從上面的圖示中，我們不難發現，前面括號內的 a 在第 1 步驟和第 2 步驟中分別乘上了後面括號內的 c 和 d。換句話說，前面括號內的 a 把後面括號內的 c 和 d 都乘了一遍。接著在第 3 步驟和第 4 步驟中，前面括號內的 b，同樣也把後面括號內的 c 和 d 給乘了一遍。

所以我們可以這麼說，（a＋b）（c＋d）這兩個括號相乘，其實就是前面括號內的 a 要乘上後面括號內的 c 和 d，而前面括號內的 b 也要乘上後面括號內的 c 和 d。

2

4

1 2 3 4

1

3

(5)

5

我們可以寫出四個步驟來描述（a＋b）（c＋d）這兩個括號相乘的過程。

⊙第一步：

前面的第一項乘以後面的第一項。也就是 a 乘以 c，得到 ac。

⊙第二步：

前面的第一項乘以後面的第二項。也就是 a 乘以 d，得到 ad。

⊙第三步：

前面的第二項乘以後面的第一項。也就是 b 乘以 c，得到 bc。

⊙第四步：

前面的第二項乘以後面的第二項。也就是 b 乘以 d，得到 bd。

接下來讓我們用這四個例子練習看看!!

Ex 1：利用分配律計算 101 × 301。

Ex 2：利用分配律計算 60¹

2× 30¹

3

Ex 3：利用分配律計算101 × 99¹

2。 Ex 4：利用分配律計算 99⁴

5× 199¹

2。

2

4

1 2 3 4

3 1

(6)

6

Ex 1：利用分配律計算 101 × 301。

◎解題思維：

要計算 101 × 301 並不是一件太難的事，其實只要直接乘開就可以得到答案 30401。

但是題目指定要用分配律，所以我們就要想一想 101 × 301 怎麼用上面學到的（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd 來解決？

首先我們觀察 101 × 301 這個算式，你有沒有發現 101 和 100 很接近，而 301 和 300 很接近，如果是 100 × 300，一下子就可以寫出答案 30000，連算都不用算。

但是畢竟原來的題目並不是 100 × 300，而是 101 × 301，所以我們不能直接把它改成 100 × 300。

那我們可不可以試著把 101 當成（100＋1），把 301 當成（300＋1），看看會變成怎樣。

如果我們把 101 當成（100＋1），把 301 當成（300＋1），那麼就會得到下面的式子。

101 × 301＝（100＋1）×（300＋1）＝（100＋1）（300＋1）

(7)

7

這時候分配律（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd 就可以派上用場了。

因為（100＋1）（300＋1）和（a＋b）（c＋d）結構上是一樣的。我們可以把它們寫在一塊，仔細觀察一下。

（100＋1）（300＋1）

（a＋b）（c＋d）

你有沒有發現兩個式子結構一模一樣，

其中 a 就是 100，b 是 1，c 是 300，d 也是 1。

而因為（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd，所以

（100＋1）（300＋1）＝100×300＋100×1＋1×300＋1×1

＝30000＋100＋300＋1

＝30401 我們就可以利用分配律算出答案了。

解：

101×301＝（100＋1）（300＋1）＝100×300＋100×1＋1×300＋1×1 ＝30000＋100＋300＋1

＝30401

3 1

2

4

1 2 3 4

(8)

8

Ex 2：利用分配律計算 60¹

2× 30¹

3。

解： (60 +¹

2) (30 +¹

3) = 60 × 30 + 60 ×¹

3+¹

2× 30 +¹

2×¹

3

= 1800 + 20 + 15 +1 6 = 18351

6

有了上面兩道題目的經驗，我們可以藉由分配律的幫助，更快作出計算。

接下來我們要再來嘗試兩道題目，讓我們更熟悉分配律的應用。

Ex 3：利用分配律計算101 × 99¹

2。

◎解題思維：

當我們嘗試要利用分配律去解決 101 × 99¹

2 時，我們可以把它寫成 (100 + 1) (99 +¹

2)，但是你會發現將 99¹

2 改為(99 +¹

2)，並不是一個方便的數字，如果能夠可以將 99¹

2 改為(100 −¹

2)，似乎會比較好計算。

因此我們嘗試把 101 × 99¹

2 改成(100 + 1) (100 −¹

2)。接著我們就用分配律來進行計算

2

4

1 2 3 4

3 1

(9)

9

101 × 99¹

2= (100 + 1) (100 −¹

2)

= 100 × 100

−

100 ×1

2+ 1 × 100

−

1 ×1 2

= 10000

−

50 + 100

−

¹

2

= 10049¹

2

從上面的算式中，你有沒有發現和前面作法不同的地方？

當我們在進行第二步，也就是將前面的第一項乘以後面的第二項時，前面的第一項是 100，而後面的第二項，並不只是¹

2。事實上，後面的第二項是

−¹

2，因為在數學式中的「項」包含前面的符號。所以前面的第一項乘以後面的第二項就會是100 × (−¹

2)，寫成−100 ×¹

2。

同樣的道理，進行第四步，也就是將前面的第二項乘以後面的第二項時，

也應該是+1 × (−¹

2)，寫成−1 ×¹

2。這就是在這道題目中要特別注意的地方。

解： 101 × 99¹

2 = (100 + 1) (100 −¹

2)

= 100 × 100

−

100 ×¹

2+ 1 × 100

−

1 ×¹

2

= 10000

−

50 + 100

−

¹

2

= 10049¹

2 2

4 1

3

2 4

1 3

(10)

10

有了上面這題的經驗，我們學會兩件事，第一，像是 99¹

2 這樣的數如果改為(100 −¹

2)，會比較好計算。第二，數學式中的「項」包含前面的符號，

因此我們再將前面的「項」乘以後面的「項」時，必須要注意符號的變化。

下面我們再來作一道題目，練習一下剛剛學到的這兩件事。

Ex 4：利用分配律計算 99⁴

5× 199¹

2。

解：

99⁴

5× 199¹

2

= (100－¹

5) (200－¹

2)

