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第四章 資料整理與分析

本章是將實驗流程所得的資料加以整理與分析。研究者期望能從 分析的結果中，找到學生學習外心與內心困難的因素。比較學生於補 救教學前後的表現，印證「類比遷移」、「局部推理與模仿」是否為有 效的教學策略。學生對這樣的學習模式反應為何？研究者也希望能在 本章找到答案。

　 本章共分為六節，第一節為教師對於學生學習困難進行問卷調查 的資料整理與分析；第二節為預試資料的整理與分析；第三節為全班 實施診斷工具的資料整理與分析；第四節為補救教學實驗的資料整理 與分析；第五節為問卷調查的資料整理與分析；第六節為訪談文字稿 的節錄與分析。

第一節 教師對於「國中生學習三角形外心與內心困難情形」

的問卷調查結果與分析

一、教師對於「國中生外心與內心學習困難情形」的問卷調查結果

「國中生學習三角形外心與內心困難情形」的問卷調查，實施對 象為與研究者同校的數學教師。為了確定本研究的研究價值，並藉由 教師群多年來的教學經驗提供相關訊息，因此於確定研究問題前施以 本問卷。回收問卷 18 份，為了排除可能未曾教過國三學生的教師，

增加問卷的可信度，故教學經驗少於四年的教師，其問卷結果不採 計，剩餘14 份，問卷內容詳見附錄一。

本問卷為避免教師不清楚題意，各題中均有舉數例，教師並可選 出經驗中學生易犯錯的想法。設計方式為五等第量表式問題，評分方 式：不清楚不與計分，幾乎沒有為1 分，一般有為 2 分，半數有為 3 分，大部分有為 4 分。因教師提供的意見僅供研究者編製研究工具，

故不列於研究內容中。表4-1-1 為問卷的統計資料。

表4-1-1 　 教師對於學生學習困難的問卷統計表

題號 不清楚 幾乎沒有 一般有 半數有 大部分有 四等第分數 1 0 0 4 9 1 2.79 　 2 0 0 7 5 2 2.64 　 3 0 0 7 5 2 2.64 　 4 0 0 5 5 4 2.93 　 5 0 0 9 3 2 2.50 　 6 1 1 7 4 1 2.21 　 7 0 0 2 5 7 3.36 　 8 0 0 6 7 1 2.64 　 9 0 0 7 4 3 2.71 　 10 0 1 7 4 2 2.50 　 11 0 0 5 8 1 2.71 　 12 0 1 11 1 1 2.14 　 13 1 1 7 2 3 2.36 　 14 0 0 2 6 6 3.29 　 15 0 1 6 5 2 2.57 　 16 0 0 2 3 9 3.50 　

　 所有題目的四等第分數都超過 2，顯示問卷中沒有可直接排除的 題目，研究者依題數將題目的困難程度分為「困難」、「稍難」、「容易」， 四等第分數為 2.75~4 屬於困難，共 5 題；2.61~2.75 屬於稍難，共 5 題；2.11~2.50 屬於容易，共 6 題。配合此分類簡單的將題目敘述如 下：

(一)困難：「外心是外接圓圓心」；「外心到三頂點等距離」；「外 心與兩頂點連線的夾角度數」；「內心與兩頂點連線的夾角度 數」；「外心、內心性質的應用」。

(二)稍難：「外心的找法是三角形任兩邊中垂線的交點」；「外心位 置與直角、銳角、鈍角三角形的關係」；「內心是三角形內切接 圓圓心」；「內心的找法是三角形任兩條角平分線的交點」；「內 心到三邊垂足等距離」。

(三)容易：「三邊中垂線共點」；「外心的唯一性、存在性」；「內 心位置與直角、銳角、鈍角三角形的關係」；「三角角平分線共

點」；「內心的唯一性、存在性」；「外心若是以I 表示，內心 若以O 表示…」。

二、教師對於「國中生外心與內心學習困難情形」的分析

(一)將外心與內心作比較，教師們認為外心的定義、性質與位置關係，

在學生學習的困難度上，均比內心還高。可能是因為外接圓與三 角形的關係變化較多，外心的位置不一定在三角形內，導致學生 學習時，圖形或心像不容易建立。

(二)教師們認為學生學習時，應用是屬於較困難的部分，包括外心與 內心的角度公式、內切圓半徑的長度公式等等。一般來說，幾何

公式常配合圖形使用，如畢氏定理、相似圖形邊長的比例式，國 中生會覺得比代數公式複雜，不但容易忘記，也容易誤用。

(三)教師們認為學生學習「單一現象」或「特殊現象」較無困難，包 括外心與內心的存在性與唯一性、三條中垂線或角平分線必共 點、內心必在三角形內部。常提及的特殊現象能維持較長的記 憶，基本性質的陳述對於中上程度的學生也不具困難。

第二節　 國三學生「外心學習困難診斷工具」之預試 結果與分析

研究者為了深入瞭解學生學習困難的主要因素，將試測的範圍縮 小至外心，根據外心的教學目標與分層分析（附錄二）與外心學習可 能的困難與探究流程(附錄三)，編製「外心學習困難的診斷工具」(附 錄四)，並選出兩位與教師互動良好，學習認真，但學習成就相對不 佳的學生作為試測的樣本，編號F1 與 F2。

試測的時間為寒假輔導的午休，有獨立的教室不受打擾，也沒有 考試與進度影響學生真實的表現。研究者為避免題目互相干擾，將試

測分成四個階段，分別為概念、論證、作圖、師生討論，每天實施一 個階段，共進行四天，每天 40 分鐘。每個主題都分成主幹題與引導 題兩部分，前 15 分鐘回答主幹題，中間休息 3~5 分鐘由研究者詢問 學生並進行評估，決定學生需回答那些引導題，學生再依規劃繼續作 答。施測其間研究者均在現場，學生有問題能隨時溝通，並加以錄音。

