單一迴歸模型 - 中華大學

3-1 前言

本研究使用三種迴歸探勘技術，以基本面的公司財務比率為主要因子，建立股票報酬率預測模型。本章所使用的三種迴歸演算法之介紹如下：

1. 迴歸分析(Regression Analysis, RA)

是一種基於「最小誤差平方和」原理的迴歸技術。迴歸分析的優點是可以產生簡明的迴歸公式；缺點是不易處理自變數的非線性效果，以及自變數之間的交互作用效果。

2. 倒傳遞網路(Back-Propagation Network, BPN)

是一種基於「最小誤差平方和」原理，由生物神經網路所啟發的計算系統。

雖然它與邏輯迴歸的原理相似，但它的架構中具有隱藏層概念，因此它的優點是可以處理自變數的非線性效果，以及自變數之間的交互作用效果；缺點是不易產生簡明的分類機率公式。類神經網路是一種計算系統，包括軟體與硬體，

它使用大量簡單的相連人工神經元來模仿生物神經網路的能力。人工神經元是生物神經元的簡單模擬，它從外界環境或者其他人工神經元取得資訊，並加以非常簡單的運算，並輸出其結果到外界環境或者其他人工神經元。

3. 迴歸樹(Regression Tree, RT)

是一種基於「最小不純度」原理的分類技術。它以樹狀結構來表示分類模式，其中包含了枝幹(branch)與節點(nodes)。枝幹表示所對應的屬性值。節點分為內部節點(interior nodes)與末梢節點(terminal nodes)，內部節點表示在做分類時所依據的屬性；末梢節點表示最後分類的類別。分類樹的建構過程是從樹根 (樹根屬於內部節點)開始，對所有內部節點選擇一個能使分類不純度最小化的屬性做為內部節點，直到分枝內的分類「純化」為止，形成末梢節點。當分類樹的末端都是末梢節點時即完成分類樹。分類樹的優點是可以產生簡明的分類規

則，可以處理自變數的非線性效果，以及自變數之間的交互作用效果，缺點是不易考慮次要但仍有影響的因子，因此準確度較差。

本章以下面四個小節來說明與探討：

第 2 節：資料來源。說明資料如何的收集，其來源與期間以及這些收集的資料如何做前處理，且定義各個自變數與因變數和選擇其變數的原因。

第 3 節：結果。將經過前處理後的資料，以不同的參數運用迴歸分析(RA)、

倒傳遞網路(BPN)、迴歸樹(RT)這三種模型產生預測值，並以各個模型之預測值產生散佈圖及各季的誤差均方根，且將其結果進行分析、評論，藉以其分析與評論找出最佳的預測模型。

第 4 節：選股的效益與比較。探討所建的預測模型是否可提高投資績效，

本研究以三種選股策略來評價各選股模型的績效。

第 5 節：結語。本章的總結論及建議。

3-2 資料來源

本研究所使用的資料取自COMPUSTAT 資料庫，而收集資料的規則如下：

• 範圍：美國標準普爾 500 指數成份股(S&P 500)。

• 期間：1998 年至 2007 年，共有 40 季。

• 變數：8 個自變數與 1 個因變數。

本研究將收集來的資料加以整理，因為第一季的變數資料缺值太多，刪除不用，最後總共有39 季的資料可以使用。訓練範例期間為第 2~23 季，即 1998 年的第三季至2003 年的第四季，共 7459 筆資料數。測試範例期間為 24~40 季，

相當於2004 年第一季至 2007 年第四季，共 6936 筆資料數。

本研究所討論的自變數有 8 個，選取這 8 個變數的原因是參考五類可能影響報酬率的因子：

z 風險因子：Beta 值(Beta, β)

z 成長價值因子：股東權益報酬率(Return on Equity, ROE)、淨值股價比 (BRP)、成長價值報酬率(GVR)、盈餘股價比(Earnings Yield)

