原理

第三章 原理

本章分為 2 個部分，3.1 以電子穿隧效應獲得樣品本身能態密度的資訊，3.2 介 紹 Schwinger mechanism 在強場下 2、3 維系統的機制。

3.1 電流穿隧效應(electron tunneling effect)

在這主要介紹薛丁格提出了薛丁格波動方程式如何解是穿隧效應，以及電流對電 壓的微分值如何對應到能態密度。

3.2.1 穿隧效應(tunneling effect)

在古典力學當中，若一運動中粒子的能量為 E 低於一能量為 U 的位能障壁，則此 粒子穿越的機率為零。1925 年薛丁格提出了薛丁格波動方程式，若考慮一維空間 不隨時間影響狀態下，可推得不隨時變得一維薛丁格波動方程式如下

− ² _𝜕^𝜕₂²_𝑍∅(𝑧) + 𝑈(𝑧)∅(𝑧) = 𝐸∅(𝑧) 式(3.1) 其中∅(𝑧)為粒子波函數，𝑈(𝑧)為位能，當能量 E 小於位能 U，考慮一粒子要通過一 個矩形位能障壁(potential barrier) ，利用一維不隨時變的薛丁格方程式可知 穿隧機率如下

T ∝ 𝑒 ^𝜅∆𝑧 (𝐸 < 𝑈) 式(3.2) 其中𝜅為位能障壁的波向量，∆𝑧為位能障壁寬度，由此可知即使電子能量小於位能 障壁，電子仍然有機會穿越。

3.2.2 電流-電壓曲線之物理意義

接下來我們要討論一個穿隧接面(tunneling junction)的能階圖如圖(3-1)，外 加一正偏壓 V^b，E^F 為費米能量，ψ為功函數(work function)，是費米能階與真空

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石墨烯

石墨烯

能階的差值。由於我們要討論的是彈性穿隧效應(elastic tunneling effect)，

兩端能量必頇相同，即 EA=EB=E，下面我們討論系統外加一正偏壓的狀況。

圖(3-1) 對石墨烯那端施加(a)外加正偏壓，(b)外加負偏壓的穿隧結結構之 能階圖[13]

1960 年 Bardeen 將穿隧系統分成兩個子系統[14]，兩個子系統可以各別由一維 不隨時變的薛丁格方程式求得子系統的電子態(electron state)。而電子以能量E 從狀態ψA穿隧到狀態ψB的速率，τ=τA-τB，可由費米黃金定則(Fermi golden rule)決定[13]。

τ_A→B = ^π∫^+∞ρ_A( )ρ_B( + eV_b|T( )| f_A( )[ − f_B( + eV_b)])d 式 (3.3) 而電子以能量E 從狀態ψ^B穿隧到狀態ψA的速率為

τ_B→A = ^π∫^+∞ρ_A( )ρ_B( + eV_b|T( )| ( − f_A( ))f_B( + eV_b))d 式 (3.4)

其中ρ_A與ρ_B分別為電極與石墨烯的能態密度，其決定電子可占據之狀態數目。

電子穿隧在兩狀態之間的淨速率(net rate)為τ=τ_A→B− τ_B→A，因此流經兩個能 態之間的穿隧電流為 I=eτ [13]

I =^4πeρ_A( _F)ρ_B( _F)|T( _F)| ∫^+∞[f( ) − f( + eV_b)]d 式(3.5) 上述的結果是考慮在 T = 300 K 的情況下 eV^b≪E^F，穿隧主導在費米能階附近的電 子傳輸機制，因此定義穿隧電流是考慮在費米能階上的能態密度與穿隧機率，其

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中電極的能態密度ρ_A( _F)與固定位壘寬度T( _F)的穿隧機率都定義為常數。

式(3.5)中的積分可得

∫^+∞[f( ) − f( + eV_b)]d = eV_b 式(3.6) 將式(3.6)帶入式(3.5)

I = C ρ_B( _F)V_b 式(3.7) 其中 C 為所有的常數

C =^4πeρ_A( _F)|T( _F)| 式(3.8) 對式(3.7) V_b做微分

^dI

dV_b ∝ ρ_B( _F) 式(3.9) 由上可知電流對電壓的微分與石墨烯的能態密度成正比。

3.2 Schwinger 的預測

假設一系統能階圖如下:

右圖能階為加入電場後短暫時間，便有粒子占據了左圖原本未佔據能階，此現象 如同穿隧效應一般，稱為 Schwinger pair creation ，J.schwinger 認為在一個 廣大且真空穩定的電場下，且費米能階中沒有負電子與正電子(q → 、 → ∞)，

在單位體積下產生粒子、反粒子對機率為[27]

P_vac(t) = |〈va |U(t)|va 〉| = exp (−wVt) 式(3.11)

12 文獻回顧 2.5 可知，在石墨烯出現之前無法在實驗中觀察到 Schwinger mechanism，

是因為式(3.13)中的 expoential 項變得非常小，其電場必頇要大於 10¹⁶ V/cm 才

f 為費米數，ζ為 Riemann zeta fucnction，由於 exp 項的影響，在過去的實驗 裡面都並未發現 Schwinger pair creation，然而等到石墨烯問世後，由於理論預 測石墨烯在狄拉克點時電子質量為零，便可藉此發現到 Schwinger pair creation 的現象。

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