3B1C trigonometry 1

8

三角

8.1

直角三角形的邊角關係

銳角三角函數定義_: 直角三角形中; 對應角的對邊、 鄰邊與斜邊邊長的比值關係。 共有正弦(sine)、 餘 弦 _(co-sine)、 正切 (tangent)、 餘切 _(co-tangent)、 正割 (secant) 與餘割 _(co-secant) 六個比 例關係。

若直角三角形 ABC 中_{, ∠A} 的對應邊 _{a = BC,∠B} 的對應邊 b = AC, 直角 _∠C 的對應邊 c = AB 正弦函數: sin θ = a c = 對邊 斜邊 餘弦函數: cos θ = b c = 鄰邊 斜邊 正切函數: tan θ = a b = 對邊 鄰邊 鄰邊 b 對邊 a 斜邊 c θ A B C 餘切函數 _{cot θ =} b a = 鄰邊 對邊 , 正割函數 sec θ = c b = 斜邊 鄰邊 ,餘割函數 csc θ = c a = 斜邊 對邊 三角函數的幾何意義_: 單位圓(半徑為1的圓) 中 sin θ = P Q OP = P Q 半弦 cos θ = OQ OP = OQ tan θ = ST OT = ST 切線 sec θ = OS OT = OS 割線 x y O P S T (1, 0) Q θ 銳角特別角 ₃₀◦_{− 45}◦_{− 60}◦ _{三角函數的取值:} θ 30◦ ₄₅◦ ₆₀◦ sin θ 1₂ √ 2 2 √ 3 2 cos θ √ 3 2 √ 2 2 12 tan θ √ 3 3 1 √ 3 csc θ sec θ tan θ sin θ cos θ cot θ 1

圖

_1: 三角函數的基本恆等關係圖

三角函數基本關係 平方關係_{: sin}2

θ + cos2_{θ = 1, tan}2_{θ + 1 = sec}2_{θ, 1 + cot}2_{θ = csc}2_θ

如圖:1 (第 1頁)

倒數關係_{: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1}

對角線關係: 對角三角函數乘積為1。(互為倒數關係) 如圖:1(第 1頁)

商數關係_: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積。 如圖:1(第 1頁) tan θ = sin θ_{cos θ} , cot θ = cos θ_{sin θ} , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ

餘角關係_{: ∠C} 為直角的 _△ABC 中_{, ∠A + ∠B = 90}◦ _{則 ∠A 的對邊恰為∠B 的鄰邊, ∠A 的鄰邊}

恰為 _∠B 的對邊

其三角函數 sin A = cos B, cos A = sin B , tan A = cot B, sec A = csc B 的關係 正弦、 餘弦與正切的增減_: 銳角正弦函數值為遞增、 餘弦函數為遞減、 正切函數為遞增。

sin θ cos θ tan θ

ր ց ր

求銳角 θ 的三角函數值:

1. 直角三角形法: 利用含θ 角的直角三角形,找出此三角形的三邊邊長再依三角函數定義求比值。 2. 基本恆等式代換法: 利用正六邊形三角函數基本恆等式代換(儘量用 sin θ, cos θ 代換) 求值。

例題

範例 _1: 直角三角形 ABC 中_{,∠C = 90}◦_{,AB = 5, AC = 3, BC = 4, 求 sin A, cos A, tan A 及}

sin B, cos B, tan B 的值?

4 5, 3 5, 4 3; 3 5, 4 5, 3 4

演練 1a : 直角三角形 ABC 中_{,∠C = 90}◦_{,AB = 13, AC = 5, BC = 12, 求 sin A, cos A, tan A 的}

值? 12 13, 5 13, 12 5

演練 1b : 直角三角形ABC中_{,∠C = 90}◦_{,BC : AC = 3 : 4,求sin A, cos A, tan A的值?} 3 5, 4 5, 3 4

範例 _{2: △ABC} 中 (非直角三角形_{),AB = 14, BC = 13, AC = 15,}求 _{sin A}及 cos B =?

(解:) A D C B 14 13 15 sin A = 12 15;cos B = 5 13

演練 _{2a : △ABC} 中_{,∠C = 90}◦ _{, 且} AC = 15, tan A = 13 , 求BC 與AB 長? BC = 5, AB = 5 √ 10 演練 2b : 直角三角形 ABC 中_{,∠C = 90}◦_{, 若 tan A =} 3 4 ,BC = 6, 則 AB =? 並求 sin A =? 10;3 5

演練 2c : 直角三角形 ABC 中_{,∠C = 90}◦_{,AB = 10, 若 sin A =} 3

5 , 則 BC =? 並求 sin B =? 6;4₅ 演練 2d : 一長梯斜靠牆邊,梯子與地面的夾角為θ , 已知cos θ = 8 17,梯腳距牆角底邊4公尺,求梯子 頂端的垂直高度 h? 15 2 h 4 梯子 90◦

演練 _{2e : △ABC}中,AB = 7, BC = 5, AC = 6,(非直角三角形)求cos A及tan C =?

5 7; √ 24 範例 _3: 利用作圖法求 tan 22.5◦ _{=? A} D C B tan 22.5◦ ₌√_{2 − 1}

演練 3a : 直角三角形 ABC 中_{,∠C = 90}◦_{, ∠A = 60}◦_{,求 sin A, cos A 值?}

√ 3 2 ;

1 2

演練 3b : 等腰直角三角形 ABC 中_{,∠C = 90}◦_{, 求 sin A, cos B, tan A值?}

√ 2 2 ; √ 2 2 ;1

範例 _4: 設 θ 為銳角, 且_{sin θ = 23 ,} 利用作圖法求 cos θ,tan θ 三角函數值? cos θ =

√ 5 3 , tan θ = 2√5 5 演練 4a : 設θ 為銳角,且 cos θ = 1 3 ,,利用作圖法求 sin θ,tan θ 三角函數值? 2√2 3 ; 2 √ 2 演練 4b : 已知 θ 為銳角, 且tan θ = 1 2 , 利用作圖法求 sin θ, cos θ 的值? sin θ = 1 √ 5, cos θ = 2 √ 5 範例 _5: 設_θ 為銳角_, 且tan θ = √ 2 2 ,利用三角函數基本關係求 sin θ, cos θ的值? sin θ = 1 √ 3, cos θ = √ 6 3 演練 5a : 求sin237◦_{+ cos}2 37◦ ₌ 1

演練 _{5b :} 求_{sin 30}◦_{+ cos 45}◦_{+ tan 60}◦ _值?

1+√2+2√3 2 演練 5c : 求sin237◦_{+ sin}2₅₃◦ ₌ 1 演練 5d : 已知 θ 為銳角, 且sin θ = 3 4 , 求 cos θ, tan θ的值? √ 7 4 ; 3 √ 7

範例 _6: 設 θ 為銳角, 且sin θ = k , 試利用恆等關係, 以k 表示 cos θ 及tan θ 的值? cos θ =√_{1 − k}2_{; tan θ = √}k

1−k2

演練 _{6a :} 設_θ 為銳角_,且 cos θ = k , 試利用作圖法_, 以k 表示 _{tan θ} 的值_? tan θ =

√ 1−k2 k 演練 6b : 設θ 為銳角,且 sin θ = k , 試求 sin(90◦_{− θ) 的值?} √ 1 − k2 演練 6c : 設θ 為銳角,且 tan θ = k , 試求 sin θ 的值? k √ 1+k2 範例 _7: 設 θ 為銳角, 且sin θ + cos θ = 7 5 , 求sin θ cos θ =? 12 25 演練 7a : 設θ 為銳角,且 _{sin θ − cos θ =} 1 3 , 求sin θ cos θ =? 4 9 演練 7b : 設θ 為銳角,且 sin θ cos θ = 7 18 , 求sin θ + cos θ 值? 4 3 演練 7c : 設θ 為銳角,且 _{sin θ − cos θ =} 1

5 , 求sin θ + cos θ =? 及sin θ 值?

7 5; 4 5 演練 7d : 已知 θ 為銳角, 且sin2_{θ − cos}2 θ = 7 25 ,求 sin θ 及cos θ 值 ? 4 5, 3 5 範例 _8: 化簡 sin θ 1 + cos θ − 1 − cos θ sin θ =? 0 演練 8a : 化簡 cos θ 1 − sin θ − 1 + sin θ cos θ =? 0

範例 _9: 已知 45◦ _{< θ < 90}◦ _{, 試比較三角函數值 a = sin θ, b = cos θ, c = tan θ 的大小?}

c > a > b

演練 9a : 試比較三角函數值 a = sin 20◦_{, b = cos20}◦_{, c = tan 20}◦_{,A = sin 70}◦_{, B = cos70}◦_{, C =}

tan 70◦ _{的大小? hint: 引進sin 60}◦_{, tan 30}◦ _比較

(解_{:)a = B < c <} 1 √ 3 < √ 3 2 < b = A < 1 < C

演練 _{9b :} 試比較三角函數值 _{sin 15}◦_{, cos 15}◦_{, tan 15}◦ _的大小?

(解:)sin 15◦ _{< tan 15}◦ _{< cos 15}◦

演練 9c : 試比較三角函數值 a = sin 70◦_{, b = cos 70}◦_{, c = tan 70}◦ _的大小? b < a < c

習題_8-1 直角三角形的邊角關係 1. 求下列各式的值:

(a) (1 + sin 30◦_{+ sin 45}◦_{)(1 − cos 45}◦_{+ cos 60}◦_{) =?}

(b) tan 30◦_{tan 60}◦_{− tan 45}◦_{cos 60}◦ _=?

(d) sin2

10◦_{+ sin}2

25◦_{+ sin}2

65◦_{+ sin}2

80◦_=?

2. 若θ 為銳角, 且sin θ = 5₁₃ 求cos θ 及 tan θ 的值? 3. 若θ 為銳角, 且_{cos θ = 23 ,} 求 sin θ 及tan θ 的值?

4. 三個大小相同的正方形並排如圖:求tan θ1+ tan θ2+ tan θ3 的值?

