只能是羅倫茲變換的 scalar、SM 規範變換的 singlet，這大致也 就是 SM 中粒子的 Lagrangian 或說是動能項。而且因為是 KK 粒子的衰變，所以只要考慮 Bulk 場 Φ 的線性項。綜合這些要求，
可能的作用項具有最低的 dimension 的就是：
或 這裡以 CP-Even 的 Φ 為例，若是 CP-Odd 的 Φ，作用項略為不 同，但最後結論類似。其它 dimension 較高的作用如
因為 較大，貢獻會被 Suppressed。
因為這個作用項中的
ψ 限制在 Brane 上，這個項也必須限制在
：
在此式中， Φ 是 Bulk 場 Φ 限縮到 Brane 上的投影。能量尺度： Φ 。此式還可以改寫 成以真正的 KK 粒子（Mass Eigenstate） 表示：
如此我們就可以估計出 decay widths Γλ大致的大小，寫出以下式 子：
代入 在大小λ 的行為，可以結論得到：
對於 large-λscaling：
Γλ λ 對於 small-λscaling：
Γλ λ 事實上，以上的估計是有一些漏洞，因為這裡假設其它 dimension 較高的作用如
貢獻會被 Suppressed，可是這 只有當 時才成立，也就是對於質量較大的 KK 粒子，恐怕 以上估計就不成立，而必須考慮較複雜的 Bulk 效應才能具體知 道它的衰變情況。
現在將 decay widths Γλ與 KK 粒子質量
的關係，與 abundance Ωλ與 KK 粒子質量
的關係綜合即可以得到abundance Ωλ與 decay widths Γλ的關係：對於 large-λscaling：
instantaneous ΩλΓλ constant
staggered D era ΩλΓλ constant staggered MD eras ΩλΓλ constant
對於 small-λscaling：
instantaneous Ωλ constant staggered D era ΩλΓλ constant staggered MD eras ΩλΓλ constant 由此可知,KK states 確實滿足我們模型的重要條件，那就是
abundance Ωλ與 decay widths Γλ是相反的趨勢，abundance Ωλ越 大的 DDM，其 decay widths Γλ越小，如此才能有機會使 DDM 在宇宙早期的衰變不至於破壞 BBN。
由以上關係,進一步可求出 α、β：
，
這兩個參數的和 α+β= X 可以讓我們算出 DDM 最重要的一些性 質。對於 large-λscaling：
對於 small-λscaling：
在不同的情況下 X=α+β 分別等於:
這些得到的 x 值都小於 1，符合現象觀察上所偏好的
。
以上的計算是利用 abundence 及 decay width 與 λ 的 power law scaling 來概略計算，作者繼續再用數值模擬來計算 Ωtot(t)、η(t)、Weff(t)這些物理量。在計算中我們只關注最後 DDM 開始衰變的 時期,而且這些 DDM 衰變都發生在 matter-dominated 的時代!
每個粒子都有不同的 decay width(Γi)，而
，abundance 隨者時 間的變化,有兩種因素決定：1.宇宙膨脹 H 2.DDM 衰變 ；當粒 子在 matter-dominated 時代時，H 不影響 abundance 的變化，所 以只需考慮 decay widths 的效應。另外，我們探討即便有三種 mechanics production，我們探討是否有其他基制限制 abundance 的範圍，
如果
且對於 large-λ
則
很容易就可以發現
i
i
這個要求是可以滿足的。 abundance
乘上同一個 factor。對於 Total abundance 的計算我 們只要考慮這些 DDM 在 DM Era 的演化即可。這個式子即可以數值方法計算而得到任何時刻的 Total
根據前面 total abundance Ωtot(t)定義,將 individual abundances 加總為 total abundance，在此作者先忽略絕對值的 abundence，
而以 Rescaled abundence 來描述 DDM abundence 隨時間變化的 關係。
由於前面討論 Total abundance 都是估計 λ、λ (如(3.55)式)的極 限行為，現在要比較精確地作數值的計算：首先，我們先把整 個 KK tower 的 mass eigenvalues 找出，也就是說，需解出 mass
matrix 的 eigenvalues λ，這些 Eigenvalues 是一個 transcendental equation 的解 ，(3.34)式；當 mass eigenvalue 找出之後利用(3.39) 式來求出 λ；當 λ與λ 得知後,可使用(3.63)式，求出 Γλ：
得到 λ，λ 及Γλ ，根據 porduction 是 instantaneous 或是 stagger
（若是 Stagger 在 D 或是 MD 時代）共三種情況，可將 individual abundancesΩλ求出，加總得到 total abundance，再將共 同的常數移去，就可以得到一個 rescaled 的Ωtot，以 instantaneous production 為例：
Ωtot Ωλ λ λ λ λ instantaneous
Ωtot Ωλ λ λ λ λ staggered 在 D era (3.76) Ωtot Ωλ λ λ λ staggered 在 D era
為了計算方便，假設 KK 粒子的衰變是在 瞬間發 生，因此假設衰變因子是一個階梯函數： Γλ t 。以 instantaneuos production 為例：
Ω 這個加總原則上是要包括所有的 KK 粒子（λ 有無限多個解），
但因為上述的簡化，在任一個時間
t
，所有 的 KK 都已 經衰便消失了，所以加總時，其實只要包括那些的 λ 值即可。
數值計算的結果如下圖所示，這裡Γ 是最輕的 DM 的 Decay Width，也就是以最輕的 DM 的 Lifetime 作為時間的單位。每一 條曲線上包含未衰變的 KK 粒子，所以當其中一個粒子衰變時，
abundance 曲線呈階梯狀下降。因為在 Misalignment Production 機制中，越輕的 KK 粒子的 abundance 越大，所以在早期較重粒 子衰變時，abundance 下降不大，圖形幾乎是平滑下降。越到後 面，衰變的 KK 粒子越重，abundance 下降越明顯。當
log Γ 時，就是 Γ ，表示最輕的 DDM 也衰變了，
所有的 DM 就完全消失。
Total abundance 的曲線與參數
y mR 1
的關係非常有趣。參數y mR 1
標定 Momentum Eigenstates 的 mixing，而這個 mixing 是 DDM 在 Misalignment Production 機制 initial abundance 的來源。所以當 y 很大時，mixing 不大，所以所有的 DM 就大致只含有 少數幾種最輕的 DM，那麼 total abundance 就很類似 single DM
的情況，在宇宙演化過程幾乎沒有變化。相對的，如果 y 很小 時，mixing 較大，所以幾乎大部分的 DDM 都會產生，宇宙中 DM 包含許多具有不同質量與不同生命期的 DDM，所以 total abundance Ω 會隨時間而顯著變化，這是最能顯示 Dynamic Dark Matter 的 Dynamism 的情況。
而 Misalignment production 機制的細節對結果也有影響。
Instantaneous Production 及 Staggered Turn-on 影響 abundance 中 λ 的 scaling，因此影響是否有許多 DDM 在開始時產生。
Ωλ
λ λ instantaneous λ λ staggered D era λ staggered MD eras
對於 instantaneous 有平滑曲線出現， Ωλ λ ，mutiple dark matter 明顯；相較其它兩個 staggered 圖形均為水平，表示粒子種類 少,abundance 變化就少， mutiple dark matter 不顯著。
η(t)
這個情況在分配參數
η(t)的行為看得更清楚，y 越大，看得出來 η 越小，表示只有少量的 dark matter，反之，y 越小，則 η 越大，
表示有多種 DDM 存在。