單一潛板理論

於渠道設置一沖擊角(angle of attack)為α 之潛板，將在其下游處 產生一水平環流量(circulation)，如圖 2.1 所示。環流量之產生係因在 潛板兩側之垂直向壓力梯度不同，使得在高壓側產生一向上之速度分 量，而於低壓側形成一向下之速度分量。此漩渦(vortex)逐漸向潛板 尾端上方滾動成長，最後形成一較大之頂端漩渦(tip vortex)後脫離潛 板往下游移動。頂端漩渦與彎道所造成之二次流與剪力方向相反，如 圖2.2 所示。頂端漩渦在下移過程中，由於黏性擴散(viscous diffusion) 效應而衰減。在一無邊界之流場中，漩渦之切線速度可表為(Lamb，

1932)：

(2-11) 上式中，r_d：距漩渦中心之距離；s：沿主流方向之距離；u：接近 潛板之縱向主流流速，假設為冪次律之流速剖面，即u=u(H/h)^1/m；Γ： 在s=0處之環流量；ε：渦動黏滯係數。

在明渠中，假設自由水面及床底構成有邊界之流場，利用映像法 (method of images)來加以處理。在福祿數(Froude number)甚小時，水 面可視為一固定之邊界(rigid boundary)，潛板之徑向流速，則可由潛 板產生映象之流速經由疊加(superposition)而得，見圖 2.3。流場中位 置P_v (s,n,z)之徑向速度為(Odgaard & Wang，1991)：

(2-12)

上式中，等式右邊第一項表示由原漩渦以及在水面上之映象所作之貢

Odgaard & Mosconi (1987) 假設潛板及其在河床下映像構成一長為 2 倍潛板高(即 2H)之機翼(wing)，以推求水平環流量，根據傳統之定量 流有限翼長理論可得： (2-16)及(2-17)式可得：

m

L L D

D F

C

F = C (2-19) 假設在潛板周圍之垂直環流量為橢圓形(elliptical)分佈，其最大值發 生在床面而於潛板頂端為零，則C_L與C_D分別為(Odgaard & Mosconi，

1987)：

H C_L L

/ 1

2

= +πα (2-20)

2

2 1

L

D C

H C L

= π (2-21) 2.2.2 多潛板理論

設置單一潛板對於底床之影響相當有限，依據 Odggard 等人研 究，在徑向超過三倍潛板高度以上之地點受到潛板之影響甚小。所以

為了增加影響範圍，須在徑向排列二個或二個以上之潛板，如圖 2.4

及圖2.5 所示。若佈設二個潛板，其間距過大，則各自形成獨立之漩 渦，對局部沖刷量之改善而言，效率並不理想；而二潛板之間距縮至 零(即二潛板合為一)，則其作用有如單一潛板。換句話說，當間距愈 小時，潛板所產生漩渦間之交互作用導致總環流量減少之程度也愈 強。因此，決定潛板間之適當間距，使其總環流量能維持一定強度，

乃 為 重 要 之 課 題 。Wang(1991) 根 據 雙 翼 理 論 [biplane theory , Mises(1954)]，並假設沿翼之環流量為橢圓形分佈，即

Γ=Γc 1−(s_d/H)² (2-22) 上式中，Γc 為翼中央處之環流量，s_d為距翼中央處之距離(圖 2.6)，

經利用Prandtl 之假設可獲得右翼之環流量如下(Mises,1945)：

Γc ( ¹) u Lu −w

=π α (2-23) 上式中，下標 1 代表右翼，w₁為右翼中點P_c處向下洗速度(downwash vlocity)。同理，若將下標 1 改為 2 則代表左翼。則下沖之流速為：

12 (Mises,1945)

w H^c 等雙翼(equal-biplane)模式(Mline-Thomson , 1966)加以推估：

w L^c 將(2-25)、(2-27)及(2-29)式代入(2-24)式得

Γ

而Γ則為(2-13)式所示。(2-32)式中之μ 為橢圓翼(elliptic wing)之寬深 比(aspect ratio)，其值為8H/πL；就長方形翼而言，μ =2H /L。λ稱之