θ1 θ2 θ₃

5. 設銳角_△ABC 的三頂點 A,B,C, 所對的邊長分別為 a, b, c ,AH 為高, 則 (a) AH 長為? (1) b sin B (2) c sin C (3) b sin C (4) c sin B (5) a sin A (b) △ABC 的面積可表為 ₍₁₎ 1 2ac sin B (2) 1 2ab sin C (3) 1 2c 2 sin C (4) 1₂ac sin B (5) 1 2abc sin A 6. 設0◦ _{< θ < 90}◦ _且

sin θ − cos θ = 15, 試求下列各值? (1) sin θ cos θ =? (2) cos θ + sin θ =? 7. 設₀◦ _{< θ < 90}◦ _且

cos θ + sin θ = 65, 試求下列各值_{? (1) sin θ cos θ =? (2) cos θ − sin θ =?} 8. 若_{∠A, ∠B} 互餘, 且cos A = 5_13, 求csc B 之值?

9. 設_θ 為銳角_, 且tan θ = k , 試以 _k 表示 _{sin θ} 及cos θ 的值_? 10. 化簡求 (sin 51◦_{+ sin 39}◦₎2_{+ (sin 51◦}

− sin 39◦₎2 _值?

11. 比較大小關係?

(a) sin 50◦ _{sin 60}◦

(b) cos 50◦ _{sin 60}◦

(c) cos 50◦ _{cos 60}◦

(d) cos 30◦ _{sin 30}◦

(e) a = sin 20◦_{, b = cos 20}◦_{, c = tan 20}◦_{, d = cos 30}◦_{, e = tan 30}◦

(f) a′ _{= sin 70}◦_{, b}′ _{= cos 70}◦_{, c}′ _{= tan 70}◦

12. 設_θ 為銳角_, 且方程式 _5x2

− 7x + k = 0的兩根為 _{sin θ, cos θ,} 求下列各值_? (a) sin θ + cos θ

(b) sin θ cos θ (c) k

(d) sin3

習題

_8-1

1a. 7₄ 1b. 1₂ 1c. 0 1d. 2 2. 12_13,125 3. √ 5 3 ; √ 5 2 4. 11 6 5a. 3,4 5b. 1,2,4 6. 12/25; 7/5 7. 11/50, ±√14/5 8. 13/5 9. sin θ = √ k 1 + k2; cos θ = 1 √ 1 + k2 10. 2 11a. < 11b. < 11c. > 11d. > 11e. a < c < e < d < b 11f. a′ _{< b}′ _{< c}′ 12a. 7 5 12b. 12₂₅ 12c. k = 12 5 12d. 91 125

8.2

廣義角與極坐標

廣義角_: 由起始邊依逆時針方向旋轉至終邊的角為正向角, 順時針方向旋轉出的角為負角。 有正負方向, 不限0◦ _到180◦ _{之間的有向角, 稱為廣義角。} 終邊 始邊 正向角 始邊 終邊 負向角 標準位置角_A與參考角 _{θ :} 廣義角的頂點在原點,且始邊在 x軸的正向, 稱為標準角。 設A 是標準位置角, 則 A 的終邊與 x 軸所夾的銳角 θ , 稱為 A 的參考角。 1. 若 A 為第一象限角 (終邊在第一象限的標準角), 則參考角 θ = A 2. 若 A 為第二象限角 (終邊在第二象限的標準角), 則參考角 θ = 180◦_{− A} 3. 若 A 為第三象限角 (終邊在第三象限的標準角), 則參考角 _{θ = A − 180}◦ 4. 若 A 為第四象限角 (終邊在第四象限的標準角), 則參考角 θ = 360◦_{− A} x y O P(x, y) A x y O P(x, y) A θ 標準角A與參考角 θ 關係 x y O P(x, y) A θ x y O P(x, y) A θ

1. 若A為第一象限角 (終邊在第一象限的標準角),則sin A = sin θ, cos A = cos θ, tan A = tan θ

2. 若A為第二象限角(終邊在第二象限的標準角),則_{sin A = sin θ, cos A = − cos θ, tan A =} − tan θ

3. 若A為第三象限角(終邊在第三象限的標準角),則_{sin A = − sin θ, cos A = − cos θ, tan A =} tan θ

4. 若A為第四象限角(終邊在第四象限的標準角),則_{sin A = − sin θ, cos A = cos θ, tan A =} − tan θ

Note: sin A, cos A, tan A 函數值分別與參考角 θ 的 sin θ, cos θ, tan θ 函數值只是正負符號差 別而已。 同界角(共同的始邊與終邊): 兩個標準位置角θ1 與 θ2 具有相同的終邊,稱為同界角。 兩同界角的差為 360◦ _{的整數倍。 即 θ} 1 與θ2 同界角⇔ θ1 = θ2± k × 360◦, k ∈ Z x y θ1 θ2 = θ1+ 360◦ x y θ1 θ1 = θ3+ 360◦ 同界角關係: θ2− θ1 = 360◦· k x y 正向角 θ= 210◦ 負向角 φ_{= −510}◦ 28◦ x y 0 208◦ 928◦ 廣義角三角函數定義_{: θ} 角終邊上, 任一點 P (x, y), r = OP =px2 _{+ y}2

定義_{: sin θ =} y_{r , cos θ =} x_{r , tan θ =} y_{x , x 6= 0}

x y −1 ₋1 2 12 1 −1 −1₂ 1 2 1 O P (x, y) θ 三角函數與坐標關係 x y −1 ₋1 2 12 1 −1 −1₂ 1 2 1 A (all) S (sin) T (tan) C (cos) 廣義三角函數值四個象限角的正負: C-A-S-T 正值 三角函數值的正負號_:

表

1: 四個象限角下, 三角函數值的正負號

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin θ =

y_r

+

+

₋

₋

cos θ =

x_r

+

₋

₋

+

tan θ =

x_y

+

₋

+

₋

cot θ =

y_x

+

₋

+

₋

sec θ =

_xr

+

₋

₋

+

csc θ =

r_y

+

+

₋

₋

特別角函數值_: θ 0◦ ₃₀◦ ₄₅◦ ₆₀◦ ₉₀◦ ₁₂₀◦ ₁₃₅◦ ₁₅₀◦ ₁₈₀◦ ₂₇₀◦ sin θ 0 1₂ √ 2 2 √ 3 2 1 √ 3 2 √ 2 2 12 0 −1 cos θ 1 √ 3 2 √ 2 2 12 0 −12 − √ 2 2 − √ 3 2 −1 0 tan θ 0 √ 3 3 1 √ 3 未定義 ₋√3 _{−1 −} √ 3 3 0 未定義

三角函數值域_{: | sin θ| ≤ 1,| cos θ| ≤ 1,tan θ ∈ R,cot θ ∈ R, | sec θ| ≥ 1,|cscθ| ≥ 1}

同角的弦、 切、 割函數大小關係_{: | sec θ| > | tan θ| > | sin θ| , |cscθ| > | cot θ| > | cos θ|} 三角函數的四個象限角函數值_: 若以銳角θ 為標準角,則第二象限角可表為 90◦_{+ θ,第三象限角可表}

為180◦_{+ θ, 第四象限角可表為 270}◦_{+ θ 。 任意廣義角三角函數值可表為銳角θ 的三角函數。}

1. 第二象限角的正、 餘弦函數值: sin(90◦_{+ θ) = cos θ , cos(90}◦_{+ θ) = − sin θ}

2. 第三象限角的正、 餘弦函數值_{: sin(180}◦_{+ θ) = − sin θ , cos(180}◦_{+ θ) = − cos θ}

3. 第四象限角的正、 餘弦函數值: sin(270◦_{+ θ) = − cos θ , cos(270}◦_{+ θ) = sin θ}

三角函數的奇偶性質_{: sin(−θ) = − sin θ ,cos(−θ) = cos θ} 奇函數: 類似x3_的性質 ,若變數互為相反數, 則其函數值亦互為相反數。 即具有_{f (−x) = −f(x)} 性質的函數_, 稱 _{f (x)} 為奇函數。 sin θ 具有奇函數性質 (函數圖形對稱於原點)。 偶函數: 類似x2_{的性質, 若變數互為相反數, 其函數值相同不變。 即具有} f (−x) = f(x) 性質的

函數,稱 f (x) 為偶函數。 cos θ 具有偶函數性質 (函數圖形對稱於 y 軸₎。 三角函數的同值不同角度關係_: 觀察標準角 θ 的坐標 (x, y) 與θ + 90◦_{, θ + 180}◦_{, θ + 270}◦ _坐標關 係。 由 sin θ = y r,cos θ = x r 可得知

sin θ = sin(180◦_{− θ); cos θ = cos(−θ)}

tan θ = tan(180◦_{+ θ); cot θ = cot(180}◦_{+ θ)}

x y O Pθ(x, y) Pθ+90◦(−y, x) Pθ+180◦(−x, −y) Pθ+270◦(y, −x) θ θ 角與 θ + 90◦_{, θ + 180}◦_{, θ + 270}◦ _坐標關係 x y x y x y θ 90◦ θ+ 90◦ θ r r (x, y) (−y, x) 三角函數的負角關係、 餘角關係、 補角關系_:

1. 餘角關係 _{∠A + ∠B = 90}◦ _{: sin A = cos B, sin B = cos A}

2. 補角關係 _{∠A + ∠B = 180}◦_{: sin A = sin B, cos A + cos B = 0}

3. 周角關係_{∠A + ∠B = 360}◦ _{: sin A + sin B = 0, cos A = cos B}

4. 反向角關係 _{∠A = 180}◦_{+ ∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (相反數關係)}

5. 奇偶性_{: sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ;tan(−θ) = − tan θ}

6. 三角函數值相反數_{:sin(−θ) = − sin θ; cos(180}◦_{− θ) = − cos θ}

tan(180◦_{− θ) = − tan θ; cot(180}◦_{− θ) = − cot θ}

sec(180◦_{+ θ) = − sec θ; csc(180}◦_{+ θ) = − csc θ} 三角函數基本關係(廣義角) 平方關係_{: sin}2 θ + cos2 θ = 1, tan2 θ + 1 = sec2 θ, 1 + cot2 θ = csc2 θ 如圖:1 (第 1頁)

倒數關係_{: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1}

對角線關係: 對角三角函數乘積為1。(互為倒數關係) 如圖:1(第 1頁)

商數關係: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積。 如圖:1(第 1頁) tan θ = sin θ_{cos θ} , cot θ = cos θ_{sin θ} , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ

