問卷調查的結果與分析

50%

100%

教學實驗 88% 36% 57%

困難診斷 90% 23% 41%

計算 證明 列出算式

圖4-4-7 教學實驗與診斷結果比較

題目提供附圖，並讓學生先作計算題的情形下，學生的證明能力 有稍微提升，能列出算式的學生比例也明顯增加，可見附圖能增加學 生列出算式的比例，並藉由局部推理的經驗，同步增加證明的成功率。

第五節　 問卷調查的結果與分析

為了瞭解學生對於此教學活動的感覺，包括平時的學習習慣，設 計問卷(附錄十)並以一節課 45 分鐘完成問卷調查。

(1)與上次的題目(3 月份)比較，哪一種敘述方式比較能讓你理解與思考？(單選題) □上次　 　 □這一次

你覺得有何差異呢？

認為上次的學生比例佔20﹪，認為這次的學生比例佔 69﹪，11﹪沒 有作答。

選上次的學生敘述：比較能了解其內容；不知道這次的想法要怎麼寫；覺得 上一次那東西給的比較仔細,這一次是自己推出來的,好像會記的比較清楚；題目 問的比較清楚,比容易知道寫什麼；這次的都是觀念；這次你有提示加上你有講 之前的；上次比較可以讓我思考”這可以嗎”，這次比較可以讓我去想”怎麼出來 的”。

選這一次的學生敘述：這次的圖形使我比較了解；這次比較好懂；這一次有 圖形,能夠從圖形上的性質,比較好想；這一次有圖可看,可以幫助思考,而且循序漸 進,能夠加印象,才能連續性的聯想,把性質學的比較完整；就感覺；比較白話(接近 我們思考方式)；上次想不到的…這一次會解釋出來,而且也比較能接受,但上次的 會比較了解；這一次比較白話,上次太襲統；上次太多空白得自己想像,這次有提 供提示,圖像,容易有想法；有較多的圖形,較能幫助思考；上次的字太多,國文程度 不好,看不懂.看圖比較快,簡單明瞭；這次的比簡單容易理解,上次的寫的心較清楚, 但較複雜；我討厭只有文字且意思相近的題目和選項,而有圖則會使我更清楚,但 不會使答案的正確度提高；因為上次的那張太….了,這張比較好思考,因為不用一 直去想所有性質,不用寫一堆證明；上次一大堆令人難理解的問題,這次有圖可以 讓想像更接近；上次的太多字了..咬文嚼字太累了…；上次通通都文字敍述,對我 來說好麻煩,我比較喜歡圖(因為方便)而且可以在上面畫輔助的工具；這次有老 師，這次有圖示，上次不好解釋，上次不太好聯想；看了圖比較能思考；若沒有 較多的提示,很難確定思考方向；這一次老師有講,上次內容大致忘了；都一樣難 懂；上次寫靠自己想性質,這次用引導方式較能了解並寫出；比較好懂；較好理 解；選項的答案不好選。