＝100 × 200－100 ×¹

2

－

¹

5× 200＋¹

5×¹

2

= 20000－50－40＋ ¹

10

= 19910 ¹

10 2

4 1

3

2 3 4

1

(11)

11

重點提問

1. 請你依據課文的內容，寫出（a＋b）（c＋d）的四個步驟，並且以箭頭搭配 1、2、3、4 在下面的式子中標出步驟，寫出乘開後的結果。

⊙第一步：

⊙第二步：

⊙第三步：

⊙第四步：

（a＋b）（c＋d）＝

2. 請你依據（a＋b）（c＋d）的四個步驟，以(100－2) (100－3)為例，寫出各步驟的具體內容

⊙第一步：

⊙第二步：

⊙第三步：

⊙第四步：

1

(12)

12

․隨堂練習：

1. 利用分配律計算 201 × 401。

2. 利用分配律計算 50¹

2× 20¹

3。 3. 利用分配律計算201 × 199¹

2。 4. 利用分配律計算 199⁴

5× 199¹

2。

1 分配律(1) 2 分配律(2) 3 分配律(3)

(13)

13

課文B：和的平方公式

了解分配律（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd 後，我們要來介紹一些乘法公式。

國中階段的乘法公式主要有三個，分別是「和的平方」、「差的平方」和「平方差」公式。

首先我們要認識一下「和的平方」公式，和的平方公式指的是，把兩數相加起來後再平方，換句話說如果兩個數分別是 a 和 b 的話，「和的平方」

就是(a + b)²。

那麼究竟(a + b)²會等於什麼呢？

我們可以利用分配律來算算看。

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a²+ ab + ab + b² = a²+ 2ab + b²

從上面的算式中，我們知道(a + b)²乘開後會得到a²+ 2ab + b²。由於 (a + b)²是我們經常會用到的算式，於是我們把這樣的結果，也就是 (a + b)² = a²+ 2ab + b² 記起來，並且給它一個名字「和的平方公式」。

和的平方公式：(a + b)² = a²+ 2ab + b²

2

4 1

2 3 4

1 3

(14)

14

接下來讓我們用這幾個例子來練習看看和的平方公式!

Ex 1：利用和的平方公式計算下列各式的值 (1) 203² (2)20.4² (3)(10²

5)²

Ex 2：關於和的平方公式，在下列的敘述中，正確的請打，錯誤的請打。

1. ( ) 和的平方是指將兩個數平方後，然後再相加。

2. ( ) 和的平方是指將兩個數相加後，然後再平方。

3. ( )(a + b)² = a²+ b²

4. ( )(a + b)² = a²+ 2ab + b²

Ex 3：利用和的平方公式計算下列各式的值

(1) 97²+ 2 × 97 × 3 + 3² (2)9.5²+ 2 × 9.5 × 0.5 + 0.5²

(15)

15

Ex 1：利用和的平方公式計算下列各式的值 (1) 203² (2)20.4² (3)(10²

5)²

◎解題思維(1)：

要用和的平方公式來計算203²的值，首先要將203²改成(200 + 3)²，一來符合(a + b)²的型態，也就是把(200 + 3)²括號內的 200 當成 a，3 當成 b。

二來方便計算。接著再套用和的平方公式(a + b)² = a²+ 2ab + b²，把 (200 + 3)²變成200²+ 2 × 200 × 3 + 3²。這裡要補充說明一下，除了把 200 當成 a，3 當成 b 以外，中間的 2ab，是代表2 × a × b的意思，因此把 200 當成 a，3 當成 b 代入 2ab 後，就會得到2 × 200 × 3，接著再進行計算，

就可以求出答案了。

解：(1) 203² = (200 + 3)²

= 200²+ 2 × 200 × 3 + 3² = 40000 + 1200 + 9 = 41209

★省思：

從這道題目裡我們不難發現，其實只要將和的平方公式

(a + b)² = a²+ 2ab + b²中的 a 當成 200，b 當成 3 代入公式就可以計算出答案。惟一要注意的只有中間的 2ab 代表的意思是2 × a × b，因此代入後，會得到2 × 200 × 3。

( a + b )²

a² + 2 a b + b²

(16)

16

解：(2) 20.4² = (20 + 0.4)²

= 20²+ 2 × 20 × 0.4 + 0.4² = 400 + 16 + 0.16

= 416.16

解：(3) (10²

5)² = (10 +²

5)²

= 10²+ 2 × 10 ×²

5+ (²

5)² = 100 + 8 + 4

25 = 108 4

25

Ex 2：關於和的平方公式，在下列的敘述中，正確的請打，錯誤的請打。

5. ( ) 和的平方是指將兩個數平方後，然後再相加。

6. ( ) 和的平方是指將兩個數相加後，然後再平方。

7. ( )(a + b)² = a²+ b²

8. ( )(a + b)² = a²+ 2ab + b²

( a + b )²

a² + 2 a b + b²

( a + b )²

a² + 2 a b + b²

(17)

17

解：

1. 和的平方公式，顧名思義就是先「和」再「平方」，換句話說是指將兩個數相加後（和），然後再平方。所以第 1 題是，第 2 題是。

2. (a + b)²指的不是將 a、b 各自平方，而是將整個的（a＋b）平方，換句話說就是(a + b)(a + b)。因此，按照分配律，除了𝑎²+ 𝑏²外，前面的第一項 a 乘上後面的的第二項＋b，會得出＋ab 來，而前面的第二項＋b 乘上後面的的第一項 a，也會得出＋ab 來。合併這兩個結果，

就會得出＋2ab 來。所以(a + b)²絕對不是單純的將 a、b 各自平方。

因此，第 3 題是，第 4 題是。

Ex 3：利用和的平方公式計算下列各式的值

(1) 97²+ 2 × 97 × 3 + 3² (2)9.5²+ 2 × 9.5 × 0.5 + 0.5²

◎解題思維：

我們可以把和的平方公式倒過來用，也就是把(a + b)² = a²+ 2ab + b²倒過來改成a²+ 2ab + b² = (a + b)²。如此一來，整理出來的97²+ 2 × 97 × 3 + 3²，就可以換成(97 + 3)²了，也就是100²，然後就可以算出答案等於 10000。

