動態暗物質

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. 動態暗物質 Dynamical Dark Matter. 指導教授：張嘉泓博士. 研究生：賴銘輝. 中華民國 101 年七月 1.

(2) 摘要(Abstract) 我們探討 K. Dienes and B. Thomas 所提出的 Dynamical Dark Matter(DDM)模型。這個模型提出一種可能：宇宙中的暗物質不只有一種，而是數量龐大的一系列具有不同質量的粒子。在特定條件下，這些粒子可以不同的生命期衰變，而不致與現有的觀察衝突。因為暗物質粒子會先後發生衰變，在 DDM 模型裡，宇宙暗物質的總數可以隨時間而變化。兩位作者並提出一個具體的額外維度的模型，加上一個特定的暗物質產生起始機制： Misalignment Production 來實踐 DDM 的構想。我們討論並澄清他們所作的簡化假設及所使用的計算方法。同時嘗試以 Thermal Production 來作為暗物質的起始產生機制，計算暗物質的總量，並與兩位作者的結果比較。. 關鍵字: 動態暗物質。. I.

(3) Abstract We study the Dynamical Dark Matter(DDM) model proposed by K. Dienes and B. Thomas. This model involves the possibility that the Dark Matter (DM) in the universe consist of not just one kind but a huge number, a whole series of particles with varying masses. Under certain conditions, these DM particles can be allowed to decay with varying decay width without conflicting with current observation data. Since DDM particles decays successively, the total DM abundance in the universe will change with time. To realize this idea, the two authors proposed a concrete Extra Dimension model plus one initial DDM particle production mechanism: Misalignment Production. We consider and clarify their assumptions and methods. At the same time, we try to use an alternative Thermal Production to replace Misalignment Production and formulate the calculation of the total DM abundance.. Keyword: Dynamical Dark Matter.. II.

(4) 致謝這篇論文能夠順利完成，首先感謝我的指導教授張嘉泓博士，在這兩年的碩士生涯中，感謝老師在學習上不斷地給予嶄新的思維與積極的態度，並且時時提醒人生的規劃與方向；其次要感謝口試委員施華強博士與張維甫博士在論文上給予寶貴的意見與指正，使得本論文更加完善。感謝研究室的侃燊學長、銘佐學長、渙婷學姊及登瑞同學，在課業上與生活上之關心與勉勵。感謝系辦裡的鈞萍、羅媽及淡宜，在學習環境上給予諸多幫助。感謝在我碩士生涯中，幫助過我的人! 最後，謹以此文獻給我的家人，感謝您們一直以來關心與照顧，讓我能夠專注於課業與研究。賴銘輝民國 101 年 7 月. III.

(5) 目錄 1. 摘要…………………………………………………………… I 2. 致謝……………………………………………………………III 3. 目錄……………………………………………………………IV 4. 一、簡介……………………………………………………… 1 5. 二、基本原理………………………………………………… 4 6. 三、Dynamical Dark Matter…………………………………… 13 7. 四、結論……………………………………………………… 45 8. 五、參考文獻………………………………………………… 46. IV.

(6) 一、簡介（Introduction）證實暗物質存在的事實 1. 星系旋轉曲線最早提出證據並推斷暗物質存在的是 1930 年代荷蘭科學家 Jan Oort 與美國加州工學院的瑞士天文學家弗里茨·茲威基等人。弗里茨·茲威基觀測螺旋星系旋轉速度時，發現星系外側的旋轉速度較牛頓重力預期的快。觀測星系的旋轉曲線(rotation curves of galaxies) ，其中星系的旋轉速度與距中心之距離有關；根據牛頓動力學可預測此旋轉速度應為. 由此可知，離中心距離越遠時，旋轉速度應當越小；但是，實際觀察結果，對於離中心距離越遠的旋轉速度，不但沒有下降反而維持一固定值。這表示在星系旋轉曲線內，應有大量的物質存在且不吸收不放射電磁波，可以維持旋轉速度不變。. 1.

(7) 一般星系旋轉曲線：預測值(A)和觀測值(B)。暗物質的存在可以解釋為何在半徑較大時速度幾乎不變。. 2. 星系與星系團觀測 2006 年，美國天文學家利用錢德拉 X 射線望遠鏡對星系團 1E 0657-558 進行觀測，無意間觀測到星系碰撞的過程，星系團碰撞威力之猛，使得暗物質與正常物質分開，因此發現了暗物質存在的直接證據。雖然暗物質在宇宙中大量存在是一個普遍的看法，但是科學家們發現螺旋星系 NGC 4736 的旋轉能完全依靠可見物質的引力來解釋，也就是說這個星系沒有暗物質或者暗物質很少。. 3. 宇宙微波背景輻射宇宙微波背景輻射（cosmic microwave background radiation，簡稱 CMB）最初發現於 1964 年。對於背景輻射的進一步觀測也支持這個理論，並給予了更多架構理論模型的條件。這些觀測中最著名的當屬宇宙背景探測者（COBE）。COBE 觀測到 2.726 K 的輻射溫度，以及在 1992 年第一次觀測到約十萬分之一的溫度起伏（各向異性）。在未來的幾十年裡，許多地上或高空氣球實驗對 CMB 的各向異性作了更進一步的觀測。這些實驗最初. 2.

(8) 的目的是要去量測 CMB 譜密度的第一峰值，在之前 COBE 的量測並未給出足夠好的解析度。在 2000 到 2001 年間，毫米波段氣球觀天計畫藉由量測觀測 CMB 的各向異性，發現宇宙是接近平坦的空間結構。在 1990 年代，第一峰值的量測上不斷提高了敏感度。毫米波段氣球觀天計畫提出了報告指出最大的譜密度波動發生在尺度約為一度角時。這些觀測足以排除宇宙弦作為宇宙結構形成的主因，而趨向於接受暴漲理論。. 3.

