回溯測試

獨立檢定的聯合檢定，檢定統計量為 LR_cc =

LR

uc+

LR

_ind，LR_ind 是用來檢定這些離 群值是否為獨立，其假設如下：

H

₀ : Correct exceedances and independence of failures,

H

₁ : Neither correct exceedances nor independence of failures.

檢定統計量為

LR

_cc =

LR

_uc+

LR

_ind =−^{2 ln}

[

p

ⁿ(1−

^p

)^T−n

π

ˆ₀₁ⁿ⁰¹(1−

π

ˆ01)ⁿ⁰⁰

π

ˆ₁₁ⁿ¹¹(1−

π

ˆ11)ⁿ¹⁰ ]

∼

χ

²(2),

其中 n_ij 為緊跟值 j 的第 i 個觀察值個數，i, j = 0, 1， ˆ

π

01 =

n

₀₁/n₀₁ + (

n

₀₁)， ˆ

π

11 =

n

₁₁/n₁₀+ (

n

₁₁)。

第 3 章 實 證 分 析

續複利報酬率 (Continuously Compounded Return)，將當期收盤價除以前一期收盤價之 後再取自然對數 (ln(·)) 並乘以 100%，也就是

r

_t =ln(_P^Pt

t−1)×^{100%，其中 r}t 為加權指 數在第 t 期連續複利下的日報酬率，P_t 為加權指數在第 t 期的收盤價。

本 研 究 使 用 軟 體 R 語 言， 以 及 其 內 部 套 件 quantmod(Ryan and Ulrich, 2018) 和

rugarch(Ghalanos, 2020) 進行分析，軟體 R 語言的 quantmod 軟件包旨在幫助定量交

易者開發，測試和部署基於統計的交易模型，本研究用此套件下載那斯達克綜合 指數和富時 100 指數的數據，並對這兩支加權指數配適 GARCH 模型、IGARCH 模 型，RiskMetrics，GARCH-M 模型、EGARCH 模型和 GJR-GARCH 模型，參數設定皆 為(1, 1)，並對日報酬率 r_t 配適 AR(1)，也就是 r_t =

_ϕ

₁

r

_t−1+

a

_t，接著考慮不同的分 配，分別是常態分配 (norm)、學生 t 分配 (std)、偏態學生 t 分配 (sstd) 和廣義誤差分配 (ged)，再針對兩種信心水準下，分別為 1% 和 5%，估計出不同模型的 VRate，最後比 較模型並選出最佳模型。首先繪製兩支加權指數的當日收盤價時間序列圖和日報酬率 波動圖，如以下圖 1和圖2。

圖 1: 那斯達克綜合指數當日收盤價時間序列圖和日報酬率波動圖

由圖1那斯達克綜合指數的當日收盤價時間序列圖可以看到，在 2000 年 3 月突破 了 5000 點，是當時的歷史新高，後來那斯達克綜合指數進行調整，歷經兩年半的熊 市，在 2002 年 8 月跌到最低點，隨後趨於穩定，直到 2008 年金融風暴期間又下跌至 接近最低點，而金融風暴後不斷上升，至今甚至突破 8000 點。

圖 2: 富時 100 指數當日收盤價時間序列圖和日報酬率波動圖

由圖2富時 100 指數的當日收盤價時間序列圖可以看到，在 2002 年 7 月跌至最低 Jarque-Bera Test 檢定統計量的

p

−

value，檢定結果皆為顯著，表示資料皆不服從常態

分配，Q 為 Ljung-Box Test 檢定統計量的 p−

value，ARCH 為 Testing for ARCH Effect

檢定統計量的 p−

value，後方的括號內數字代表落後的期數，因為一週交易日通常為

5 天，我們考慮一週及兩週的資料來檢驗是否有 ARCH 效應，得出的檢定結果皆為顯 著，兩支加權指數皆有 ARCH 效應。

我們從兩支加權指數中各自取出從 2018 年 9 月 5 日到 2019 年 12 月 27 日的資料 作為本次分析的樣本外 (out-sample) 預測，那斯達克綜合指數的樣本數為 331 筆，富時 100 指數的樣本數為 333 筆，並進行移動視窗法 (Rolling Window Method)，每次加入一 筆資料預測下一筆資料，以 ARCH 模型為基礎，再利用前章節所提出的方法配適出其 延伸模型，在本研究我們一共為這兩支加權指數，各自配適 21 個模型並考慮不同分 配，除了 RiskMetrics 是只考慮常態分配，其餘五個模型都是考慮 4 種分配，並且為所 有模型進行回溯測試，分別是 LR_uc和 LR_cc，最後計算出每個模型的 VRate，利用上述 所提到的檢定方式篩選出各個加權指數中最佳模型。