一、「外心學習困難診斷工具」的預試結果

研究者將預試結果的第一階段至第三階段重新整理(附錄八)，以 方便分析。第四階段進行師生討論，重點是檢討診斷工具的效果。先 學生根據本身作答的情形，提出自認為不清楚或不會的問題，研究者 配合學生提出的問題作討論，並確認診斷工具的效度。待學生停止提 問後，研究者才反問學生一些有關學習態度與學習方式的問題。學生 提到六個主要問題，分別是：主題3 的 A5、主題 4 的 A6、主題 5 的 A5、主題 6 的 A4、主題 7 的 A4 與 A10 ，其中有五題是論述性的題 目，一題計算題。研究者根據引導題與學生討論，發現確實能引導學 生找到學習困難原因。

二、「外心學習困難診斷工具」的預試分析 (一)由各階段整體分析

為了將試測結果作整體分析，找出學生學習的主要困難，研究者 將學生回答的內容分成三種層次。A：回答呈現完整的正確觀念；B：

回答呈現部分的正確觀念；C：未作答，經教師詢問後表示不知道。

另外以符號「×」表示學生不需作答。F1 與 F2 的表現整理如表 4-2-1 與表4-2-2：

表4-2-1 F1 外心學習困難的診斷工具試測表現

主題 一 二 三 四 五 六 七

主幹 B A A B A C A

概念

引導 A × × × × C ×

主幹 A A C C C C C

論證

引導 × × C C B A B

主幹 A A A A A C B

作圖

引導 × × × × × B A

表4-2-2 F2 外心學習困難的診斷工具試測表現

主題 一 二 三 四 五 六 七

主幹 B A A B B C A

概念

引導 A × × A A C ×

主幹 B B C C C C C

論證

引導 A A C C B B A

主幹 A A A A A C B

作圖

引導 × × × × × B A

1.概念方面，兩位學生都不清楚「主題 6：外心與頂點的夾角公式」，

時間上距離外心與內心的課程大約2 個月，顯示學生容易忘記此公 式，也未主動畫出圖形分類討論。除此之外，學生都能在主題1、

4、5 的引導題中完整回應。

2.論證方面，從主題 3 到主題 7 兩位學生都無法提出適當的解釋，即 使口頭說明也有困難，尤其是主題3 與主題 4，學生表示不清楚引 導題中的題意要他們作什麼。而主題5 到主題 7 中的引導題，大部 分是圖形提示與計算，學生的反應都還不錯。

3.作圖方面，學生都以尺規作圖的方式完成，沒有利用摺紙或操作。

基本上只要學生想到外心的圖形，都會畫出中垂線的交點，除非是 學生不清楚題意或概念。如主題 6，學生不清楚題目的要求，便無 法作圖與驗證。

(二) 由主題分析學生個別表現：

若學生的個別差異明顯，則分別描述其表現；若學生的差異不明 顯，則直接描述兩人共通的表現。

主題1：外心的定義

F1 F2 以「外接圓圓心」敘述外心。但不知如

何敘述外接圓。檢驗某點O 是否為外 心時，採取的策略是「以O 點為圓心，

是否能作出外接圓」。判斷外接圓的特 徵為「三角形三頂點在圓周上」。

以「三邊中垂線的交點」敘述外心，以

「外心當圓心，然後？？為半徑畫圓」

描述外接圓。檢驗某點O 是否為外心，

採取的策略是「作中垂線的交點，是否 與O 點重合」。判斷外接圓的特徵為「連 接O 與三角形三頂點，O 到頂點等距 離」。

現象：

1.學生對於「外心」有不同的詮釋。

2.學生根據「外心的敘述」來判斷 O 是否為外心。分別以畫外接圓 與畫三條中垂線來判斷。

3.學生對於三角形外接圓的圖形辨認均能馬上回答。但辨認的特徵 不同。

研究者觀察與詢問的結果：

1.F1 將三角形與其外接圓視為一組圖形，不知如何敘述外接圓。

2.F2 習慣作出中垂線幫助思考，並一律畫出三條共點。該生將中垂 線視為解決一切問題的手段，包括「定義」「辨識」「證明」「作圖驗 證」等等。

3.引導題中，F2 選擇以「外接圓圓心」來代表外心的定義時，與自 行敘述外心的方式不同，對於兩種敘述來「定義」外心沒有任何異 議。引導題中教師要求改以「外接圓圓心」來判斷O 是否為外心時，

接受度也很高。因此學生對於「敘述」與「定義」可能會有不同的 解讀，或是沒有固定的答案。

4.學生對外心的定義、性質、作法之間的關係混淆不清時，會造成 推理或證明學習的困難。

主題2：外心到三頂點等距離

F1 F2 根據外心的定義先畫出三角形與其外

接圓，因此構圖過程與視覺上都能立即 反應出「半徑等長」，有助於連結點與 點的關係。論述以「三頂點在圓周上」

開始，反應出對於外心概念的心像為三 角形與外接圓。

直接根據中垂線的性質論述，敘述外心 是三條中垂線的交點，所以到三點等距 離。但在引導題中，隨著外心定義為「外 接圓圓心」，改變了論述方式，選擇「半 徑等長」論述。