(9) 二、基本原理（Basic Idea）暗物質在宇宙中，非重子暗物質(nonbaryonic dark matter). 。. 最有可能的暗物質是 WIMP(weakly interacting massive particle)，在高溫時與宇宙剩餘的等離子有密切的關係，但已知 freeze out 是溫度低於它本身的質量，Freez-out 是無法使粒子湮滅達熱平衡。事實上，要一直保持熱平衡，他的 abundance 將會變成 e-m/T 的形式，但是在觀測宇宙中並沒有此種粒子。然而，這部分主要目的是;對於這種粒子，我們要解 Boltzmann 方程式來決定 freeze out 的時代與他的 relic abundance。最期望的是固定他的 relic abundance ，. 。我們將可以學習到有關粒子的基. 本性質，例如他的質量與 cross section。然而，我或許可用此知識在實驗室探測粒子。在一般的 WIMP 情況下，兩個很重的粒子 X 可以 annihilate 產生兩個很輕的粒子 L(基本上是無質量)，這很輕的粒子被假設為很緊的耦合成宇宙等離子體,所以它們是在完全的熱平衡(化學能和動能)，並且 nl=nl(0)，然而，只有一個是未知 nX,很重的粒子的 abundance。可以使用 Boltzmann 方程式來解此 abundance:. 4.

(10) 進一步討論，溫度的尺度為 a-1，如果我們在等號左邊 nXa3 括弧內同時乘上和除以 T3 且可以將(aT)3 提到微分之外，留下 T3d(nx/T3)/dt。. 等號左邊可寫成：. 然而，我們定義. 所以，. 等號右邊可寫成：. 〈. 〉. 〈. 左式=右式. 〈. 〉. Y 的微分方程式變成. 5. 〉.

(11) 其中更進一步，為了方便引入一個新的時間變數，. m 為很重的粒子的質量，而溫度設定在要討論的範圍。非常高溫等同於 x<<1，表示反應過程很快的發生，所以. 因為在. 這時代 X 粒子是相對論性的，由 equilibrium number density 方程式 m<<T 的限制，暗示 Y ~ 1. 利用 equilibrium number density. 當 x 很大時，equilibrium abundance YEQ 變成指數遞減的形式 (e-x) ，最後，因為指數遞減，X 粒子將變得很少，所以它們不能很快的發現彼此而維持 equilibrium abunance。這是開始 Freeze out。要從 t 變為 x，我們需要使用 Jacobian dx/dt=Hx。. 6.

(12) 令. 暗物質發生在輻射時代且能量密度為 T4 形式，所以 H=H(m)/x2。. 然而，evolution equation 變成. 〈. 〉. 〈. 〉. 〈. 〉. 〈. 7. 〉.

(13) 其中，湮滅率與膨脹率的比例，由 λ 參數取代〈. 〉. 在很多的理論 λ 是一個常數，但在一些熱平均碰撞截面(thermally averaged cross section)是隨者溫度改變，這會對以下討論的有些微數值變化，但不改變定性上的解釋。此方程式是 Riccati equation，一般此沒有解析解。不過在這種情況下，對於 final freeze-out abundance 我們可以使用解析表示來了解 freeze-out 過程。讓我們回顧文中方程式。左手邊是 Y 的一次方(對於 x~1)，同時右手邊 Y2λ 為 Y 的二次方。我們將會看到，通常 λ 相當大，所以只要 Y 不是很小，右手邊自己必定是零，則勢必 Y=YEQ。在後期，當 YEQ 急遽下降，右手邊的項不在遠遠大於左手邊的項。事實上，freeze-out 後，Y 將遠遠大於 YEQ：X 粒子將不能夠迅速的湮滅來維持熱平衡，因此在後期，. 8.

(14) 積分這個解析從 freeze-out 時代到非常後期，可得到. 通常 Y 在 freeze-out Yf 明顯大於 Y∞ 所以一簡單的分析近似為. 這個近似是不完全的，因為他決定於 freeze-out 的溫度，我們還未確定。雖然可能有更精確測定，暗物質問題的估計是一個簡單的數量級 Xf〜10。. 上圖顯示對於不同多種不同的的 λ，對此方程式的數值解。對於 abundance 追尋 equilibrium abundances 直到 m/T~10，在此之後他們唯一定值。對於 relic abundance,粗略的估計 Y∞ ~ 10/λ 看起來是合理的估計。注意這些粒子有較大的碰撞截面 (例如: 9.

(15) 在圖中， λ=1010)較晚 freeze out，且這個較晚 freeze-out，有較低的 relic abundance。另外注意圖中的插圖，只有在溫度高於粒子的質量時區分 Bose-Einstein,Fermi-Dirac，與 Boltzmann statistics 是很重要的。對於 Freeze-out 過程的溫度，我們使用 Boltzmann statistics 使完全吻合的。有數種物理學需要決定現今這些很重粒子遺物(relics)的豐度 (abundance)。在 Freeze-out 之後，重粒子密度僅僅由 a-3 的形式下降，所以它們今日能量密度等於 m(a1/a0)3 乘上它本身數目密度,其中 a1 等同於很晚的時期，Y 到達它的漸近值(Y∞)。在那時期數目密度為 Y∞T13，所以. 在 freeze-out 之後 T×a≠const.. ∵. 10.

