單元三：多項式的乘除

課文Ａ：多項式的乘法

介紹完多項式的加減後，接著我們要來談一談多項式的乘法。

還記得我們曾經介紹過的分配律（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd 嗎？

多項式的乘法事實上就是分配律的應用。下面我們就透過兩個題目的練習，

讓大家熟習多項式乘法的運算。

Ex 1：計算並化簡 (2x²− 1)(x − 3)

Ex 2：計算並化簡 (x + 2)(2x²− 3x − 1)

Ex 1：計算並化簡 (2x²− 1)(x − 3)

解：

(2x²− 1)(x − 3)

= 2x³− 6x²− x

+

3

2

4 1

3

2 3 4

1

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◎解題思維：

在這道題目中，我們將分配律應用在多項式的乘法運算，總共有四個計算 步驟，如下：

⊙第一步：前面的第一項乘以後面的第一項。也就是2x²乘以x，

得到2x³。

⊙第二步：前面的第一項乘以後面的第二項。也就是2x²乘以−3，

得到−6x²。

⊙第三步：前面的第二項乘以後面的第一項。也就是−1乘以x，

得到−x。

⊙第四步：前面的第二項乘以後面的第二項。也就是−1乘以−3，

得到+3。

在這四個步驟的計算中，我們要特別注意多項式中「項」的觀念。

由於多項式中的「項」包含前面的符號，所以當我們在將前面括號中的任 何一項乘上後面括號中的任何一項時，都要特別注意到，兩個項符號相乘 的變化，如第二步：前面的第一項乘以後面的第二項。也就是2x²乘以−3中，

前面的2x²雖然沒有寫出「＋」號，但它是正的，所以乘上後面的第二項−3 時，兩個項符號相乘就會得到「正負得負」的效果，所以兩項相乘出來的 結果就會是−6x²。

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⊙第三步：前面的第一項乘以後面的第三項。也就是x乘以−1，

得到−x。

⊙第四步：前面的第二項乘以後面的第一項。也就是+2乘以2x²， 得到+4x²。

⊙第五步：前面的第二項乘以後面的第二項。也就是+2乘以−3x，

得到−6x。

⊙第六步：前面的第二項乘以後面的第三項。也就是+2乘以−1，

得到−2。

重點提問

1. 從前面的課文中，我們知道多項式的乘法只是分配律的應用，唯一需要 我們特別注意的地方是什麼？

․隨堂練習：

1. 計算並化簡(3x²− 2)(2x − 5) 2. 計算並化簡(x − 2)(3x²− 2x − 1)

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/watch?v=EqlCv h4GLXc

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你有沒有發現，在除法計算的過程中，我們其實在重複做三個步驟。就是

⊙第一步：估計商

⊙第二步：將估計商與除數乘開

⊙第三步：被除數減去估計商與除數乘開結果

多項式的除法和數字的除法作法上很類似，也是重複做這三個步驟，只是 從「數字」的乘法和減法，變成「式子」的乘法和減法而已。

下面我們要先來練習一下這三個步驟，因為它是多項式除法運算的「基本 功」。一旦我們熟悉這三個基本功，對我們進入多項式除法的計算會有相 當大的幫助。

※基本功一：估計商的練習

例：完成下列空格，讓等式成立。

(1) x²× _______ = 3x⁴ (2) 2x × _______ = 4x³ (3) 2x²× _______ = x³ (4) 3x × _______ = −5x⁴ (5) −2x × _______ = −7x⁴

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解：(1)

我們在估計商時，可以分成 x 和係數兩個面向來看，以這一題來說，就 可以拆成兩個問題來看：

以 x 來看：𝐱^𝟐要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？

以係數來看：1 要乘以(什麼)才會變成 3？(1 是x²的係數) 因此，我們就可以知道𝐱^𝟐要乘以(𝐱^𝟐)才會變成𝐱^𝟒，而 1 要乘以(3)才會變 成 3。合併這兩個結果，我們就可以知道 □ = 3x²，我們稱這個過程叫 做「估計商」。

另外，我們也可以用「移項法則」來處理。如下：

x²× □ = 3x⁴

= 3x⁴÷ x² = 3x² 一樣也可以估計出商。

※小說明：做移項除法，必須 x 不等於 0 才行!