(18)

18

解：(1) 97²+ 2 × 97 × 3 + 3² = 97²+ 2 × 97 × 3 + 3² = (97 + 3)²

= 100² = 10000

解：(2) 9.5²+ 2 × 9.5 × 0.5 + 0.5² = 9.5²+ 2 × 9.5 × 0.5 + 0.5² = (9.5 + 0.5)²

= 10² = 100

重點提問

1. 請你依據課文的內容，將(a + b)²當作(a + b)(a + b)來乘開，並整理出「和的平方公式」。

(a + b)² = (a + b)(a + b)

2. 依據課文的意思，我們在計算10.3²時，我們可以把它當作(10 + 0.3)²，然後代入和的平方公式(a + b)² = a²+ 2ab + b²進行計算。請問，代入和的平方公式時，a 如果相當於___10___，b 則相當於________。

(a + b)²

a² + 2 a b + b²

( a + b )²

a² + 2 a b + b²

(19)

19

․隨堂練習：

1. 利用和的平方公式計算下列各式的值 (1) 103² (2)10.4² (3)(20²

5)²

2. 利用和的平方公式計算下列各式的值

(1) 95²+ 2 × 95 × 5 + 5² (2)9.8²+ 2 × 9.8 × 0.2 + 0.2²

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/watch?v=AR -CjnOuzgM

(20)

20

課文 C：差的平方公式

介紹完和的平方公式後，接下來我們要來看「差的平方」公式，差的平方公式指的是兩個數相減後再平方。換句話說如果兩個數分別是 a 和 b 的話，

那麼「差的平方」就是(a − b)²。那麼究竟(a − b)²會等於什麼呢？

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a²− ab − ab + b² = a²− 2ab + b²

從上面的算式中，我們知道(a − b)²乘開後會得到a²− 2ab + b²。由於 (a − b)²是我們經常會用到的算式，於是我們把這樣的結果，也就是 (a − b)² = a²− 2ab + b²記起來，並且給它一個名字「差的平方公式」。

差的平方公式：(a − b)² = a²− 2ab + b²

2

4 1

3

2 3 4

1

(21)

21

下面我們就來利用差的平方公式作一些練習!。

Ex 1：利用差的平方公式計算下列各式的值 (1) 197² (2)29.7² (3)(9³

4)²

Ex 2：關於差的平方公式，在下列的敘述中，正確的請打，錯誤的請打。

1. ( ) 差的平方是指將兩個數平方後，然後再相減。

2. ( ) 差的平方是指將兩個數相減後，然後再平方。

3. ( )(a − b)² = a²− b²

4. ( )(a − b)² = a²− 2ab + b²

Ex 3：利用差的平方公式計算下列各式的值 (1) 103²− 2 × 103 × 3 + 3²

(2) 10.5²− 2 × 10.5 × 0.5 + 0.5²

(22)

22

Ex 1：利用差的平方公式計算下列各式的值 (1) 197² (2)29.7² (3)(9³

4)²

要用差的平方公式來計算197²的值，首先要將197²改成(200 − 3)²，一來符合(a − b)²的型態，也就是把(200 − 3)²括號內的 200 當成 a，3 當成 b。

二來方便計算。接著再套用差的平方公式(a − b)² = a²− 2ab + b²，把 (200 − 3)²變成200²− 2 × 200 × 3 + 3²。這裡要補充說明一下，除了把 200 當成 a，3 當成 b 以外，中間的 2ab，是代表2 × a × b的意思，因此把 200 當成 a，3 當成 b 代入 2ab 後，就會得到2 × 200 × 3，接著再進行計算，

就可以求出答案了。

解：(1) 197² = (200 − 3)²

= 200²− 2 × 200 × 3 + 3² = 40000 − 1200 + 9 = 38809

★省思：

從這道題目裡我們不難發現，其實只要將差的平方公式

(a − b)² = a²− 2ab + b²中的 a 當成 200，b 當成 3 代入公式就可以計算出來答案。惟一要注意的只有中間的 2ab，所代表的意思是2 × a × b，因此代入後，會得到2 × 200 × 3。

( a − b )²

a² − 2 a b + b²

(23)

23

解：(2) 29.7² = (30 − 0.3)²

= 30²− 2 × 30 × 0.3 + 0.3² = 900 − 18 + 0.09

= 882.09

解：(3) (9³

4)² = (10 −¹

4)²

= 10²− 2 × 10 ×¹

4+ (¹

4)² = 100 − 5 + ¹

16

= 95 ¹

16

Ex 2：關於差的平方公式，在下列的敘述中，正確的請打，錯誤的請打。

5. ( ) 差的平方是指將兩個數平方後，然後再相減。

6. ( ) 差的平方是指將兩個數相減後，然後再平方。

7. ( )(a − b)² = a²− b²

8. ( )(a − b)² = a²− 2ab + b²

(24)

24

解：

差的平方公式，顧名思義就是先「差」再「平方」，換句話說是指將兩個數相減後（差），然後再平方。所以第 1 題是，第 2 題是。

(a − b)²指的不是將 a、b 各自平方，而是將整個的（a－b）平方，換句話說就是(a − b)(a − b)。因此，按照分配律，除了𝑎²+ 𝑏²外，前面的第一項 a 乘上後面的第二項－b，會得出－ab 來，而前面的第二項－b 乘上後面的第一項 a，也會得出－ab 來。合併這兩個結果，就會得出－2ab 來。所以(a − b)²絕對不是單純的將 a、b 各自平方。因此，第 3 題是，

第 4 題是。

Ex 3：利用差的平方公式計算下列各式的值 (1) 103²− 2 × 103 × 3 + 3²

(2) 10.5²− 2 × 10.5 × 0.5 + 0.5²

解：(1) 103²− 2 × 103 × 3 + 3² = 103²− 2 × 103 × 3 + 3² = (103 − 3)²

= 100² = 10000

(25)

