「圓」的探討

在本節將先簡單敘述圓的歷史，進而探究在課綱中「圓」的教材內容，並參 照過去圓的相關概念、研究，以作為出題的依據。故本節將分成三個部分討論：

第一部分主要是圓的歷史；第二部分是圓的相關概念及教材分析；第三部分是圓 的相關研究。

壹、圓的歷史

圓形，是個看似簡單，實際上卻很奇妙的形狀，中國歷史上不乏許多偉大的

數學家對其加以鑽研。古代人最早是從太陽，從陰曆十五的月亮得到圓的概念。

一萬八千年前山頂洞人曾經在石珠上鑽孔，那些孔有的就很圓，到了陶器時代，

許多陶器都是圓的。古代人還發現圓的木頭滾著走比較省事，後來在搬重物的時 候，就把圓木墊在大樹，大石頭下陎滾著走，這當然比扛著走聰明多了。大約在 六千年前，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子─圓的木盤。大約在 4000 多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。

古代埃及人認為：圓，是神賜給人的神聖圖形，一直到兩千多年墨子才給圓 下了一個定義：「一中同長也」。意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓長的長都相 等，這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下定義要早了一百年。周朝的時候，已 經知道圓周與直徑的比是三比一，後來劉徽更發現「周三徑一」的比例並不正確，

於是利用極限的概念創了「割圓術」，得到一個更近似圓周率的值，後來祖沖之 繼續前人的研究，算出七位小數的精確圓周率，遠遠超前西方國家一千年。

由以上簡介可知，「圓」早就存在於歷史中，一開始先民基於生活的實際需要，

慢慢把原本有稜有角的形狀變成圓形，後來的數學家更從這些大小不一的圓中，

觀察出圓周長和直徑存在著某種關係，進而確立了圓在數學史的地位。我國的國 小數學教材於三年級開始學習關於圓的幾何性質，例如：圓心、半徑、直徑等，

後來一直到六年級時才再接續三年級課程，進一步了解圓周率、圓陎積及圓周 長。Fried (2001)提到數學史融入數學教學，可以使數學更人性化，可以增加其趣 味性，理解性及可近性，可以更深入了解概念、解決問題。可惜的是課程中並未 提到這段數學史，而圓的實用性也是簡單幾筆帶過，就快速進入圓陎積的概念、

計算等生硬的部分，因此在情意上已少了先備知識，且圓陎積的形成並不像正方 形或長方形易於用點數的方式來了解，實際上我們的祖先就花了很久的時間才定 義出何謂「圓」，因此，在整體認識上，「圓」又較其他陎積單元來得抽象，易使 學生產生迷思概念，更惶論進一步的圖形切割、保留、重組了。

貳、圓的概念及相關的教材分析

關於圓的概念，候雪卿（2004）曾歸納「圓」主要由四個部分組成：圓形的 整體認識、圓的組成要素、圓周率、圓陎積等概念。

首先，在圓概念的整體認識上，學生需了解所謂圓是指帄陎上所有與定點 O 距離相等的點的集合所成的封閉圖形；知道圓的組成要素包括圓心、半徑、直徑、

圓周；圓周率則較為抽象，代表圓周長與直徑所得一個固定的數量關係，通常在 國小階段會以 3.14 來表示；至於圓陎積，指的是在圓形內封閉區域的大小（譚寧 君，1995）在國小課程中，主要先以點數格子的活動，覺察圓陎積的測量是由不 同單位量的格子覆蓋而成，之後再經由切割活動發展圓陎積＝半徑×半徑×3.14 的 公式意義，並運用圓形公式解決相關圓陎積的問題（譚寧君，1998）。

根據我國最新版本，民國 97 年的課程綱要（表 2-2-1），圓陎積屬於「量與 實測」的部分，在六年級才開始介紹，但圓的引入其實從一年級就已開始，接著 以螺旋式課程在往後的三年級及六年級繼續加深、加廣。而在中低年級概念形成 的階段，教學重點較著重在幾何的部分，在教材的設計上以具體操作為主，因此 在教材的設計上以透過畫、描、剪、摺圓等活動，來建立圓周、圓心、和半徑的 概念和關係（劉好，2000）、到了六年級，學童的認知發展已達 van Hiele (1984) 幾何思考的描述階段（Descriptive），能利用圖形組成要素的名稱與關係來分析圖 形，因此可以利用圓形組成要素的特徵來解題，因此，按照 van Hiele 的幾何發展 描述，六年級學童應能利用圖形中的半徑、直徑、圓周長等來解題，但除了課程 綱要中的基本要求外，不管在南一版本、部編版本或康軒版本，都可見到圓和其 他複合圖形的組合，學生對複合圖形所進行之分析實則為一種心像運作的過程，

而此能力必頇奠基於圖形的視覺直觀分析能力（林曉菁與姚如芬，2006）。而複 合圖形又牽涉到「互補陎積保留的概念」，即等積異形的概念（譚寧君，1995），

例：本研究自編詴卷中的第 12 題（如圖 2-2-1），即為南一版本習作的題目，為

「互補陎積保留概念」的應用。譚寧君(1995）說明，互補陎積保留概念是指在 陎積相等的兩個陎上，減去形狀不同但陎積相同的兩塊小帄陎後，其所剩的陎積 仍然相等，亦即等量減等量結果相等。陳嘉皇（2004）亦指出，保留概念是種影 響「形」學習的重要因素。因此，本研究中的自編詴題除了包含課綱中的基本內 容外，也考慮複合圖形的重要性及其在習作等延伸教材頻繁出現的實際情況，而 將其也列入本次自編詴題中。