(16) 雖然宇宙在演化，你或許期待 aT 仍然為定值，所以比值 a1T1/a0T0 為 1。這跟 CMB 和微中子有不同的溫度是不同的原因。我們已知由正負電子湮滅(annihilation)將光子加熱，而微中子已經 decoupled 而不會被加熱。同樣地,隨者宇宙膨脹，粒子湮滅將光子加熱的，其質量介於 1MeV 與 100GeV 之間，所以 T 不會僅僅由 a-1 的形式下降，可以證明結果為(a1T1/a0T0)3~1/30。最後，找出由 X 貢獻於臨界密度的部分，Y∞插入我們的表示且除以 ρcr：. 〈. 〉. ∵. 11. 〈. 〉.

(17) ∴. 〈. 〉. 然而，要找到現在很重粒子的密度，我們須計算當溫度等於 X 質量時的 Hubble rate，H(m)，其中我們須要在溫度等於 m 時的能量密度。由上式(其中 g*是溫度的函數)給出在輻射時代的能量密度，因此，〈. 〉. 我們看到 ΩX 沒有明確與 X 粒子質量有關。所以決定 relic abundance 主要是 cross section。現在讓我們來看看得到暗物質需要多少數量級，也就是說，要得到. 。對於感興趣的產生暗物質的溫度，. T~100GeV,g*(m)包括來自於標準模型理所有粒子(three generations of quarks and leptons，photons，gluons，weak bosons， and perhaps even the Higgs boson) ，所以為 100。利用它們的標準值來歸一化 g*(m)和 xf 得到. 〈. 〉. 對於 cross section 為 10-39 cm2，這估計事實上為 1，這是好現象：有很多理論預測存在這小 cross section 粒子。. 12.

(18) 三、Dynamical Dark Matter 接下來，我們要討論這篇文章”Dynamical Dark Matter” ，這類主題最早是由 Keith R.Dienes...等幾位先生發表討論。起初，他們所認為 dark matter 是只有一種物質所組成，但是這是很不自然的一件事情，所以這幾位先生來嘗試是否有另一種可能的情況：dark matter 由多種粒子所組成。在此，對於多種 dark matter 中，做了一個假設，只要 abunance 較大的粒子，它的 lifetime 較長(decay 較晚) ，因為如果粒子在早期就有很多粒子 decay 成 standard model particles，而這將導致原本 BBN 所預測宇宙中原子核有固定的比例,將因此被破壞；反之，只要 abundance 較小的粒子，它的 lifetime 較短(decay 較早) ，早期只要 decay 出來的 standard model particles 很少的話，則對於 BBN，所預測的結果影響也不大。一般宇宙中，可以區分四個時期：1.inflation 2.reheating 3.radiation domination 4.matterdomination 而描述粒子在宇宙中的能量行為是 equation of state P=wρ，對於不同的形式 P 與 ρ 有不同的關係，所以為了簡單起見，使用 w 來聯繫兩者之間關係；對於物質時，w=0、對於輻射時，w=1/3、對於真空時，w=0、對於曲率時，w=-1/3。 13.

(19) 而對於粒子在宇宙中含有多少的量，我們使用 Relic abundance 來表示，符號是 Ω，它的定義為 Ω≡ρ/ρcr(ρ： energy density， ρ： critical energy density) ，因為 ρ 與 R(scalar factor)有關，R 又與 t 有關，則 abundance 可以寫成與時間有關的形式，所以 abundance 在不同的時期有不同的形式，可以寫成以下 3 種形式。. (3.1). Ω. 我們簡化討論這 dark matter 是 spin=0，所以他可以由 scalar field 來描述粒子運動，可以出 KG equation，這是平的空間沒有重力效應；而現在有重力，他的 KG equation 需要修正，加入宇宙加速膨脹重力裡的是實在 KG 場方程式內，得到就是以上方程式的形式；另外也假設這個場為均勻場，所以沒有對空間微分，只有對 t 做微分。然而這方程式為 damped harmonic oscillator 的形式，. 所以我們可以討論三種情況，在 early time 時，H 較大，所以 3H+Γ>2m，這稱為 overdamped，沒有 oscillate，沒有 oscillate 就表示沒有粒子的行為，所以為 vacuum；當 3H+Γ=2m 時，此時稱為”turn-on time” ，開始 oscillate，表示粒子開始形成的時候；同理，當 3H+Γ<2m，有 oscillate,表示粒子形成。而所對 14.

(20) 應的 abundance 變化為下式：. 由此式，可得知 abundance 隨者時間變化，由兩種因素決定：1. 括弧內前兩項宇宙常數-H 2.括弧內最後一項 decay width. 。. 宇宙膨脹與粒子 decay 的效應均會影響 abundance 隨時間的變化。另外，以上各種現象可以由下圖來說明：. 這張圖橫軸為時間軸，縱軸為 abundance。圖上每一條實線都是表示每一種 dark matter 的粒子，其中虛線是指 turn-on time，也就是他的分水嶺，在 turn-on time 之前，overdamped，表示粒子. 15.

(21) 還未形成；在 turn-on time 之後，underdamped，表示粒子形成。這裡做一個假設,假設粒子 decay 是一瞬間，為圖上每條實線上末端的黑點。另外，目前我們所量測到的 dark matter，是圖中 present time 之後所看到的 dark matter。如果 dark matter 只有一種粒子時，為圖上最頂端那條線；但是，現在是有很多種的粒子組成，所以個別粒子的 abundance 勢必小於原本只帶有一種粒子的 dark matter。最後，這模型只要設計質量比較大的，deacay 較快，則假設它的 abundance 比較小；反之，質量比較小的，deacay 較慢，abundance 比較大。. 要了解 dark matter 的特性，我們可以從三種的參數來考慮：第一，Total abundance：用 Ωtot 來表示,為個別 abundance 的總合；. 第二，Distribution of that total abundance：用 η 來表示，其中 Ω0 是粒子中最大的 abundance，η 值介於 0 到 1 之間，如果 η 等於零時,表示這暗物質是由單一種粒子組成且帶有所有的 abundance；反之，如果 η 大於零時，表示這暗物質是由多種粒子組成。. ， 16.

