC 和 HCP 間真正的差別在於第三層緊密堆積所堆放的位 置。對 HCP 而言，第三層的中心直接至於原來的位置上面 且與其對齊。這樣的堆積方式為 ABABAB…..一直重複，當 然 ACACAC…..的排列也是等同的。
z 這些緊密的堆積平面對 HCP而 言是 (0001) 型的平面，這種堆 積與單位晶胞間的相對關係顯 示於圖3.14中。
圖 3.14 六方緊密堆積結構是緊 密堆積平面以 ABABAB 或AC AC, ACAC…的方 式堆疊。
z 對 FCC 面心立方體結構而言，第三層平面原子的中心被置 放於第一層平面C位置上(如圖3.15(a))，造成 ABCABCABC…
順序的堆積方式；緊密堆積平面與 FCC 單位晶胞間的關係 可以圖3.15(b)來證明；這些平面是（111）型。
圖15 (a) 面心立方結構 是緊密堆積平面以 ABCABCABC…之方 式堆疊；(b) 已被去除 一角的FCC結構，以 此顯示原子的緊密堆 積平面的堆疊順序和 FCC晶體結構間的關 係；實線的三角形畫 出(111)平面之輪廓。
結晶材料 (Crystalline materials) 3.13 單晶(single crystals)
z 對一結晶固體來說，當其原子排列 為週期且重覆排列完美的或延伸到 整個試片而不中斷時，此試片就稱 之為 單晶 (single crystal)，單晶的 照片示於圖3.16中。
z 單晶在現在技術中變得相當重要，
尤其是在電子為電路上，其使用矽 和其他半導體的單晶
圖3.16 數個氟化鈣 (CaF2) 之單晶照片
3.14 多晶材料
(Polycrystalline Materials)z 許多結晶固體是由許多小晶體或晶粒集合而成的；這種材料 稱為多晶。多晶試片在固化過程中的各種階段顯示於圖3.17
圖 3.17 多晶材料在凝固過程中各種階段的示意圖，圖中正方 格子代表單位晶胞。(a) 小結晶成核；(b) 結晶的成長
z 當凝固接近完成時，相近的晶粒會彼此撞擊。晶粒與晶粒之 間的結晶學方向並不相同，同時在兩晶粒相遇的區域存有某 些原子的錯誤匹配，此區域稱為晶界 ( grain boundary )。
圖 3.17 (c) 凝固完成時的晶粒形成不規則的形狀； (d) 在光 學顯微鏡下所呈現的晶粒結構，暗線代表晶界。
3.15 異向性
(Anisotropy)z 某些單晶物質的物理性質和量測的結晶學方向有關。例如 彈性模數、導電度、折射率在［100］和［111］方向上具 有不同的值，這種與方向取向有關的性質稱為 異向性
(anisotropic) 。若物質量測的性質與量測方向無關則稱為 等向性的(isotropic)；結晶材料的異向性的大小與程度是晶 體結構對稱性的函數；異向性程度隨著結構對稱降低而增 加，數種材料在[100], [110], [111]方向的彈性模數值列於 表3.3中
z 多晶材料中的個別晶粒的結晶學方向全部是雜亂，在此情 況下，即使每一晶粒都是異向性，但是由晶粒聚集而組成 的試片是等向性的行為。量測性質的大小代表著某些方向 值的平均，有時後在多晶材料中的晶粒會具有擇優的結晶 學方向，在此情況下，稱材料具有織構(texture)組織。