為交互作用因子，它代表由兩平行翼中之一翼所產生環流量(Γ_c)與單 一翼所產生的環流量(Γ)間之關係。當λ值較小時，表示潛板(或翼) 間相互作用抵銷之情形嚴重，將造成總環流量之減少。

對一列超過二個潛板以上佈置而言，採上述分析步驟可得

2

1)2/ 2

2 1 ( 1

/ 2 1

σ μ σ λ μ

+ +

+

= + (2-33)

由Na個潛板所構成之一列潛板組，其在近底床處之反二次流由各潛

板所產生者經λ值修正後累加而得：

∑

=

= ^Na

i

i vn i

vn v

v

1

)

λ ( (2-34) 上式中，下標i表示第i個潛板；而λ_i則為該第i個潛板之交互作用因 子，係由(2-33)式加以推算。

圖 2.1 潛板設置後產生漩渦及環流量示意圖(摘自 Odgaard & Wang，1990)

圖 2.2 潛板產生反二次流及底床變化示意圖(摘自 Odgaard & Wang，1990)

圖 2.3 潛板及其映像產生之流速示意圖(摘自 Wang，1991)

圖 2.4 三個潛板所產生之環流量示意圖(摘自 Odgaard & Wang，1990)

圖 2.5 三個潛板時之反二次流及床形示意圖(摘自 Odgaard & Wang，1990)

圖 2.6 潛板間相互作用之示意圖(摘自 Wang，1991)

3 第三章 數值方法

顯式有限解析法為陳景仁(C. J. Chen)教授所創，其特色主要為 以下幾點(1)以結構性網格(structured)處理在卡式座標中不規則之邊 界(2)數值較易穩定(3)對個別計算元素之數值離散(discretization)係採 用局部解析解(local analytic solution)來近似，因而可將數值演算的捨 入誤差降至最低。在初期，顯式有限解析法係用在無自由表面之 Navier-Stokes 方程式，而河川上之應用，仍有待進一度的研究。顯式 有限解析法之穩定性，受到可蘭(Courant)數小於 1 或等於 1 之限制，

雖不像一般隱式法無條件穩定，但求解的方法較為簡單，故有一定的 優勢存在。以下將簡介求解方式與數值特性。

3.1 水理方程式數值方法

沿用許(2002)EFA 水理模式，採用顯式有限解析法來求解雙曲線 型淺水波水流動量方程式，可求得移流項部分之局部解析解，其觀念 利用下列卡式座標中二維一階線性齊次雙曲線型微分方程式做說明：

=0 +

+ _{x y}

t uφ vφ

φ (3-1) 式中 u, v 分別為 x, y 方向之速度，當起始條件φ(x ,y ,0)=ϕ(x ,y )被適 當給定時，可求得上式(3-1)之解析解如下：

) ,

( ) , ,

(x₀ y₀ Δt =ϕ x₀ −uΔt y₀ −vΔt

φ (3-2) 其中(x₀,y₀)為待求點之座標，x=x₀ −uΔt與y= y₀ −vΔt為一條特性線運 動軌跡。該特性線由起始平面 D 點出發(如圖 3.1)，經過Δt時刻後，

流經(x₀,y₀)位置，由式(3-2)之物理意義說明，該特性線上具有相同之 物理量，則 D 點之座標可根據移流速度 u, v 與特性軌跡x_D =x₀ −uΔt與

t v y

y_D = ₀− Δ 加以求得。但對於非線性之移流方程式，可透過局部線性

化的方法，將移流速度 u, v 以特徵速度代替，儘管移流速度是非線性

以上計算方法為 Dai(1994)所提出之顯式有限解析法，本模式將此方 法應用於自由液面之流場，並在模式中引入疊代計算流程以修正特徵 (conservative form)

[ ] [ ]