首先我們先針對每個模型的進行回溯測試，在這邊我們使用了 LR_uc 以及 LR_cc方 GARCH.norm 1.474 0.003 0.009 0.008 0.018 GARCH.std 1.477 0.182 0.367 0.047 0.137

GARCH.sstd 1.474 0.182 0.367 0.077 0.176

GARCH.ged 1.476 0.076 0.178 0.077 0.035 IGARCH.norm 1.474 0.028 0.074 0.399 0.206 IGARCH.std 1.477 0.182 0.367 0.047 0.137

IGARCH.sstd 1.474 0.385 0.635 0.280 0.144

IGARCH.ged 1.476 0.182 0.367 0.190 0.394

RiskMetrics 1.474 0.003 0.009 0.280 0.455 GARCH-M.norm 1.476 0.003 0.009 0.004 0.016 GARCH-M.std 1.487 0.076 0.178 0.008 0.030 GARCH-M.sstd 1.478 0.182 0.367 0.077 0.176 GARCH-M.ged 1.483 0.076 0.178 0.015 0.034 EGARCH.norm 1.471 0.000 0.001 0.077 0.176 EGARCH.std 1.473 0.028 0.074 0.027 0.063

EGARCH.sstd 1.471 0.076 0.178 0.280 0.144

EGARCH.ged 1.471 0.076 0.178 0.077 0.176

GJR-GARCH.norm 1.472 0.010 0.027 0.280 0.144 GJR-GARCH.std 1.474 0.028 0.074 0.027 0.063 GJR-GARCH.sstd 1.472 0.028 0.074 0.280 0.144 GJR-GARCH.ged 1.475 0.028 0.074 0.124 0.271

.norm 表示配適模型並假設在常態分配，.std 表示配適模型並假設在學生 t 分配，

.sstd 表示配適模型並假設在偏態學生 t 分配，.ged 表示配適模型並假設在廣義誤差分 配。

經過檢定，根據表2中標記為粗體的模型為兩個檢定都通過的模型，共有 6 個模 型，分別為 GARCH.sstd 模型、IGARCH.sstd 模型、IGARCH.ged 模型、GARCH-M.sstd 模型、EGARCH.sstd 模型和 EGARCH.ged 模型，可發現都是考慮 sstd 或 ged 這兩種分 配所配適的模型有通過檢定，表示在考慮不對稱分配配適出的模型結果較好。

表 3: 富時 100 指數回溯測試檢定表 (樣本數為 333 筆) FTSE100

Model MSE 1%

LR

_uc 1%

LR

_cc 5%

LR

_uc 5%

LR

_cc

P

−

value P

−

value P

−

value P

−

value

GARCH.norm 0.6074 0.186 0.374 0.673 0.072 GARCH.std 0.6075 0.392 0.642 0.673 0.072 GARCH.sstd 0.6083 0.392 0.642 0.673 0.072 GARCH.ged 0.6081 0.392 0.642 0.673 0.072 IGARCH.norm 0.6072 0.392 0.642 0.673 0.072 IGARCH.std 0.6074 0.392 0.642 0.673 0.072 IGARCH.sstd 0.6080 0.392 0.642 0.494 0.042 IGARCH.ged 0.6080 0.392 0.642 0.494 0.042 RiskMetrics 0.6075 0.010 0.017 0.869 0.016 GARCH-M.norm 0.6085 0.186 0.374 0.673 0.072 GARCH-M.std 0.6091 0.392 0.642 0.869 0.109 GARCH-M.sstd 0.6093 0.392 0.642 0.673 0.072 GARCH-M.ged 0.6079 0.392 0.642 0.673 0.072 EGARCH.norm 0.6063 0.186 0.096 0.341 0.151 EGARCH.std 0.6057 0.392 0.642 0.341 0.151 EGARCH.sstd 0.6068 0.721 0.893 0.131 0.211 EGARCH.ged 0.6061 0.392 0.642 0.341 0.651 GJR-GARCH.norm 0.6063 0.392 0.642 0.494 0.241 GJR-GARCH.std 0.6061 0.392 0.642 0.673 0.346 GJR-GARCH.sstd 0.6071 0.392 0.642 0.341 0.151 GJR-GARCH.ged 0.6064 0.392 0.642 0.494 0.241

.norm 表示配適模型並假設在常態分配，.std 表示配適模型並假設在學生 t 分配，

.sstd 表示配適模型並假設在偏態學生 t 分配，.ged 表示配適模型並假設在廣義誤差分配。

在表3的結果中，除了 RiskMetircs 模型外 (框起來處)，其餘模型的檢定結果都有 通過，代表大部分的模型都相當理想的。

在經由回溯測試後，我們利用 VaR 方法去計算出每個模型所估計出來的 VRate 為 多少，我們設定信心水準為 1% 和 5%，在這項方法中，選取 VRate 最接近設定信心水 準的模型作為最理想模型，並希望選取 VRate 不要超過設定信心水準的模型，因為可 能會導致清償風險。