極坐標 _{: [r, θ] ≡ (x, y) = (r cos θ, r sin θ)} 若射線−→OP 與極軸(水平射線) 的夾角為 θ ,OP = r , 則 P 點的極坐標為 [r, θ] , 而直角坐標 為(x, y) = (r cos θ, r sin θ), 其中 OP =px2_{+ y}2 180◦ ₀◦ _(極軸) 270◦ 90◦ O 極點 P [r, θ] ≡ (x, y) = (r cos θ, r sin θ) r θ 極坐標與平面坐標 弧度制的度數 _{θ :} 弧度度量是一種用弧長比例關係來衡量夾角大小的度數單位。 半徑為r的圓 O,在圓周上取一段弧長P Q= s = r,⌢ 則P Q⌢ 所對應的圓心角_{∠P OQ} 為1弧度。 單位圓圓心角 ₉₀◦ _{所對的弧長是} π 2 , 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位。 即 弧度 _{π ≡ 180}◦ _{;2π ≡ 360}◦ _{。1弧度 ≡} 180 ◦ π ; 1 ◦ _≡ π 180 弧度 。 O s= rθ θ r= 1 P Q O A B ⌢ AB= 1₄l= π₂r 90◦ θ= 90◦ O A B ⌢ AB= 1₂l= π r 180◦ θ= 180◦ O A B ⌢ AB= l = 2 π r 360◦ θ= 360◦ x y 0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦ 180◦ 210◦ 240◦ 270◦300◦ 330◦ 360◦ π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π √ 3 2 , 1 2  √ 2 2 , √ 2 2   1 2, √ 3 2   −√23, 1 2   −√22, √ 2 2   −12, √ 3 2   −√23,− 1 2   −√22,− √ 2 2   −12,− √ 3 2  √ 3 2 ,− 1 2  √ 2 2 ,− √ 2 2   1 2,− √ 3 2  (−1, 0) (1, 0) (0, −1) (0, 1)

已知一三角函數, 求一般角 θ 的其餘三角函數值方法: • 銳角修正法: 先將 θ 當銳角, 找出含此銳角的直角三角形的三邊長, 依三角函數定義求比值 再依 θ 象限角修正函數值的正負值。 • 基本恆等式代換法_: 利用正六邊形三角函數基本恆等式₍平方關係、 商數關係、 倒數關係₎ 代 換 ₍儘量用 sin θ, cos θ 代換) 求值。 • 銳角參考角法: 每一標準角θ終邊與x軸所夾之銳角參考角α,θ 角的三角函數值絕對值與α 的 三角函數值相同, 再由θ 象限角位置決定其三角函數值的正負。 • 坐標法: 利用cos θ = x r, sin θ = y r 找出 θ 終邊上的點P (x, y)坐標,再依三角函數定義求其 餘三角函數值。

例題

範例 _1: 求下列廣義角的同界角 θ,使 0◦ _{≤ θ < 360}◦_{, A = 1000}◦_{, B = −200}◦ _? θA= 280 ◦_{, θ} B = 160◦ 演練 _{1a :} 求下列各標準位置角_, 分別為第幾象限角_{? 120}◦_{, −120}◦_{, 330}◦_{, −330}◦ 2,3,4,1 演練 1b : 求51◦ _{的最大負同界角及 −669}◦ _{的最小正同界角?} −309 ◦_;51◦ 演練 1c : 若θ 為51◦ _{的同界角, 則} θ 3 可能為第幾象限角? 1,2,3象限 演練 1d : 若θ 為60◦ _{的同界角, 則2θ 可能為第幾象限角?} 第2象限

範例 _2: 分別求 sin θ, cos θ, tan θ 的三角函數值? θ = 120◦ _{, θ = 225}◦ _{, θ = 330}◦

(解:) x y 0 120◦ √ 3 1 2 (−1,√3) 60◦ x y 0 225◦ 1 1 2 (−1, −1) 45◦ _x y 0 330◦ ₁ √ 3 2 (√_{3, −1)} 30◦

演練 2a : 求下列三角函數 sin 150◦_{, cos 210}◦_{, tan(−60}◦_{) 的值?}

1 2; − √ 3 2 ; − √ 3

演練 2b : 求下列圖形 θ 角之 sin θ, cos θ, tan θ 三角函數值?

−1 2 ;− √ 3 2 ; 1 √ 3

x y

O

P₍₋√_{3, −1)} θ

演練 2c : 求下列三角函數 _sin(−150◦_{),cos 330}◦_,tan(−120◦_)的值? − 1 2; √ 3 2 ; √ 3

演練 2d : 求下列三角函數值_{? sin(−135}◦_{),cos 135}◦_,tan(−135◦_{) ?} − √

2 2 ;

−√2 2 ; 1

演練 2e : 求下列三角函數值? sin 480◦_{,cos 480}◦_{,tan 480}◦ _?

√ 3 2 ;−12 ; − √ 3 廣義角三角函數值

範例 _3: 若 θ 為標準位置角,其終邊上一點坐標 _{P (−2, −1) ,} 求 sin θ, cos θ, tan θ 的值? sin θ = −√5 5 , cos θ = −2 √ 5 5 , tan θ = 1 2

演練 3a : 設_{P (12t, −5t), t > 0}為標準位置角θ終邊上一點坐標,求sin θ, cos θ, tan θ之值?

−5 13; 12 13; −5 12

演練 3b : 求下列三角函數值? sin 540◦_{,cos 450}◦_{,tan 180}◦ _? 0; 0; 0

演練 _{3c :} 求下列三角函數值_{? sin(−90}◦_),cos(180◦_{),tan 90}◦ _? −1; −1; 無意義 (未定義)

範例 _4: 若已知 cos θ = −4_{5 ,} 求sin θ 與tan θ 的值?

(解:)若 θ 是第二象限角:sin θ = 3 5; tan θ = − 3 4 , 若 θ 是第三象限角:sin θ = − 3 5; tan θ = 3 4 x y 0 θ 3 4 5 (−4, 3) x y 0 θ 3 4 5 (−4, −3)

演練 4a : 若θ 是第二象限角, 且 _{sin θ = 35 ,}求 cos θ 與tan θ 的值? cos θ = −45; tan θ = −

3 4

演練 4b : 若已知 tan θ = 3 , 且θ 為銳角, 求sin θ 及 sin(180◦_{− θ)}

3 √ 10; 3 √ 10 演練 4c : 若已知 _{cos θ = −}1 2 , 則 sin θ 的值可能為何? ±√23 演練 4d : 若θ 是第二象限角, 且 sin θ = 4 5 ,求 cos θ −3 5

範例 _5: 若 θ 是第二象限角, 且 sin θ = 3 5 求 sin(θ + 90 ◦_{) 、cos(180}◦ _{− θ) 及 tan(90}◦ _{+ θ) 值?} −4 5 ; 4 5; 4 3 演練 5a : 若已知 cos θ = 1 2 ,則 sin(270 ◦_{− θ) 及的值sin(270}◦_{+ θ)可能為何?} − 1 2; −1 2 演練 5b : 若sin θ = 1 3,且 cos θ < 0 , 求tan θ 值? −√2 4 演練 _{5c :} 若_{tan θ =} 1 2, 且 sin θ < 0 , 求cos θ 值? −2√5 5 演練 5d : 若sin 62◦ _{= cos θ 且 0}◦ _{≤ θ < 360}◦ _{, 則θ 可能值為何?} 28 ◦_{, 332}◦ 演練 5e : 若sin 21◦ _{= − sin θ 且 0}◦ _{≤ θ < 360}◦ _{, 則θ 可能值為何?} 201 ◦_{, 339}◦

範例 _6: 求 cos 10◦_{+ cos 20}◦_{+ cos 30}◦_{+ · · · + cos 160}◦_{+ cos 170}◦ _=? 0

演練 6a : 求sin 10◦_{+ sin 20}◦_{+ sin 30}◦_{+ · · · + sin 340}◦_{+ sin 350}◦_{+ sin 360}◦ _=? 0

演練 6b : 求cos 1◦_{+ cos 2}◦_{+ cos 3}◦_{+ · · · + cos 178}◦_{+ cos 179}◦_{+ cos 180}◦ _=? −1

演練 6c : 求sin 40◦_{+ sin 130}◦_{+ sin 220}◦_{+ sin 310}◦ _值? 0

演練 6d : 求sin 20◦_{+ cos 20}◦_{+ cos 110}◦_{+ sin 250}◦ _值? 0

範例 _7: 若 θ 是第三象限角,且滿足_{cos θ − sin θ = 13 ,} 求sin θ cos θ 與sin θ + cos θ 的值?

(解_{:)sin θ cos θ =} 4 9 , sin θ + cos θ = − √ 17 3 演練 7a : 若函數 f (θ) = sin θ, g(θ) = cos θ ,且θ = 60◦ ₌ π 3 求下列函數值? i. 2f (θ) √ 3 ii. f (θ 2) 1 2 iii. [f (θ 2)] 2 1 4 iv. f (2θ) √ 3 2 v. f (−θ) −√3 2 vi. f (−θ₂) −1 2 vii. 2g(θ) 1 viii. g(θ 2) √ 3 2 ix. [g(θ 2)] 2 3 4 x. g(2θ) −1 2 xi. g(−θ) 1 2 xii. g(−θ₂) √ 3 2 演練 7b : 化簡sin2 x cos2 x + cos4 x 為何? cos 2 x 演練 7c : 化簡 cos x 1 + sin x + tan x為? 1 cos x

極坐標 範例 _8: 已知直角坐標為 P (2, 2√3), O(3√_{2, −3}√2) , 求P, Q兩點的極坐標為何? (解_{:)P [4, 60}◦_{],Q[6, 315}◦_] 演練 8a : 將下列極坐標轉換成直角坐標系? A[10,π 3],P [6, 135 ◦_] A(5, 5√_{3),P (−3}√2, 3√2) 演練 8b : 兩點的直角坐標為P (3, 3), Q(2√_{3, −2) ,}轉化為極坐標為何? P (3 √ 2,π 4),Q(4, 11π 6 ) 弧度制 範例 _9: 求下列三角函數值_{? sin(−}π 6), cos 4π 3 , tan π 3 −1 2;− 1 2; √ 3 演練 9a : 一點 P 在半徑為2的圓周上運動,當P 點在圓周上行經了 3π 2 單位,則P 點繞圓心轉動的 角度為多少_? 3π 4 演練 9b : 將下列角度換算成弧度或將弧度換算成角度_{? −120}◦_{, 330}◦_{, 135}◦_,3π,−3π 4 , − π 2 −2π 3 , 11π 6 , 3π 4 ;540◦, −135◦, −90◦ 演練 9c : 將弧度 5π 6 , 2化為度? 5π 6 = 150 ◦_{, 2 =} 360 ◦ π ≈ 114.59 ◦ 演練 9d : 化簡完成下列式子: 例 sin(x + 2π) = sin x 1. sin(−x) = − sin x 2. cos(−x) = cos x 3. sin(π − x) = sin x 4. cos(π − x) = − cos x 5. sin(x + π) = − sin x 6. cos(x + π) = − cos x 7. sin(x + π 2) = cos x 8. cos(x + π 2) = − sin x 習題_8-2 廣義角與極坐標 1. 設0◦ _{< θ ≤ 360}◦_{,若 6θ 和 θ 是同界角, 試求 θ 的值?} 2. 若θ 角為第二象限角, 則 θ 3 可能為第幾象限角? 3. 試以銳角的三角函數表示 _tan(−190◦_{) =?, sin(−510}◦_{) =?}

5. 利用坐標法求三角函數值:若直線←→OP 與x軸正向夾角為θ,終邊上點P的坐標如下,分別求三 角函數sin θ, cos θ, tan θ 值?