現象：

1.學生對於等距離的性質熟悉。

2.學生能根據「外心的敘述」，各自引用半徑與中垂線性質來解釋。

3.定義外心為「外接圓圓心」，學生能依此定義解釋等距性質。

研究者觀察與詢問的結果：

1.F1 由圖形想到以半徑解釋。

2.F2 以中垂線交點解釋等距離，對中垂線性質熟悉。

主題3：外心為中垂線交點

F1 F2 知道中垂線的交點為外心但不會解

釋。能圖示並敘述中垂線的性質。以兩 條中垂線找到外心，畫外接圓後，以其 中一條中垂線的線段當直徑。

知道中垂線的交點為外心。不知為何需 要解釋。敘述中垂線的性質，並說明會 出現等腰三角形。以三條中垂線的交點 找外心，畫外接圓後，再另作一條直 徑。

現象：

1.學生知道中垂線的性質。

2.學生知道找外接圓直徑需先有圓心與外接圓。

研究者觀察與詢問的結果：

1.F1 未主動畫出中垂線，也不會以中垂線性質進行推理。

2.F2 覺得兩邊的中垂線交點當然是外心，不需證明。

3.學生不清楚已知的條件為何，或證明的目標為何，而產生論證上 的困難。

主題4：三中垂線共點

F1 F2 現象：

兩人均不知中垂線的逆性質為何？但給予PA=PB 的條件時，都能選 出正確的選項。也清楚三中垂線共點，但不會解釋。

研究者觀察與詢問的結果：

1.學生對「逆性質」沒有印象。

2.學生知道三中垂線共點，會自然的以「作圖可知」解釋，但不知 道如何證明。

3.學生均未主動繪製參照圖來幫助思考，因此討論時也提不出非形 式說明。

主題5：外心位置與角度的關係

F1 F2 清楚的知道外心的相對位置。不知道如

何解釋，只說作圖經驗均如此。能正確 的舉圖例說明，畫出三個圓，在圓上取 三個點分別形成鈍角、銳角、直角三角 形。

不清楚外心的相對位置，只能確定直徑 對直角，直角三角形的圓心在斜邊中 點。不知道如何解釋。能正確的舉圖例 說明，畫出一個圓，在圓上取九個點分 別形成鈍角、銳角、直角三角形。

現象：

1.能在圓上取三點形成三角形，並依圓心的位置判別三角形的種類。

2.能確定直角三角形外心的位置。

研究者觀察與詢問的結果：

1.學生具有作圖經驗，但對於解釋沒有太大的幫助。

2.學生能提出自然的推論過程或口語解釋。

3.學生未養成繪製參照圖的習慣，論證題的答題內容經常空白。

主題6：外心與三角形兩頂點連線的夾角

F1 F2 現象：

1.學生能依題目畫出圖形，但只畫出銳角三角形與∠BOC，未能畫 出鈍角與直角三角形。

2.學生均未主動畫出外接圓。

3.學生均未使用等距離性質(利用等腰三角形的底角相等)。

4.學生均能在給外接圓的情況下，利用弧度與圓周角、圓心角的關 係，完成計算題。

研究者觀察與詢問的結果：

1.學生有類似的計算經驗，但都是在提供圖形(包含外接圓)的情況下 完成，沒有主動繪製參照圖的習慣。

2.學生根據題意形成的心像或圖像，以單一圖形或靜態圖形為主，

未考慮其他情形或形成動態心像來進行分類。

3.學生完成計算題後沒有養成試著一般化的習慣，因此對於類似計 算題形成的公式只會使用而不會證明。

主題7：特殊直角三角形 30-60-90

F1 F2

現象：

1.學生能正確的寫出三邊的比例。

2.學生不知道如何解釋，但有依題意畫出直角三角形與其外接圓。

3.引導題中外心連接三頂點，學生能看出正三角形與等腰三角形。

4.給學生斜邊 2，一股 1，能利用畢氏定理算出 3。

5.學生未能作出正確的高，所以無法利用性質計算面積。

研究者觀察與詢問的結果：

1.學生未能主動且多方面的嘗試。

2.輔助線的作法是圖形解題的關鍵，而適當的圖形問題能引發學生 思考。

3.學生的知識大多只有片段的記憶，未形成有系統的概念

三、「外心學習困難的診斷工具」預試的分析結果 (一)預試對象學習外心概念的主要困難

1.F2 認為「三邊中垂線的交點是外心」是正確的，所以不需要解釋。

「外接圓圓心」、「中垂線交點」都可以當外心的定義。

2.F1 不知道「中垂線的交點是外心」如何解釋。

3.學生不知道「三條中垂線共點」如何證明或解釋。

4.學生不清楚「逆性質」的觀念，不知道「中垂線逆性質」為何。

5.O 為外心時，學生不知道∠BOC 與∠A 的關係。

6.學生不知道「外心在銳角三角形的內部、鈍角三角形的外部、直角 三角形的斜邊中點」如何證明或解釋。

7.學生不知道 30-60-90 特殊三角形邊長為何成固定比例。

(二) 預試對象外心概念學習困難的原因

1.學生不清楚「定義」「性質」「證明」在數學中的意義，也未將外心 概念作有系統的統整。

2.學生不熟悉形式證明的架構與方式，例如：題目的已知條件有哪　

些，欲證明什麼結果，不覺得循環論證是錯誤的等等。

3.教學中需要的預備知識學生尚未熟悉。如：中垂線的逆性質，角平 分線的逆性質。

4.學生的推理能力有限，僅止於一兩步的推理。例如：能由「外心是 外接圓圓心」推理出「外心到三頂點等距離」;不會由「中垂線交 點O」利用中垂線性質推理出「O 為外接圓圓心」。

5.學生未能周詳的考慮到所有可能情形來進行討論。例如：外心可能 在三角形的內部、邊上或外部。

6.學生的文字表徵與轉化能力不足。能應用性質解計算題，卻無法轉 化成公式的證明。

7.學生缺少相關的解題輿論證經驗。例如：輔助線或輔助圖形的繪 製，由計算過程找論證想法、由結果倒推至條件等等。

(三) 規劃「外心與內心學習困難的診斷工具」正式施測

「外心學習困難的診斷工具」的確能診斷出學生的學習困難，藉 由引導題與師生討論能進一步瞭解學習困難的原因。因此正式施測的 架構主要參考預試的四個階段，但稍作修改以方便全班施測與統計分 析。修改的部分包括：

1.刪除「作圖」的部分。一方面是因為學生具有作圖能力，同時清楚 外心與中垂線的關係，因此作圖表現與概念表現的相關性高，且研究 者發現學生作圖對於論證並未提供太大的幫助。另一方面是因為無法 記錄學生的作圖過程與想法，研究上有相當的困難。

2.為配合研究對象的增加，無法在施測中決定學生需要作那些引導 題，也無法一一檢視學生的答題情形，故設計選擇題替代引導題。

3.將內心的測驗與外心分開，避免影響學生作答，維持施測的準確性。

第三節　 國三學生「外心與內心學習困難診斷工具」的 施測結果與分析

施測工具(附錄五)包括「外心學習困難的診斷工具」正式評量卷、

「內心學習困難的診斷工具」正式評量卷與「外心與內心學習困難原 因分析」評量卷，共分成三節課實施，一節課 45 分鐘。為了分析某 個概念時，有較佳的完整性與方便性，故統整同一個概念的題目重新 編號，呈現其結果並加以分析。

