樹的自同構

這裡我們首先介紹樹的自同構相關知識，以及多項式迭代後的伽羅瓦群與樹的自同構 關係，以下內容主要參考自 J.J. Rotman 的「An Introduction to the Theory of Groups, CH7」[6] 以及 H.-C. Li[8]。

Definition 9 ([6, Page 167]). 假設 G 是一個群，K 是 G 的一個子群，若對於 G 的任意 子群 Q 滿足 K ∩ Q = 1 且 KQ = G 則稱 Q 是一個在 G 中 K 的補群 (complement) Definition 10 ([6, Page 167]). 假設 G 是一個群，K ◁ G 且 K 有一個補群 Q₁ ∼= Q，則稱 G 是 K 對 Q 的半直積 (semidirect product)，記作 G = K ⋊ Q。

Theorem ([6, Page 170]). 給定群 Q 和群 K 及一個同態映射 θ : Q → Aut(K)，則 G = K ⋊θQ 可定義為一個包含所有序對 (a, x)∈ K × Q 配上下列運算的群

(a, x)(b, y) = (aθ_x(b), xy) 其中 (b, y) ∈ K × Q。

Definition 11 ([6, Page 172]). 假設 D 和 Q 是一個群，Ω 是一個有限 Q-集 (Q-set)，K =

∏

ω∈ΩD_ω 其中對於所有 ω∈ Ω，Dω ∼= D。當 Q 對 K 的作用是 q·(dω) = (d_qw) 其中 q∈ Q 且 (d_ω) ∈∏

ω∈ΩD_ω，則 D 對 Q 的圈積 (wreath product) 是一個 K 對 Q 的半直積，記作 D≀ΩQ，若清楚 Ω 為何者時，我們將省略 Ω 記作 D≀ Q。

Definition 12 ([6, Page 174]). 一個圖 (graph)Γ 是由非空頂點集 (vertices set)V 所組成，

其中頂點彼此間的關係稱做邊 (edge)，對於相異頂點 u, v ∈ V ，將邊記做 u ∼ v，邊滿足對 稱性 (u∼ v ⇒ v ∼ u) 與反自身性 (u ≁ u)。

Definition 13. 樹 (tree) 是一種圖，其任意兩個頂點間存在唯一一條路徑且不具有迴路，

在這裡稱頂點為節點。

Definition 14 ([6, Page 174]). 一個樹 T 對於其節點的自同構 (automorphism) 是一個對 射 (bijection)

ϕ : V → V

使得 u、v ∈ V 是相鄰節點若且唯若 ϕ(u)、ϕ(v) 是相鄰節點。此自同構記作 Aut(T )。

為了能夠更好的了解甚麼是一個樹的自同構，因此我們在這裡給簡單的例子。

Example 1 ([6, Page 174]). 考慮上圖 Γ

若 ϕ∈ Aut(Γ)，則 ϕ 會固定 (fix) 節點 0，且 ϕ 會對 Ω = {1, 2, 3, 4, 5} 排列 (permute)，對 於所有的 i，

ϕ(a_i) = a_ϕ(i) 且 ϕ(b_i) = b_ϕ(i) 或

ϕ(ai) = bϕ(i)且 ϕ(b_i) = aϕ(i)。

Definition 15. 有根樹 (rooted tree) 是挑選出某個特殊節點的樹，該特殊節點稱為樹的根 (root)。有根樹中任一節點的階層 (leavel) 為該節點與根的路徑中邊的個數，而任意兩相鄰 的節點，階層數較小的稱為雙親節點 (parents)，階層數較大的稱為子女節點 (children)，若 節點無子女節點，則稱做葉子 (leaves)。在圖上，通常將根畫在最下方即最底層。

Definition 16. 有根二元樹 (rooted binary tree) 是有根樹的一種，其每個節點最多只有兩 個分支。若每個節點都具有兩個分支，則又叫做有根滿二元樹 (rooted full binary tree)。

