和角、 差角公式

餘弦的差角公式: cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

△ABC中_,







兩點距離公式 _a² _{= BC}² _{= p(b cos θ2− c cos θ1)}²_{+ (b sin θ2− c sin θ1)}^2
2 餘弦定理 _a² _{= b}²_{+ c}²− 2bc cos(θ²− θ¹)

C(b cos θ2, b sin θ2)

B(c cos θ1, c sin θ1)

A

θ1

θ2

整理可得

cos(θ2− θ¹) = cos θ2cos θ1+ sin θ2sin θ1 (∗)

A + B 銳角時_:

兩直線 _L1 : y = m1x + b1 和 _L2 : y = m2x + b2 的交角 θ ⇔ tan θ = | tan θ1− tan θ² 1 + tan θ1tan θ2| =

| m1− m² 1 + m1m2|

若兩直線垂直相交則 _{m1m2 = −1} y

x y= m1x+ b1

y= m2x+ b2

(x1, y1)

(x2, y2) (x3, y2)

(x2, y1) (x3, y1)

若已知兩角度 _{α, β} 的三角函數值_, 則由 _{α, β} 任意整數倍相加減的三角函數值可利用和角、

差角公式求出其值。

三角函數化簡公式 _−→ 旋轉木馬記憶法_:

sin θ

− sin θ

cos θ

− cos θ

比_θ多₉₀^◦函數 逆時針轉一格 比_θ少₉₀^◦函數 順時針轉一格

tan θ

− cot θ

比_θ多₉₀^◦函數 逆時針轉一格

比_θ少₉₀^◦函數 順時針轉一格

csc θ

− csc θ

sec θ

− sec θ

比_θ多₉₀^◦函數 逆時針轉一格 比_θ少₉₀^◦函數 順時針轉一格

1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。

2. 以 ₉₀^◦ 為單位旋轉一輪輻_, 正向角為逆時針旋轉_,負向角為順時針旋轉。

3. 最後旋轉終點位置即為該三角函數的化簡值。

sin α

− sin α

cos α

− cos α

sin(α + β) sin β cos β

β

比_α多_β角函數

逆時針同向函數乘積和 ^{− sin α sin α} cos α

− cos α

sin(α − θ) sin θ cos θ

−θ

比_α少_θ角函數

順時針同向函數乘積和

倍角、 三倍角公式_: 利用正餘弦的和角、 差角公式_, 可續推出三角函數 _nθ 角的公式。

1. cos 2θ = cos(θ + θ) = cos²θ − sin²θ = 2 cos²θ − 1 = 1 − 2 sin²θ 2. sin 2θ = sin(θ + θ) = 2 sin θ cos θ

3. cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ 4. sin 3θ = −4 sin³θ + 3 sin θ 5. tan 2θ = 2 tan θ

1 − tan²θ

半角公式_: 三角函數的半角公式為倍角公式的逆過程。

cos θ2 = ±q 1 + cos θ

2 , sin θ2 = ±q 1 − cos θ 2 (±號可由 ^θ

2 之象限角其三角函數值來判定₎ tanθ

2 = sin θ

1 + cos θ = 1 − cos θ

sin θ = ±r 1 − cos θ 1 + cos θ 同界角的 _n 倍與 ¹

n 倍: θ ≡ θ + 2kπ, k ∈ Z

與_θ 同界角之整數倍後仍為同界角。 nθ ≡ nθ + 2kπ, k ∈ Z , 均為同界角。

但其 _n¹ 倍角_, 有_n 個不同角度。 _{n =}^{θ θ + 2kπ}_n , k = 0, 1, · · · , (n − 1) , 有 _n 個非同界角的不 同角度。

三角函數求值問題_:

銳角_θ: 任一銳角 _θ三角函數_, 可做一包含_θ角的三角形_, 利用畢氏定理_, 再找出其三邊邊長比 例關係。

鈍角_θ: 一般角三角函數值可先找出該函數對應的參考角_θref 三角函數變化關係 ₍依象限角 決定正負變化關係₎。

• 同一_θ 角_, 求其餘三角函數值。₍在銳角下畢氏定理求出斜邊、 鄰邊、 對邊比_; 再由 _θ 象 限角決定三角函數值正負₎。

(坐標法: (x, y) = (r cos θ, r sin θ), r =px²+ y², tan θ = _x^y )

• 同一三角函數下_, 求其倍角、 半角、 和角、 差角的三角函數值。₍利用倍角、 半角、 和角、

差角公式代入₎

• 不同三角函數、 不同角度下_,求三角函數值。₍先化成同一函數或化成同角度_;再依上述 1,2項方法求值₎

例題

和角、 差角公式

範例 _1: 求 _{cos 48}^◦_{cos 12}^◦_{− sin 48}^◦_{sin 12}^◦ 的值_?

1 2

√ 3

30^◦ A

B

C D

E F

q3 2

q3 2

2

1

45^◦

演練 _{1a :} 求_{cos 75}^◦ 的函數值_?

範例 _4: 已知 _{tan θ1} = 13, tan θ² = −2, 且 _{0 < θ1 < 90}^◦_{, 90}^◦ _{< θ2 < 180}^◦ 求 _{tan(θ1 + θ2)} 之值_?

演練 _{6c :} 若sin θ + cos θ = −1

演練 _{9a :} 直角三角形_ABC 中_{, ∠C = 90}^◦_,若_{∠A, ∠B, ∠C} 的對應邊分別為_{a, b, c,} 下列哪些選項恆 真? (1) sin 2A = sin 2B (2) cos 2A + cos 2B = 0 (3) sin 2A = 2ab

c² (4) (sin A − sin B)²+ (cos A+cos B)² = 2 (5) cos 2A = b²− a²

c² (6) sin A+sin B > sin C (7) cos A+cos B > 1

(8) sin²A + sin²B = sin²C 1,2,3,4,5,6,7,8

演練 _{9b :} 三角形 _ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 的對應邊分別為 _{a, b, c,} 滿足下列條件的三角形為何種三角 形_?