一、診斷結果 (一) 外接圓的概念 施測結果：

1.請敘述三角形 ABC 的外接圓？

分類 學生敘述內容 人數 比例﹪

A：作圖方法 以外心到 ABC 三點的長為半徑畫出的圓。由

△外心當圓心畫圓。

3 8﹪

B：圖形關係 通過三角形三頂點的圓。

△ABC 頂點交於圓上。

27 69﹪

C：性質描述 外接圓的圓心到三角形的三頂點等距離。 2 5﹪

D：不完整或 錯誤

在△的外面。

在各邊上接半圓。

△ABC 三邊中垂線的交點。

7 18﹪

2.請指出哪些三角形搭配的圓為三角形外接圓？

O

(A)

O

(B)

O

(C)

O

(D) 單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到)？

選項 A B C D

人數 38 1 0 0

比例﹪ 97﹪ 3﹪ 0﹪ 0﹪

複選題：選出所有你認為一定正確的？

選擇項目 A A、C A、B、C B

人數 35 2 1 1

比例﹪ 90.0﹪ 5.0﹪ 2.5﹪ 2.5﹪

施測分析：

有 69﹪的比例以圖形的關係來描述外接圓，有 97﹪的比例能辨 認出外接圓的圖形，表示大部分的學生對於外接圓的學習並無困難，

只有少數學生以不適當或錯誤的敘述來描述外接圓，例如：包圍三角 形的圓、與三角形內切的圓。另外有3 位學生以作圖程序描述外接圓。

研究者認為教學上以圖形關係—「三角形的外接圓」為教學起點 是適當的，因為大部分的國中生都具有辨識圖形的能力，由此圖形操 作可以讓學生討論「存在性」「唯一性」，也能利用動態圖形讓學生察 覺現象，進一步探討「三角形的內切圓」「四邊形的外接圓與內切圓」

等等。教師可由圖形操作協助學生建立基本的圖形心像、學習數學名 詞、培養察覺與非形式論證的能力、建立數學思考模式。這些是在國 一、國二尚未學習「尺規作圖」與「幾何證明」前，可以事先鋪陳的 教學活動。

(二)外心的概念 施測結果：

1.請敘述三角形 ABC 的外心？

分類 學生敘述內容 人數 比例﹪

A：作圖過程 AB、AC、BC 的中垂線焦點 三邊的中垂線所交的點就是外心。

16 41﹪

B: 性質描述 只要O 點到 ABC 三點的距離相等就 是外心。

13 33﹪

C：與外接圓的關係 一個圓通過三角形的三角，而圓的圓 心就是三角形的外心。

7 18﹪

D：A、C 都有描述 外接圓的圓心，△ABC 三邊中垂線 的交點

1 3﹪

E：空白或錯誤描述 2 5﹪

2.你認為下列敘述何者是外心的「定義」。(A)三角形兩邊中垂線的交點(B)到三角 形頂點都等距離的點(C)三角形外接圓的圓心

單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到)？

選項 A B C

人數 16 10 13

比例﹪ 41﹪ 26﹪ 33﹪

複選題：選出所有你認為一定正確的？

選一項 選兩項 選三項 空白

人數 5 6 27 1

比例﹪ 13﹪ 15﹪ 69﹪ 3﹪

3.給你三角形與某一點 O，你如何利用圓規確認 O 是否為三角形的外心呢？辨識 以下兩個三角形，O 點是否為外心？需說明理由。

O A

B C

F G

E O

分類 學生敘述內容 人數 比例﹪

A：作三角形兩邊(三 邊)中垂線的交點。

否，三邊中垂線不交於O 是，三邊中垂線交於O。

20 51﹪

B: 以 O 為圓心畫圓 過三頂點。到三點是 否等距離

以O 為圓心，OA 為半徑畫圓交於 三點即為外心。不是，到B 不等；

是，以O 為圓心 OA 為 r 看 OA 是 否=OB=OC 若是此 O 為外心。

16 41﹪

C：空白 3 8﹪

4.給你三角形與某一點 O，你會利用什麼方法判斷 O 是否三角形的外心呢？

(A)做三角形兩邊中垂線的交點 P，看看與 O 是否重疊 (B)利用圓規測量 O 點到三角形頂點是否都等距離

(C)以 O 為圓心，OA 為半徑，是否能畫出三角形的外接圓 (D)做三角形三邊中垂線的交點 P，看看與 O 是否重疊 單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到) 選項 A 或 D B 或 C

人數 19 20

比例﹪ 49﹪ 51﹪

施測分析：

從敘述外心的結果分析，超過 90﹪的學生能說出與外心有關的

「敘述」，分別是「中垂線交點」佔 41﹪、「至頂點等距離的點」佔 33﹪與「外接圓圓心」佔 18﹪，與選擇外心的定義來作比較，選擇

「中垂線交點」為外心定義剛好也佔 41﹪。由此可推論有四成的學 生進行外心的思考、解題或論述時，會先想到或偏好「中垂線」。研 究者稱這類學生為「中垂線傾向」。可惜只有一位學生以「BC 中垂線

未通過 O 點」來說明 O 不是外心，其他「中垂線傾向」的學生都以 O 點非兩條(或三條)中垂線的交點來否定。

由複選題的答案，發現學生對於「定義」的意義不清楚，共有 84﹪的學生選擇兩個以上的選項當作外心的「定義」。進一步比對全 班資料，發現有 17 位學生以不同的敘述回答「敘述外心」與「定義 外心」，從訪談中也確認學生對於「定義」呈現不穩定的狀態。

(三)外接圓的存在性 施測結果：

1.任何三角形一定有外接圓嗎？(A)有(B)沒有(C)不一定有　

選項 (A)有 (B)沒有 (C)不一定有

人數 36 0 3

比例﹪ 92﹪ 0﹪ 8﹪

施測分析：

有92﹪的學生認為外接圓一定存在，只有 8﹪覺得不一定，也就 是說大部分的學生都知道外接圓是存在的，也能理解畫出輔助外接圓 來幫助解題或進行推理是合理的。一般來說，國中生很少主動想到「存 在性」的問題，教師應在教學時經常反問學生「這樣的輔助線或輔助 外接圓存在嗎？」，讓學生試著反思並試著解釋，幫助學生建構完整 的數學思考模式。