(a) P (4, −3) (b) P (−3, 4) (c) P (−3, −3) (d) θ = 90◦ 6. 先將 θ 化為較簡同界角後,再求其三角函數值 ? (a) sin 390◦ (b) cos 420◦ (c) sin 405◦ (d) cos 210◦ (e) sin 510◦ (f) tan 405◦

(g) sin 40◦_{+sin 130}◦_{+sin 220}◦_{+sin 310}◦ _=?

7. 正餘弦函數的奇偶性質: (a) sin(−240◦₎ (b) cos(−240◦₎ (c) sin(−60◦₎ (d) cos(−45◦₎ (e) sin(−30◦₎ (f) sin(−120◦₎

8. 已知θ 角中 sin θ, cos θ, tan θ 的一個三角函數值, 求其餘的三角函數值? (a) sin θ = 12 13, θ 為第二象限角? (b) cos θ = −4 5, θ 為第三象限角? (c) sin θ = 2 3, tan θ < 0 ? (d) cos θ = −1 3, 180 ◦ _{< θ < 270}◦ _? (e) tan θ = −1 3, sin θ > 0 ?

9. 已知 _{cos θ = −35 ,}且 θ 為第二象限角, 求sin θ, tan θ 三角函數值?

10. 已知 _{sin θ = −35 ,}且 θ 為第四象限角, 求cos θ,sin(θ + 180◦_{),tan(−θ) 三角函數值?}

11. 已知 θ 為銳角且 tan θ = 2, 求 sin(180◦_{− θ) 的值?}

12. 已知θ角的頂點為原點,始邊落在X軸的正向上,終邊通過點_{P (2, −3) ,}試求sin θ, cos θ, tan θ 三角函數值?

13. 若_{tan θ = 43} 求 3 sin θ + 2 cos θ

2 sin θ + 3 cos θ =? (求出 sin θ, cos θ 代入嗎? 分子分母同除以cos θ) 14. 化簡 _sin(90◦_{+ θ) cos(90}◦_{+ θ) − sin(180}◦_{− θ) cos(180}◦_{− θ) =?}

15. 設_cos(−100◦_{) = 1a, 試求 tan 80}◦ _{=? (用a表示)}

16. 設 _△ABC 為一直角三角形,BCDE 是以 BC 為一邊向外作出的正方形, 若 BC = 5, AC = 4, AB = 3 試求 _{cos ∠ACD =?, ∆ACD} 面積為?

17. 化簡 180 P x=1 cos x◦ _=?; 360 P y=1 sin y◦ _=? 18. 已知 _P點的極坐標為 _{[4, 120}◦_{] ,求 P點的直角坐標為何?} 19. 已知 Q點的直角坐標為 _{(−2, −2) ,} 求Q點的極坐標為何?

20. 設θ 為第二象限角且 _{cos θ + sin θ = 15,} 試求下列各值_{? (1)sin θ cos θ=? (2)cos θ − sin θ =?} 21. 求下列三角函數值? (a) sinπ 4cos π = (b) cos5π 4 sin( −π 4 ) = (c) tanπ 4 − sin 3π 2 = (d) tan5π 3 cos 8π 3 =

習題

_8-2

1. 72, 144, 216, 288, 360度 2. 1, 2, 4 象限 3. − tan 10◦_{, − sin 30}◦ 4. −3 5 ; 4 5;−34 ; 5a. sin θ = −3 5 , cos θ = 4 5, tan θ = − 3 4 5b. sin θ = 4 5, cos θ = −3₅, tan θ = −4₃ 5c. sin θ = − √ 2 2 , cos θ = − √ 2 2 , tan θ = 1

5d. sin θ = 1, cos θ = 0, tan θ 無意義 6a. 1 2 6b. 1 2 6c. √2 2 6d. −√3 2 6e. 1₂ 6f. 1 6g. 0 7a. √3 2 7b. −1 2 7c. −√3 2 7d. √2 2 7e. −1 2 7f. −√3 2 8a. cos θ = −5 13, tan θ = − 12 5 8b. sin θ = −3 5, tan θ = 3 4 8c. cos θ = −√5 3 , tan θ = −2√5 5 8d. sin θ = −2√2 3 , tan θ = 2√2 8e. sin θ = √10 10 , cos θ = −3√1010 9. sin θ = 45, tan θ = −43 10. cos θ = 45,sin(θ+180◦_{) =} 3 5,tan(−θ) = 34 11. 2√5 5

12. sin θ = − 3 √ 13, cos θ = 2 √ 13,tan θ = − 3 2 13. 18 17 14. 0 15. √a2_{− 1} 16. −3/5; 8 17. −1, 0 18. P (−2, 2√3) 19. Q[2√2, 225◦_] 20. −12/25; −7/5 21a. −√2 2 21b. 1 2 21c. 2 21d. √3 2

8.3

正弦、 餘弦定理與面積公式

三角形面積_{: a△ABC =} 1 2bc sin A = 1 2ac sin B = 1 2ab sin C c a b h = b sin A = a sin B A B(c, 0) C(b cos A, b sin A) 正弦定理_: a sin A = b sin B = c sin C = 2R , △ 三邊長比等於其三內角的正弦比, 且比值為其外接圓 的直徑。

作銳角_△ABC 的外接圓 _O, 則_△ABC 與直角 _△A′_{BC, ∠A = ∠A}′ _{(對相同弧長, 為等圓周}

角), 因此 sin A = sin A′ ₌ a 2R,同理可推 sin B = sin B ′ ₌ b 2R,sin C = sin C ′ ₌ c 2R 故2R = a sin A = b sin B = c sin C

鈍角 _△ABC 的外接圓 O, 則_△ABC 與直角 _△A′_{BC, ∠A + ∠A}′ _{= 180}◦ _{(兩對應弧長和, 恰}

為一圓周) 則sin A = sin A′ O c a b A B A′ C 2R O b a c A C B O c a b A B A ′ C 2R

圖

_2: 正弦公式的推導圖 餘弦定理 _{: △} 第三邊平方=兩鄰邊平方和 _−2×鄰邊乘積_×夾角餘弦值。 將三角形平移旋轉如圖_{: △ABC} 中 a2 _{= BC}2 = (b − c cos A)2 + (0 − c sin A)2 _{= b}2 ₊

c2_(sin2 A + cos2 A) − 2bc cos A = b2 _{+ c}2 − 2bc cos A 。 若 _{∠A = 90}◦ _{則可證畢氏定理:} ∠A = 90◦_{, a}2 = b2 + c2 1. a2 _{= b}2_{+ c}2 − 2bc cos A , 或 cos A = b2+ c_2bc2− a2 2. b2 = a2 + c2

− 2ac cos B , 或 cos B = a2+ c_2ac2− b2 3. c2

= a2

+ b2

− 2ab cos C , 或 cos C = a2+ b_2ab2 − c2

b a c A C(b, 0) B(c cos A, c sin A) b a c A C(b, 0) B(c cos A, c sin A) b a c A C(b, 0) B(c cos A, c sin A)

圖

3: 餘弦公式的推導圖 由三角形邊長判別內角為銳角、 直角或鈍角_: 餘弦定理的推廣 1. 若 _∠A 為直角_{(cos A = 0) ⇔ a}2 _{= b}2 _{+ c}2 2. 若 _∠A 為銳角_{(cos A > 0) ⇔ a}2 _{< b}2_{+ c}2 3. 若 _∠A 為直角_{(cos A < 0) ⇔ a}2 _{> b}2_{+ c}2 正餘弦定理解三角形邊長、 內角問題_: 若三角形的已知邊長記為_S,已知內角記為 _A,因此三角形從已 知條件可區分為以下類型: S A A Case 1: ASA S A A Case 1: SAA S S A Case 2: SSA S A S Case 3: SAS S S S Case 4: SSS S1 S2 S2 A Case 5: 兩SSA 對應的相異三角形 型1、2: 解 AAS, ASA, SSA 型三角形邊長、 內角 _⇒ 正弦定理求出其餘未知的邊長及角度。 型3、4、5: 解 _{SAS, SSS, SSA} 型三角形邊長、 內角 _⇒ 餘弦定理求出其餘未知的邊長及角 度。(已知角的對邊當第三邊)

SSA型的三角形 (不一定會全等 _△) 可能有兩種不同的三角形甚或無解。 AAA 型的三角形為相似三角形無法確定三邊長。 ∠A 為銳角時: h b a A C B a < h: 無解 h b a c A C B a= h: 恰一解 h b a a A C B B h < a < b: 兩組解 b b a c A C B a_{≥ b:} 無解 ∠A 為鈍角時: b a A C B a_{≤ b:} 無解 b a A C B a > b: 恰一解 三角形面積公式_: a△ABC = 1₂底_×高 = 1 2ab sin C = 1 2ac sin B = 1 2bc sin A (海龍公式) = ps(s − a)(s − b)(s − c) , s = 1 2(a + b + c) a△ABC = r內 · s = abc 4R外 = 1 2 q

|−⇀AB|2_|−⇀_AC|2 _{− (}−⇀_{AB ·}−⇀_AC)2

b a c A B C O D r E F

例題

範例 _{1: △ABC} 中, 已知 _{AB = 4,AC = 6,∠A = 60}◦ _{求△ABC 的面積?} 6

√ 3

演練 1a : 已知 _△ABC 中_{, AB = 3,AC = 4,∠A = 30}◦ _{求△ABC 的面積?} 3

演練 _{1b : △ABC} 中,已知 _{AB = 8,AC = 10,∠A = 150}◦ _{求 △ABC 的面積?} 20

演練 1c : 已知四邊形 ABCD 的對角線 AC, BD 的一個夾角為 θ , 證明: 此四邊形面積為 1 2AC × BD A B C D θ 正弦、 餘弦定理 範例 _2: 已知 _△ABC 的三內角之角度比為 3 : 4 : 5 , 求其對應邊邊長比? (已知 sin 15◦ ₌ √ 6 −√2 4 ) 2√2 : 2√3 :√6 +√2 演練 2a : 已知_△ABC 的三內角正弦比為 2 : 3 : 4 ,則此三角形是否為鈍角三角形? yes