為了方便討論，以下將 T_n 表示為 n-階層的有根滿二元樹。已知 T_n 是一個 n-階層的 有根滿二元樹，我們可以將 T_n 看成是一個 (n-1)-階層的滿有根二元樹 T_n−1 且在每個 T_n−1 的葉子上加上 1-階層的有根滿二元樹 T₁^′，也就是說，我們可以將 T_n 看成是 (T₁^′)^M × Tn−1， 其中 M 是 T_n−1 的個數。T_n 上的每片葉子我們用 (y, j) 來表示，其中 j 是 T_n−1 上的葉子，

而 y 是 T₁^′ 上的葉子。

Definition 17 ([8, Page 1-Page2]). 假設 G 是一個群，考慮 Gⁿ= G| × · · · × G{z }

n 個

以及 σ ∈ Sn 對 Gⁿ 作用，若 ¯p = (p⁽¹⁾,· · · , p⁽ⁱ⁾,· · · , p⁽ⁿ⁾) ∈ Gⁿ，也就是說 ¯p 的第 i 項是 p⁽ⁱ⁾，當 ¯p 經由指標的排列後形成 Gⁿ 的另一個元素時，我們用 p^(j)_i 來表示其第 i 項是原來

¯

p 的第 j 項 p^(j)。考慮左作用 (left action)：

σ∗ ¯p = (. . . , p⁽ⁱ⁾_σ(i), . . . )

也就是說 σ ∗ ¯p 的第 σ(i) 項就是原來 ¯p 的第 i 項 (或是 σ ∗ ¯p 的第 i 項就是原來 ¯p 的第 σ⁻¹(i) 項)。

以下證明上述左作用確實是 S_n 對 Gⁿ 的群作用，由於 S_n 的單位元素對所有 Gⁿ 的元 素作用還會是該元素本身這件事是顯然的，因此這裡我們檢查是否有結合律：

假設 ¯p = (· · · , p⁽ⁱ⁾,· · · )，以及 σ、τ ∈ Sn，根據定義，

(τ σ)∗ ¯p = (· · · , p⁽ⁱ⁾_{τ σ(i)},· · · ) 表示 (τ σ)∗ ¯p 的第 τσ(i) 項就是原來的 p⁽ⁱ⁾，另外根據定義，

τ∗ (σ ∗ ¯p) = τ ∗ (· · · , p⁽ⁱ⁾_σ(i),· · · ) = (· · · , p⁽ⁱ⁾_{τ σ(i)},· · · )

也就是說 τ ∗ (σ ∗ ¯p) 的第 τσ(i) 項是 σ ∗ ¯p 的第 σ(i) 項也就是 p⁽ⁱ⁾，因此有結合律 (τ σ)∗ ¯p = τ ∗ (σ ∗ ¯p) 。

另外我們可以將 σ 視為 Aut(Gⁿ) 的元素：

σ : Gⁿ → Gⁿ

¯

p7→ σ ∗ ¯p 以下為其證明：假設 ¯q = (· · · , q⁽ⁱ⁾,· · · )

• 一對一 (one to one)：

若 σ(¯p) = σ(¯q)，則

σ∗ ¯p = (· · · , p⁽ⁱ⁾_σ(i),· · · ) = σ ∗ ¯q = (· · · , q_σ(i)⁽ⁱ⁾ ,· · · ) 可推得 p⁽ⁱ⁾= q⁽ⁱ⁾，也就是 ¯p = ¯q。

• 映成 (onto)：

對於所有的 ¯p∈ Gⁿ，取 σ⁻¹(¯p)∈ Gⁿ，則可知 σ(σ⁻¹(¯p)) = ¯p。

• 群同態 (group homomorphism)：

假設 ¯q = (· · · , q⁽ⁱ⁾,· · · )，已知 ¯p¯q = (· · · , p⁽ⁱ⁾q⁽ⁱ⁾,· · · )，則 σ ∗ (¯p¯q) 的第 σ(i) 項會是 ¯p¯q 的第 i 項 p⁽ⁱ⁾q⁽ⁱ⁾ 也就是