(四)外心到三頂點等距離 施測結果：

1.你能敘述三角形外心與三頂點的關係嗎？

分類 學生敘述內容 人數 比例﹪

A：寫出等距離 外心到三頂點等距離。 36 92﹪

B: 描述外接圓 外接圓接三頂點 1 3﹪

C：空白 2 5﹪

2. 你如何解釋外心到三頂點等距離嗎？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：利用中垂線性 EG 的中垂線到 E、G 等距離… 5 13﹪

質解釋

B：利用半徑等長 (畫出外接圓)圓心到三頂點等距 離，半徑

21 54﹪

C：錯誤敘述 內接圓的半徑 1 3﹪

D：提到中垂線性 質但未解釋

中垂線到兩端等距離 3 7﹪

E：空白 9 23﹪

3.已知 O 為外心，你會用哪一個說法解釋「O 到三角形頂點等距離」？

(A)O 是兩邊中垂線的交點，所以 OA=OB，OB=OC，即可知。

(B)正三角形的外心也是重心，到三頂點的距離都等於高的 2/3。

(C)O 為外接圓的圓心，OA、OB、OC 皆為半徑，半徑必等長。

(D)若 O 到三角形頂點等距離，則 O 為外心。

單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到) ?

選項 A B C D

人數 15 0 22 2

比例﹪ 38﹪ 0﹪ 57﹪ 5﹪

複選題：選出所有你認為一定正確的：有選B 的學生共 11 人，佔 28﹪。

施測分析：

有 92﹪的學生知道外心到三頂點等距離的性質，有 67﹪能做出 解釋，其中 13﹪利用中垂線性質來解釋，另外 54﹪利用半徑等長解 釋。若對照外心的概念，有 41﹪的學生以中垂線交點來描述外心，

只有 13﹪利用中垂線性質解釋等距離，相差 27﹪剛好接近空白與解 釋不完整的比例，可能是不知如何解釋或認為不需解釋。

讓學生選擇解釋方式時，有38﹪選擇利用中垂線性質，有 57﹪選 擇利用外接圓半徑，這也符合上述「中垂線傾向」的比例。另外有 28﹪認為以「正三角形的外心也是重心，到三頂點的距離都等於高的 2/3」能解釋外心到三角形頂點等距離。表示這些學生認為可以舉例 來解釋性質。國三學生仍會發生以例子或圖形來解釋的情況。

(五) 外心的找法與中垂線的性質 施測結果：

1.你知道三角形 ABC 外心的找法嗎？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：利用三邊或兩邊中 垂線的交點。

作三邊中垂線的交點。

作兩邊中垂線的交點。

作三邊(兩邊)中垂線的交點。

37 95.0﹪

B：不完整的敘述。 畫中垂線。 1 2.5﹪

C：錯誤敘述 那個點到三點等距。 1 2.5﹪

2.你能敘述 AB 中垂線的性質嗎？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

明確說出性質 線上任一點到A、B 兩端等距離 11 28﹪

不只性質，也說出原 有的條件

線上任一點到A、B 兩端等距 離，與AB 垂直(或平分 AB）

15 38﹪

只說出原有的條件 平分AB 與 AB 垂直 11 28﹪

空白或不清楚的敘述 到∠C 等距離 2 6﹪

3.若 P 點在 AB 中垂線 L 上，則：(A)PA=PB (B)∠PAB=∠BPA (C)△PAB 為等 腰三角形(D)L 為∠APB 的角平分線

單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到)？

選項 A B C D

人數 33 0 6 0

比例﹪ 85﹪ 0﹪ 15﹪ 0﹪

4.你如何解釋三角形兩邊中垂線的交點即是外心？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

利用中垂線性質 證明

OA=OC，OA=OB ∵O 到三點等距離

∴以O 為圓心可畫出外接圓，O 為外心

20 51﹪

誤解題意，解釋

「兩邊」而不需 三邊中垂線

因為第三邊也會是同一點

（∵3 條也只有 1 交點∴2 條即可）

5 13﹪

引用錯誤性質 外心到三頂點等距離 1 3﹪

空白 13 33﹪

5. 你會用哪一個說法解釋「三角形兩邊中垂線的交點為外心」？

(A) 根據定義「外心為三角形兩邊中垂線的交點」。

(B) 根據「中垂線的交點到三頂點等距離」，可以當圓心畫出外接圓。

(C) 若三角形兩邊為某圓的兩弦，則兩弦的中垂線必包含直徑且交於此圓圓心。

(D) 根據「若 O 到兩端等距離，則 O 必在中垂線上」，外心符合此說法。

單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到)

選項 A B C D

人數 8 24 6 1

比例﹪ 21﹪ 63﹪ 13﹪ 3﹪

複選題：選出所有你認為一定正確的

選擇情況 有選A 有選B 有選C 有選D

人數 28 32 27 21

比例﹪ 72﹪ 82﹪ 69﹪ 54﹪

施測分析：

有 95﹪的學生知道中垂線的交點可找到外心，有 66﹪的學生能 敘述中垂線的性質，當告知P 為 AB 中垂線上的一點時，85﹪的學生 會優先選擇 PA=PB。但是只有 51﹪的學生，能利用中垂線的性質解 釋兩條中垂線的交點為外心。

學生不會證明的原因有以下三種情形：

1.由第 5 題發現有 21﹪的學生以「外心為三角形兩邊中垂線的交點」

當定義來解釋，因此第一種情況，可能是某些學生認為「定義」不 需要再證明，故以空白表示，包含在第四題33﹪的學生中。

2.由第 2 題發現有 28﹪的學生，敘述「中點」「垂直」就是中垂線性 質，6﹪的學生不清楚中垂線。因此第二種情況，學生對於中垂線

「性質」不熟悉。

3.第三種情況，學生本身的推理能力不足，能敘述性質卻不會利用性 質推論。

從第 5 題的單選題，發現 63﹪的學生選擇正確的證明，只有 21

﹪的學生選擇「中垂線的交點」，可見學生能知道哪一個答案最接近 教師要求的形式論證。另外有 13﹪學生優先選擇「若三角形兩邊為 某圓的兩弦，則兩弦的中垂線必包含直徑且交於此圓圓心」，69﹪的