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解：(2)

以 x 來看：𝐱^𝟐要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟑？

以係數來看：2 要乘以(什麼)才會變成 1？(1 是x³的係數) 因此，我們就可以知道𝐱^𝟐要乘以(𝐱)才會變成𝐱^𝟑，而 2 要乘以(^𝟏

𝟐)才會變 成 1。合併這兩個結果，我們就可以知道□ =¹

2x。

另外，我們也可以用「移項法則」來處理。如下：

2x²× □ = x³

□ = x³÷ 2x² =1 2x 一樣也可以估計出商。

解：(3)

以 x 來看：𝐱要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？ 以係數來看：3 要乘以(什麼)才會變成－5？

因此，我們就可以知道𝐱要乘以(𝐱^𝟑)才會變成𝐱^𝟒，而 3 要乘以(−^𝟓

𝟑)才會 變成－5。合併這兩個結果，我們就可以知道

□= −⁵

3x³

另外，我們也可以用「移項法則」來處理。如下：

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3x × □ = −5x⁴

□ = −5x⁴÷ 3x = −5 3x³ 一樣也可以估計出商。

解：(4)

以 x 來看：𝐱要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？ 以係數來看：－2 要乘以(什麼)才會變成－7？

因此，我們就可以知道𝐱要乘以(𝐱^𝟑)才會變成𝐱^𝟒，而－2 要乘以(^𝟕

𝟐)才會變 成－7。合併這兩個結果，我們就可以知道□=⁷

2x³

另外，我們也可以用「移項法則」來處理。如下：

−2x × □ = −7x⁴

□ = −7x⁴÷ (−2x) =7 2x³ 一樣也可以估計出商。

解：(5)

以 x 來看：𝐱要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？ 以係數來看： ^𝟏

𝟐 要乘以(什麼)才會變成－3？

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因此，我們就可以知道𝐱要乘以(𝐱^𝟑)才會變成𝐱^𝟒，而 ^𝟏

𝟐 要乘以(−𝟔)才會 變成－3。合併這兩個結果，我們就可以知道

□= −6x³

另外，我們也可以用「移項法則」來處理。如下：

1

2x × □ = −3x⁴

□ = −3x⁴÷1

2x = −6x³

※基本功二：將估計商與除式乘開的練習 例：計算下列各式。

(1) 2x²× (x − 2) = 。 (2) ¹

2x²× (x²− 2x + 1) = 。 (3) −⁵

3x × (2x²+ 3x + 1) = 。 (4) −6x × (²

3x²+¹

6x −³

2) = 。

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解：

(1) 2x²× (x − 2) = 2x³− 4x²

(2) ¹

2x²× (x²− 2x + 1) =¹

2x⁴− x³+¹

2x²

(3) −⁵

3x × (2x²+ 3x + 1) = −¹⁰

3 x³ − 5x²−⁵

3x

(4) −6x × (²

3x²+¹

6x −³

2) = −4x³− x²+ 9x

※基本功三：被除式減去估計商與除式乘開結果的練習

在計算多項式的除法運算時，我們常常會用到兩個多項式相減的技巧，而 且都是以直式在運算，所以下面我們就要來練習一下，以直式來做多項式 減法的運算。

Ex 3：計算下列各小題

(1) 6x²+ 3x − 5 (2) −2x²− 5x + 1

－) 6x²− 2x + 3 －) −2x²+ 3x − 2

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從上面的幾個練習，我們可以稍微熟悉一下多項式除法運算三步驟所需要 的計算工作，接著我們就要正式進入多項式除法。

我們先用下面幾個題目來練習看看!