(22) η 接下來，我們將關注 dark matter 在物質為主的時代 (matter-dominated epoch)。先前提到過，我們對這 dark matter 做了一個假設，她的 decay 是一瞬間的，也就是 t=τ 那一時刻瞬間衰變完，所以可以使用 step function 來表示: Ω. Ω. τ. 而我們想了解 total abundance 隨時間變化，是甚麼形式，所以對 t 微分，可以寫成與 delta function 有關的形式：. 這式子 sigma I 需要修正,因為在時間間隔當中，粒子 lifetime 並不是相同的，所以需要將 sigma 用積分形式來表示。. 所以可以到 total abundance 隨者時間變化會等於 abundance 乘上每單位 τ 的粒子數： Ω. τΩ τ Ω τ. τ. τ. τ. τ. τ. 一般 n(τ) 與 Ω (τ)未指定，需要有特定的粒子才能得知；但是由於 τ 與 Γ 為倒數關係，所以我們可以將變數改成與 Γ 有關。. 17.

(23) 將上面兩式帶入 total abundance 隨者時間變化，則可以得到以下結果：. 將方框中式子積分，其中 α+β=1，則. ，這時積分會出現 log，. 所以這個積分形式可以分成 α+β 等於 1 或者 α+β 不等於 1 的兩種情況。. ˙對於 α+β≠1 時：. ˙對於 α+β = 1 時：. 第三， Effective equation-of-state parameter weff(t). 對於只有一種 matter 的情況, 在 FRW 理論中， ρ 隨時間的變化可以寫成以下這種型式，但是這是只對於單一種粒子的 dark matter. 但是，把多種粒子看成是一種粒子來處理，w 不會等於 0。由下圖可知:. 18.

(24) 假想它是一個物質來討論這件事情，原因就是從細微角度來看，你可能看到是圖上鋸齒狀，但長時間來講，你可能看起來就是圖上這條虛線。. 如果這樣的話，這個物質看起來好像是一種物質，可得出這個 dark matter 是多少。而這只是在於時間長期來看,這樣用比較方便而已,所以上面這式子，只有一種 matter 的時候是對的。Dynamical dark matter 為. 19.

(25) 鋸齒狀，如果長期來看，它像一個物質，如果它是一個物質，那麼你就把 wtot，ρtot 放到這 ρ 裡頭，然後把這 weff 找出來，當然不同情況，比如說 matter-dominated,radition-dominated，會得到不同的結果。 ˙對於 α+β≠1 時：. 其中，. ˙對於 α+β = 1 時：. 其中，. 20.

(26) 現在介紹一個 extra-dimension 的模型。這個模型的 Kaluza-Klein States(簡稱：KK 粒子)可以作為我們之前討論的 Dynamic Dark Matter (DDM)，我們將證明它可以滿足我們模型的重要條件：. ，. 額外時空 KK 粒子，它所存在的時空為. 就是我們的 4 維時空，而. 表示一條直線(line segement)。. 我們處在的四為時空稱為 brane，而對於額外維度的時空稱為 bulk；可以把它想像成一個積木，brane 就是這積木上其中一個面，而 bulk 就是這整個積木；就好比一隻螞蟻在一條直線上行走，他自己永遠認為他只能前後行走，不可能有其他的方向，也就是說，不可能有額外的空間讓它移動，它不認為可以左右或上下移動。作者簡化此額外維度只有五維且為純量場；當忽略重力的效應, 此 KK 粒子在額外時空維度的運動行為，可以寫成:. S   d 4 xdy[ Lbulk ()   ( y) Lbrane( i , )]. 21.

(27) 一般情況,我們假設 KK 粒子在五維 bulk 的 Larganian 的形式：. 其中. 表示五維的微分且 M 是 bulk 質量。. 一般對於在 brane 時空裡，它的 Lagrangain 由兩種形式貢獻： 1.SM 場的作用 2.bulk 場與 SM 場之間的交互作用： (3.26) 一般情況，對於 interactions 有兩種形式：首先，就是前面所提到的 bulk 場與 SM 場的交互作用，這導致 Bulk 場的 KK 粒子最後衰變成 SM 粒子的只要原因!而另一種形式是,bulk 場自己本身的 brane mass，也就是說，. 這裡有一點要注意，這裡 brane mass 別跟(3.25)式的 bulk mass 混淆,此 brane mass 是(3.24)式內的式內的. 的一部分，而不是(3.24). 。. 前面提到此額外時空維度是. 其中. 就是將五維時空緊緻化(compactification)成一條線段. (line segment)且因為 y 方向上有週期性條件存在，所以我們可以將五維時空維度，使用複利葉轉換來分解成 4 維的無限塔. 22.

(28) (infinite tower)來組成：. 其中歸一化因子. 保證每一個. 在四維理論裡有規範歸一動能項(canonically. normalized kinetic term)。將前面所提到的. 其中 KK. 與. 代入上式，可得到:. matrix 是. 首先，我們先來分析這個 mass matrix，可知道這是非對角化得 matrix 且在非對角線上均是 brane mass 項，這表示 kk mass eigenstate. 必定與 momentum eigenstate. 不同。可見，這. KK mass 不是單單由五維的 bulk mass 組成，而是由五維的 bulk mass 與四維的 brane mass 混合而成! 作者假設一個無量綱的參數：. 23.