學生認為這是正確的，表示他們能具有圖形操作的經驗、視覺推理或 圖形直觀的能力。第 5 題的複選題中，有 54﹪的學生認為「若 O 到 兩端等距離，則 O 必在中垂線上」是正確的，但不清楚這就是「逆 敘述」。

(六)中垂線的逆性質與三中垂線線共點 施測結果：

1.你能敘述 AB 中垂線的逆性質嗎？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：正確的敘述出逆性質 某點到兩點 A、B 等距離，作一 垂線垂直AB 即必為中垂線

1 3﹪

B：敘述性質而非逆性質 線上任一點到 A、B 兩端等距離 1 3﹪

C：表示不知道或不會回 答

我不知道 3 7﹪

D：空白 34 87﹪

2.下列敘述何者正確？(A) 三角形三邊中垂線共點 (B) 三角形三邊中垂線會有 三個交點(C) 三角形三邊中垂線互相平行(D)以上皆有可能。

選項 選（A） 選（A、B） 選（D）

人數 37 1 1

比例﹪ 94﹪ 3﹪ 3﹪

3.已知三角形兩邊AC,BC的中垂線交於O 點，請你解釋 AB 中垂線必過 O 點？

B C

A

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：正確的利 用逆性質解 釋

因AO=CO，OC=BO（中垂線性質）∴

OA=OB（逆性質）∴AB 的中垂線必過 O 點。★因AO=CO，OC=BO ∴OA=OB 中垂線會通過等腰三角形，所以AB 必過 O 點

3 8﹪

B：直觀解釋 O 為圓心，AB 為弦，AB 中垂線交於 O 1 3﹪

C：引用中垂 線性質，而非 逆性質

AB 中垂線上任一點到 A、B 等距離，呈上 方法，OA=OB=OC，所以 AB 的中垂線必 過O 點

5 13﹪

D：描述現象 未解釋

OA=OB=OC 2 6﹪

E：重申共點 的事實

外心為三邊中垂線的交點（O 為外心，AB 中垂線必過）。△的3 條中垂線會共點。

一定，若不通過O 的話沒外心，可是每個 三角形必有外心。

14 35﹪

F：空白 14 35﹪

施測分析：

97﹪的學生不清楚「逆性質」。根據我的教學經驗，外心教學前 的教材並未強調此名詞，也未強調性質與逆性質的邏輯概念，只在國 一做過一些口語上的辨認，如：「平行四邊形是長方形嗎？長方形是 平行四邊形嗎？」「相似的兩個四邊形對應邊會成比例嗎？對應邊成 比例的兩個四邊形會相似嗎？」。學生知道等腰三角形由頂點作的 高，即是中線，也就是底邊的中垂線，但要將此概念轉化成中垂線的 逆性質，且進一步能利用此性質進行推理，仍有一段很大的差距。

94﹪的學生知道三中垂線共點，6﹪認為可能出現其他的情形。

一般來說，教師都會要求學生，以尺規作圖做出三條中垂線，讓學生 主動發現共點的事實。因此學生對「共點」的印象必相當深刻，施測 結果也是如此。但其中只有8﹪的學生以逆性質說明第三條中垂線也 通過 O 點，13﹪引用錯誤性質，35﹪以「共點的事實」來解釋，另 有35﹪空白，反應出學生的證明能力仍不足，論證的觀念不正確。

(七)外心的相關位置 施測結果：

1.你知道鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形的外心位置嗎？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：正確的寫出 相關位置

鈍角→△外;直角→△斜邊上（中點）;

銳角→△內

28 72﹪

B：錯誤的相關 位置

鈍角→內;直角→斜邊上;銳角→外 6 15﹪

C：與題意不符 的敘述

鈍角→在圓外;直角→斜邊中點;銳角→圓內 鈍角→底邊上;直角→斜邊中點;銳角→內

4 10﹪

D：不確定的回 答

鈍角→外部吧;直角→斜邊上中點吧;

銳角→內部吧;不知道？

1 3﹪

2. 你如何解釋鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形的外心分別在三角形的外 部、斜邊中點、內部？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：畫圖觀察 作各三角形三邊的中垂線。

作圖作出來的。

7 20﹪

B：利用弧度 與圓周角

銳角→沒有一個角大於 or 等於 90 度，O 在△

內;直角→斜邊=直徑，O 在斜邊中點;鈍角→有 一角大於90 度所對弧大於半圓，O 在△外。

5 13﹪

C：只解釋直 角三角形

弦對弧，直角對直徑，所以圓心在斜邊上 3 7﹪

D：無關的描 述

大角對大邊，所以以△ABC 來說，若∠A>90 度且為△中的最大角則BC 為最大邊。

其中一角>90 度；=90 度，直徑對直角；<90 度。

2 5﹪

E：錯誤的描 述

直角△的斜邊是外接圓的直徑 鈍角△的斜邊<外接圓的直徑 銳角△的斜邊>外接圓的直徑

2 5﹪

D：空白 20 50﹪

3.你會用哪一個說法解釋「鈍角三角形的外心在三角形外部」？

(A) 根據作圖經驗「鈍角三角形的中垂線交點必在三角形外部」。

(B) 根據圖形觀察「鈍角兩邊過中點的垂線應交於三角形外」。

(C) 根據大角對大邊，外心在最大邊的外面。

(D) 根據「圓上取三個相異點 ABC，使其在一直徑的同側，則△ABC 為鈍角三 角形」。

(E) 根據「若△ABC 為鈍角三角形，則三角形內部找的點當作圓心時，畫的圓都 不是外接圓」。

單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到)