25

解：(2) 10.5²− 2 × 10.5 × 0.5 + 0.5² = 10.5²− 2 × 10.5 × 0.5 + 0.5² = (10.5 − 0.5)²

= 10² = 100

重點提問

1. 請你依據課文的內容，將(a − b)²當作(a − b)(a − b)來乘開，並整理出「差的平方公式」。

(a − b)² = (a − b)(a − b)

2. 依據課文的意思，我們在計算9.7²時，我們可以把它當作(10 − 0.3)²，然後代入差的平方公式(a − b)² = a²− 2ab + b²進行計算。請問，代入差的平方公式時，a 如果相當於___10___，b 則相當於________。

(26)

26

․隨堂練習：

1. 利用差的平方公式計算下列各式的值 (1) 97² (2)39.7² (3)(19³

4)²

2. 利用和的平方公式計算下列各式的值

(1) 105²−2× 105 × 5 + 5² (2)10.8²− 2 × 10.8 × 0.8 + 0.8²

https://www.youtube.com/watch?v=H2pz NoD7GRc

(27)

27

課文 D：平方差公式

介紹完「和的平方公式」與「差的平方公式」後，最後一個我們要介紹的是「平方差公式」。

「平方差公式」顧名思義是指兩個數各自平方後再相減，換句話說如果兩個數分別是 a 和 b 的話，那麼各自平方後再相減就是a²− b²，我們叫它作

「平方差」。

那麼究竟a²− b²是怎麼來的呢？

事實上 a²− b²是(a + b)和(a − b)兩個式子相乘後的結果。

(a + b)(a − b) = a²− ab + ab − b² = a²− b²

從上面的算式中，我們知道(a + b)(a − b)乘開後會得到a²− b²。由於這是我們經常會用到的算式，於是我們把這樣的結果，也就是 (a + b)(a − b) = a²− b² 記起來，並且給它一個名字「平方差公式」。

平方差公式：(a + b)(a − b) = a²− b²

2

4 1

3 1 2 3 4

(28)

28

下面我們就來利用這兩個例子來練習平方差公式!

Ex 1：利用平方差公式計算下列各式的值 (1) 103 × 97 (2) 20¹

3× 19²

3

Ex 2：利用平方差公式計算下列各式的值 (1) 55²− 45² (2) 19.5²− 0.5²

Ex 1：利用平方差公式計算下列各式的值 (1) 103 × 97 (2) 20¹

3× 19²

3

要用平方差公式來計算103 × 97的值，首先要將103改成(100 + 3)，而97改成(100 − 3)，如此一來便符合(a + b)(a − b)的型態，如下面的式子：

103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3)

接著便可以套用平方差公式(a + b)(a − b) = a²− b²算出答案。

(29)

29

解：

103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100²− 3² = 10000 − 9 = 9991

要用平方差公式來計算20¹

3× 19²

3的值，首先要將20¹

3改成(20 +¹

3)，而19²

3

改成(20 −¹

3)，如此一來便符合(a + b)(a − b)的型態，如下面的式子：，

201

3× 192

3 = (20 +1

3) (20 −1 3)

接著便可以套用平方差公式(a + b)(a − b) = a²− b²算出答案。

解：

201

3× 192

3= (20 +1

3) (20 −1

3) = 20²− (1 3)

2

= 400 −1

9= 3998 9

Ex 2：利用平方差公式計算下列各式的值 (1) 55²− 45² (2) 19.5²− 0.5²

解：(1) 55²− 45²＝(55 + 45)(55 − 45) = 100 × 10 = 1000

解：(2) 19.5²− 0.5²＝(19.5 + 0.5)(19.5 − 0.5) = 20 × 19 = 380

(30)

30

重點提問

1. 請你依據課文的內容，將(a + b)(a − b)乘開，並整理出「平方差公式」。

(a + b)(a − b)

2. 依據課文的意思，平方差公式的應用是可以倒過來用的，也就是說除了 (a + b)(a − b) = a²− b²外，也可以用a²− b² = (a + b)(a − b)來解決部分的題目，請你依據下面題目的類型，連結適合的平方差公式。

29.5²− 0.5²

104 × 96 a²− b² = (a + b)(a − b)

10¹

3× 9²

3 (a + b)(a − b) = a²− b²

35²− 15²

(31)

31

․隨堂練習：

1. 利用平方差公式計算下列各式的值 (1) 203 × 197 (2) 10¹

3× 9²

3

2. 利用平方差公式計算下列各式的值 (1) 75²− 25² (2) 9.5²− 0.5²

https://www.youtube.com/watch?v=oQ ulOeHJiBw

(32)

32

單元二：多項式與其加減運算

課文Ａ：多項式

介紹完乘法公式後，接著我們要談的是「多項式」。

什麼是多項式呢？

如3x²− 2x + 1 和 2x + 3這樣的數學式，就稱作「x 的多項式」。多項式是一種包含「變數」和「係數」的式子，並且只運用到加法、減法和乘法。

但是，當變數 x 出現在分母或絕對值時，就不屬於多項式，

如 ¹

x²+2x−3 和 |2x²− 3x + 5|。

而既然稱作「多項式」代表是由很多「項」所構成，以3x²− 2x + 1來說，

就包含3x²、−2x 和+1三項，如下圖

3x²− 2x + 1

※項與係數

多項式由許多「項」組成，這些不同的「項」，各有不同的名稱，每個「項」

裡又包含了「係數」。

以 3x²這一項來說，因為 x 的次數為二次方，所以我們稱它為「二次項」，

而 3 則是它的「係數」。

3 x² 係數項項項

(33)