(29) 簡單分析一下 y 值，當 y>>1 時，mass matrix 必定是對角化；例如，當四維的 R→0，則激發態 KK 粒子 decouple。相反地，y<<1 時，必是每一個 eigenmodes 最大的混合。解出 mass matrix 的 eigenvalues λ，這些 Eigenvalues 是一個 transcendental equation 的解:. 如果 m=0，也就是說,沒有 brane mass，這個解自然就是原本已知的!. 當估計，m<<1/R 時，也就是，當 y>>1 時，仍舊是以上的 eigenvalue。但是這估計仍然會影響較小的 mass eigenstates，對於較小的 eigenvalue 不在是上式，而需使用以下的式子：. 總之，對於 n 較大，. ，(3.34)式的解遵循(3.35)式的. eigenvalue；對於 n 較小，. ，(3.34)式的解遵循(3.36)式. 的 eigenvalue。對於解出每一個 mass eigenvalue λ 可求得對應的 mass eigenstate. 24.

(30) ，它是 kk-momentum eigenstates. 的線性組合：. 其中作者定義一個無量綱的 mass eigenvalue. 且. 這樣一來我們可以很快的互換 mass eigenstates 基底與 momentum eigenstates 基底。另外,這兩種 eigenstate basis，有兩個額外的訊息，這在後面計算需要使用: 1.KK zero-mode. 2.五維 bulk 場. 投影在 mass eigenstate 上，會得到. 在 SM brane 上，也就是 y=0 時，. 它的 eigenstate 為 momentum eigenstate 線性組合而成. 他投影在 mass eigenstate 上，得到. 25.

(31) 首先討論 DDM 的 abundance Ωλ 與 KK 粒子質量  的關係。 DDM 的 abundance Ωλ 時與他們在宇宙早期產生的量有關，而產生量又由 DDM 產生的機制決定。在這篇文章中，作者建議採取 misalignment production 個機制。這個機制基本上是由 Bulk 場不為零的 VEV，使得 momentum eigenstate VEV，而. 得到不為零的. 是所有 mass eigenstate 混合的機制，因此所有 KK. 粒子的場都分配到一定的 VEV。這個 VEV 也就給這些 KK 粒子一定的能量，也就是它們的 abundance Ωλ 。接下來更仔細地介紹這個機制。這裡假設 Bulk Mass. 。. 當 M = 0 時，這個理論中的 Bulk 場 Φ 的 Lagrangain 只存在動能項，也就是有微分的項，那麼我們如果將 Φ 加一個常數：Φ→Φ+ c，對理論一點影響都沒有。因此這是一個對稱性，我們可以將其稱為 five-dimension shift symmetry 。這個對稱隱含 Bulk 場 Φ 的真空期望值 VEV 有可能是任意不為零的值。將真實的值寫成：。這裡θ 只是任何一個無量綱大約是 1 左右的係數，我們所要討論的結果與這個係數的確切值是多少關係不大，只要它不為零。而 Φ 的 VEV 的尺度大小是由. 來標定。. 因為這個 VEV 與空間座標無關，所以 Bulk 場 Φ 的傅立葉 26.

(32) 分解. 只有. 有不為零的 VEV，也就是：. 這裡 Momentum Eigenstate Φ. ，. 。. 的 VEV 尺度大小由. 標定。. Momentum Eigenstate. 有一不為零的 VEV，當 brane 質. 量項 m 出現後，以 Momentum Eigenstates. 為基底的 Mass. Matrix 不再是對角化的，所以如前面所述，Momentum Eigenstates 不再是 Mass Eigenstate，m 會偏轉 Mass Eigenstate 由因為每一個. 是. 的線性組合，也就是每一個都會經由. 都有. 至. ，. 的成分，因此. 得到不為零的 VEV，而大小就被投影. 所. 決定：. 這個不為零的 VEV 會對能量作出貢獻，對均勻的密度可以寫成：. ，不為零的 VEV 給出能量密. 度：. 假設個別 KK 場. 而言，能量. 。. 的能量都會轉變為對應的質量為λ 的 KK 粒. 子，那麼就是質量為 λ 的 KK 粒子的 initial abundance。進一步將 initial abundamce 以. 來表示， 27. ：.

(33) 假設有一個時間 t0，在宇宙演化到此時，能量下降到 brane 的一些複雜的物理在其上引發了一個 brane m，那麼上述的 Mis-alignment 就會發生而製造出所有的 DDM 也就是 KK 粒子，上述計算所得到的就是此時在 t0 時各個 KK 粒子的 initial abundance Ω. ，進一步我們可以以此為起始條件，得到在 t0. 之後所有時間的 abundance，包括現在的 abundance 這當然取決於 brane 何時開始運動，也就是. 。. 發生在那個時期。. 發生的時間可能在三個時期 reheating、radiation-dominated、 matter-dominated。如果 DDM 在 t0 時產生，作者稱這種情況為 Instantaneous Turn On。而因為 DDM 有一個 turn on 的分水嶺，所以有可能 DDM 不是一起在 t0 時產生，而是分別在由質量決定的時間 tλ 時才一種一種地產生，這樣的情況，作者稱為 Staggered turn-on。這種情況比較複雜，所以作者作了許多簡化的假設。首先，這個時間 tλ 是由 DDM turn on 條件決定：（如果. 。. ，那麼這個 DDM 當然就在 t0 時產生，不過這個部. 分的粒子通常較重，因此較早衰變，所以為簡單起見，在後來的處理上都被忽略掉。）。 28.