選項 A B C D E

人數 18 4 1 13 3

比例﹪ 46﹪ 10﹪ 3﹪ 33﹪ 8﹪

複選題：選出所有你認為一定正確的

選項 有選A 有選B 有選AB 有選 C 有選D 有選E

人數 30 20 34 4 25 17

比例﹪ 77﹪ 51﹪ 87﹪ 10﹪ 64﹪ 44﹪

施測分析：

有 72﹪的學生正確的敘述了外心位置與三角形的關係，有 28﹪

答錯或不確定，代表大多數學生有作圖經驗，或畫草圖稍微判斷一 下。87﹪的學生認為「正確的作圖經驗」或「圖形觀察」可以解釋此 關係，可見學生的論證觀念尚未健全。由第 2 題中，只有 13﹪的學 生能正確的以外接圓與圓周角的關係解釋，50﹪不知如何解釋而空 白，20﹪的學生以作圖觀察來解釋。這 20﹪只畫出中垂線交點，若 能進一步畫出外接圓，有機會能進一步解釋，其餘 50﹪連圖形都沒 有畫出來，未養成繪製參考圖思考的習慣。

所有學生都能敘述出「直角三角形的外心在斜邊中點」，因為「直 徑對的圓周角是直角」這個現象特殊，教材特別強調，讓學生印象深 刻。教學若從學生熟悉的情境出發，較容易讓學生衍生出新的訊息。

(八)外心 O 連線至兩頂點 B、C 的夾角∠BOC，與∠A 的關係式。

施測結果：

1. 你知道△ABC 的外心 O 與 B、C 連線的夾角∠BOC，與∠A 的關係可能為下 列何者？∠BOC = (A)2∠A (B)90+2∠A (C)360 - 2∠A (D)180 - 2∠A。

2.你如何解釋外心 O 與兩頂點 B、C 連線的夾角∠BOC，可能為∠BOC= 2∠A 或

∠BOC =360 - 2∠A 呢？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：畫外接圓，

利用圓周角，

完整的解釋。

（作鈍角△、銳角△與其外接圓）

CB 優弧=∠A×2，∠COB=360-2∠A，圓心角 BC 劣弧=2∠A，BOC=2∠A，圓心角。

8 20﹪

B：畫外接圓，

利用圓周角，

但解釋不完整

（作鈍角△、銳角△與其外接圓）

∠BOC= 2∠A，∠BOC =360 - 2∠A。

（作鈍角△、銳角△與其外接圓）

∠BOC=2∠A 　 圓周角。

14 36﹪

C：提及鈍角、

直角與銳角三 角形，但未討 論

△ABC 可能鈍角或銳角。 4 11﹪

D：空白 13 33﹪

選項 選A、C 選A、D 選C 選D、C 選A、B 空白

人數 29 1 5 1 1 2

比例﹪ 73﹪ 3﹪ 12﹪ 3﹪ 3﹪ 6﹪

3.O 為外心，請計算∠AOC 、∠DOF 、∠KOJ 的角度？(需列式)

60°

O

A C

B

130°

O

D F

E

90°

O I

J K

正確算出 ∠AOC ∠DOF ∠KOJ

人數 34 31 32

比例﹪ 87﹪ 80﹪ 82﹪

施測分析：

有 73﹪的學生能選出∠BOC 與∠A 正確的關係式，提供圖形的 情況下，80﹪以上的學生也能順利的完成計算，但是卻只有 20﹪的 學生完整的完成論述。從第 2 題中，有 67﹪的學生將三角形分類討 論，與知道公式的比例 73﹪相當接近，代表這些學生對「外心與頂 點夾角度數」有印象，能針對鈍角、銳角、直角三角形分類討論，也 能畫出外接圓幫助思考，但論證與轉化的能力不足，只寫出部分論證 內容或只會寫出計算的過程。以下針對少數學生的錯誤情形(表 4-3-1) 進行討論，提供教師與學生參考。

表4-3-1 　部分學生錯誤的解釋與計算過程

代號 解釋 計算

甲 （作銳角△與其外接圓，連O 與 B、

C）∠BOC=BC 弧，∠A= BC 弧/2 所 以∠BOC=2∠A or∠BOC=360-2∠A

∠AOC=360-2∠B=360-60×2

=240

∠DOF=360-∠E/2

=360-65=295 乙 作△ABC 的外接圓（鈍角△，∠A）

∠A 對的弧 BC=360-∠BOC 對的弧 BAC

∴∠BOC=360-2∠A…

∠AOC=2∠ABC=120

∠DOF=180-∠DEF=50 丙 ∠BOC=2∠A 時為銳角△，可在△外

畫一圓，∠A 為圓外角為∠BOC/2

∠BOC=360-2∠A 時，即∠BOC=180-

∠A 時，為鈍角△，可在△外畫一圓，

∠A 和∠BOC 為互補角

∠AOC=120

∠DOF=100 丁 作銳角△與其外接圓，連O 與 B、C）

外心與∠A 所對的弧相同，O 為圓心 角。（作圓內接四邊形ABOC，連 BC）

∠A 與 O 互補

∠AOC=120

∠DOF=100

90° 30°

60°

C A

B

甲生只解釋銳角三角形，未討論鈍角三角形，重述題目的結論時 卻誤以為 2∠A 與 360-2∠A 是相同的公式，直接用於計算，故計算 錯誤。乙學生為了計算方便，誤將 360-2∠A 同除以 2，簡化公式成 為∠BOC = 180-∠A，是等量公理的誤用。丙與丁雖然在解釋時出現 錯誤的心像，將 ABOC 當作外接圓的內接四邊形，但計算時畫出正 確的外接圓，正確的算出答案。

(九)外心的應用 施測結果：

1.你知道特殊三角形(30-60-90)的對應邊長比例嗎？

請根據右圖寫出

AB : BC : CA =

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：正確的比例。 1： 3 ：2。 34 87﹪

B：數字正確但對應錯誤 3 :2:1 。 1：2： 3 。 2 5﹪

C：數字錯誤 1:

2

2

2.你知道如何利用外心的性質，解釋特殊三角形(30-60-90)的對應邊長比例為 1：

3 ：2 嗎？

分類 敘述內容 人數 比例﹪

A：完整的證明。 O 到三點等距離、正三角形、假設斜 邊2 或最短邊 1，利用畢氏算出 3

9 23﹪

B：有利用外心等距性 質，缺少假設與畢氏 定理，直接寫出比例

O 到三點等距離、正三角形、在圖上 寫出1： 3 ：2 的正確位置

2 5﹪

C：未利用外心等距性 質（有畫外接圓但未 連接OB）

繪出直角三角形與外接圓，並點出外 心的位置在斜邊中點，假設半徑為 1，AC=2

6 16﹪

D：畫出直角三角形，

邊上寫比例

只繪出直角三角形，寫上30-60-90 2 5﹪

E：空白或不知道 不會 20 51﹪

3.利用特殊三角形(30-60-90)的對應邊長比例為 1： 3 ：2，求三角形面積。(需 畫出特殊三角形30-60-90)