z 規模因子：市值(Market Value, MV) z 流動性因子：股票價格(Price-Close) z 動能因子：第 t 季報酬率

因此自變數X1~X8 定義如下：

X1 (第 t 季報酬率)：為個股在股票市場第 t 季的年報酬率。

X2 (ß 風險因子)：依據資本資產訂價模型(Sharpe, 1964)，ß 值越高，所能獲得的風險溢酬越高。

X3 (股東權益報酬率)：即每股盈餘/每股淨值。又稱為股東權益報酬率(ROE)，

代表在某一段時間內，公司利用股東權益為股東所創造的利潤。

X4 (市值)：為個股在股票市場的總市值。Fama and French (1993)指出規模小的公司股票報酬率可能較高。

X5 (股價)：為個股在季底的每股收盤價格。

X6 (淨值股價比)：即每股淨值/每股股價。Fama and French (1993)指出淨值股價比越大代表股價相對便宜，潛在的股票報酬率可能較高。

X7 (盈餘股價比)：即每股盈餘/每股股價。

X8 (成長價值報酬率, GVR)：為葉怡成(2008)提出的一個財務指標。

在美國，公司可公告財務季報的期間原本為45 天，但美國證管( SEC)會因安隆弊案規定自2006 年 6 月起，公司可公告財務季報期間縮短為 30 天。因為當第t 季財務報表公告的時間在 t+1 季的第一個月，已經超過可以在 t+1 季投資的時間點，所以本研究在第t+2 季時開始投資。然而原本在第 t+2 季結束時就可以計算報酬率，但因為X1 (第 t 季報酬率)自變數之定義計算為 6 個月的報酬率，

為避免先視偏差，本研究設定的持有期為第t+3 季，因此因變數為第 t+3 季之年報酬率。

圖3-1 因變數計算期間

在本章節，除了上述之資料來源，還將所收集到的資料加以整理排序，將測試範例以單自變數分季由小而大排序，觀察若以單一自變數排序對於因變數 (t+3 季報酬率)之影響與其重要性。本研究將每季的因變數分為五等份，分別算出其第t+3 季報酬率平均值、標準差、Sharpe 值，如圖 3-2~3-4。

以報酬率平均值來看(圖 3-2 所示)，有明顯的低價股效應、規模效應。其餘變數的影響並不明顯。而若以報酬率的標準差(圖 3-3 所示)看來，顯然低價股與高beta 股有很高的風顯。而在 Sharpe 指標方面，每個自變數的影響就較明顯，

反比者有股價、市值；正比者有淨值股價比、盈餘股價比、成長價值報酬率。

0 10 20 30 40 50 60

R et ur n( t) Be ta RO E MV Pr ic e BP R EP R GVR

報酬率平均值

圖3-2 不同因子在五等分下的第

t+3

季報酬率平均值

0 50 100 150 200

Return(t) Beta ROE MV Price BPR EPR GVR

報酬率標準差

圖3-3 不同因子在五等分下的第

t+3

季報酬率標準差

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

Return(t) Beta ROE MV Price BPR EPR GVR

Sharpe指標

圖3-4 不同因子在五等分下的第

t+3

季

Sharpe

指標

為了避免少數獲利極大或損失極大的季節影響到績效評估的可信度，再將每季的因變數分為五等份，分別算出其第t+3 季報酬率的 Rank 值的平均值，如圖 3-5。因為避免原始值太大的差距，可能會因一支巨型股就可以壓倒數支股票，所以本研究使用Rank 值。而由圖 3-5 可以得知，以報酬率 Rank 平均值看得出來，具有小型股及低價股的效應，此外淨值股價比、成長價值報酬率明顯成正比，但盈餘股價比的影響不明顯。

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

Return(t) Beta ROE MV Price BPR EPR GVR

報酬率Rank平均值

圖3-5 不同因子在五等分下的第

t+3

季報酬率平均值

以相關係數與陣(如表 3-1)觀察可得知，淨值股價比(BPR)與股東權益報酬率(ROE)的相關係數為-0.57，這驗證了若公司 ROE 比較大，市場會給該公司股票較高的PBR，即較低的 BPR，因此 ROE 與 BPR 成反比。成長價值報酬率(GVR) 是由 ROE 與 BPR 計算得到的數值，與二者均成正比，但因 ROE 與 BPR 成反比，因此GVR 與 BPR 的相關係數高達 0.83，但與 ROE 的相關係數為-0.14。股價(Price)與市值(MV)的相關係數達 0.43，因為市值的定義與股價有相關性，若股價高則市值也會高。

表3-1相關係數矩陣

Return(t) Beta ROE MV Price BPR EPR GVR Rank(Y )