(34) 為了方便得到一個 tλ 的式子起見，作者假設 Reheating 及 Matter Dominated 時代， Dominated 時代，. ），所以. （對. ；對 Radiation ，越重的 DDM，. turn-on 發生越早。為了討論簡單起見，作者又作了一個假設，假設所有的 turn on 時間與發生在同一個時代，這是為了簡化起見。綜合以上：因此在 Staggered turn-on 的情況下，KK 粒子會全部在之後一種一種在個別的. 時產生，而所有的產生與. 都發生在同一個時代之中。根據兩種 turn on 的情況，再考慮可能發生的時間 RH、 RD、MD 共有 6 種可能性。以下分別討論在這六種可能情況下，現在的 abundamce. 。. ‧當在 matter-dominated era 時，也就是說，. >. 對於 turn on instantaneously 的 KK 態，也就是. ≦ 的 KK. 粒子，因為在 MD 時代中，DDM 的 Abundence 並不隨宇宙擴張而變化，所以 Abundence 的變化完全來自 DDM 的衰變：. 其中,. 表示 dark matter decay. 29.

(35) 注意在此式中，只有前三個 Factors. 與 DDM 質量有關，. 而與時間的相關性完全來自 decay factor. 。. 反之, 對於 staggered turn on，. ＞ ,則. ‧當t 在 radiation-dominated era 時，也就是說, 對於 turn on instantaneously，. ≦ ≦. ≦t0,則. 注意這個式子與在 matter-dominated era 的 instantaneously turn on 情況的式子除了常數之外，幾乎一樣，也就它與 KK 粒子質量的關係是一樣的，即 instantaneously turn on 之下，在 MD 及 RD，abundence 只差一個常數。若是 staggered turn on,. λ. f λ λ M P. ＞ ,則. mtM. 這個式子會對是基於前面的假設，所有的 turn on 時間與發生在同一個時代，也就是 RD。. ‧當 t0 在 reheating era 時，也就是說， 30. ≦.

(36) 對於 turn on instantaneously，. 反之，對於 staggered turn on,. ,則. ＞ ,則. 注意在此 abundence 與tλ 的相關性與在 MD 年代的情況式一樣的，這是因為物質在 Reheating 及 Matter Dominated 時代，演化的方式式一樣的。同時這個式子會對是基於前面的假設，所有的 turn on 時間與發生在同一個時代，也就是 RH。正如之前指出的，在 instantaneously turn on 之下，無論在 RH，MD 及 RD，abundence 只差一個常數。所以由以上 6 種可能情況，abundence 與粒子質量 λ 的關係可以歸納出為 3 種不同的形式，如下:. Ω. 與與. 由前面所論述. λ ，可以估計兩種情況:. 31. 在在.

(37) 對於 large-λscaling:. 在. Ω. 在. 對於 small-λscaling:. 在. Ω. 在. 由這個結果我們可以看出除了對較輕 instaneously truned on 的 KK 粒子，abundence 是常數，在其他情況下，abundence 與 KK 粒子質量 λ 都是呈相反的趨勢。也就是比較重的粒子， abundence 較小。Abundence 大的都是較輕的粒子。這是一開始作者就期望達成的趨勢。. 接下來，我們討論 decay widths Γλ 與 KK 粒子質量  的關係。假設 KK 粒子主要是衰變為 SM 粒子，這樣的衰變是由 Bulk 場 Φ 與 Brane 上的 SM 費米子ψ 之間的交互作用所產生。這樣的交互作用原則可以有無限多種可能，但如果考慮羅倫茲變換及 SM 規範對稱，而且只包含 leading order 的貢獻，那麼可能的選擇就不多了。因為 Bulk 場 Φ 同時是羅倫茲變換的 scalar，又是 SM. 32.

(38) 規範變換的 singlet，所以與其產生耦合的 SM 費米子 ψ 組合也只能是羅倫茲變換的 scalar、SM 規範變換的 singlet，這大致也就是 SM 中粒子的 Lagrangian 或說是動能項。而且因為是 KK 粒子的衰變，所以只要考慮 Bulk 場 Φ 的線性項。綜合這些要求，可能的作用項具有最低的 dimension 的就是：或這裡以 CP-Even 的 Φ 為例，若是 CP-Odd 的 Φ，作用項略為不同，但最後結論類似。其它 dimension 較高的作用如因為較大，貢獻會被 Suppressed。因為這個作用項中的 ψ 限制在 Brane 上，這個項也必須限制在：. 在此式中，. Φ. 是 Bulk 場 Φ 限縮到. Brane 上的投影。能量尺度：. Φ. 成以真正的 KK 粒子（Mass Eigenstate）. 33. 。此式還可以改寫表示：.

(39) 如此我們就可以估計出 decay widths Γλ 大致的大小，寫出以下式子：. 代入. 在大小 λ 的行為，可以結論得到：. 對於 large-λscaling： Γλ λ 對於 small-λscaling： Γλ λ 事實上，以上的估計是有一些漏洞，因為這裡假設其它 dimension 較高的作用如只有當. 貢獻會被 Suppressed，可是這. 時才成立，也就是對於質量較大的 KK 粒子，恐怕. 以上估計就不成立，而必須考慮較複雜的 Bulk 效應才能具體知道它的衰變情況。現在將 decay widths Γλ 與 KK 粒子質量  的關係，與 abundance Ωλ 與 KK 粒子質量  的關係綜合即可以得到 abundance Ωλ 與 decay widths Γλ 的關係：對於 large-λscaling： instantaneous. Ωλ Γ λ. staggered staggered. constant. D era. Ωλ Γ λ. constant. MD eras. Ωλ Γ λ. constant. 34.

