和聲分析演算法

和聲的分析是另一項重要的音樂參數分析。調性分析是用來分析整首音樂，或者樂 曲的某一段落的參數，因此調性分析是傾向於分析音樂整體給人的感覺，但和聲的分析 是對於音樂的細節去分析。如果用調性比喻一張圖片給我們的整體感覺，那麼和聲就是 那張圖片內到底包含了什麼東西，以及這些東西是怎麼樣組織運用。因此兩者對於音樂 分析都是不可或缺的部份。

- 17 - Temperley 和 Sleator 在 1999 年所提出的方式中就存在這樣的狀況。這樣一來會產生一 個問題，在音樂中和弦的使用並不會是固定長度，有可能好幾個小節只使用一個和弦，

但也可能一個小節出現好幾個和弦，因此如果不解決分段的問題也沒辦法使和聲分析完 全自動化。

Bryan Pardo 和 William P. Birmingham 在「Algorithm for Chordal Analysis」這篇論文 中提出了一種分析音樂和聲的方式[12]。

Chord Name Template Representation

Major Triad <0, 4, 7>

資料來源：Algorithm for Chordal Analysis [12]

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表 6 中只列出每種和弦音與音之間的相對位置，這也是和弦的基本定義，然而在比 對時，每種和弦樣版都需要位移到以十二個 Pitch Class 為根音的型態來做比對，以大三 和弦來說，樣版{0, 4, 7}表示和弦內三個音所相差的距離，但在比對時就需要比對{0, 4, 7}, {1, 5, 8}, {2, 6, 9}…等十二種樣版，所以以六個樣版為例，在比對時就需要比對七十 二次。

由於和弦的轉換只會發生在一個音開始(Note On)或結束(Note Off)的地方，因此利 用這個特性把所有的 Note On /Off 點定為一個分割點(Partition Point)，以圖 11 為例，該 樂曲就存在六個分割點。

圖 11 分割點示意圖

接著開始計算各種可能的段落分割方式的分數，各種分割方式的意思是，例如圖 11 當中有六個分割點，可能的分割方式有((1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6))、((1,2,3)(3,4,5)(5,6))、

((1,2,3,4)(4,5,6))…等，因此如果以六個分割點為例，可能的方式有 6+5+4+3+2+1 種。

計算每種分段分數的公式為：

(6)

其中 S 代表總分，P(Positive Evidence)代表比對的段落內有出現在正在比對的和弦 樣版中的權重總合，M(Misses)代表出現在比對中的和弦樣版內，但沒出現在段落內的 數目總和，N(Negative Evidence)代表出現在段落內，但沒出現在正在比對的和弦樣版中 的權重總合。

以這種方式來計算每段落對應到每種和弦樣版的分數，圖 11 為例，假設正在比對 的段落為 1 和 4 這兩個分割點所組成的段落，正在比對的樣版為以 A 音為根音的小三和 弦(A Minor Triad: 9,0,4)，段落內出現的音為{C4, E4, C5, D5, E5}，所對應到的權重為{3, 3, 1, 1, 1}，因為 C4 和 E4 的時間長度跨越了 1 到 4 這個大段落內的三個小段，因此權重

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為 3，C5, D5, E5 則都沒有跨越任何小段落，因此權重為 1。可算出

P=Weight(C4)+Weight(E4) +Weight(C5)+Weight(E5)=3+3+1+1=8，N=Weight(D5)=1，M=1，

得到 S=8-(1+1)=6。

計算完每種分段方式的分數後，接下來要進行分段(Segmentation)的工作。在這篇論 文中，是利用圖學的方式來找出分段方法。

首先需要建立一個有向圖的資料結構，並且把每個分割點當做一個點，給予每個點 連往其後所有點的有向邊。

圖 12 分割點轉為圖學示意圖

由於已經計算過所有可能分段的分數，因此每個邊都可以利用分數來標示其權重，

作者假設以這種方式所計算的權重，分數越高代表是越合適的和弦及分段方式，而以整 體來看，如果能找出一條最高分的路徑，或許就是最佳的分段方式。

在演算法的動態規劃(Dynamic Programming)手法當中，Relaxation 演算法就是用來 在有向的拓樸當中找出最佳路徑的演算法，在這篇論文當中就以這個演算法來尋找最佳 路徑，以下簡單用圖 13 為例說明 Relaxation 演算法如何運作。

由圖 13 中可看出，如此一來在找尋和弦時也一起把分段方式給找出來，相較於以 往和弦找尋演算法分段方式並無明確說明，這個方式我們認為這是很好的方法，因此在 本論文分析系統當中使用這個演算法。

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圖 13 最佳路徑尋找範例