1.4 主要定理證明
2.2.2 四次多項式的伽羅瓦群
這裡要介紹一些判斷四次多項式伽羅瓦群的相關工具，主要參考 J.S. Miline 的「Field and Galois Theory, CH4」[4] 。假設對於體 F ，首一四次多項式 f (x) ∈ F [x]，E 是 f(x) 的分裂體 (splitting field)，已知在 E 上 f(x) = (x− α1)(x− α2)(x− α3)(x− α4)，其中 α1、 α2、α3、α4 是相異的，考慮下列三個值：
α = α1α2+ α3α4 β = α1α3+ α2α4 γ = α1α4+ α2α3 已知
α− β = α1(α2− α3) + α4(α3− α2) = (α1− α4)(α2− α3) α− γ = α1(α2− α4) + α3(α4− α2) = (α1− α3)(α2 − α4) β− γ = α1(α3 − α4) + α2(α4 − α3) = (α1− α2)(α3− α4) 由於 α1、α2、α3、α4 是相異的，所以可知 α、β、γ 亦是相異的。
Definition 20 ([4, Page 50]). g(x) = (x− α)(x − β)(x − γ) ∈ F [α, β, γ][x] 稱為 f(x) 的預 解三次式 (resolvent cubic)。
Theorem 3 ([4, Page 50]). 假設多項式 f (x) = x4+ bx3+ cx2+ dx + e，則 f (x) 的預解三 次式為
g(x) = x3− cx2+ (bd− 4e)x − b2e + 4ce− d2。
Theorem 4 ([4, Page 50]). 假設 M = F (α, β, γ)，若 f (x) 在體 F 下是不可約 (irreducible) 的可分 (separable) 四次多項式，則我們可以用以下的表格來判斷 f(x) 的伽羅瓦群。以下 將 f(x) 的伽羅瓦群記作 Gf：
Gf [E : M ] [M : F ]
S4 4 6
A4 4 3
V 4 1
D4 4 2
C4 2 2
2.2.3 2-獨立
以下內容主要參考自 D.M. Burton 的「Elementary Number Theory,CH9」[7] 及 M.
Stoll 的「Galois groups over Q of some iterated polynomials」[2]。
Definition 21. 繆比烏斯函數 (mobius function)µ 是指以下的函數：
µ(n) =
2.3 預備引理
從 Theorem 7 及 Lemma 9，可知對於整數 n、m 當整數 c 不為 −n2 或 −m2− 1 時，
Gal(K2/Q) ∼= [C2]2。
Lemma 10. 對於整數 n、m，當 c̸= 3、c ̸= −n2 或 c ̸= −m2− 1 時，b1、b2、b3 是 2-獨 立。
Proof. 這裡原本要討論 c 在甚麼情形下會使得 b1、b2、b3、b1b2、b1b3、b2b3、b1b2b3 皆為 非平方整數，但從 Lemma 9 可知 c =−n2 和 c =−m2− 1 時，b1、b2 不會是 2-獨立，表示 在這情形下，b1、b2、b3 也不會是 2-獨立，因此以下只需討論排除 c = −n2 和 c =−m2−1，
c 甚麼時候會讓 b3、b1b3、b2b3、b1b2b3 皆為非平方整數。
(i) b3：
假設 b3 =−c(c + 1)2− 1 = v2，其中 v 為整數，則對於所有整除 c 的質因數 p，可得 v2 ≡ −1 (mod p)，也就是說 (−1p ) = 1，根據 Theorem 5，p = 2 或 p = 4k + 1 其中 k 為整數。相同的，對於所有整除 c + 1 的質數 p′ 可得 p′ = 2 或 p′ = 4k′ + 1 其中 k′ 為整數。若 c + 1 為偶數，則 v2 ≡ −1 (mod 4)，但已知任何平方數模 4 皆會餘 1，
因此 c + 1 不可能為偶數，也就是說 c + 1 為奇數，表示 c 為偶數。
• 若 c ≡ 0 (mod 4)，則 v2 ≡ −1 (mod 4)，如同上述說明，此情形不成立。
• 若 c ≡ 2 (mod 4)，則 c + 1 ≡ 3 (mod 4)，但剛剛證明了任何 c + 1 的質因數皆 為 4k + 1 的形式，其中 k 為整數，也就是說 c + 1≡ 1 (mod 4)，與 c + 1 ≡ 3 (mod 4) 矛盾，故此情形亦不成立。
綜合上述所說，可知對於所有整數 c，b3為一非平方整數，即對於所有整數 c，√
b3 ∈ Z。/ (ii) b1b3：
已知
b1b3 =−c(−c(c + 1)2− 1) = c2(c + 1)2+ c，
若 c > 0 可得
c2(c + 1)2 < c2(c + 1)2 + c < (c(c + 1) + 1)2 = c2(c + 1)2+ 2c(c + 1) + 1，
因為 c 是整數，且連續整數間不存在完全平方數，故可推得此時 b1b3 非完全平方數。
若 c < 0，可得當 c̸= −1 時，
(c(c + 1)− 1)2 = c2(c + 1)2 − 2c(c + 1) + 1 < c2(c + 1)2+ c < c2(c + 1)2， 因為 c 是整數，且連續整數間不存在完全平方數，故可推得 c ̸= −1 時 b1b3 非完全 平方數。綜合上述可知對於所有整數 c，當 c̸= −1 時，√
b1b3 ∈ Z。/
(iii) b2b3：
2.4 主要定理證明
Theorem. 假設整係數多項式 fc(x) := x2 + c，其中 c 不為 0，fc0(x) = x，對於所有整數 n ≥ 0，令 fcn+1(x) := fc(fcn)(x) = (fcn(x))2+ c，K0 = Q，且 Kn 是 fn 在 Q 上的分裂體 (splitting field)，則：