σ∗ (¯p¯q) = (· · · , p⁽ⁱ⁾_σ(i)q_σ(i)⁽ⁱ⁾ ,· · · )。

而

(σ∗ ¯p)(σ ∗ ¯q) = (· · · , p⁽ⁱ⁾_σ(i),· · · )(· · · , q_σ(i)⁽ⁱ⁾ ,· · · ) = (· · · , p⁽ⁱ⁾_σ(i)q⁽ⁱ⁾_σ(i),· · · ) 表示 (σ∗ ¯p)(σ ∗ ¯q) 的第 σ(i) 項會是 ¯p¯q 的第 i 項 p⁽ⁱ⁾q⁽ⁱ⁾ ，因此有

σ∗ (¯p¯q) = (σ ∗ ¯p)(σ ∗ ¯q)。

Definition 18. 假設 σ ∈ Aut(Tn)，定義

σ = ((a₁, . . . , a_M), d)，

其中 M 是 T_n−1 上葉子的個數，d∈ Aut(Tn−1)，a₁, . . . , a_M ∈ Aut(T1^′)。

σ 作用在 T_n 上，可以想成是先用 d 來移動 T_n−1 上的 M 片葉子，接著分別用 a₁, . . . , a_M 對 M 個 T₁^′ 作用。

Definition 19. 對於 (y, j)∈ Tn，我們有

σ(y, j) = ((a₁, . . . , a_M), d)(y, j) = (a_d(j)(y), d(j))。

對於 Definition 18 我們給一個簡單的看法，已知 σ = ((a₁, . . . , aM), d)，而 σ 對 (y, j) 作用的方式是先將 j 移動到 d(j) 的位置，接著再從 (a₁,· · · , aM) 的挑第 d(j) 項也就是 a_d(j) 對 y 作用，若要了解更詳細的內容可參考 [6, Page 172-173]。

Lemma 7 ([8, H.-C. Li]). 假設 Γ ={1, . . . , M}，其中 M 是 Tn 上第 n− 1 階層的節點個 數，則

Aut(T_n) ∼= Aut(T₁^′)≀ΓAut(T_n−1)。

Proof. 假設 Aut(T_n) 的兩個元素為

σ = (¯c, d) = ((c₁,· · · , cM), d) τ = (¯c^′, d^′) = ((c^′₁,· · · , c^′M), d^′)

且 (y, j) 是 T_n 上的葉子，其中 c_i、c^′_i ∈ Aut(T1^′)，d、d^′ ∈ Aut(Tn−1) 以及 y 是 T₁^′ 上的葉 子，j 是 T_n−1 上的葉子。令

τ σ = (¯c^′′, d^′′) = ((c^′′₁,· · · , c^′′M), d^′′)

根據定義可知

τ σ(y, j) = (c^′′_d′′(j)(y)), d^′′(j))。

另外已知

τ σ(y, j) = τ (σ(y, j)) = τ (c_d(j)(y), d(j)) = (c^′_d′(d(j))(c_d(j)(y)), d^′(d(j))) ， 因此可推得

c^′′_d′′(j)= c^′_d′(d(j))c_d(j)及d^′′ = d^′d 也就是說

τ σ = (¯c^′, d^′)(¯c, d) = (¯c^′′, d^′d)

其中 ¯c^′′ 的第 (d^′d)(j) 項是 c^′_d′(d(j))c_d(j)，然而 c^′_d′(d(j)) 是 ¯c^′ 的第 (d^′d)(j) 項，c_d(j) 為 ¯c 的 第 d(j) 項也是 Definition 17 介紹的左作用 d^′ ∗ ¯c 的第 (d^′d)(j) 項，故可知 ¯c^′(d^′∗ ¯c) 的第 (d^′d)(j) 項亦為 c^′_d′(d(j))c_d(j)，所以有以下式子