範例 _{3: △ABC} 中_{,∠A = 45}◦_{, ∠B = 30}◦_{, AB =}√_{6 +}√_{2 , 求其他兩邊長與△ABC 的外接圓半}

徑_?(ASA) AC = 2, BC = 2√2, R = 2 演練 3a : 如圖: 半徑為2的圓 O , 其中 BC 為直徑, 且 _△ABC 為直角三角形, 且 CD = √3 , √ 3 B D A C O 2 i. 求sin A 值? ii. 求AC 長? iii. 求AD 長? 演練 _{3b : △ABC} 中_{,∠B = 60}◦_{, ∠C = 45}◦_{, BC =}√_{6 +}√_{2 ,求AC 邊長,及此三角形面積? (已知} sin 75◦ ₌ √ 6 +√2 4 ) AC = 2√3,A=3 +√3 演練 _{3c : △ABC} 中_{,∠B = 60}◦_{, ∠C = 75}◦_{, BC = 8 , 求AC 邊長, 及此三角形外接圓半徑? (已知} sin 75◦ ₌ √ 6 +√2 4 ) 4√6;R = 4√2

範例 _{4: △ABC} 中_{,∠A = 45}◦_{, ∠B = 30}◦_{, BC = 8 , 求其他兩邊長及 △ABC 的外接圓半}

徑_?(AAS)

演練 4a : 若 _△ABC 中_{,∠A = 60}◦_{, ∠B = 45}◦_{, BC = 4}√_{3 , 求邊長 AC 、 此 △ABC 的面積及外} 接圓半徑 R ? AC = 4√2;A = 12 + 4√3;R = 4 演練 4b : 若_△ABC 中_{,∠A = 45}◦_{, ∠C = 120}◦_{, AB = 3 , 求 BC 邊長?} √ 6

範例 _{5: △ABC} 中_{,∠A = 45}◦_{, AB = 3, BC =}√_{6 , 求∠B 及 ∠C? (SSA)}

∠B = 75◦_{, ∠C = 60}◦ _{或 ∠B = 15}◦_{, ∠C = 120}◦

演練 5a : 若_△ABC 中_{,∠A = 30}◦_{, AB = 8, BC = 4}√_{2 , 求∠C} 45

◦ _{或 135}◦

演練 5b : 若_△ABC 中,AB = 4√3, BC = 2√3,且 _{∠A = 30}◦ _{, 求邊長AC =?} 6

演練 5c : 小文在求解三角形ABC 的邊長,模糊的印象中條件為_{AB = 6, AC = 4, ∠B =} π 3 ,求BC 長_? 不存在此三角形 演練 5d : 小文在求解三角形ABC 的邊長,模糊的印象中條件為_{AB = 4, AC = 6, ∠B =} π 3 ,求BC 長? 2 + 2 √ 6

範例 _{6: △ABC} 中, 三對應邊分別為 a, b, c, 已知 _{a = 13, c = 15, ∠A = 60}◦ _{, 求邊長 b =? (SSA)}

b = 7, 8

演練 6a : 若_△ABC 中,AB = 8, BC = 7, 且_{∠A = 60}◦ _{, 求邊長 AC =?} 3 or 5

演練 6b : 若_△ABC 中,AB = 4√3, BC = 4, 且_{∠A = 30}◦ _{, 求邊長AC =?} 4 or 8

範例 _7: 已知半徑為5和3的兩圓相交兩點, 若過其中一交點的兩圓切線夾角為 60◦ _{(如圖示) , 求兩} 圓的圓心距離為何?(SAS) √ 19 5 3 60◦

演練 _{7a : △ABC} 中,已知 _{AB = 5, AC = 8, ∠A = 60}◦ _{,求邊長 BC = ?(SAS)} a = 7

演練 7b : 已知 _{△ABC , AB = 3, AC = 4, ∠A = 120}◦ _{, 求邊長BC =} √ 37 演練 7c : 已知 _△ABC 對應邊長a = 2, b = 3, 及 _{∠C = 60}◦ _求c邊長? √ 7 範例 _{8: △ABC} 中, 已知 AB = 7, AC = 3, BC = 5, 求_∠C 的角度?(SSS) ∠C = 120 ◦ 演練 8a : 已知 _△ABC 中, AB = 8, AC = 3, BC = 7, 求

i. sin A : sin B : sin C 7 : 3 : 8

ii. ∠A=? 60

◦

iii. △ABC 的外接圓半徑 R =?

7√3 3

iv. △ABC 的面積? 6 √ 3 演練 8b : 已知 _△ABC 三邊長, AB = 7, AC = 8, BC = 13,求 _{∠A =?} 120 ◦ 演練 8c : 已知 _△ABC 三邊長, AB = 4, AC = 5, BC = 7, 求 _△ABC 的面積? 及此三角形內切圓 半徑 r ? A= 4√6;r = √6 2 正餘弦定理應用

範例 _9: 如圖: 已知 _△ABC 中_{, AB = 4, AC = 3, ∠A = 120}◦ _{, 若 AD 為 ∠A 的角平分線, 且交}

BC 於D, 求BD 及AD 長? hint: 等面積關係或角平分線性質 y = 4√37 7 ;x = 12 7 B C A D y 3 4 x 演練 _{9a :} 已知 _△ABC 中, AB = 7, BC = 6, AC = 5 , 若 _AD 為底邊 _BC 的高_, 求 _{AD =?} 並求 出此三角形的面積為何? h = 2 √ 6;A = 6√6 演練 9b : 已知 _△ABC 中, AB = 7, BC = 6, AC = 5 , 若 θ 為此三角形最大內角, 求 cos θ 值、 三 角形外接圓半徑 R 及內切圓半徑 r 為何? cos θ = 1 5, R = 35√6 24 , r = 2 演練 9c : 已知 _△ABC 中, AB = 7, BC = 6, AC = 5 , 若 AD交 BC 於D, 且 BD : CD = 2 : 1, 求AD =? 5 演練 9d : 已知 _△ABC 中, AB = 7, BC = 6, AC = 5 , 求此三角形的中線 AD =? 2 √ 7 演練 9e : 已知 _△ABC 中, AB = 7, BC = 6, AC = 5 , 若內角平分線 AD 交BC 於 D, 求角平分 線AD =? √ 105 2 範例 _10: 已知 _△ABC 的三邊長, BC = a, AC = b, AB = c 且滿足 c2 _{= a}2 _{+ b}2 _{+ ab 求此} △ABC 的最大角度數? ∠C = 120 ◦

演練 10a : 已知 _△ABC 的三邊長, BC = 4, AC = 5, AB = 6 求 sin A : sin B : sin C = 及

cos A : cos B : cos C = ? 4 : 5 : 6; 12 : 9 : 2

演練 10b : 如圖:若已知_△ABC 的三邊長為4√3, 4√3, 12, D在BC 上, 且BD = 4,求_∠B 及AD 長_? 30 ◦_;4 B C A D 4 8 4√3 4√3 x

演練 10c : 如圖: 若已知 _△ABC 的三邊長為 AB = 8, AC = 7, D 在 BC 上, 且BD = 3, CD = 2, 求_∠B 及 AD 長? ∠B = 60 ◦_{;AD = 7} B C A D 3 2 7 8 x 演練 10d : 已知 _△ABC 的三邊長, AB = 4, AC = 5, BC = 6 , 若AD 為BC 邊上的中線, 求AD 長? q 23 2 演練 10e : 已知一平行四邊形的邊長為4,5 其中一對角線長為6, 求另一對角線長? √ 46 習題_8-3 正弦、 餘弦定理與面積公式 1. △ABC 中_{, ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 4 : 1 ,} 求此對應邊的邊長比 a : b : c 2. △ABC 中_{, a = 24, ∠B = 75}◦_{, ∠C = 45}◦ _{,求此 △ 外接圓半徑 R及 c 長?}

3. △ABC 中_{, ∠A = 30}◦_{, ∠C = 45}◦_{, BC =}√_{2 , 求 AC 及△ABC 的外接圓半徑?}

4. △ABC 中_{, AB = 4, AC = 5, ∠A = 60}◦_{, 求 BC =?}

5. △ABC 中_{, AC = 13, BC = 8, ∠B = 120}◦ _{,試求 AB =?}

6. △ABC 中_{, AB = 8, BC = 5, ∠A = 30}◦_{, 求 AC =?}

7. △ABC 中, AB = 15, BC = 13, AC = 7, 求_{∠A ?}

8. 設_△ABC 的三邊長比 a : b : c = 2 : 3 : 4 , 求cos A, cos B, cos C 之值? 9. ∆ABC 中, 設_{∠A = 60}◦_{, ∠B = 45}◦_{, 試求 AB : BC : AC =?} 10. △ABC 中, 已知 AB = 3,BD = 3,CD = 5,AC = 7, 如圖, 求AD 的長? B A C D 11. △ABC 中, 設_{cos A = −}1 2, AC= 10, AB = 6 , 試求 ∆ABC 的面積?

12. △ABC 中, 設AB = 10,BC = 9,CA = 17 , 試求 _△ABC 的面積?

13. 圓內接四邊形_{ABCD, AB = 3, BC = 2, CD = 3, ∠ABC = 120}◦_{, 試求AD 之值?}

14. 圓內接四邊形ABCD, AB = 4,BC = 5,CD = 4,DA = 4 , 試求對角線AC 長度? 15. 平行四邊形_{ABCD,AB = 5, AD = 4, ∠A = 60}◦ _{, 求兩對角線 AC, BD 長?}

16. 已知 _△ABC 的三邊長為3,4,5, 求此 _△ABC 的內切圓半徑 r?

17. 已知_△ABC三邊長, a = 2, b = 3, c = 4求_△ABC的內切圓半徑r ?