Ex 1：計算 (x²− 3x + 1) ÷ (x + 2) Ex 2：計算 (6x²+ 5) ÷ (2x − 1)

Ex 3：計算 (12x³+ 7x²− 15x + 3) ÷ (4x²+ 5x − 1)的商式與餘式。

Ex 4：計算 (8x³+ 5x²− 3) ÷ (x²− 1)的商式與餘式。

Ex 1：計算 (x²− 3x + 1) ÷ (x + 2)

解：

⊙第一步：估計商

估算除式的最高次方項要乘以什麼才會變成被除式的最高次方項。

x + 2 x²− 3x + 1

以這道題目來說，除式x + 2的最高次方項 x，要變成被除式 x²− 3x + 1的最高次方項x²，必須要乘以 x。因此我們就可以 估計出商的第一項為 x。

基本功一：估計商 x × _____ = x²

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⊙重複第一步：估計商

估算除式的最高次方項要乘以什麼才會變成被除式的最高次方項。

x x + 2 x²− 3x + 1

x²+ 2x

−5x + 1

在這一步中，除式x + 2的最高次方項 x，要變成新的被除式−5x + 1 的最高次方項−5x，必須要乘以－5。

因此我們就可以估計出商的第二項為－5。

⊙重複第二步：將估計商與除式乘開

x − 5

x + 2 x²− 3x + 1 x²+ 2x

−5x + 1 −5x − 10

基本功二：將估計商與除式乘開

−5 × (x + 2) = −5x − 10

x

基本功一：估計商 x × ___ = −5x

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⊙重複第三步：被除式減去估計商與除式乘開結果 x − 5

x + 2 x²− 3x + 1 x²+ 2x −5x + 1

−5x − 10 11

做到這裡我們發現，如果要再重複第一步估計商，必須要思考

x × ___ = 11。事實上，餘式 11 是零次方，在多項式中，零次方已經是最 低次方，然而除式x + 2是一次方。

換句話說，不會有一個商乘上一次方後，反而變零次方。因此，多項式除 法一旦做到餘式的次數比除式低時，就算完成了。所以這一題，得到餘式 11 時，就已經完成，不用再繼續算下去。所以，在(x²− 3x + 1) ÷ (x + 2) 的計算中，我們得到商式為x − 5，餘式為 11 的結果。

Ex 2：計算 (6x²+ 5) ÷ (2x − 1)

基本功三：被除式減去估 計商與除式乘開結果

−5x + 1 －)−5x − 10

11

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Ex 3：計算 (12x³+ 7x²− 15x + 3) ÷ (4x²+ 5x − 1)的商式與餘式。

解：

3x − 2

4x²+ 5x − 1 12x³+ 7x²− 15x + 3 12x³+ 15x²− 3x

−8x²− 12x + 3

−8x²− 10x + 2 −2x + 1

答：商式3x − 2，餘式−2x + 1

Ex 4：計算 (8x³+ 5x²− 3) ÷ (x²− 1)的商式與餘式。

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解：

8x + 5

x²

+ 0x

− 1 8x³+ 5x²

+ 0x

− 3 8x³+ 0x²− 8x 5x²+ 8x − 3 5x²+ 0x − 5

8x + 2

答：商式8x + 5，餘式8x + 2

重點提問

1. 依據課文的說明，多項式的除法可以粗分成哪三個步驟？

2. 依據課文的說明，多項式的除法的第一步：估計商，主要是在作什麼？

3. 依據課文的說明，在作多項式的除法時，如果遇到除式或被除式有「缺 項」的情形該怎麼做？請你以2x³− 3為例，說明一下。

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․隨堂練習：

1. 完成下列空格，讓等式成立。

(1) x²× _______ = −2x⁴ (2) 3x²× _______ = x³ (3) 2x × _______ = −5x⁴ (4) −3x × _______ = −7x⁴ (5) ¹

3x × _______ = −2x⁴

2. 計算下列各式。

(1) 3x²× (x − 3) = (2) ¹

3x²× (2x²− x + 3) = (3) −²

3x × (x²+ 2x + 1) = (4) −9x × (¹

3x²+¹

6x −¹

2) =

3. 計算下列各小題

(1) 2x²+ 5x − 2 (2) −3x²− 4x + 3

－) 2x²− x + 3 －) −3x²+ 2x − 5

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課文 C：多項式與除法原理

國小時我們曾學過除法原理，也就是

被除數＝除數×商＋餘數 (其中0 ≤ 餘數 < 除數)