(40) 對於 small-λscaling： instantaneous staggered staggered. Ωλ constant. D era. Ωλ Γλ. MD eras. Ωλ Γ λ. constant constant. 由此可知,KK states 確實滿足我們模型的重要條件，那就是 abundance Ωλ 與 decay widths Γλ 是相反的趨勢，abundance Ωλ 越大的 DDM，其 decay widths Γλ 越小，如此才能有機會使 DDM 在宇宙早期的衰變不至於破壞 BBN。由以上關係,進一步可求出 α、β：. ，這兩個參數的和 α+β= X 可以讓我們算出 DDM 最重要的一些性質。. 對於 large-λscaling：. 對於 small-λscaling：. 35.

(41) 在不同的情況下 X=α+β 分別等於:. 這些得到的 x 值都小於 1，符合現象觀察上所偏好的. 。. 以上的計算是利用 abundence 及 decay width 與 λ 的 power law scaling 來概略計算，作者繼續再用數值模擬來計算 Ωtot(t)、η(t)、 Weff(t)這些物理量。在計算中我們只關注最後 DDM 開始衰變的時期,而且這些 DDM 衰變都發生在 matter-dominated 的時代! 每個粒子都有不同的 decay width(Γi )，而. ，abundance 隨者時. 間的變化,有兩種因素決定：1.宇宙膨脹 H 2.DDM 衰變. ；當粒. 子在 matter-dominated 時代時，H 不影響 abundance 的變化，所以只需考慮 decay widths 的效應。另外，我們探討即便有三種 mechanics production，我們探討是否有其他基制限制 abundance 的範圍，如果. 且對於 large-λ. 則 36.

(42) 根據我們模型，n 不能小於或等於 0 ；另外，根據(3.13)式與 (3.14) ，當 n 小於 1 時，total abundance 是隨者時間而增加, 可知 n 小於 1 不滿足我們的模型。綜合以上兩個結果可知 n 必須大於或等於 1 才能滿足我們的模型!. 在這篇文章中，作者以 misalignment production 作為宇宙早期暗物質產生的機制。這個機制似乎包含許多對於基本粒子場論的假設，這也使得文中對 DDM 的討論與其他和暗物質無關的機制連在一起。為了看看 DDM 本身的性質，我們嘗試考慮另一個可能的產生機制，事實上，即使有 misalignment production，DDM 都可能很自然在有熱作用的早期宇宙環境中，經由 SM 粒子碰撞產生，這個反應會與 DDM 衰變為 SM 粒子的作用平衡。詳細的討論必須經由第二章中所討論的 Boltzman Equation 來計算。為了簡化，我們假設大致上，由熱 thermal production 所產生且的 initial abundance 為 Boltzmann distribution (. )。我.    (0)  。如果我們們假設 initial abundance 大致是：  C  exp   kT P  . 依舊假設對 large-λscaling：Γλ λ ，對於 small-λscaling：Γλ λ ， 37.

(43) 很容易就可以發現  i   i  這個要求是可以滿足的。為了計算 Total abundance，我們和作者的文章一樣，假設 DDM 的衰變都發生在 MD Era。同時假設 DDM 的熱產生有一個很明顯的結束，也就是 DDM”一起”在某一時間之後與熱輻射及其它 SM 粒子 Decouple，而且這個 Decouple 時間發生在 turn on 也就是 DDM 已經是粒子之後，那麼由熱產生結束到. 之間的. 演化，對每一個 DDM 粒子都是一樣的，也就是同時對所有的 abundance   乘上同一個 factor。對於 Total abundance 的計算我們只要考慮這些 DDM 在 DM Era 的演化即可。因為 matter abundance 在 MD Era 不演化，因此      X  (t )  t   (0) X  (t )  C  exp    kTP . Total abundance 可以計算出來：         X  (t )   C  exp     1  t  tot      C  exp       kTP   kTP . . . 3 ~2 其中的衰變率：  ~ ˆ 2  A f. . .  。在這裡我們同樣假設 DDM 是 2. . 1 瞬間衰變： X  (t )     t 。這個 Theta 對求和給了一個上限. Cutoff，因為較重的 KK 粒子到此時已衰變而不復存在：  tot .     C  exp   1 kT : t P  . . 38.

(44) 這個式子即可以數值方法計算而得到任何時刻的 Total Abundance。為了對結果得到一些大致的感覺，我們可以做幾個大膽的簡化。重的 KK 粒子，也就是 large-λscaling 是不會出現在求和知中， 5 故假設 small-λscaling：  D   。為簡化計算，假設 brane mass. 不存在： M  m  0 ，那麼 KK 質量非常簡單：  . n 。如此 Total R. abundance 可以很容易計算出來：.  tot .   n  n     C  exp   C  exp  5  RkT  R  RkT  R P P     n 5 n:D 1 t n5. Dt.   R  1  exp   5 RkTP Dt     1   1  exp   RkT P   Ωtot(t) 根據前面 total abundance Ωtot(t)定義,將 individual abundances 加總為 total abundance，在此作者先忽略絕對值的 abundence，而以 Rescaled abundence 來描述 DDM abundence 隨時間變化的關係。由於前面討論 Total abundance 都是估計. λ 、λ. (如(3.55)式)的極. 限行為，現在要比較精確地作數值的計算：首先，我們先把整個 KK tower 的 mass eigenvalues 找出，也就是說，需解出 mass 39.