O

A B

C

18. 試證: ∆ABC 中, sin A + sin B > sin C [hint: 正弦定理]

習題

_8-3

1. 1 :√3 : 1 2. R = 8√3, c = 8√6 3. √3 + 1, R =√2 4. √21 5. 7 6. 4√_{3 ± 3} 7. ∠A = 60◦ 8. 7_{8 ,} 11_{16 ,}−1₄ 9. (√2 +√6) : 2√3 : 2√2 10. 3 11. 15√3 12. a∆ = 36 13. 5 14. AC = 6 15. AC =√61, BD = √21 16. r = 1 17. q5 12 18. 正弦定理

8.4

和角、 差角公式

餘弦的差角公式_{: cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B} △ABC中,

  

兩點距離公式 a2 _{= BC}2 _{= p(b cos θ}

2− c cos θ1)2+ (b sin θ2− c sin θ1)2

2 餘弦定理 a2 _{= b}2_{+ c}2 − 2bc cos(θ2− θ1) C(b cos θ2, b sin θ2) B(c cos θ1, c sin θ1) A θ1 θ2 整理可得

A + B 銳角時: B O Q N P M R A A A+ B A + B 鈍角時: B O Q N P M R A A A+ B sin (A + B) = MP OP = MR + RP OP = NQ + RP OP = NQ OP + RP OP = NQ OQ · OQ OP + RP P Q · P Q OP = sin A cos B + cos A sin B . 同理可得: cos (A + B) = OM OP = ON − MN OP = ON − RQ OP = ON OP − RQ OP = ON OQ · OQ OP + RQ P Q · P Q OP = cos A cos B − sin A sin B .

正餘弦的和角、 差角公式_:

1. cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

2. cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B , 令θ2 = A, −θ1 = B 代入 ∗ 式, 可得

3. sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B

利用餘角關係_{: sin(A − B) = cos[90}◦_{− (A − B)] = cos[(90}◦_{− A) + B] 代入餘弦和角}

公式可得

4. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

正切的和角、 差角公式_{: tan A, tan B, tan(A ± B)} 均有意義時, 利用 tan θ = sin θ_{cos θ} tan(A + B) = sin(A + B)

cos(A + B) =

sin A cos B + cos A sin B cos A cos B − sin A sin B

約分 = cos A cos B tan A + tan B 1 − tan A · tan B , tan(A − B) = sin(A − B) cos(A − B) =

sin A cos B − cos A sin B cos A cos B + sin A sin B

約分 =

cos A cos B

tan A − tan B 1 + tan A · tan B

兩直線 L1 : y = m1x + b1 和 L2 : y = m2x + b2 的交角 θ ⇔ tan θ = | tan θ1− tan θ2 1 + tan θ1tan θ2| = |_{1 + m}m1− m2 1m2| 若兩直線垂直相交則 m1m2 = −1 y x y= m1x+ b1 y= m2x+ b2 (x1, y1) (x2, y2) (x3, y2) (x2, y1) (x3, y1) 若已知兩角度 α, β 的三角函數值, 則由 α, β 任意整數倍相加減的三角函數值可利用和角、 差角公式求出其值。 三角函數化簡公式 _−→ 旋轉木馬記憶法_: sin θ − sin θ cos θ − cos θ 比θ多90◦_函數 逆時針轉一格 比θ少90◦_函數 順時針轉一格 tan θ − cot θ 比θ多90◦_函數 逆時針轉一格 比θ少90◦_函數 順時針轉一格 csc θ − csc θ sec θ − sec θ 比θ多90◦_函數 逆時針轉一格 比θ少90◦_函數 順時針轉一格 1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。 2. 以 90◦ _{為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉,負向角為順時針旋轉。} 3. 最後旋轉終點位置即為該三角函數的化簡值。 sin α − sin α cos α − cos α sin(α + β) sin β cos β β 比α多β角函數 逆時針同向函數乘積和 − sin α sin α cos α − cos α sin(α − θ) sin θ cos θ −θ 比α少θ角函數 順時針同向函數乘積和 倍角、 三倍角公式: 利用正餘弦的和角、 差角公式, 可續推出三角函數 nθ 角的公式。

1. cos 2θ = cos(θ + θ) = cos2

θ − sin2

θ = 2 cos2

θ − 1 = 1 − 2 sin2

θ 2. sin 2θ = sin(θ + θ) = 2 sin θ cos θ

3. cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ 4. sin 3θ = −4 sin3 θ + 3 sin θ 5. tan 2θ = 2 tan θ 1 − tan2θ

半角公式: 三角函數的半角公式為倍角公式的逆過程。 cos θ2 = ±q 1 + cos θ2 , sin θ2 = ±q 1 − cos θ2 (±號可由 θ 2 之象限角其三角函數值來判定) tanθ 2 = sin θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sin θ = ± r 1 − cos θ 1 + cos θ 同界角的 n 倍與 1 n 倍: θ ≡ θ + 2kπ, k ∈ Z 與θ 同界角之整數倍後仍為同界角。 _{nθ ≡ nθ + 2kπ, k ∈ Z ,} 均為同界角。 但其 _n1 倍角, 有n 個不同角度。 _{n =}θ θ + 2kπ_{n , k = 0, 1, · · · , (n − 1) ,} 有 n 個非同界角的不 同角度。 三角函數求值問題_: 銳角_θ: 任一銳角 _θ三角函數_, 可做一包含_θ角的三角形_, 利用畢氏定理, 再找出其三邊邊長比 例關係。 鈍角_θ: 一般角三角函數值可先找出該函數對應的參考角_θref 三角函數變化關係 ₍依象限角 決定正負變化關係)。 • 同一θ 角, 求其餘三角函數值。(在銳角下畢氏定理求出斜邊、 鄰邊、 對邊比; 再由 θ 象 限角決定三角函數值正負)。

(坐標法: (x, y) = (r cos θ, r sin θ), r =px2_{+ y}2_{, tan θ =} y x ) • 同一三角函數下, 求其倍角、 半角、 和角、 差角的三角函數值。(利用倍角、 半角、 和角、 差角公式代入) • 不同三角函數、 不同角度下_,求三角函數值。₍先化成同一函數或化成同角度_;再依上述 1,2項方法求值)

例題

和角、 差角公式

範例 _1: 求 cos 48◦_{cos 12}◦_{− sin 48}◦_{sin 12}◦ _的值?

1 2 √ 3 30◦ A B C D E F q 3 2 q 3 2 2 1 45◦

演練 1a : 求cos 75◦ _{的函數值?} √ 6−√2 4 演練 _{1b :} 求_cos π 12 的函數值? √ 6+√2 4 演練 _{1c :} 求_sin 7π 12 的函數值? √ 6+√2 4 演練 1d : 求 tan 20◦+ tan 25◦ 1 − tan 25◦_{tan 20}◦ 值? 1

演練 1e : 求 sin 80◦_{cos 20}◦_{− cos 80}◦_{sin 20}◦ _的值?

√ 3 2 演練 1f : 求 sin π 12cos 7π 12 − cos π 12sin 7π 12 值? -1 演練 1g : 求 cos π 12cos 5π 12 + sin π 12sin 5π 12 值? 1 2 範例 _2: 已知 θ 為第三象限角且 _{cos θ = − 5} 13 , 求 cos(θ + π6 )=? 及sin θ =? −5√3+12 26 ; −12 13 演練 2a : 若θ 為第二象限角且 sin θ = 1 3 , 求 1. cos θ 值? − 2√2 3 2. sin(θ + π 6)值? −2√2+√3 6 3. cos(θ − π 3)值? −2√2+√3 6 4. tan(θ + π 4) 值? 9−4√2 7 演練 2b : 若θ 為第四象限角且 cos θ = 1 4 , 求 1. sin θ 值? − √ 15 4 2. sin(θ − π 6) 值? −1−3√5 8 3. cos(θ + π 3) 值? 1+3√5 8 4. tan(θ − π 4)值? 1+√15 √ 15−1 演練 2c : 已知 7π 6 < θ < 5π 3 ,若 cos(θ + π 3) = 3 5 , 求 cos θ =? 3−4√3 10 範例 _3: 設α, β 分別為第二、 三象限角且滿足sin α = 3 5,cos β = − 5 13 求sin(α + β)與cos(α + β) 值; 並藉此判斷出 α + β 是第幾象限角? 33/65,56/65,I 演練 3a : 設 π 2 < α < π,π < β < 3π 2 且已知 sin α = 4 5, sin β = − 2√5 5 求 i. cos α 值? −3 5 ii. cos β 值? −√5 5 iii. cos(α + β) 值? 11√5 25 iv. sin(α + β)值? 2√5 25 演練 3b : 設0 < α < π 2,− π 2 < β < 0 且已知sin α = 3 5, cos β = 2√5 5 求 1. sin(α + β) 值? 2√5 25 2. cos(α + β) 值? 11√5 25 3. sin(α − β) 值? 2√5 5 4. tan(α − β) 值? 2

範例 _4: 已知 tan θ1 = 13, tan θ2 = −2, 且 0 < θ1 < 90◦, 90◦ < θ2 < 180◦ 求 tan(θ1 + θ2) 之值? 又θ1 + θ2 =? −1, 3π₄ 演練 4a : 設tan α, tan β 為方程式 x2 + 2x − 1 = 0 的兩根, 求 tan(α + β)的值? −1 演練 4b : 設 π 2 < α < π,0 < β < π 2 且已知tan α = −4 3 , cos β = 1 2 求 1. sin(α + β) 值? 4−3√3 10 2. cos(α + β) 值? −3−4√3 10 3. sin(α − β) 值? 4+3√3 10 4. tan(α − β) 值? 25√3+48 39 演練 4c : 設₋3π 2 < α < −π, π 2 < β < π 且已知 sin α = 5 13, tan β = − √ 3 求 1. sin(α + β) 值? − 5+12√3 26 2. cos(α + β) 值? 12−5√3 26 3. sin(α − β) 值? −5+12√3 26 4. tan(α − β) 值? −240+169√3 69 倍半角關係 範例 _5: 利用 sin 45◦₌ √ 2 2 求 sin 22.5 ◦_{, tan 22.5}◦ _的值? (解_{:)sin 22.5}◦ ₌ √ 2−√2 2 , tan 22.5◦ = √ 2 − 1 演練 5a : 利用 sin 30◦ ₌ 1 2 , 求sin 15 ◦ _值? √ 6−√2 4 演練 _{5b :} 利用 tan 30◦ _{= √}1 3 ,求 tan 15 ◦ _值? 2 − √ 3 演練 5c : 求tan π 8 值? √ 2 − 1 演練 5d : 選出正確選項2 cos2 x 2 = ? (1) sin x(tan x+ 1

sin x) (2) sin x−2 cos x (3) 2(cos

2

x−sin2

x)

(4) 1 + cos x 4

演練 5e : 選出正確選項 sin 2x

2 cos x = ? (1) cos x (2) sin x (3) sin x + cos x (4) tan x

2

範例 _6: 若 θ 是第二象限角,且 _{sin θ = 35 ,} 求sin 2θ 與cos 2θ 的值? sin 2θ = −24

25 , cos 2θ = 7 25

演練 6a : 若 θ 是第二象限角, 且 tan θ = −3

4 , 求sin 2θ 、 cos 2θ 與 tan 2θ 的值? 2θ 角可能為第幾 象限角? −24 25 ; 7 25; −24 7 ; 第四象限 演練 6b : 解_{sin θ cos θ = −}1 2, 0 ≤ θ < 2π 3π 4 , 7π 4

演練 6c : 若_{sin θ + cos θ = −}1

3, 求sin 2θ 值?