33

再以−2x這一項來說，因為 x 的次數為一次方，所以我們稱它為「一次項」，

而－2 則是它的「係數」。

−2 x

而最後一項+1，乍看之下似乎沒有任何的變數 x，但其實它的項式是 x⁰（x 的 0 次方），也就是+1 代表+1x⁰，所以我們稱它為「零次項」，而因為任何數的 0 次方都等於 1（除了 0 以外），所以我們把+1x⁰簡寫成+1，由於它是一個固定不變的數，所以我們又稱它為「常數項」，並說這個多項式的常數項為+1。

※次數與項數

一個多項式所有「項」中的最高次方，我們稱作這個多項式的「次數」

。比方說，多項式 2x²− 3x + 1中，總共有2x²、−3x和+1三個項，其中的最高次方數是 2 次方（即2x²項的次方數），所以我們稱這個多項式為「二次多項式」。而因為它有三個項，所以它的「項數」為 3。當一個多項式項數為 1 時，我們叫做「單項式」，如5x²或−4x。

如果一個單項式是一個不是 0 的常數時，如−7，因為它的最高次方數是 0 次方（即−7 = −7x⁰），所以我們稱它為「零次多項式」。

係數

(34)

34

上面我們提到，如果單項式是一個不是 0 的常數時，我們稱它為「零次多項式」。換句話說，0 並不是「零次多項式」，因為 0 可能代表 0 乘以任何的項式，如0𝑥⁸、0𝑥²，因此 0 並不是「零次多項式」。

那麼 0 是不是一個多項式呢？

雖然 0 不是「零次多項式」，但 0 確實也是一個多項式。

由於我們從小認識的 0，竟然不只是數字，也是一個「多項式」，所以我們給它取一個專屬的名字叫做「零多項式」。

※降冪與升冪

一個多項式是由許多「項」組成，每一項都有它的次數，我們怎麼去排列這些項呢？我們舉一個四次多項式x³+ 2x²− 5x⁴− 3x + 1為例。它總共有 5 項，分別是x³、+2x²、−5x⁴、−3x和+1。如下圖

x

³

+ 2x

²

− 5x

⁴

− 3x + 1

你有沒有發現，如果以各項的次數來說，這 5 項的排列是沒有按照次方大小順序的。它的排列順序是三次項→二次項→四次項→一次項→常數項

（零次項）。

三次項二次項四次項一次項常數項

(35)

35

如果我們要依各項次數大小順序來排，就可以有兩種排法，第一是由小至大，也就是常數項（零次項）→一次項→二次項→三次項→四次項。排出來就是

1 − 3x + 2x²+ x³− 5x⁴

這樣的排列方式我們叫做「升冪」。「冪」指的就是次方，因此升冪就是按照各項的次數由低至高進行排列。

第二種則是由大至小，也就是四次項→三次項→二次項→一次項→常數項

（零次項）。排出來就是

−5x⁴+ x³+ 2x²− 3x + 1

這樣的排列方式我們叫做「降冪」。也就是按照各項的次數由高至低進行排列。

升冪和降冪都是按照各項的次數進行排列，其中降冪排列是我們比較常用的方式。

(36)

36

下面我們就來做一些題目，練習上面的觀念。

Ex 1：判斷下面式子是不是多項式，並且在□內打勾。

式子是否為多項式式子是否為多項式

2x²− 5x □是 □否 1 x²+1

x + 1 □是 □否 3 □是 □否 |x²− 3x + 1| □是 □否

−x²+1

2x □是 □否 0 □是 □否

Ex 2：下面選項(A)到(F)都是 x 的多項式，依據下面的問題，填入適當的代碼

(A) 2x²+ 3x + 1 (B) 0 (C) −4x²− 2 (D) 2x (E) −³

5 (F) ¹

2x + 1 (1) 哪些是二次多項式？____________

(2) 哪些是一次多項式？____________

(3) 哪些是單項式？____________

(4) 哪些是零次多項式？____________

(5) 哪些是零多項式？____________

(37)

37

Ex 3：依據下列各多項式完成下列表格

多項式次數二次項係數一次項係數常數項

−2x³− 5x²+ x − 1 3x − 5

−2 3

Ex 4：請將多項式8 − 2x²− 5x − 2x³，分別依升冪和降冪排列。

Ex 5：已知(a − 5)x³− (b + 2)x²− (a + b − 5)x + (a − b + 3)為一次多項式，求 a、b 的值與原多項式。

(38)

38

Ex 1：判斷下面式子是不是多項式，並且在□內打勾。

2x²− 5x □是 □否 1 x²+1

x + 1 □是 □否 3 □是 □否 |x²− 3x + 1| □是 □否

−x²+1

2x □是 □否 0 □是 □否

解：

因為當文字符號 x 出現在分母或絕對值時，就不屬於多項式，所以

1 x²+¹

x+ 1和|x²− 3x + 1|都不是多項式。而2x²− 5x、3、−x²+¹

2x和 0 都是多項式。

Ex 2：下面選項(A)到(F)都是 x 的多項式，依據下面的問題，填入適當的代碼

(A) 2x²+ 3x + 1 (B) 0 (C) −4x²− 2 (D) 2x (E) −³

5 (F) ¹

2x + 1 (1) 哪些是二次多項式？____________

(2) 哪些是一次多項式？____________

(3) 哪些是單項式？____________

(39)

39

(4) 哪些是零次多項式？____________

(5) 哪些是零多項式？____________

解：

(1)二次多項式代表最高次方是二次，所以(A)、(C)都是二次多項式。

(2)一次多項式代表最高次方是一次，所以(D)、(F)都是一次多項式。

(3)單項式代表只有一項，所以(B)、(D)、(E)都是單項式。

(4)零次多項式指的是一個不為 0 的常數，所以(E)都零次多項式。

(5)零多項式指的就是 0，所以答案是(B)。

Ex 3：依據下列各多項式完成下列表格

−2x³− 5x²+ x − 1 3x − 5

−2 3

(40)