₀

其中，下標i, j表示網格點的位置，上標n與n+1表示相鄰之計算

3.3 水理模式之計算流程

本模式利用交錯(staggered)網格分佈(如圖 3.2)計算水深與流速來 避免”checkerboard”現象，在每個時間間距，透過反覆疊代計算過程，

以修正顯式法求解所造成之誤差，讓流場之變數可收斂。以下為水理 模式之運算過程：

1. 在交錯格網點上，利用(3-9)式計算uⁿ⁺¹與vⁿ⁺¹。

2. 在主格點上，利用(3-6)式計算hⁿ⁺¹，上標n+1^*之速度為步驟1 所求 得。

3. 依據步驟 1 與步驟 2 得到新之流場變數，修正特徵速度與上標為 1*

+

n 之變數。重覆步驟1～3，直到收斂為止。

4. 繼續下一時刻之模擬，重覆步驟 1～4，直到流場穩定或以達到總 模擬時間。

3.4 潛板效應之程式處理

本研究主要是將潛板效應所產生之反二次流速度導入程式中，

原模式所採用之主流及徑向流速剖面分別為指數律及直線變化剖面 如(2-9)與(2-10) (Zimmermann & Kenney,1978)式。

另外，(2-15)式雖已為潛板所產生之徑向反二次流流速，但還不 是最終之完整式子，因此再將水平上舉力(2-18)式與上舉力係數(2-20) 式帶入(2-15)式重新推導徑向反二次流流速，得：

j j j

j j

j

van r

r z s u L r

H uH m

m v m

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − −

− + +

= +

∑

^∞

=

+

4 ) exp(

) 1 1 ( ) 1

) ( 2 (

) 1

( ₂

1

1 2

ε

α (3-10)

其中，m 為縱向流速剖面指數；α 為潛板之沖擊角；u為靠近潛板之

流速；H 與 L 分別為潛板之高度與長度；r_j為 P 點距離漩渦 j 中心距 離；z_j為河床面距漩渦 j 中心之垂直距離；ε為亂流黏滯係數。上式 為單一潛板時所產生之反二流流速，但當有N_a個潛板構築一列潛板 組，及加上潛板間彼此相互作用之因素，可得以下式子：

∑

=

= ^Na

i

i vn i

van v

v

1

)

λ ( (3-11)

潛板設置於彎道後，其徑向流速剖面將改變，原本彎道本身產生之二 次流流速因反二次流而消減，因此將(2-10)式扣掉(3-10)式，得到新的 徑向流速剖面，如下：

) 1 2 )(

( − −

+

=v u v h

v _{ns van} δ (3-12) 程式的處理技巧，從控制方程式方面著手，當初在推導連續方程式與 動量方程式之水深積分時，會產生速度剖面之積分式，原本是將三角 對稱速度剖面(2-9)、(2-10)式帶入，但設置潛板之後，徑向流速剖已 改變，因此速度剖面積分式必須重新推導，下列為需重新推導之速度 剖面積分式：

∫

zb^zsvdz

∫

zb^zsu(v⁻v)dz

∫

zb^zs(v⁻v)²dz 將(3-12)式帶入以上三式重新推導，得：

∫

zb^zsvdz=vh − v_van (3-13)

∫

zb^zsu(v⁻v)dz= ^s uv_van N

h h rv N

b

) 1 2 ( )

1 2 (

2 2

− +

+ (3-14)

∫

zb^zs(v⁻v)²dz= ( )² 3 ^s h v^van

r b u

h − (3-15)

推得(3-13)、(3-14)、(3-15)式後，進行程式內部修改，以擴充為可模 擬潛板效應之模式。

3.5 二次流相關參數重要性分析

二次流從直線段進入彎道時，二次流會從零發展至一定值，此一 過程稱之為發展區(developeing region)；當二次流維持在一定值之區 域時，稱之為完全發展區(fully-developed region)；而當水流流出彎道 時，隨著離心力消失二次流逐漸衰減，此為衰減區(decaying region)。

從Yeh (1990)之研究中，顯示二次流在發展區會有大於完全發展區時 的情況，稱之為射出現象(overshoot)。若在緩彎渠道其射出現象並不 明顯，而在急彎或是動床渠道，則會有明顯的射出現象產生。為了有 效反應二次流，採用 Yeh (1990)模擬 Struiksma (1983)之 T1、T2、T3、

Olesen(1985)之 T5 及 Odgaard＆Bergs(1988)之案例模擬結果，求出二 次流發展之回歸式，再以de Vriend and Koch (1977)之 run1 與