−8 9

範例 _7: 已知 π < θ < 3π

2 且 cos θ = −35 ,試求 sin θ2 與 cos θ2 值?

sin θ2 = 2√5 5 , cos θ2 = − √ 5 5 演練 _{7a :} 已知 _{0 < θ <} π 2 且sin θ = 3 5 , 試求 1. sin 2θ = ? 24 25 2. cos 2θ = ? 7 25 3. sinθ 2 = ? 1 √ 10 4. cosθ 2 = ? 3 √ 10 演練 7b : 已知 _{tan θ = −3} 且 3π 2 < θ < 2π ,試求 1. sin 2θ = ? −3 5 2. cos 2θ = ? −4 5 3. sinθ 2 = ? 1 2 q 10−√10 5 4. cosθ 2 = ? −1 2 q 10+√10 5 演練 _{7c :} 已知 _{cos θ =} 1 3 且sin θ > 0 , 試求 1. sin 2θ = ? 4√2 9 2. cos 2θ = ? −7 9 3. sinθ 2 = ? √ 3 3 4. cosθ 2 = ? √ 6 3 演練 7d : 設π < α < 3π 2 , 3π 2 < β < 2π 且已知sin α = − 3 5, cos β = 12 13 求 1. sin(α + π 2) 值? −4 5 2. sin(α + β) 值? −16 65 3. cos(α + β) 值? −63 65 4. sin(α − β) 值? −56 65 5. tan(α + β) 值? −16 63 6. sin(2α) 值? 24 25 7. cos(2β) 值? 119 169 8. sinα 2 值? 3 √ 10 9. cosβ 2 值? −5 √ 26 10. cos(2α − β) 值? −36 325 三角形的三角函數

範例 _8: 在 _△ABC 中, 已知 _{cos A = 35, cos B =} 12

13 , 求三角形的三邊長比 AB : BC : AC =? 63 : 52 : 25

範例 _9: 已知 _△ABC 中_{,cos A = 35 , tan B = 7 ,} 求sin C =?

√ 2 2

演練 9a : 直角三角形ABC 中_{, ∠C = 90}◦_{,若∠A, ∠B, ∠C 的對應邊分別為a, b, c, 下列哪些選項恆}

真? (1) sin 2A = sin 2B (2) cos 2A + cos 2B = 0 (3) sin 2A = 2ab

c2 (4) (sin A − sin B) 2₊

(cos A+cos B)2 _{= 2 (5) cos 2A =} b 2

− a2

c2 (6) sin A+sin B > sin C (7) cos A+cos B > 1

(8) sin2 A + sin2 B = sin2 C 1,2,3,4,5,6,7,8 演練 9b : 三角形 ABC 中_{, ∠A, ∠B, ∠C} 的對應邊分別為 a, b, c, 滿足下列條件的三角形為何種三角 形?

1. a cos B = b cos A 值? a=b 等腰三角形 2. a cos A = b cos B = c cos C 正三角形 3. cos A : cos B = b : a A = B 或 A + B = 90 ◦ 範例 _10: 已知平面坐標上 O 為原點,B 點在第一象限且 _{A(3, 1), ∠AOB = 60}◦_{, OB = 2}√_10求點 B 坐標? B(3 − √ 3, 1 + 3√3) 演練 10a : 已知平面坐標上 O為原點,B 點在第一象限且_{A(3, 4), ∠AOB = 30}◦_{, OB = 10 求點 B 坐}

標? B(3 √ 3 − 4, 4√3 + 3) 演練 10b : 平面坐標上 O 為原點, 正三角形 OAB ,A(4, 0) ,B(2, 2√3) , 若將此正三角形繞原點旋轉 θ 角後,點 A 移到 A′₍₂√_{2, 2}√_{2),B點坐標移到B}′_{, 求 B}′ _坐標? B ′₍√_{2 −}√_6,√_{6 +}√₂₎ 簡易三角函數問題

範例 _11: 若將函數 _{f (x) = cos 2x − 2 cos x} 表示成 _x 的三角函數為 _{f (x) = a cos}2

x + b cos x + c 求常係數 a, b, c 值? 並求出此函數的最大值與最小值? (2, −2, −1);M=3;m= −3 2 演練 11a : 在圓心 O的單位半圓中 (半徑為1),內接一矩形 PQRS, 如圖示: 若_{∠P OQ = θ ,} i. 將此矩形面積 A 用θ 表示之?

A(θ) = 2 sin θ cos θ = sin 2θ ii. 試說明A(θ) = sin 2θ ?

A(θ) = 2xy = 2 sin θ cos θ = sin 2θ

iii. θ 為何? 此矩形有最大面積多少? θ = π 4, A = 1 O _P Q R S θ

演練 11b : 函數 _{f (x) = cos 2x − 2 sin x} 表示成x 的三角函數為 f (x) = a sin2x + b sin x + c 求常係 數a, b, c 值? 並求出此函數的最大值與最小值?

(−2, −2, 1);M= 3

演練 11c : 若已知 _{0 ≤ θ < 2π ,sin θ + cos θ = 1 ,} 求θ 角? 0, π 2 演練 11d : 若_{0 ≤ θ < 2π ,} 解 _{sin θ −}√3 cos θ = 1 , 求θ 角? 90 ◦_{, 210}◦ 習題_8-4 和角、 差角公式 1. 化簡下列式子求值:

(a) sin 17◦_{cos 47}◦_{− cos 17}◦_{sin 47}◦ _=?

(b) sin 20◦_{cos 10}◦_{+ cos 20}◦_{sin 10}◦ _=?

(c) cos 70◦_{cos 20}◦ _{− sin 70}◦_{sin 20}◦ _=?

(d) sin 40◦_{sin 20}◦_{− cos 40}◦_{cos 20}◦ _=?

(e) cos 40◦_{cos 10}◦ _{+ sin 40}◦_{sin 10}◦ _=?

(f) tan 20 ◦_{+ tan 25}◦ 1 − tan 20◦_{tan 25}◦ = 2. 化簡 _{sin(α + β) sin(α − β) =? (}以α, β 角表示) 3. 化簡 _{cos(α + β) cos(α − β) =? (}以α, β 角表示) 4. 設α, β 均為銳角, 且_{sin α = 45, cos β =} 5 13, 求sin(α + β) =? 及 cos(α − β) =? 5. 設θ 為第二象限角且_{sin θ = 45 ,} 求 cos(θ + π_{3 )} 的值?

6. 已知 _{tan α = 1, tan(α − β) = 2 ,} 求tan β 值? 7. 設α, β 均為銳角, 且tan α = √3, tan β =

√ 3

3 , 試求 tan(α − β) =? 8. △ABC 中_{, cos A = 45, cos B =} 12

13 ,試求cos C之值? 9. 設90◦_{, θ < 180}◦ _{, 且}

sin θ = 45 , 求 sin 2θ, cos 2θ 及 tan 2θ 的值? 10. tan α = −34, 270◦_{< α < 360}◦ _{, 求cos α}

2 , sinα2 =? 11. cos θ = 13, θ 為銳角_, 求_{sin 2θ, cos 2θ =?}

12. 已知 _{sin θ − cos θ = 15 ,}求 sin 2θ 的值? 13. 已知 _{sin α = 14,}且 π 2 < α < π , 求sin α2 =? 14. 已知 45◦ _{< θ < 90}◦_{, 且sin 2θ = 5} 13, 試求sin θ, cos θ =? 15. 若 1 2sin 2 x + c = −1₄cos(2x) , 求常數c 值? 16. 試化簡 cos θ − cos 3θ

sin 3θ − sin θ = tan α 則α =? (用 θ 表示) 17. 設0 < α < π 2, π 2 < β < π 且已知 sin α = 4 5, sin β = 5 13 求

(a) sin(α + β) 值? (b) cos(α + β) 值? (c) sin(α − β) 值? (d) tan(α + β) 值? (e) sin(2α)值? (f) cos(2β) 值? (g) sinα 2 值? (h) cosβ 2 值? 18. 設 f (x) = 3 sin2 x + cos x − 1 , 0◦ _{≤ x < 360}◦ _{, 試求 f (x) 的最大值與最小值? 及其相對應} 的x值? 19. 設₋₉₀◦ _{≤ θ ≤ 90}◦ _{,求 sin θ cos θ 的最大值與最小值? 及其相對應的θ值?} 20. 若_{0 ≤ θ < 2π ,} 解_{sin θ − cos θ = −}√2 , 求θ 角?