研究者再整理以上心得，匯成幾點如下：

1.覺得這次比較好懂，自己推理出來的結果記得比較清楚。

2.這次能思考性質是怎麼出來的，比較容易接受。

3.這次有附加圖形，容易聯想，可以在圖形上畫輔助的工具，幫助思 考。

4.這次連續性的聯想，能把性質學得比較完整，加深印象。

5.這次的題目有提示，有圖像，敘述白話，容易有想法。

6.這次用引導方式較能了解並寫得出來。

7.上次想不到的，這次會解釋得出來，比較能接受。

(2)題目提供的圖形能對你產生什麼影響？

□容易理解題意　 82﹪　 　 □容易誤解題意 5﹪

□容易推理　 　 　 82﹪ 　 □阻礙推理 3﹪

□有助於聯想相關性質 90﹪　 □無助於聯想相關性質 3﹪

□增加解題信心　 　 50﹪　 □減少解題信心 0﹪

研究者發現，有8 成以上的學生認為附圖有助於了解題意，幫助

推理與連結，5 成學生看到圖形會增加解題信心，符合研究者的之前 推測與學生的心得。

(3)平面上的動態圖形（某一點在移動中）是否會造成你的困擾？

□會，因為不能畫出所有圖形 18﹪

□會，因為需考慮其他的情形 69﹪

□會，因為無法想像其動作 21﹪

□會，因為無法計算，需用關係式表達 15﹪

□不會，我通常可以想像其動作 26﹪

□不會，我通常可以畫出關鍵圖（可代替其他圖形）10﹪

□不會，我通常可以找到關係式 5﹪

有 69﹪的學生認為動態圖形會讓自己考慮其他的情形。這訊息 對教師很重要，因為「分析能力」對數學或其他學科來說都相當重要，

但往往因為學生並不喜歡由複雜的文字敘述中學習「分析」，因此造 成訓練上的困難。然而動態圖形對文字敘述的需求不高，只要看的懂 圖形的年紀即可訓練，而且不止「分析能力」，訓練的內容可加入圖 形操作與辨識、圖形的察覺、圖形性質的歸納與一般化等等。

由正向回答的比例，發現能達到視覺化的學生比例並不高，只有 26﹪，而能立即歸納出圖形類型的學生更少，只有 10﹪。因此教師 進行幾何教學時，務必要注意您正在敘述的圖形，學生是否明白，無 論是靜態或動態圖形，都應該盡量完整的呈現出來，以免多數的學生

「想像」的圖形與您敘述的不同，甚至造成學習中斷的現象。

(4)題目提供定義對你解題有沒有幫助？

□有，因為對定義不熟 18﹪

□有，因為可以想到相關性質 77﹪

□有，因為可以作圖或與圖對照 67﹪

□沒有，我通常可以說出定義 0﹪

□沒有，我通常可以說出性質 8﹪

□沒有，我通常可以直接解題 3﹪

有 67﹪的學生由定義可以確定圖形的正確性，77﹪的學生可以

聯想相關性質，這些是學生進行推理時必要的條件。另一方面，由研 究中也發現學生的「定義」相當不穩定，有時傾向「圖形關係」，有 時傾向「構圖方法」，這也造成學生學習形式證明時的困擾。因此，

若不影響教師的教學目的，教師不妨隨時提供「定義」，供學生參考 與再確認。甚至與學生討論「如何定義」，協商出「共同的定義」，都 是教學活動中的重要內容。

(5)與證明題（或說明題）相關的計算題會提供證明一些想法嗎？

□會，計算過程中發現關係 54﹪

□會，計算結果發現關係 23﹪

□會，計算使用的圖形中發現關係 72﹪

□會，計算的題目敘述中發現關係 38﹪

□會，聯想到上課的情形 33﹪

有 72﹪的學生由圖形中發現關係，有 54﹪的學生由計算過程中 發現關係。圖形的直觀容易讓學生聯想到相關性質，這在之前已經驗 證。比較重要的是，研究者認為學生的算式都包含推理的想法，幾個 算式串連所得的計算過程，能協助學生轉化為局部推理形成證明。有 5 成以上的學生能由計算過程中看到證明的關鍵，教師由此啟發學生 證明的學習是很理想的狀況，因為一方面學生預習過所需的相關性 質，一方面學生能主動參與，獲得成就感。

當然，學生一開始會遇到一些困難，包括以下幾點：1.學生對於 數字轉換成文字的熟悉度。2.學生由算式中得到的數值，可以立即寫 在圖形上印證，獲得到一定的信心，但文字無法立即與圖形印證。3.