40

解：

−2x³− 5x²+ x − 1

3 －5 1 －1

3x − 5

1 0 3 －5

−2

3

0 0 0 − 2

3

解：

當多項式不包含每一項式時，我們稱那一項的係數為 0。如3x − 5並不包含二次項，所以我們說多項式3x − 5的二次項係數為 0。

Ex 4：請將多項式8 − 2x²− 5x − 2x³，分別依升冪和降冪排列。

解：

升冪排列：8 − 5x − 2x²− 2x³ 降冪排列：−2x³− 2x²− 5x + 8

(41)

41

Ex 5：已知(a − 5)x³− (b + 2)x²− (a + b − 5)x + (a − b + 3)為一次多項式，求 a、b 的值與原多項式。

解：

因為 (a − 5)x³− (b + 2)x²− (a + b − 5)x + (a − b + 3)為一次多項式所以三次方項(a − 5)x³與二次方項−(b + 2)x²應該都為 0

故三次方項係數a − 5 = 0，且二次方項係數−(b + 2) = 0 所以a = 5、b = −2

代入原多項式，得到

−(a + b − 5)x + (a − b + 3) = −[5 + (−2) − 5]x + [5 − (−2) + 3]

= 2x + 10

(42)

42

重點提問

在這一個段落裡，我們介紹了很多跟多項式有關的概念，包括什麼是多項式、項、係數、項的次數、多項式的次數和項數、單項式、零次多項式、常數項、零多項式、升冪和降冪等。

你對這些概念熟悉嗎？

請你參考課文的說明，完成下面的問答，並舉例說明 1. 什麼是「項」？

2. 什麼是「係數」？

3. 什麼是「項的次數」？

4. 什麼是「多項式的次數」？

(43)

43

5. 什麼是「零次多項式」？

6. 什麼是「常數項」？

7. 什麼是「零多項式」？

8. 什麼是「升冪和降冪」？

․隨堂練習：

1. 判斷下面式子是不是多項式，並且在□內打勾。

3x²+ 2x □是 □否 1

x²+ 2x − 1 □是 □否

−3

5 □是 □否 |2x + 1| □是 □否

x

3 □是 □否 0 □是 □否

(44)

44

2. 下面選項(A)到(F)都是 x 的多項式，依據下面的問題，填入適當的代碼

(A) −3x² (B) 0 (C) 2x²− 2 (D) 2x − 3 (E) −³

5 (F) ¹

3x + 2 (1) 哪些是二次多項式？____________

(2) 哪些是一次多項式？____________

(3) 哪些是單項式？____________

(4) 哪些是零次多項式？____________

(5) 哪些是零多項式？____________

3. 依據下列各多項式完成下列表格

多項式次數二次項係數一次項係數常數項 3x⁴+ 2x − 1

x − 3 2

(45)

45

4. 請將多項式3x²− 2x⁴+ 8 − 5x − 2x³，分別依升冪和降冪排列。

5. 已知(a + 2)x³− (b − 3)x²− (a + b − 2)x + (a − b + 1)為一次多項式，

求 a、b 的值與原多項式。

1.多項式(項與係數) 2.多項式(2) 3 多項式(例 1~例 6)

https://www.youtube.co m/watch?v=RJd-FsJQP Vc

https://www.youtube.co m/watch?v=zoFdnGwo6 lE

https://www.youtube.co m/watch?v=cGaX2ZAwP OI

(46)

46

課文 B：多項式的加減

介紹完什麼是多項式後，接下來我們就要學習對多項式做加、減、乘、除的四則運算了。

首先我們要來做多項式的加減。

與其說多項式的加減是加減運算，倒不如說是做「同類項合併」。

什麼是「同類項」呢？

多項式中次方相同的項我們就稱為同類項，像是2x²和−3x²都是二次方項，

所以2x²和−3x²就是「同類項」。而−2x²和3x³,一個是二次項、一個是三次項，次數不同，所以就不是「同類項」。

同類項怎麼合併呢？

我們用一個例子來看看。

Ex 1：化簡多項式 3x²+ 4x − 1 − 2x³+ x²− 5x + 3

◎解題思維：

在這道題目裡，有三組同類項，分別是x²項、x項和常數項。如下圖

3x²+ 4x − 1 − 2x³+ x²− 5x + 3 x項 x²項

常數項

(47)

47

我們可以將這三組同類項分別合併。如下

x²項：3x²+ x²＝4x² x項：+4x − 5x = −x 常數項：−1 + 3 = +2

另外x³項只有−2x³，沒有同類項可以跟它合併，所以維持不變。

解：3x²+ 4x − 1 − 2x³+ x²− 5x + 3 = −2x³+ 3x²+ x²+ 4x − 5x − 1 + 3 = −2x³+ 4x²− x + 2

從上面的例子中，我們介紹了同類項合併的做法，下面就讓我們來看一些多項式加減的例子。

Ex 2：計算 (x²+ 3x − 2) + (−2x²− 5x + 1)

Ex 3：計算 (−x²+ 2x + 3) − (3x²− 2x + 1)

(48)

48

Ex 2：計算 (x²+ 3x − 2) + (−2x²− 5x + 1)

解：

(x²+ 3x − 2) + (−2x²− 5x + 1)

= x²+ 3x − 2 − 2x²− 5x + 1

= x²− 2x²+ 3x − 5x − 2 + 1

= −x²− 2x − 1

Ex 3：計算 (−x²+ 2x + 3) − (3x²− 2x + 1)

解：

(−x²+ 2x + 3) − (3x²− 2x + 1)

= −x²+ 2x + 3 − 3x²

+

2x

−

1

= −x²− 3x²+ 2x + 2x + 3 − 1

= −4x²+ 4x + 2

先依照去括號規則把括號去掉!