4cm 120° 6cm

F H

G

6cm

6cm 6cm

F

D E

△DEF 的面積為　 　 　 　 　　 △FGH 的面積為　 　 　 　 　　

△DEF 給正確答案9 3 過F 作輔助線垂直底邊 空白

人數 29(1 人代公式) 36 2

比例﹪ 74﹪ 92﹪ 5﹪

△FGH 給正確答案 6 3

正確的輔 助線

過G 作輔助線垂 直底邊FH

計算過程空白（包 含作出錯誤的輔助 線）

人數 6 9 25 19

比例﹪ 15﹪ 23﹪ 64﹪ 49﹪

施測分析：

有 87﹪的學生能正確指出三邊的比例關係，5﹪順序錯誤，8﹪

比例不合。針對順序錯誤的學生，請他們以大邊對大角檢視自己的答 案，而針對比例不合的學生，請他們以畢氏定理驗證三邊是否構成直 角三角形，學生都會發現與事實不符。但學生會如何修正呢？有一部 份的學生會想到將正三角形對折，得到 1:2 的關係，然後算出高為 3(計算題中有 74﹪的學生如此算出答案)。但如果要求以外心的性 質來說明，則只有 23﹪的學生能正確的以等距性質解釋比例關係，

剛好與做出△FGH 的輔助線比例相同，另外 70﹪以上的學生空白或 說不清楚。經深入調查，9 位提出正確解釋的學生中，有 5 位做出

△FGH 正確的輔助線(全班才 9 位)，4 位算出△FGH 面積(全班才 6 位)。可見學生即使能說出性質的內容，如：「外心到三頂點等距離」

與「外心在直角三角形斜邊的中點」，進行推理或計算時大部分仍不 會想到或應用。

根據研究者對這班學生三年來的認識，並分析這9 位學生在其他 論證題上的表現，得到一個想法：這9 位學生在論證題上，都表現出

「條理分明」「解釋過程完整」「引用正確性質」等特質，雖然沒有完 整的形式證明能力，但基本上都能針對相關概念加以統整。也就是 說，學生能將所學的概念有系統的統整，有助於提升論證與推理的能 力，趨向形式論證的明朗化。

64﹪的學生可能模仿△DEF 的作圖過程(過 G 作輔助線垂直底 邊FH)而遭遇困難，其中有 49﹪因此空白，而另外 6 位學生卻有其他 的計算模式，如表4-3-2。

表4-3-2 　 做出錯誤輔助線後，學生的計算過程 甲 圖形：過G 作高，高寫上 3、H 至垂足 3 3 、F 至垂足 7

文字：(空白)

乙 圖形：過G 作高，將 120 度分成 60、60 文字：(空白)

丙 圖形：過G 作高，寫上 3，H 至垂足 3 3 、F 至垂足 5 文字： 2

3 ) 5 3 3 ( +

丁 圖形：G 到某點將 120 度分成 90 與 30 度，∠H 寫上 30，G 到某點 寫上6 3，H 到某點寫上12 3，自某點作GF 垂線

文字：

3 22 3 4 3 18

3 2 18

6 3 ,6 3 2 4

3 2 4

= +

× =

× =

戊 圖形：過G 作高，∠G 寫上 60、60，∠H、∠F 寫上 30， 8, 8, 28, 文字： ,224 196 28,14 28

2 224 ,8

2 8 ) 28 8

( + + − =

） 4+7 28 有學生假設∠H=30 度，有學生假設高平分∠G，有學生將∠G 分成90 度與 30 度等等，然後繼續推理並算出答案。這些學生未分析 條件是否符合，就自行假設並使用性質，論證的觀念不正確。

從外心整個施測的結果來分析，大部分的國三學生仍缺乏論證的 概念。選擇題中，學生常以事實、作圖結果、例子來解釋，概念題中，

學生定義不明確、不清楚性質與逆性質的關係，論證時誤用性質、循 環論證、論證過程不完整也經常出現。

(十) 內切圓的概念

施測結果：

1.請敘述什麼是三角形 ABC 的內切圓？

分類 學生敘述內容 人數 比例﹪

A：作圖方法 △在兩內角的角平分線文點 O, 過 O 點作 AB 垂線 D,OD 為半徑畫圓。

2 5﹪

B:圖形關係 一圓與△三邊相切。 22 56﹪

C：性質描述 內切圓圓心到三邊的垂直距離相同。 6 15﹪

D：不完整或 錯誤

把圓放在△ABC 裡。 9 24﹪

2.請指出哪些三角形搭配的圓為三角形內切圓？

O

□(A)

O

□(B)

O

□(C)

O

□(D) 單選題：哪一個選項最接近你的想法(或優先想到)

選項 A B C D

人數 1 38 0 0

比例﹪ 3﹪ 97﹪ 0﹪ 0﹪

施測分析：

有 56﹪的學生以圖形的關係來描述內切圓，相對於外接圓的 69

﹪少，而性質敘述(到三邊等距離)比外接圓(到三頂點等距離)多出 10

﹪，對學生來說，內切圓的等距性質較直觀，應與心像或圖形有關。

有 97﹪能辨認出內切圓的圖形，與外接圓的情形一致。也就是 說，學生能辨識三角形與圓形之間的關係，能以圖形關係敘述三角形 的外接圓或內切圓(敘述內容不一定完整)。所以在國一或國二階段，

先以圖形介紹外接圓與內切圓應是可行的。

(十一)內心的概念 施測結果：

1.請敘述什麼是三角形 ABC 的內心？

分類 學生敘述內容 人數 比例﹪

A：作圖過程 ∠A∠B∠C 角平分線的交點。 20 51﹪

B: 性質描述 與三角形三邊等距離。 9 23﹪