(1) 若 c = 3，則 Gal(K2/Q) = D4 且 [K3 : K2] = 8。
(2) 若 c =−n2，其中 n 為非零整數，則 Gal(K2/Q) = C2× C2 且 K1 =Q。
(3) 若 c =−m2− 1，其中 m 為非零整數，則 Gal(K2/Q) = C4。 Proof. 以下針對三種情形分別證明：
(1) 若 c = 3，從 Lemma 9 可知
Gal(K2/Q) ∼= [C2]2， 以下我們證明
[C2]2 ∼= D4
令 C2 ={0, 1}，根據圈積的定義 (詳細內容可參考 [6]) [C2]2 = (C2× C2)⋊ C2
因此定義其元素為 ((p, q), r)，其中 (p, q) ∈ C2 × C2，r ∈ C2，當 r = 0 表示其作 用為位置不變，r = 1 表示其作用為位置交換，換句話說，如果 r = 0 則 r 作用在 (p, q) 上得 (p, q)，如果 r = 1 則 r 作用在 (p, q) 上得 (q, p)。考慮 [C2]2 的兩個元素 a = ((1, 0), 1)、b = ((1, 1), 1) 由於
a2 = ((1, 0), 1)((1, 0), 1) = ((1, 1), 0) a4 = ((1, 1), 0)((1, 1), 0) = ((0, 0), 0) b2 = ((1, 1), 1)((1, 1), 1) = ((0, 0), 0) 且
ba = ((1, 1), 1)((1, 0), 1) = ((1, 0), 0) 可知
(ba)2 = ((1, 0), 0)((1, 0), 0) = ((0, 0), 0)
可推得
因為 n2+ n、b2(n2−n)、a2 皆為有理數，表示 2b√
n4− n2亦為有理數，但 n2、n2−1 為連續整數，可知 n4− n2 不為平方整數，則 √
n4− n2 不為有理數，與 2b√
n4− n2 為有理數矛盾，因此 [K2 :Q(√
n2− n)] = 2，故 [K2 : K1] = 4，而階 (order) 為 4 的 伽羅瓦群可能為 C4 或 C2× C2，但我們知道只有四個自同構，√
n2+ n 送到自己或 是送到 −√
n2+ n 配上 √
n2− n 送到自己或是送到 −√
n2 − n，然後每一個自同構 都是階為 2 的，所以顯然不會是 C4，故 Gal(K2/Q) = C2× C2 且 K1 =Q 。 (3) 當 c =−m2− 1 時，c1 = m2 + 1，c2 = m2(m2+ 1)，因為任一平方整數加一必為非
平方整數，連續非零整數相乘亦為非平方整數，因此 c1 = m2+ 1，c2 = m2(m2+ 1) 皆為非平方整數。接著從 Theorem 6 可知 f2(x) = x4+ 2x2c2+ c2+ c 為不可約的有 理多項式，從 Theorem 3 得到 f2(x) 的預解三次式
g(x) = (x− α)(x − β)(x − γ)
= x3− 2cx2− 4(c2+ c)x + 8c(c2 + c)
= (x− 2c)[x2− 4(c2 + c)]
由於 c 和 c + 1 連續非零整數，可知 4(c2+ c) 是非平方整數，因此 x2− 4(c2+ c) 是 不可約的有理多項式，則有以下關係
Q(α, β, γ)
Q 2
根據 Theorem 4 的圖表可知 Gal(K2/Q) 可能為 C4 或 D4，但 Gal(K2/Q) ̸≃ [C2]2 = D4，故可得 Gal(K2/Q) = C4。
參考文獻
[1] K. Doerksen and A. Haensch, Primitive prime divisors in zero orbits of polynomials.
Integers 12 (2012), no. 3, 465–472.
[2] M. Stoll, Galois groups over Q of some iterated polynomials, Arch. Math. (Basel) 59 (1992) 239-244.
[3] R. W. K. Odoni, Realising wreath products of cyclic groups as Galois groups. Mathe-matika, 35(1):101-113, 1988.
[4] J. S. Milne, Fields and Galois Theory, Available at www.jmilne.org/math/, 2018, ch4.
[5] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Grad. Texts in Math. 84, Springer, New York, 1990.
[6] J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, forth edition, GTM 148, Springer-Verlag, New York, 1995, ch7.
[7] D. M. Burton, Elementary Number Theory, seventh ed., W. C. Brown Publishers, Dubuque, IA, 2011, ch9.
[8] H.-C. Li, Tree Automorphisms and Wreath Product, private note.
[9] H.-C. Li, Arboreal Galois representation for a certain type of quadratic polynomials, Arch. Math. (Basel) 114 (2020), no. 3, 265–269.