(45) matrix 的 eigenvalues λ，這些 Eigenvalues 是一個 transcendental equation 的解，(3.34)式；當 mass eigenvalue 找出之後利用(3.39) λ ；當. 得到. 及Γλ ，根據 porduction 是 instantaneous 或是 stagger. λ ，λ. （若是 Stagger. λ 與λ得知後,可使用(3.63)式，求出. Γλ ：. 式來求出. 在 D 或是 MD 時代）共三種情況，可將. individual abundancesΩλ 求出，加總得到 total abundance，再將共同的常數移去，就可以得到一個 rescaled 的Ωtot，以 instantaneous production 為例： Ωtot. λ Ωλ. λλ. Ωtot. λ Ωλ. λ. λ. Ωtot. λ Ωλ. λ. λ. instantaneous. λ. λ. staggered. 在 D era. staggered. 在. D era. 為了計算方便，假設 KK 粒子的衰變是在生，因此假設衰變因子是一個階梯函數：. (3.76). 瞬間發 Γλ. t 。以. instantaneuos production 為例： Ω 這個加總原則上是要包括所有的 KK 粒子（λ 有無限多個解），但因為上述的簡化，在任一個時間 t，所有經衰便消失了，所以加總時，其實只要包括那些 40. 的 KK 都已.

(46) 的 λ 值即可。數值計算的結果如下圖所示，這裡Γ 是最輕的 DM 的 Decay Width，也就是以最輕的 DM 的 Lifetime 作為時間的單位。每一條曲線上包含未衰變的 KK 粒子，所以當其中一個粒子衰變時， abundance 曲線呈階梯狀下降。因為在 Misalignment Production 機制中，越輕的 KK 粒子的 abundance 越大，所以在早期較重粒子衰變時，abundance 下降不大，圖形幾乎是平滑下降。越到後面，衰變的 KK 粒子越重，abundance 下降越明顯。當 log. Γ. 時，就是. Γ. ，表示最輕的 DDM 也衰變了，. 所有的 DM 就完全消失。. Total abundance 的曲線與參數 y  y. 1 的關係非常有趣。參數 mR. 1 標定 Momentum Eigenstates 的 mixing，而這個 mixing 是 mR. DDM 在 Misalignment Production 機制 initial abundance 的來源。所以當 y 很大時，mixing 不大，所以所有的 DM 就大致只含有少數幾種最輕的 DM，那麼 total abundance 就很類似 single DM 41.

(47) 的情況，在宇宙演化過程幾乎沒有變化。相對的，如果 y 很小時，mixing 較大，所以幾乎大部分的 DDM 都會產生，宇宙中 DM 包含許多具有不同質量與不同生命期的 DDM，所以 total abundance Ω. 會隨時間而顯著變化，這是最能顯示 Dynamic. Dark Matter 的 Dynamism 的情況。而 Misalignment production 機制的細節對結果也有影響。 Instantaneous Production 及 Staggered Turn-on 影響 abundance 中 λ 的 scaling，因此影響是否有許多 DDM 在開始時產生。. λ Ωλ. instantaneous. λ. λ. λ λ. 大. 明顯. λ 次方. multiple. staggered D era staggered MD eras. dark matter 小. 模糊. 對於 instantaneous 有平滑曲線出現，Ωλ λ ，mutiple dark matter 明顯；相較其它兩個 staggered 圖形均為水平，表示粒子種類少,abundance 變化就少， mutiple dark matter 不顯著。 η(t) 這個情況在分配參數 η(t)的行為看得更清楚，y 越大，看得出來 η 越小，表示只有少量的 dark matter，反之，y 越小，則 η 越大，表示有多種 DDM 存在。. 42.

(48) weff(t) Effective Equation-of-State Parameter 可以從上圖 log Ωtot-log t 的曲線的斜率求出來。從以下的結果中，首先注意到 weff  0, as t  0 。這是因為在很久的過去，DDM 都還未開始衰. 變，或衰變對整體的 abundance 影響很小，所以整體的行為就如同物質一般。但在大部分的時間，DDM 的衰變不能忽略，所以 weff(t)都不是零，也就是 DDM 整體來說，並不像物質，而是像一個 w=weff(t)可變的 Equation-of-State Parameter 的能量形式。另外 weff(t)一直都小於 0.1。在圖中可以明顯看出斜率的一個突然變化，這是反映 DDM 由較重的 KK（large λ）轉移到較輕的 KK （small λ），前面已討論過在兩種情況下 x 有不同的值，以 instantaneous production 為例，x 會從-4/3 變為-4/5，而 wef  t 1 x 。. 43.

(49) 這九張圖用數值模擬求解畫圖，更精確得出 dynamical dark matter 的行為。. 44.

(50) 四、結論 Dynamical Dark Matter 它是由一系列的粒子所組成!在宇宙早期，避免有太多衰變產生，DDM model 要求 τi 越大 Ωi 越大、 τi 越小 Ωi 越小，也就是說，Ωi 與 Γi 有相反的趨勢。DDM 不需要 hyper-stable 且它會 decay，所以 total abundance 會隨者時間在變化的!且有不為 0 的 Weff。在 Extra dimensional model 它的 KK 粒子可視為 DDM。 Dynamical Dark matter 是 Dark matter 新的框架。不但顛覆傳統 Dark matter 的兩大特性：單一粒子與穩定，且給予高能物理、宇宙天文物理…等各種物理現象。. 45.

(51) 五、參考文獻 [1] K. R. Diens and B.Thomas. Dynamical Dark Matter: I. Theoretical Overview. Phys. Rev. D 85,083523 (2012) [arXiv:1106.4546v2[hep-ph]] [2] H. C. Cheng,arXiv:1003.1162v1[hep-ph] (2010) [3] S. Dodelson, Modern cosmology ,Academic press (2003) [4] K.A. Olive,arXiv:1005.3955v1[hep-ph] (2010) [5] U.A.Yajnik,arXiv:0808.2236v1[hep-ph](2008) [6] G. Bertone, D. Hooper and J. Silk, arXiv:0606175v2[hep-ph] (2004). 46.

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