(49)

49

重點提問

請你依據課文的說明，解釋一下什麼叫作「同類項」？並以2x²+ 3x − 5 − 3x³+ 2x²− 7x + 4為例，寫出所有的同類項。

․隨堂練習：

1. 化簡多項式 −5x²+ 2x − 1 − 2x³+ 4x²− 5x − 3 2. 計算(2x²+ x − 3) + (−x²− 2x + 5)

3. 計算(−x²− 2x − 5) − (x²− 3x − 4)

https://www.youtube.com/watch

?v=BhMeyDpjl_4

(50)

50

課文 C：多項式加減的進階應用

Ex 1：計算下列各式，並用降冪排列

(1) (−2x³+ 5x) + (−2x − 5x²+ 7) − (x³− 3x²+ 5) (2) (2x³+ 3x²− 5x + 7) − [(4x³+ 5x) − (2x²− 3x − 4)]

解：(1) (−2x³+ 5x) + (−2x − 5x²+ 7) − (x³− 3x²+ 5) = −2x³+ 5x − 2x − 5x²+ 7 − x³

+

3x²

−

(51)

51

Ex 2：化簡(ax²− 3x + 2) − (x²− bx + c)後會得到2x − 5則 a、b、c 的值各為何？

解：

因為 (ax²− 3x + 2) − (x²− bx + c) = ax²− 3x + 2

−

x²

+

bx

−

c = (a − 1)x²+ (b − 3)x + 2

−

c = 2x − 5

比較係數後可以知道 a − 1 = 0、b − 3 = 2、2

−

c = −5 故 a = 1、b = 5、c = 7

Ex 3：曉華做一道數學題如下：

A、B 為兩多項式，A＝3x²− 4x + 5，B＝，求 A＋B。

結果他將 A＋B 看錯成 A－B，並算出答案 x²− 2x + 1。

若題目的 B 已經污損，請你試著用他算出來的結果，找出原來的 B，並幫他算出正確答案。

(52)

52

解：

因為小華實際上算的是 A－B，並且作出答案x²− 2x + 1 所以我們可以列出式子如下

(3x²− 4x + 5) − B = x²− 2x + 1 所以

−B = x²− 2x + 1 − (3x²− 4x + 5) = x²− 2x + 1

−

3x²

+

4x

−

5

= −2x²+ 2x − 4 兩邊同乘以－1，得到

B = 2x²− 2x + 4 故

A + B = (3x²− 4x + 5) + (2x²− 2x + 4) = 3x²− 4x + 5 + 2x²− 2x + 4

= 5x²− 6x + 9

答：B = 2x²− 2x + 4，正確答案為5x²− 6x + 9

(53)

53

․隨堂練習：

1. 計算下列各式，並用降冪排列

(1) (−x³+ 4x) + (−3x − 3x²+ 5) − (x³− 2x²+ 3) (2) (3x³+ 5x²− 7x + 9) − [(2x³+ 3x) − (5x²− x − 4)]

2. 化簡(ax²− x + 3) − (2x²+ bx − c)後會得到3x − 4則 a、b、c 的值各為何？

3. 曉華做一道數學題如下：

A、B 為兩多項式，A＝2x²− x + 3，B＝，求 A＋B。

結果他將 A＋B 看錯成 A－B，並算出答案2x²− 3x + 5。

若題目的 B 已經污損，請你試著用他算出來的結果，找出原來的 B，

並幫他算出正確答案。

https://www.youtube.com/watch?v=J mfuhSZnOlo

(54)

54

單元三：多項式的乘除

課文Ａ：多項式的乘法

介紹完多項式的加減後，接著我們要來談一談多項式的乘法。

還記得我們曾經介紹過的分配律（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd 嗎？

多項式的乘法事實上就是分配律的應用。下面我們就透過兩個題目的練習，

讓大家熟習多項式乘法的運算。

Ex 1：計算並化簡 (2x²− 1)(x − 3)

Ex 2：計算並化簡 (x + 2)(2x²− 3x − 1)

Ex 1：計算並化簡 (2x²− 1)(x − 3)

解：

(2x²− 1)(x − 3)

= 2x³− 6x²− x

+

3

2

4 1

3

2 3 4

1

(55)

55

◎解題思維：

在這道題目中，我們將分配律應用在多項式的乘法運算，總共有四個計算步驟，如下：

⊙第一步：前面的第一項乘以後面的第一項。也就是2x²乘以x，

得到2x³。

⊙第二步：前面的第一項乘以後面的第二項。也就是2x²乘以−3，

得到−6x²。

⊙第三步：前面的第二項乘以後面的第一項。也就是−1乘以x，

得到−x。

⊙第四步：前面的第二項乘以後面的第二項。也就是−1乘以−3，

得到+3。

在這四個步驟的計算中，我們要特別注意多項式中「項」的觀念。

由於多項式中的「項」包含前面的符號，所以當我們在將前面括號中的任何一項乘上後面括號中的任何一項時，都要特別注意到，兩個項符號相乘的變化，如第二步：前面的第一項乘以後面的第二項。也就是2x²乘以−3中，

前面的2x²雖然沒有寫出「＋」號，但它是正的，所以乘上後面的第二項−3 時，兩個項符號相乘就會得到「正負得負」的效果，所以兩項相乘出來的結果就會是−6x²。

(56)

56

同樣的道理，在第四步前面的第二項乘以後面的第二項。也就是−1乘以−3 中，前面的第二項是負的，後面第二項也是負的，所以乘起來後會是「負負得正」，得到+3。

這就是多項式乘法中，我們需要特別注意的地方。

Ex 2：計算並化簡 (x + 2)(2x²− 3x − 1)

解：

(x + 2)(2x²− 3x − 1)

= 2x³− 3x²− x + 4x²− 6x − 2

= 2x³− 3x²+ 4x²− x − 6x − 2

= 2x³+ x²− 7x − 2

◎解題思維：

在這道題目中，總共有六個計算步驟，如下：

⊙第一步：前面的第一項乘以後面的第一項。也就是x乘以2x²，得到2x³。

⊙第二步：前面的第一項乘以後面的第二項。也就是x乘以−3x，

得到−3x²。

2 3 4

1

6

5 6

2

5 1

4 3

同類項合併

(57)