習題

_8-4

1a. −1 2 1b. 1 2 1c. 0 1d. −1 2 1e. √₂3 1f. 1 2. sin2 α − sin2 β 3. cos2 α − sin2 β 4. 56/65; 63/65 5. −3 − 4 √ 3 10 6. −1₃ 7. √ 3 3 8. −33/65 9. −24 25; − 7 25; 24 7 10. −3/√10, 1/√10 11. 4√_{2/9, −7/9} 12. sin 2θ = 24₂₅ 13. √ 5 +√3 4 14. sin θ = 5 √ 26 26 ; cos θ = √ 26 26 15. −1 4 16. α = 2θ 17a. 33 65 17b. 56 65 17c. 63 65 17d. 33 56 17e. 24 25 17f. 119₁₆₉ 17g. 5√26 26 17h. 2√5 5 18. x = cos−1_{1/6, 2π −} cos−1_{1/6 max = 25/12; x =} π, min = −2 19. θ = 45◦_{,max=1/2;x =} −45◦_,min=-1/2 20. 225◦

8.5

三角測量

視線_: 觀測者眼睛與目標物的連線。

150 視線 θ 空中物高h (忽略眼睛高度) 視線 空中物水平線 俯角θ 空中物高 h 仰角 θ 地面 仰角_: 往上仰看目標物的視線與水平線的夾角。 俯角_: 往下俯看目標物的視線與水平線的夾角。 三角函數值的查表_: 若無法直接查得則利用倒數關係、 餘角關係、 內插法求其三角函數值。

表

_2: 部分三角函數值表

角度 sin cos tan

18◦₀₀′ _{.3090 .9511 .3249} .. . ... ... ... 23◦₀₀′ _{.3907 .9205 .4245} 23◦₁₀′ _{.3934 .9194 .4279} 23◦₂₀′ _{.3961 .9182 .4314} 23◦₃₀′ _{.3987 .9171 .4348} 23◦₄₀′ _{.4014 .9159 .4383} 23◦₅₀′ _{.4041 .9147 .4417} 24◦₀₀′ _{.4067 .9135 .4452} .. . ... ... ... 內差法求三角函數近似值: 已知兩角度的三角函數值, 若欲求介於此兩角度之間的三角函數值, 則利用線性比例, 度數差的 比值=函數值差的比值。 即 ∆θ′ ∆θ = ∆y′ ∆y 。

例: 查表已知 sin 23◦₄₀′ _{= 0.4014, sin 23}◦₅₀′ _{= 0.4041則利用內插法求 sin 23}◦₄₆′

由 ∆θ′ ∆θ = ∆y′ ∆y 可得 23 ◦₄₆′_{− 23}◦₄₀′ 23◦₅₀′_{− 23}◦₄₀′ = _{0.4041 − 0.4014 ⇒}y − 0.4014 6 10 = ∆y ′ 0.0027 ⇒ ∆y′ = 0.00162 故sin 23◦46′ ≈ 0.4014 + 0.00162 = 0.40302 三角測量幾何問題的一些步驟要領_: 1. 依問題的條件畫出正確的略圖。 2. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長、 角度或相關量。

表

3: 三角函數內插法 θ sin θ ⌈ ⌈ 23◦₄₀′ _{0.4014 ⌉ ⌉} ∆x′ _∆y′ ∆x _⌊ 23◦₄₆′ _{sin 23}◦₄₆′ _{⌋ ∆y} ⌊ 23◦₅₀′ _{0.4041 ⌋} 3. 直角三角形的邊角關係: 可利用畢氏定理、 三角函數的基本關係運用。 4. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函數及其性質 解決問題。 將包含已知邊長(角度)的三角形列出,包含欲求邊長的三角形列出;再仔細觀察這些三角 形有何上列公式 (定理) 可運用。 H(觀測物₎ B A O BH 鉛垂線 A仰角 _B仰角 地面 A B O H觀測物 高OH 西 東 南 北 東北 45◦ 30◦ 東30 ◦_北 西北 西南 南30◦_西 東南 h1 h2 θ1 θ2 A B C AB w θA θB

✈

✈

h θ1 θ2 time  h a b c α β 150 θ h 角平分線性質_: △ 的角平分線與底邊的交點到其底邊的兩頂點距離比等於其兩腰的邊長比。₍內外角平分線皆 然) △ABC ,若 AD 平分 _∠A 且交直線BC 於D 點, 則BD : CD = AB : AC 中線定理: 平行四邊形的對角線平方和_=2×(兩鄰邊平方和) △ABC 中,M 為 BC 邊的中點,則 AB2+ AC2 = 2(AM2+ BM2)

B C A D c b m n

圖

_4: 角平分線性質: mb = nc

投影定理_{: ∆ABC} 中, a = b cos C + c cos B

B C A D c b c cos B b cos C

例題

數系 範例 _1: 已知 tan θ = 0.4385 , 利用查表求銳角 θ 度數的近似值? 23 ◦₄₀′

演練 1a : 已知 sin 40◦ _{= 0.6428,sin 41}. ◦ _{= 0.6561,sin θ = 0.6481 ,}. _{利用內插法求銳角 θ 度數的近似}

值? 40

◦₂₄′

演練 1b : 已知 sin 40◦ _{= 0.6428,sin 41}. ◦ _{= 0.6561,sin θ = −0.6481 ,}. _{利用內插法求角 θ 度數的近似}

值? −40 ◦₂₄′ _{或 220}◦₂₄′ 範例 _2: 某人在操場 A 點測得旗桿 P 點的仰角為 30◦ _{, 朝旗桿直線走10公尺至 B 點後, 再測} 得旗桿 P 的仰角為 45◦_{。 試問他繼續再往旗桿直線走多遠後? 再測得旗桿 P 點的仰角為 60}◦ 10√3 3 公尺 h  A P B walk α β 演練 2a : 在離大樓基底300公尺的地面上,測得樓頂的仰角為30◦ _{,求此大樓的高度?} 100 √ 3 公尺 演練 2b : 在地面上一點仰望空中固定不動的熱氣球, 仰角為 60◦ _{, 在此點正上方40公尺高, 再測得熱} 汽球的仰角為 45◦_{, 求熱汽球的高度 h及熱汽球距離觀測點的水平距離 S ?} h = 20(3 +√3);S = 20(1 +√3)

演練 2c : 一照相機被安置於高4呎的腳架上, 照相機的鏡頭為水平上下 20◦ _{的景物可入鏡, 現有一人} 高6呎_,位於鏡頭前方10呎_,問此人全身是否可入鏡頭內,若否, 則此人至少須離相機多遠方 可全身入鏡?(sin 20◦ _{≈ 0.3400, cos 20}◦ _{≈ 0.9397,} 1 tan 20◦ ≈ 2.7475) No; 約11呎遠 範例 _3: 在離地面₅₀公尺高的燈塔塔頂測出遠方漁船的俯角為 ₃₀◦ _{, 求觀測人員與漁船之間的距} 離_?(參考₃₅頁圖) 100 公尺 演練 3a : 從海岸邊高100公尺的燈塔上, 在燈塔正東方和東 30◦ _{南方向的海面上兩條船, 測得俯角分} 別為 45◦ _{和 30}◦ _{, 求此兩船的距離?} 100公尺 演練 3b : 從海岸邊高200公尺的燈塔上, 在燈塔正北方和正南方向的海面上兩條船, 測得俯角分別為 45◦ _和30◦ _{,求此兩船的距離?} 200(1 + √ 3)公尺 範例 _4: 一飛機於空中保持等高度定速筆直朝地面 A 點飛行, 當 A 第一次觀測飛機時仰角為 30◦ _, 經過10秒後在觀測此飛機仍在 A 點前方仰角 60◦ _{空中飛行, 若已知此架飛機的速度為 200}√₃ 公尺/秒, 求飛機的飛行高度多高? 3000公尺

✈

A

✈

h θ1 θ2 10 seconds pass 演練 4a : 某人在距離塔底的地面上A 點, 測得與塔頂的仰角為 45◦ _{, 由A點面對塔底直線後退16公} 尺B 點, 測得與塔頂仰角為30◦ _{, 問此塔的高度為? 公尺} 8( √ 3 + 1) 範例 _5: 一人自塔頂俯視塔正東方一點 A, 俯角為 45◦ _{, 俯視塔北 60}◦ _{東一點,俯角為30}◦ _{, 且A,B} 兩點相距₁₀₀公尺, 求此塔高_{? (}參考₃₅頁圖) 100公尺 演練 5a : 從塔正東方相距200公尺的兩點, 測得塔頂的仰角分別為 45◦ _和30◦_{,求此塔的高度?} 100(1 +√3) 公尺 演練 5b : 地面直線上依序三點 A, B, C 同時仰望高空熱氣球的仰角分別為 60◦_{, 45}◦_{, 30}◦_{, 且 AB =} BC = 100 公尺, 求此時熱汽球高度? 10 √ 150公尺

A B C O H h α β γ 範例 _6: 一測量員在一山的正南方山腳下A 點,測出山的仰角為60◦_{, 若測量員向東方移動300公尺} 到達 _B 點_,測得山頂的仰角為 ₃₀◦_{,求此山的高度?} 75 √ 6 公尺 演練 6a : 一棵樹距離筆直的馬路18公尺, 在馬路上 A 點測得這棵樹頂的仰角為 30◦ _{, 在馬路上走了} 48公尺到達B 點, 再測得樹頂仰角亦為 30◦_{,問此樹的高度?} 10 √ 3公尺 範例 _7: 一人於山麓測得山頂的仰角為 ₄₅◦ _{,由此山麓循 30}◦ _{斜坡上行200公尺,再測得山頂的仰角} 為75◦ _{, 求此山的高度?(sin 15}◦ ₌ √6−√2 4 ) 200公尺 演練 7a : 一人於山麓測得山頂的仰角為 45◦ _{, 由此山麓循15}◦ _{斜坡上行200公尺, 再測得山頂的仰角} 為60◦ _{, 求此山的高度?(sin 15}◦ ₌ √6−√2 4 ) 100(√6 +√2)公尺 演練 7b : 空中有一熱汽球, 地面上相距 100√7公尺的A、B兩點, 同時觀測熱汽球在 A 點的正東方仰 角60◦_{上空,且在B點之北30}◦_東仰角30◦_{上空,則此時熱汽球高度為多少?} 100 √ 3公尺 習題8-5 三角測量 1. 空警隊在直升機上發現: 地面上正東方俯角 45◦ _{的 A 處有火警, 而其正南方俯角 30}◦ _{的 B 處} 有消防隊。 若此直升機的高度為₂₄₀₀公尺, 試求地面 _A,B 兩地的距離_? 2. 小山丘上有建一寶塔, 此塔高20公尺, 若從地面上 A 點測得塔底的仰角為 45◦_{, 塔頂的仰角為} 60◦_{, 問此山丘的高度為?} 3. 一梯子靠在牆上,梯長6公尺, 已知梯子與地面成 30◦ _{的傾斜角, 求牆腳到梯子上端的高度?} 4. 有一人在塔的正東方A 處,測得塔頂的仰角 60◦ _{, 他走到塔的正西方 B 處,再測得塔頂仰角為} 45◦ _{, 若A,B 兩地相距200公尺, 試求塔高?} 5. 在平地地面上 _A 測出山頂的仰角為 ₃₀◦ _{, 再朝山的方向前進500公尺處 B, 測出山頂的仰角為} 45◦_{, 求此山的高度?}