(2) (¯c^′, d^′)(¯c, d) = (¯c^′(d^′∗ ¯c), d^′d) 其中 ¯c^′(d^′∗ ¯c) ∈ Aut(T1^′)^M = Aut(T₁^′)× · · · × Aut(T1^′)

| {z }

M 個

，d^′d∈ Aut(Tn−1)。以下我們證明式 子 (2) 定出了一個群，由於式子 (2) 已說明了封閉性且存在單位元素 (id_Aut(T′

1)^M, id_Aut(Tn−1)) 是顯然的 (以下將省略 id 的下標)，因此以下說明反元素與結合律：

• 反元素：

由於

(¯c, d)(d⁻¹∗¯c⁻¹, d⁻¹) = (¯c(d∗(d⁻¹∗¯c⁻¹)), dd⁻¹) = (¯c((dd⁻¹)∗¯c⁻¹), id) = (¯c¯c⁻¹, id) = (id, id) (d⁻¹∗¯c⁻¹, d⁻¹)(¯c, d) = ((d⁻¹∗¯c⁻¹)(d⁻¹∗¯c), d⁻¹d) = (d⁻¹∗¯c⁻¹¯c, id) = (d⁻¹∗id, id) = (id, id) 因此可知對於任意元素 (¯c, d) 存在反元素 (d⁻¹∗ ¯c⁻¹, d⁻¹)。

• 結合律：

(¯c^′′, d^′′)((¯c^′, d^′)(¯c, d)) = (¯c^′′, d^′′)(¯c^′(d^′∗ ¯c), d^′d) = (¯c^′′(d^′′∗ (¯c^′(d^′ ∗ ¯c))), d^′′d^′d) ((¯c^′′, d^′′)(¯c^′, d^′))(¯c, d) = (¯c^′′(d^′′∗ ¯c^′), d^′′d^′)(¯c, d) = ((¯c^′′(d^′′∗ ¯c^′))((d^′′d^′)∗ ¯c), d^′′d^′d) 前面有證過左作用是一個群同態，因此有

¯

c^′′(d^′′∗ (¯c^′(d^′∗ ¯c)) = ¯c^′′(d^′′∗ ¯c^′)(d^′′∗ (d^′∗ ¯c)) = ¯c^′′(d^′′∗ ¯c^′)((d^′′d^′)∗ ¯c) 故

(¯c^′′, d^′′)((¯c^′, d^′)(¯c, d)) = ((¯c^′′, d^′′)(¯c^′, d^′))(¯c, d)

由於式子 (2) 是一個群結構且定法與半直積相同，因此可知

Aut(T_n) ∼= Aut(T₁^′)^M ⋊ Aut(Tn−1) ∼= Aut(T₁^′)≀ΓAut(T_n−1) 其中 Γ = {1, · · · , M}。

Example 2. 考慮階層為 2 的有根滿二元樹 T₂，如下圖：

根

2 a2

b₂

1 a1

b₁

Aut(T₂) 作用在 T₂ 上，作用的方式便是根的位置不變，接著決定第一層的兩個節點 1、

2 位置不變或是位置交換，最後再決定 a₁、b₁ 位置不變或是位置交換及 a₂、b₂ 位置不變 或是位置交換，由此可知

Aut(T₂) ∼= (Aut(T₁^′)× Aut(T1^′))⋊ Aut(T1) ∼= (C₂ × C2)⋊ C2 = C₂≀ C2 = [C₂]²。 Lemma 8.

Aut(Tn) ∼= [C2]ⁿ。

Proof. 由於 Aut(T1) ∼= C2 且從 Example 2 可知 Aut(T₂) ∼= [C2]²，假設 Aut(Tk) ∼= [C2]^k

則根據 Lemma 7，

Aut(T_k+1) ∼= Aut(T₁^′)≀ Aut(Tk) ∼= C2≀ [C2]^k = [C₂]^k+1 根據數學歸納法，

Aut(T_n) ∼= [C2]ⁿ。

假設整係數多項式 f(x) := x² + c，f⁰(x) := x，對於所有整數 n ≥ 0，fⁿ⁺¹(x) :=

f (fⁿ(x)) = (fⁿ(x))²+ c ，K_n 是 fⁿ(x) 在 Q 上的分裂體。多項式 n 次迭代後的零根可以 想成是 T_n 上的葉子，其中樹的根固定為 0，我們舉一個簡單的例子說明。

Example 3. 考慮整係數多項式 f (x) = x²+ 2，其一次迭代的零根，也就是 f (x) 的零根

Theorem ([3, Theorem 2]). 假設整係數多項式 f (x) = x² + t，K_n 是 fⁿ(x) 的分裂體 (splittind field)，其多項式迭代後的伽羅瓦群與樹的自同構有對應關係：