Return(t) 1.00

Beta 0.03 1.00

ROE 0.03 -0.16 1.00

MV 0.03 0.00 0.20 1.00 Price 0.10 -0.17 0.26

0.43

1.00

BPR -0.20 -0.03

-0.57

-0.26 -0.24 1.00 EPR -0.18 -0.24

0.39

-0.04 0.08 0.34 1.00

GVR -0.21 -0.15 -0.14 -0.19 -0.12 0.83

0.67

Rank(Y) 0.03 -0.02 -0.02 -0.09 -0.19 0.07 0.03 0.07 1

為了避免各變數的尺度差異太大，因此將所有的變數分季以「排序正規化」

轉成「相對變數」。即每個變數都分季由小至大而排序，該季最大者其排序值 Rank=1；最小者 Rank=0，其餘依此內插。

3-3 結果

3-3-1 迴歸分析

迴歸分析(Regression Analysis, RA)的結果之表現如表 3-2，散佈圖如圖 3-6(訓練期間)、圖 3-7(測試期間)，t 統計量如圖 3-8。由結果可以得知，所訓練出來的模型以測試範例來測試，結果誤差均方根、相關係數均比訓練期間差許多，這顯示樣本內與樣本外在此模型預測中的差異，這顯示模型有過度配適 (overfitting)現象，其原因可能是隱藏在樣本內資料的模型與隱藏在樣本外資料的模型可能有相當的差異。以t 統計量觀察而得知，股價(Price)是具有強烈反向的影響性的，而正比影響性為 ROE 與 BPR 為明顯。因股價的強烈影響性，所以股價為影響回歸分析模型的重要因素。

表3-2 迴歸分析的多年模式結果

誤差均方根相關係數

訓練期間測試期間訓練期間測試期間 0.278618 0.292145 0.272029 0.1081665

圖3-6 迴歸分析的多年的散佈圖

(

訓練期間

)

圖3-7 迴歸分析的多年的散佈圖

(

測試期間

)

表3-3 迴歸分析的迴歸

t

統計量

自變數 t 統計

報酬率 Return(t) 2.4644 風險因子 Beta -3.5521 股東權益報酬率 ROE 3.7884

市值 MV 0.1615

股票價格 Price -19.0374 淨值股價比 BPR 2.7849 盈餘股價比 EPR -1.2606 成長價值比 GVR -0.5583

3-3-2 倒傳遞網路

本小節以倒傳遞網路來建立預測模型並且探討之，下面表 3-4 有九組參數表示，由隱藏單元數為(3, 5, 10)、學習速率為(0.1, 0.3, 1.0)與學習循環為 1000 而組成的九組參數。由表3-3 可以觀察出下面兩點：

• 當學習速率為 0.1 時，無論在訓練期間與測試期間，其誤差均方根都在其相同的隱藏單元數裡表現佳，而變數之間的相關性也高。

• 若在學習速率為 0.1 時，在下面各組的比較，則隱藏單元數為 10 的時候，

無論在訓練與測試期間其誤差均方根為最小，變數之間的相關性也最高。

由上面兩點，當隱藏單元數多與學習速率低的時候，在誤差均方根與相關係數都表現較佳，然而學習循環數是否也會控制著倒傳遞網路所建立的選股預測模型。

表3-4 倒傳遞網路

(BPN)

的多年模式結果

參數誤差均方根相關係數

編號隱藏單元數學習速率學習循環數訓練期間測試期間訓練期間測試期間 1 3 0.1 1000 0.27928 0.29183 0.26796 0.10863 2 3 0.3 1000 0.27928 0.29184 0.26777 0.10817 3 3 1 1000 0.27929 0.29186 0.26777 0.10817 4 5 0.1 1000 0.27907 0.29146 0.26944 0.11136

5 5 0.3 1000 0.27908 0.29149 0.26944 0.11091 6 5 1 1000 0.27891 0.29116 0.27074 0.11358 7 10 0.1 1000 0.27879 0.29089 0.27148 0.11489 8 10 0.3 1000 0.2788 0.29091 0.27148 0.11489 9 10 1 1000 0.27882 0.29098 0.27129 0.11446

本研究將表3-4 的最佳結果(隱藏單元數為 10 個隱藏單元，學習速率為 0.1) 繪製測試期間之散佈圖，其結果如圖 3-8，可以觀察出，美國股票市場在西元 2004~2007 年間經過倒傳遞網路(BPN)最佳參數所跑出來的數據能解釋的比例為1.32%。