Rozovskii(1961)之實驗室案例以考慮有無 overshoot 效應進行模擬，

以比較流速差異。

3.5.1 因次分析

為決定與二次流強度之相關物理參數，進行參數因次分析，根據 Yen(1965)之研究顯示，影響彎道水理因子主要為，流體密度ρ、黏滯 係數μ、流速u、v、平均水深h、渠寬B、渠長L_b、渠道中心曲率R_c、 坡度S₀。因此與水面二次流流速相關之因子整理如下：

) , , , , , , , , , ,

( ₀

1 g L u v h B Rc S c

u f u

b

ns = ρ μ (3-16) 式中，u_ns為水面二次流流速，u為水深平均主流流速，c為 Chezy C。

本研究係採用正交曲線座標之情況，v之效應可以忽略不計，因此在

(3-16)式剩下 10 個獨立變數，利用柏金漢(Vaschy-Buckingham)理論可 得7 個無因次參數，表示如下：

R_e =ρuh/μ, F_r =u/ gh, θ_b =L_b /(2πR_c)

SI =uh/(u_*R_c)=h/R_c C_f , h /B, S₀, C_f = g/ c² (3-17) 式中，R_e為雷諾數(Reynolds number)；F_r為福禄數(Froude number)；θ_b 為彎道長度因子(relative length of channel bend)；SI為二次流強度因 子(relative strength of secondarycurrent)；h /B為寬深比(depth-width ratio)；C_f為摩擦因子(friction fator)；u_*為剪力速度。

即無因次參數分析結果可表示如下

^ns f₂(R_e,F_r, _b,SI,h/B,Rc,S₀,C_f) u

u = θ (3-18)

3.5.2 參數重要性分析

為了瞭解(3-18)中水面二次流流速與其無因次參數之相關性，依據

謝(2003)利用

∑

=

+

=

1

0 ln( )

) ln(

i

i i

ns C C D

u

u 關係式進行迴歸分析，其中C₀常

數；D_i為上述之無因次參數；C_i為D_i之迴歸係數。迴歸分析之結果如 表 3.1，可發現h /B對水面二次流流速之影響為最大，其次是SI之參 數。根據 Yen(1965)與 Rozoviskii(1961)之研究，顯示當h /B<<1，彎 道二次流效應與h /B無關，以及本研究主要是探討彎道水流流速重新 分配之情況，而不是在探討重力效應之明渠水流問題，因此將h /B與

Fr兩參數忽略，且選取SI與θ_b兩參數以尋求與水面二次流流速之回歸 函數。採用遺傳演算模式進行迴歸，其迴歸函數如下：

[^{(1.3 )} ]^{(0.3 2) 0.0052}

3 +

+

= +

SI SI

SI

SI u

u

b b

b ns

θ θ

θ (3-19)

將上式與各試驗數據相比(如圖 3.3 至圖 3.7)，圖中之縱軸為

u u_ns

，橫 軸為彎道之角度θ(如彎道入口處為0⁰)，其相關係數如表 3.2。（3-19）

式為彎道發展區所產生 overshoot 效應之水面二次流流速，而在完全 發展區時，水面二次流流速則採用(2-10)式中 Ogaard 之二次流公式。

表 3.1 各無因次參數對u_ns/u之影響程度之回歸係數表

參數 Ln(F_r) Ln(θ_b) Ln(SI) Ln(Re) Ln(So) Ln(Cf) Ln( bh/ )

Ci 0.13 0.12 1.03 -0.35 0 0 1.83

表 3.2 各案例之相關係數表 試驗案例

Struiksma (1983)T1

試驗

Struiksma (1983)T2

試驗

Struiksma (1983)T3

試驗

Olesen(1985) T5 試驗

Odgaard&Bergs (1988)試驗

相關係數 0.86 0.96 0.93 0.93 0.85

圖 3.1 顯式有限解析法特性線示意圖

圖 3.2 交錯式計算格點

0

圖 3.7 Odgaard&Bergs(1988)之試驗

4 第四章 案例模擬與結果分析

4.1 彎道定床實驗室模擬

早期許多學者以數值方法與實驗來探討彎道之流速分佈、泥沙

早期許多學者以數值方法與實驗來探討彎道之流速分佈、泥沙

在文檔中 設置潛板之定床彎道流場數值模擬研究 (頁 32-0)