1. a cos B = b cos A 值_? ^a=b 等腰三角形 2. a

cos A = b

cos B = c

cos C

正三角形

3. cos A : cos B = b : a A = B 或 _{A + B = 90}^◦ 範例 _10: 已知平面坐標上 _O 為原點_,B 點在第一象限且 A(3, 1), ∠AOB = 60^◦, OB = 2√

10求點

B 坐標_? ^{B(3 −}

√3, 1 + 3√ 3) 演練 _{10a :} 已知平面坐標上 _O為原點_,B 點在第一象限且A(3, 4), ∠AOB = 30^◦, OB = 10 求點 _B 坐

標_? ^B(3

√3 − 4, 4√ 3 + 3) 演練 _{10b :} 平面坐標上 _O 為原點_, 正三角形 OAB ,A(4, 0) ,B(2, 2√

3) , 若將此正三角形繞原點旋轉 θ 角後_,點 _A 移到 _A^′₍₂^√_{2, 2}^√_2),B點坐標移到_B^′_, 求 _B^′ 坐標_? ^B

′(√ 2 −√

6,√ 6 +√

2) 簡易三角函數問題

範例 _11: 若將函數 f (x) = cos 2x − 2 cos x 表示成 _x 的三角函數為 f (x) = a cos²x + b cos x + c 求常係數 _{a, b, c} 值_? 並求出此函數的最大值與最小值_?

(2, −2, −1);M=3;m= −³2

演練 _{11a :} 在圓心 _O的單位半圓中 ₍半徑為_1),內接一矩形 _PQRS, 如圖示_: 若∠P OQ = θ , i. 將此矩形面積 _A 用_θ 表示之_?

A(θ) = 2 sin θ cos θ = sin 2θ ii. 試說明A(θ) = sin 2θ ?

A(θ) = 2xy = 2 sin θ cos θ = sin 2θ

iii. θ 為何_? 此矩形有最大面積多少_? ^{θ =}

π

4, A = 1

O P

R Q

S

θ

演練 _{11b :} 函數 f (x) = cos 2x − 2 sin x 表示成_x 的三角函數為 f (x) = a sin²x + b sin x + c 求常係 數_{a, b, c} 值_? 並求出此函數的最大值與最小值_?

(−2, −2, 1);M= ³2;m= −3

演練 _{11c :} 若已知 0 ≤ θ < 2π ,sin θ + cos θ = 1 , 求_θ 角_? ^0,

π 2

演練 _{11d :} 若0 ≤ θ < 2π , 解 _{sin θ −}^√3 cos θ = 1 , 求_θ 角_? ⁹⁰

◦, 210^◦

習題_8-4 和角、 差角公式 1. 化簡下列式子求值_:

(a) sin 17^◦cos 47^◦− cos 17^◦sin 47^◦ =?

(b) sin 20^◦cos 10^◦+ cos 20^◦sin 10^◦ =?

(c) cos 70^◦cos 20^◦ − sin 70^◦sin 20^◦ =?

(d) sin 40^◦sin 20^◦− cos 40^◦cos 20^◦ =?

(e) cos 40^◦cos 10^◦ + sin 40^◦sin 10^◦ =?

(f) tan 20^◦+ tan 25^◦ 1 − tan 20^◦tan 25^◦ =

2. 化簡 sin(α + β) sin(α − β) =? (以_{α, β} 角表示₎ 3. 化簡 cos(α + β) cos(α − β) =? (以_{α, β} 角表示₎ 4. 設_{α, β} 均為銳角_, 且sin α = 45, cos β = 5

13, 求sin(α + β) =? 及 cos(α − β) =?

5. 設_θ 為第二象限角且sin θ = 45 , 求 _{cos(θ + π}

3 ) 的值_? 6. 已知 tan α = 1, tan(α − β) = 2 , 求_{tan β} 值_?

7. 設_{α, β} 均為銳角_, 且_{tan α =} ^√_{3, tan β =}

√3

3 , 試求 tan(α − β) =?

8. △ABC 中, cos A = 45, cos B = 12

13 ,試求_{cos C}之值_?

9. 設₉₀^◦, θ < 180^◦ , 且sin θ = 45 , 求 sin 2θ, cos 2θ 及 _{tan 2θ} 的值_? 10. tan α = −34, 270^◦< α < 360^◦ , 求_{cos α}

2 , sinα 2 =?

11. cos θ = 13, θ 為銳角_, 求sin 2θ, cos 2θ =?

12. 已知 sin θ − cos θ = 15 ,求 _{sin 2θ} 的值_? 13. 已知 sin α = 14,且 ^π

2 < α < π , 求_{sin α} 2 =?

14. 已知 ₄₅^◦ < θ < 90^◦, 且_{sin 2θ = 5}

13, 試求sin θ, cos θ =?

15. 若 ¹

2sin²x + c = −1

4cos(2x) , 求常數_c 值_? 16. 試化簡 cos θ − cos 3θ

sin 3θ − sin θ = tan α 則_{α =? (}用 _θ 表示₎ 17. 設0 < α < π

2,π

2 < β < π 且已知 _{sin α =} ⁴

5, sin β = 5 13 求

(a) sin(α + β) 值_?

在文檔中 3B1C trigonometry 1 (頁 24-33)