57

⊙第三步：前面的第一項乘以後面的第三項。也就是x乘以−1，

得到−x。

⊙第四步：前面的第二項乘以後面的第一項。也就是+2乘以2x²，得到+4x²。

⊙第五步：前面的第二項乘以後面的第二項。也就是+2乘以−3x，

得到−6x。

⊙第六步：前面的第二項乘以後面的第三項。也就是+2乘以−1，

得到−2。

重點提問

1. 從前面的課文中，我們知道多項式的乘法只是分配律的應用，唯一需要我們特別注意的地方是什麼？

․隨堂練習：

1. 計算並化簡(3x²− 2)(2x − 5) 2. 計算並化簡(x − 2)(3x²− 2x − 1)

https://www.youtube.com/watch?v=EqlCv h4GLXc

(58)

58

課文 B：多項式的除法

介紹完多項式的加、減、乘法運算後，最後我們要來介紹的是多項式的除法。

在正式進入「多項式的除法」前，讓我們先來回想一下「數字的除法」。 Ex 1：計算 372 ÷ 8 所得到的商數與餘數。

解：

8 372

8 372 8 372

第一步：估計商 8 × _____ ≤ 37

第二步：將估計商與除數乘開

4 × 8 = 32

第三步：被除數減去估計商與除數乘開結果

37 − 32 = 5 4

4

32

32 4

5

(59)

59

答：商＝46，餘數＝4

重複第一步：估計商 8 × _____ ≤ 52

重複第二步：將估計商與除數乘開

6 × 8 = 48

重複第三步：被除數減去估計商與除數乘開結果

52 − 48 = 4 46

8 372 32

52

46 8 372

32 52 48

46 8 372

32 52 48 4

(60)

60

你有沒有發現，在除法計算的過程中，我們其實在重複做三個步驟。就是

⊙第一步：估計商

⊙第二步：將估計商與除數乘開

⊙第三步：被除數減去估計商與除數乘開結果

多項式的除法和數字的除法作法上很類似，也是重複做這三個步驟，只是從「數字」的乘法和減法，變成「式子」的乘法和減法而已。

下面我們要先來練習一下這三個步驟，因為它是多項式除法運算的「基本功」。一旦我們熟悉這三個基本功，對我們進入多項式除法的計算會有相當大的幫助。

※基本功一：估計商的練習

例：完成下列空格，讓等式成立。

(1) x²× _______ = 3x⁴ (2) 2x × _______ = 4x³ (3) 2x²× _______ = x³ (4) 3x × _______ = −5x⁴ (5) −2x × _______ = −7x⁴

(61)

61

解：(1)

我們在估計商時，可以分成 x 和係數兩個面向來看，以這一題來說，就可以拆成兩個問題來看：

以 x 來看：𝐱^𝟐要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？

以係數來看：1 要乘以(什麼)才會變成 3？(1 是x²的係數) 因此，我們就可以知道𝐱^𝟐要乘以(𝐱^𝟐)才會變成𝐱^𝟒，而 1 要乘以(3)才會變成 3。合併這兩個結果，我們就可以知道 □ = 3x²，我們稱這個過程叫做「估計商」。

另外，我們也可以用「移項法則」來處理。如下：

x²× □ = 3x⁴

= 3x⁴÷ x² = 3x² 一樣也可以估計出商。

※小說明：做移項除法，必須 x 不等於 0 才行!

(62)

62

解：(2)

以 x 來看：𝐱^𝟐要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟑？

以係數來看：2 要乘以(什麼)才會變成 1？(1 是x³的係數) 因此，我們就可以知道𝐱^𝟐要乘以(𝐱)才會變成𝐱^𝟑，而 2 要乘以(^𝟏

𝟐)才會變成 1。合併這兩個結果，我們就可以知道□ =¹

2x。

2x²× □ = x³

□ = x³÷ 2x² =1 2x 一樣也可以估計出商。

解：(3)

以 x 來看：𝐱要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？以係數來看：3 要乘以(什麼)才會變成－5？

因此，我們就可以知道𝐱要乘以(𝐱^𝟑)才會變成𝐱^𝟒，而 3 要乘以(−^𝟓

𝟑)才會變成－5。合併這兩個結果，我們就可以知道

□= −⁵

3x³

(63)

63

3x × □ = −5x⁴

□ = −5x⁴÷ 3x = −5 3x³ 一樣也可以估計出商。

解：(4)

以 x 來看：𝐱要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？以係數來看：－2 要乘以(什麼)才會變成－7？

因此，我們就可以知道𝐱要乘以(𝐱^𝟑)才會變成𝐱^𝟒，而－2 要乘以(^𝟕

𝟐)才會變成－7。合併這兩個結果，我們就可以知道□=⁷

2x³

−2x × □ = −7x⁴

□ = −7x⁴÷ (−2x) =7 2x³ 一樣也可以估計出商。

解：(5)

以 x 來看：𝐱要乘以(什麼)才會變成𝐱^𝟒？以係數來看： ^𝟏

𝟐 要乘以(什麼)才會變成－3？

(64)

64

因此，我們就可以知道𝐱要乘以(𝐱^𝟑)才會變成𝐱^𝟒，而 ^𝟏

𝟐 要乘以(−𝟔)才會變成－3。合併這兩個結果，我們就可以知道

□= −6x³

1

2x × □ = −3x⁴

□ = −3x⁴÷1

2x = −6x³

※基本功二：將估計商與除式乘開的練習例：計算下列各式。

(1) 2x²× (x − 2) = 。 (2) ¹

2x²× (x²− 2x + 1) = 。 (3) −⁵

3x × (2x²+ 3x + 1) = 。 (4) −6x × (²

3x²+¹

6x −³

2) = 。

目錄

單元一：乘法公式

−

−

−

−

−

−

−

−

－

單元二：多項式與其加減運算

x

+ 2x

− 5x

− 3x + 1

3 －5 1 －1

1 0 3 －5

0 0 0 − 2

3

+

−

+

−

+

−

−

+

+

−

+

−

−

−

+

−

−

−

+

−

−

−

−

+

−

單元三：多項式的乘除

+

※小說明：做移項除法，必須 x 不等於 0 才行!