本研究分析表 3-4 這九組預測模型，將每個模型在訓練期間已經趨近最佳的誤差均方根的學習循環數再做建立模型的測試，如下表3-5 所示。可以發現，

在此表現最佳的也是第七組(隱藏單元數為 10 個隱藏單元，學習速率為 0.1)，其學習循環數為150，表示這組選股預測模型在學習循環數為 150 次時已達收斂，

且其誤差均方根無論在訓練或測試期間都達最低，變數之間的相關性也高。

表3-5 倒傳遞網路

(BPN)

的多年模式結果

-

訓練期間之最佳學習循環數為主

參數誤差均方根相關係數

編號隱藏單元數學習速率學習循環數訓練期間測試期間訓練期間測試期間 1 3 0.1 60 0.27916 0.29101 0.26758 0.11402 2 3 0.3 40 0.27903 0.29112 0.26907 0.11314 3 3 1 50 0.27903 0.2911 0.26907 0.11314 4 5 0.1 130 0.27891 0.2909 0.27019 0.11489 5 5 0.3 40 0.27891 0.29091 0.27019 0.11446 6 5 1 200 0.27909 0.29151 0.26944 0.11091 7 10 0.1 150 0.27877 0.29061 0.27129 0.11705 8 10 0.3 150 0.27879 0.29074 0.27129 0.11619 9 10 1 180 0.27883 0.29097 0.27129 0.11489

3-3-3 迴歸樹

迴歸樹(RT)有二個重要參數：

樹葉最小樣本數：是指分枝所含訓練範例數的預設門檻值，若分枝所含訓練範例數目小於此門檻值，則結束此分支。

樹葉最小標準差：是指分枝所含訓練範例因變數標準差的預設門檻值，若分枝所含訓練範例變數中的標準差小於此預設標準差，則結束此分支。

本章節以樹葉最小樣本樹為300, 500 與 1000 為參數，樹葉最小標準差的參數設為0.2，共組成三組參數，如表 3-6 所示。由表 3-6 可以看的出來，在訓練期間的誤差均方根表現比較好的有編號1, 2 這兩組，但在測試期間則是編號 2, 3 這兩組。由此可知，編號 2 也就是樹葉最小樣本數為 500 與樹葉最小標準差為 0.2 這組在此是表現比較優異的，但其實這三個組別的誤差均方根不論是在訓練期間或是測試期間，表現都相差不遠。因為避免過度學習的問題，所以本研究選擇參數為樹葉最小樣本數為1000 與樹葉最小標準差為 0.2 繪製迴歸樹，如圖 3-10。

表3-6 迴歸樹

(RT)

的多年模式結果

在迴歸樹的樹葉中迴歸的平均值大於 0.5 的所有樹葉中，訓練範例樣本多 (至少佔 1/10 訓練範例以上)，且其第 t 季報酬率被迴歸的平均值大於 0.5 中最高者為「最佳樹葉」。從圖3-9 可以得知，第二層最左邊的樹葉最佳，其訓練期間平均值為0.66，筆數為 754 筆、測試期間的平均值為 0.56，筆數為 700 筆，均為最佳的平均報酬率，高於訓練範例總筆數的1/10 約 746 筆。

原本的規則：

If 股價 Rank < 0.3 And 股價 Rank < 0.1 簡化後的規則：

If 股價 Rank < 0.1

Then 第 t+3 季報酬率平均值：

訓練期間：0.66 (訓練範例 754 筆) 測試期間：0.56 (測試範例 700 筆)

相同道理，迴歸樹的樹葉中迴歸的平均值小於 0.5 的，訓練範例樣本多(至少佔訓練範例1/10 以上)，而且其第 t 季報酬率被迴歸的平均值小於 0.5 最低值者為「最差樹葉」。可以由圖3-9 可以得知，最下方最右邊第一個樹葉最差，其訓練期間的平均值為 0.35、筆數為 289 筆，測試期間的平均值為 0.41、筆數為 327 筆。

參數誤差均方根

編號樹葉最小樣本數樹葉最小標準差訓練期間測試期間

1 300 0.2 0.277 0.293

2 500 0.2 0.277 0.292

3 1000 0.2 0.278 0.292

在文檔中中華大學 (頁 30-50)