學生對數字運算的敏銳度高，常有直覺上的反應，但文字表達並非如 此順暢。4.某些學生會出現跳躍式或視覺化的運算，隱藏了某些性 質，故無法細分成更適當的局部推理。5.形式證明的格式，與學生各 式各樣的算式是不對應的，所以最好先統一熟悉格式。

(6)平常學習幾何問題時若無附圖，你會自行繪出題目的參考圖嗎？(單選題)

　 □經常會 85﹪ 　 □經常不會 5﹪　 　□心中無法想像才會 10﹪

有 85﹪的學生會畫出參考圖。根據研究者對實驗班的了解，學 生的確都相當認真，大多數能在計算時主動繪出題意所表達的圖形，

但是回答解釋題相對的少很多，而且繪圖經常不完整或不符合論證的 需求(例如：畫出中垂線，但論證使用的性質是圓周角)。

(7)若題目已給定圖形，你會重新畫圖（或圖的某部分）嗎？(單選題) 　 □經常會 21﹪　 □經常不會 33﹪　□覺得給定的圖錯誤才會 46﹪

有 46﹪的學生會因「覺得」圖形錯誤而重新畫圖。研究者發現 有兩種情形常困擾學生，一種是學生本身誤解題意，認為圖形與敘述 不符，如立體圖的角度與邊長與實際不符；另一種是圖形雖然不正 確，但不影響題目，如三角形全等的證明，題目敘述足夠的全等條件，

但圖形實際上不全等。這些問題可以提供學生思考一些事情—「為什 麼要學形式論證呢？」「看得到的圓形真的存在嗎？」等等。

(8)題目已給定圖形，你會習慣根據題意在圖形上加工嗎（如寫上長度、標上等 長的符號等等）？□經常會 100﹪□經常不會 0﹪□看不出答案時才會 0﹪

學生能藉由在圖形上標示，一方面了解題意，一方面直接進行計 算或推理。根據本研究與研究者經驗，學生常將題目中未提及或尚未 證實的條件，因在圖上呈現事實而當成已知條件，如「三中垂線共 點」，犯了邏輯上的錯誤。這也說明學生學習推理或論證前，應先學 會探討現有的已知條件為何。

(9)當你不知如何下手作答時，你會主動採用哪種策略呢？ 　

□看局部圖形 54﹪　 　□作輔助線 95﹪　 □由結果倒著推想 56﹪

□折疊翻轉圖形 36﹪　 □重新畫圖 41﹪　 □與類似題比較 33﹪

95﹪的學生不知如何作答時，會作輔助線幫助聯想。研究者發

A

B C

現，能否做出適當的輔助線需靠類似的經驗，除非有足夠的分析能 力，否則往往因作錯輔助線而導致思考的方向錯誤。例如，第三節(九) 外心的應用中的第3 題，學生缺少求鈍角三角形面積的經驗，只有 9 個學生做出正確的輔助線，大部分的學生因作錯輔助線而出現放棄的 現象。又例如，學生在解釋外心的位置時，一旦知道能作直徑當成輔 助線說明弧度大於180 度，就會以同樣的方式說明弧度小於 180 度(詳 見第五節訪談內容)。

(10)當你發現到一個看似正確想法，你會主動證明（或確認）這想法的正確性嗎？

□經常會 79﹪方法：□舉一例驗證 16﹪□舉多例驗證 45﹪□以性質證明 71﹪

□經常不會 21﹪　 　

79﹪的學生會主動確認察覺到的性質，其中又有 71﹪會以性質 證明。這是形式論證的教學目標，教師應鼓勵學生隨時驗證想法，學 生能因此建立這種論證概念是最好的了。

(11)內心的相關問題，你回顧並參考外心的部分大約幾次？(單選題) 　 □0~2 33﹪　 　 □3~6 49﹪　 　□7~10 15﹪

研究者取中間值再加權平均得到3.8 次，大約是 4 次，與研究者 設計時期望學生參考的次數相同。原本規劃讓學生參考外心系統化教

研究者取中間值再加權平均得到3.8 次，大約是 4 次，與研究者 設計時期望學生參考的次數相同。原本規劃讓學生參考外心系統化教