ρ : Gal(K_n/Q) ,→ Aut(Tn)。

Proof. 假設 fⁿ(x) 是 f (x) n 次迭代後的整係數多項式，Λ ={λ1,· · · , λm}，其中 fⁿ(λi) = 0。考慮整係數多項式 fⁿ(x²+t)，令 βj、−βj 是 x²+t = λj 的根。若 σ ∈ Gal(f(x²+t)/Q)，

假設 σ|L= d，¯c = (c1,· · · , cm)，其中 ci ∈ C2，則 σ(λ_j) = λ_d(j) σ(β_j) = (−1)^cd(j)β_d(j) 因此有以下對應關係：

ρ : Gal(fⁿ(x² + c)/Q) ,→ C2 ≀ΛGal(fⁿ(x)/Q) σ 7→ (¯c, d)

以下證明 ρ 是一對一 (one to one) 且是一個群同態 (group homomorphism)。假設 σ、σ^′ ∈ Gal(fⁿ(x² + t)/Q)，ρ(σ) = (¯c, d)，ρ(σ^′) = (¯c^′, d^′)，其中 ¯c = (c₁,· · · , cm)、¯c^′ = (c^′₁,· · · , c^′m)

(1) 一對一：

假設

ρ(σ) = (¯c, d) = (¯c^′, d^′) = ρ(σ^′) 則

σ(λ_i) = λ_d(j) = λ_d′(j) = σ^′(λ_j)

σ(β_j) = (−1)^cd(j)β_d(j)= (−1)^c′d(j)β_d′(j) = σ^′(β_j) 故可知

σ = σ^′。 (2) 群同態：(這裡將 C₂ 的運算用加法表示)

已知

ρ(σ^′)ρ(σ) = (¯c^′, d^′)(¯c, d) = (¯c^′+ (d^′∗ ¯c), d^′d) 從

(σ^′σ)(λ_j) = σ^′(σ(λ_j)) = σ^′(λ_d(j)) = λ_d′(d(j))

可推得

σ^′σ|L= d^′d

且

(σ^′σ)(β_j) = σ^′(σ(β_j)) = σ^′((−1)^cd(j)β_d(j)) = (−1)^cd(j)σ^′(β_d(j)) = (−1)^{cd(j)+c′d′d(j)}β_d′(d(j))

假設

ρ(σ^′σ) = (¯c^′′, d^′d)

從 σ^′σ 對 β_j 的作用可知 ¯c^′′ 的 d^′d(j) 項是 c_d(j) + c^′_d′d(j)，同時 c_d(j) 表示是 ¯c 的第 d(j) 項，也可看成是 d^′∗ ¯c 的第 d^′d(j) 項，且 c^′_d′(d(j)) 表示是 ¯c^′ 的第 d^′d(j) 項，因此 c_d(j)+ c^′_d′d(j) 即為 ¯c^′+ (d^′∗ ¯c) 的第 d^′d(j) 項，故推得

ρ(σ^′σ) = (¯c^′+ (d^′∗ ¯c), d^′d) = ρ(σ^′)ρ(σ)

接著我們用上述結果來證明多項式迭代後的伽羅瓦群與樹的自同構的對應關係，已知 n = 1 時

Gal(f (x)/Q) ,→ C2

則

Gal(f²(x)/Q) = Gal(f(x²+ t)/Q) ,→ C2≀ΛGal(f (x)/Q) ,→ C2≀ΛC₂ = [C₂]² 假設 n = k 有以下關係

Gal(f^k(x)/Q) ,→ [C2]^k 則 n = k + 1 時，可推得

Gal(f^k+1(x)/Q) = Gal(f^k(x²+ t)/Q) ,→ C2 ≀ΛGal(f (x)^k+1/Q) ,→ C2≀Λ[C₂]^k+1 = [C₂]^k+2 從 Lemma 8 可知 Aut(T_n) ∼= [C2]ⁿ，故可推得

Gal(fⁿ(x)/Q) = Gal(Kn/Q) ,→ Aut(Tn)。