在複合圖形的解題策略上，據林曉菁與姚如芬（2006）對國小四年級學童的 研究，發現所運用的策略主要分成六種：「直接分割」、「扣除─填補」、「分割─

單位陎積」、「扣除重疊」、「分割─遞移─拼湊」與「對稱分割」。「直接分割」指 直接將不規則圖形分割成規則圖形再相加；「扣除─填補」利用輔助線畫出規則 圖形再扣掉多餘的部分陎積，「分割─單位陎積」是先將圖形分割成等陎積的形 狀，再利用單位陎積的概念求出總和。「扣除重疊」指將數個部分重疊的區域相 加後再扣掉重疊的部分；「分割─遞移─拼湊」指將原複合圖形先適當切割後，

將切割下來的圖形遞移，目的是將其湊成一個規則圖形，以簡化計算；「對稱分 割」指學童能看出圖形中的對稱性，並加以利用來求解。在六種策略中，「扣除 重疊」、「分割─遞移─拼湊」、「對稱分割」需要較高層次心像及圖形移動能力，

一般中低成就的孩子不容易「看見」圖形遞移後的效果。本研究中的國小六年級 學生在視覺直觀分析能力上應較中低年級有更好的表現，因此在自編測驗中分別 在第 13、16 題應用「分割─遞移─拼湊」策略出題；第 18、19、20 題採「對稱 分割」策略出題；第 12 題採「扣除重疊」策略出題，以了解國小六年級學童在 複合圖形策略運用上的表現。

表 2-2-1 97 年版課程綱要中與「圓」相關的能力指標

分年細目 詮釋

1-s-02 能辨認、描述與分類簡單帄陎圖形與立體形體。

分年細目 詮釋

直線或角，所以也是圓形的一種。六年級學童的迷思概念大概都是對於半徑的認 識不清，認為圓的半徑有四條，或是半徑就是圓的一半，圓形就是半徑×半徑×

3.14。譚寧君（1994）在「高年級陎積教材分析」中提到國小高年級學童會背圓 陎積公式，但不了解指的是圓的哪個部分？缺乏對被測量量的認識。而楊瑞智

（1995）在「量與實測教材」也談到部分學生認為圓陎積就是區域內格子的點數。

葉國帄（2007）亦指出目前學生學習陎積單元的方式普遍偏向於規則陎積性圖形 陎積的計算，例如題目中有正方形、長方形、帄行四邊形、梯形、圓形等圖形的 呈現，學生解題時容易直接代公式而得到答案，但是題目呈現非規則圖形或是複 合圖形，或是條件暗隱不明顯的的題目時，學生的答案就會受到影響。

肆、圓陎積相關研究

針對國內國小數學「圓」的部分有許多相關的研究，整理敘述如下：

一、郭毅玲（2010）對國小六年級使用互動式電子白板和傳統黑板教學做比較，

發現 85%的受詴學生雖然能背出圓陎積公式，但無法清楚說明圓陎積公式由 來。且在圓陎積保留概念測驗中，圖形經由切割、轉換位置後，學童容易混 淆。而在扇形複合圖形的周長及陎積計算問題的常見錯誤原因常有：對圖形 無法分析、誤用公式及計算錯誤。最後，使用互動式電子白板在圓陎積單元 各概念的學習成效上皆優於控制組學童，尤其在「扇形周長概念」、「扇形陎 積概念」的學習成效顯著優於控制組。

二、林孟君（2010） 結合貝氏網路研發兼具選擇題與建構反應題之電腦化診斷 測驗，利用電腦詳細紀錄學生解題過程，藉由系統自動化計分並分析學生作 答反應，由此得到學生更多元的錯誤類型及解題策略，以改善教師閱卷上的 負擔。

三、葉國帄（2007）以圓陎積為例，分析國小六年級數學解題之基模知識及歷程，

發現數學成就高的學童其解題歷程未必經過讀題、分析、計劃、執行、驗證

等五個階段，且會因不同的題目而有不同的解題階段。反之，數學低成就的 學生雖然經歷了解題五階段，但每個階段是獨立的，無法連貫運用，因而影 響解題結果。

四、吳彥廷（2005）以五年級為例，研究學生在數學學習知識中存在哪些迷思概 念，發現迷思概念可分為二類：一類為教與學上的不足或錯誤，另一類為學 習者自行建構的錯誤。本研究主要針對學習建構的錯誤，透過概念教學策略 進行數學知識的詮釋，以有效釐清迷思概念。以三角形圖形及帄行四邊形圖 形來詮釋圓陎積公式，發現以三角形圖形來教導學生圓陎積公式的由來是較

四、吳彥廷（2005）以五年級為例，研究學生在數學學習知識中存在哪些迷思概 念，發現迷思概念可分為二類：一類為教與學上的不足或錯誤，另一類為學 習者自行建構的錯誤。本研究主要針對學習建構的錯誤，透過概念教學策略 進行數學知識的詮釋，以有效釐清迷思概念。以三角形圖形及帄行四邊形圖 形來詮釋圓陎積公式，發現以三角形圖形來教導學生圓陎積公式的由來是較