上了國中，學了多項式的除法運算，也有除法原理，只不過由國小的「數」

變成國中的「式」，也就是

被除式＝除式×商式＋餘式 (其中0 ≤ 餘式次數 < 除式次數))

下面我們來舉幾道題目，了解在多項式範圍我們如何運用除法原理進行解 題。

Ex 1：有一多項式除以2x − 3得到商式為3x + 2，餘式為 9，求此多項式。

Ex 2：若多項式2x²− ax − 4能被x − 2整除，求 a＝？

Ex 3：若多項式4x²− mx − 3能被2x − 3整除，求 m＝？

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Ex 1：有一多項式除以2x − 3得到商式為3x + 2，餘式為 9，求此多項式。

解：

因為 被除式＝除式×商式＋餘式 所以 多項式= (2x − 3) × (3x + 2) + 9 = 6x²+ 4x − 9x − 6 + 9

= 6x²− 5x + 3

答：6x²− 5x + 3

Ex 2：若多項式2x²− ax − 4能被x − 2整除，求 a＝？

◎解題思維：

這道題目至少有兩種解法，第一種是用多項式除法直接進行計算。第二種 是運用除法原理。比較特別的是第二種做法，也就是運用除法原理，來處 理這道題目。我們可以假設2x²− ax − 4除以x − 2，所得到的商式為 Q，餘 式為 R。所以可以利用除法原理

被除式＝除式×商式＋餘式 列出下面的式子。

2x²− ax − 4 = ( x − 2) × Q + R

因為題目告訴我們2x²− ax − 4能被x − 2整除，所以餘式 R＝0。

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因此我們可以再進一步把式子改寫成

2x²− ax − 4 = ( x − 2) × Q

因為這是一個等式，代表不論 x 的值為多少，代入後等式都會成立。既然 如此，我們可以代入 x＝2，因為當 x＝2 時，Q 會乘上數字 0。換句話說，

Q 就會變不見了。我們就可以算出 a 了。

解：法一

x − 2 2x²− ax − 4 2x²− 4x (−a + 4)x − 4

(−a + 4)x − 2(−a + 4) −4 + 2(−a + 4)

因為是整除所以餘式−4 + 2(−a + 4) = 0，接著我們便可以解方程式

−4 + 2(−a + 4) = 0如下

−4 + 2(−a + 4) = 0

−4 − 2a + 8 = 0 4 − 2a = 0

−2a = −4 a = −4 ÷ (−2)

a = 2 2x + (−a + 4)

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解：法二：

因為多項式2x²− ax − 4能被x − 2整除，所以假設所得到的商式為 Q。

又

被除式＝除式×商式＋餘式 所以

2x²− ax − 4 = ( x − 2) × Q 令 x＝2，代入上式，得到

8 − 2a − 4 = 0 × Q 所以

4 − 2a = 0 a = 2

答：a = 2

Ex 3：若多項式4x²− mx − 3能被2x − 3整除，求 m＝？

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解：

假設多項式4x²− mx − 3除以2x − 3得到商式為 Q 所以

4x²− mx − 3 = (2x − 3) × Q 令x =³

2代入上式 得到

4 ×9 4−3

2m − 3 = 0 × Q 6 −3

2m = 0

−3

2m = −6 m = −6 ÷ (−3

2) = −6 × (−2

3) = 4

答：m = 4

重點提問

依據課文的解釋，請你說明一下什麼是「除法原理」。

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․隨堂練習：

1. 有一多項式除以3x − 4得到商式為2x + 1，餘式為-3，求此多項式。

2. 求出多項式x²⁰− 2x − 3除以x + 1的餘式。

3. 若多項式3x²+ ax − 2能被x − 2整除，求 a＝？

4. 若多項式2x²+ mx + 3能被2x + 3整除，求 m＝？

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/watch?v=

_QOKgqcpeLk

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