表 4: 兩支加權指數 VRate 表 (樣本數分別為 331 和 333 筆)

NASDAQ FTSE100

α 1% 5% 1% 5%

Model Violation VRate(%) Violation VRate(%) Violation VRate(%) Violation VRate(%)

GARCH.norm 10 3.02 28 8.46 6 1.8 15 4.5

RiskMetrics 10 3.02 21 6.34 9 2.7 16 4.8

GARCH-M.norm 10 3.02 29 8.76 6 1.8 15 4.5

GARCH-M.std 7 2.11 28 8.46 5 1.50 16 4.80

GARCH-M.sstd 6 1.81 24 7.25 5 1.50 15 4.50

GARCH-M.ged 7 2.11 27 8.16 5 1.5 15 4.5

EGARCH.norm 12 3.63 24 7.25 6 1.8 13 3.9

EGARCH.std 8 2.42 26 7.85 5 1.5 13 3.9

EGARCH.sstd 7 2.11 21 6.34 4 1.2 11 3.3

EGARCH.ged 7 2.11 24 7.25 5 1.5 13 3.9

GJR-GARCH.norm 9 2.72 21 6.34 5 1.5 14 4.2

GJR-GARCH.std 8 2.42 26 7.85 5 1.5 15 4.5

GJR-GARCH.sstd 8 2.42 21 6.34 5 1.5 13 3.9

GJR-GARCH.ged 8 2.42 23 6.95 5 1.5 14 4.2

.norm 表示配適模型並假設在常態分配，.std 表示配適模型並假設在學生 t 分配，

.sstd 表示配適模型並假設在偏態學生 t 分配，.ged 表示配適模型並假設在廣義誤差分配。

根據表4，標記為粗體的模型為最理想的模型，那斯達克綜合指數最理想模型是 IGARCH.sstd；然而在富時 100 指數這邊，則是 GARCH-M.std 最為理想，除此之外，

還有一些模型是可以被列入考慮的，像是 GARCH-M.std 和 GARCH-M.sstd。

將上述所選取的兩支加權指數配適較好的模型估計出的 VaR 和該指數的日報酬率 繪製時間序列圖，如以下圖3−圖6。紅點表示真實資料的日報酬率跌出模型估計出的 VaR，表示當日的報酬率已經超出最能承受的最大風險，可以看到那斯達克綜合指數配 適 IGARCH.sstd 模型有 5 個紅點，而富時 100 指數所配適的三個模型，也是有 5 個紅 點，而且紅點發生的時間點相同。

圖 3: 那斯達克綜合指數配適 IGARCH.sstd 模型圖

圖 4: 富時 100 指數配適 GARCH.std 模型圖

圖 5: 富時 100 指數配適 GARCH-M.std 模型圖

圖 6: 富時 100 指數配適 GARCH-M.sstd 模型圖

第 4 章 結 論

在本研究中，我們一共使用了 21 個有母數模型配適兩個加權指數的日報酬率，風 險值估計在兩種回溯測試中都有著不錯的結果，我們將在本文中所使用的兩種方法 (回 溯測試以及 VRate) 進行交叉比對以篩選出最理想的模型，不僅通過回溯測試的檢定，

同時也要在表4中估計出來的 VRate 最接近我們所設定的信心水準。

首先在那斯達克綜合指數中，雖然我們在回溯測試中有 6 個模型都通過檢定，

但通過的模型中並非每個模型都接近們所設定的信心水準，因此最後我們選出了 IGARCH 模型並假設在偏態學生 t 分配 (IGARCH-sstd)；然而用同樣的方式中，在富時 100 指數我們則是發現了有數個模型相當理想，其中最理想的為 GARCH-M 模型並假 設在學生 t 分配 (GARCH-M.std)。

結合上面兩段的敘述可以得知，即便在回溯測試中檢定通過的模型，之後在計算 VRate，不一定會接近信心水準。而兩支加權指數中理想的模型並不相同，那斯達克綜 合指數僅有一個，富時 100 指數則有數個模型可被使用，可以理解出股票的波動性千 變萬化，可以被使用的模型也就不同，根據波動性的分布，可以使用數種模型去解釋，

承如上述，可以得知為何在當今社會中，操作股票是一個難度極高的課題。

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在文檔中 加權指數日報酬率之風險值預測 (頁 18-31)