土壤淺基礎承載力理論分析

基礎置於水平地表之承載力研究發展較早，對於土壤基礎之研究 亦較為完備，極限承載力分析理論包括：

1. 塑性極限平衡法

此法為假設基腳下土體的破壞形狀，藉由破壞滑動線組構及適當 破壞準則所決定之機制，以力平衡條件找出最具關鍵性之極限平衡，

此極限平衡下之承載力即為極限承載力。

Rankine (1885)最早提出非凝聚性土壤承載力公式，對於應力極 限平衡狀態時基礎的最大主應力即為土壤承載應力。

⎟⎠

Bell 於 1915 將 Rankine(1885)的承載力理論分析擴充可應用於凝 聚性土壤。假設基礎破壞時的滑動面將土體分為被動區(Ⅰ)與主動區

足平面應變條件、(2)基底下土體為均質且忽略重量(γ =0)、(3)基腳底 面為光滑，即是基底與土壤間無摩擦力存在、(4)基底水平面為最大 主應力面，垂直面為最小主應力面、(5)土體受長條型基礎荷重作用 下 達 全 面 剪 力 破 壞 、 及 (6) 滑 動 區 域 假 設 ： Rankine 主 動 壓 力 區

Ⅰ(ΔABC)、幅射區Ⅱ(ΔBCE、ΔACD滑動線為對螺旋線(r=r₀e^wtanφ)構成) 及 Rankine 被動土壓力區Ⅲ(ΔBEG、ΔADF滑動線為直線所構成，且 與水平面夾(45°−φ 2))，如圖 2. 14 所示。公式為：

( )

[

]

tan

tan

2 + −

= π φ ^{π φ}

φ ^e

q_u c (Eq.2. 3)

Prandtl(1920)所提出土壤承載力公式中，若為粒狀土壤(c=0)則無 承載力(q_u =0)，顯然該公式有不合理之處，主要因其假設之基底土壤 忽略重量所致。

圖 2. 14 Prandtl 假設之破壞機制(Prnadtl, 1920)

Casagrande & Fadum (1944)提出長條型基礎很快加載於飽和凝聚 性土壤，使其土壤未發生壓密狀態下之承載力公式。如圖 2. 15(a)及 (b)所示，假設基礎寬度為 2b 而基礎下方土體各分為寬度為 2b 之被 動區與主動區。土體自重忽略且假設土壤因不壓密不排水狀態下，其 剪 應 力 為 凝 聚 力 ， 莫 耳 圓 應 力 狀 態 如 圖 2. 15(c) 所 示 。 類 似 Rankine(1885) 及及 Bell(1915)推導方式得：

c

u c

q =4 =2σ (Eq.2. 4) 其中， σ_c為單壓強度。

圖 2. 15 Casagrande&Fadum 假設之破壞機制(Casagrande&Fadum, 1944)

Terzaghi (1943)修正 Prandtl(1921)之承載理論假設提出目前常使

圖 2. 16 Terzaghi 假設之破壞機制(Terzaghi, 1943)

Meyerhof (1951)提出類似 Terzaghi(1943)之承載力公式，但其中 最大不同之處為假設破壞滑動面延伸至地表(如圖 2. 17 所示)。考慮 滑動面上摩擦力的結果將使計算之承載力大於 Terzaghi(1943)公式 者，其中假設條件較不同於 Terzaghi 如(1)土體破壞滑動以基底邊角 (圖中 A 及 B 點)開始傳播滑動至地表、(2)滑動線以弧 CE 及 C`E`為對 數螺旋線、直線

EF 及 E`F`所構成、(3)假設基底上土體重(

的函數。其公式如下：

γ γ

γDN B N cN

q_ult = _c + _q +0.5 (Eq.2. 6) 其中，各參數如同上述 Terzaghi 公式。爾後有 Skempton(1951) 提出對正方型及圓型基底形狀之修正承載因子。Meyerhof(1955)也提

出對傾斜載重之修正承載因子，使其公式更臻完善，而後各學者依據 不同假設條件推導承載因子，如 Hansen(1970)及 Vesic`(1972, 1975)等 學者。

圖 2. 17 Meyerhof 假設之破壞機制(Meyerhof, 1951)

2. 極限分析法

基礎發生破壞時的瞬間狀態通成稱為極限狀態，即為基礎於破壞 與未破壞之間的臨界狀態，應滿足(1)應力平衡條件、(2)邊界條件、

(3)降伏條件以及(4)諧和破壞機構條件。上述 4 個條件都能滿足的解 稱為極限狀態之真實解，只滿足部分條件的解則稱之極限狀態的近似 解，比如上限解或是下限解。滿足條件(2)、(3)、(4)之基礎變形模態 為動態容許速度場，此動態容許速度場對應一個基礎載重，因為基礎 此時已經破壞，因此所對應之基礎承載荷重稱為真實極限承載力之上 限解；同理，滿足條件(2)、(3)、(4)之基礎應力場為靜態容許應力場，

靜態容許應力場可對應一基礎載重，因為基礎此時尚未破壞，故所對 應的基礎承載荷重稱為極限承載力之下限解。極限分析法依上限與下 限定理(upper and lower bound theorem)，可得到極限承載力之上限值 與下限值，若上下限值相同時，即為真實之承載力值。(王均星等人，

2004)

上限定理是由動態容許速度場(kinematically admissible velocity field)計算基礎極限承載力之上限值，首先假設變形模態(動態容許速 度場)，且於最可能滑動面所產生之應變方向，亦需滿足降伏條件與 塑性流準則(Plastic Flow Rule)。利用極限狀態時外力對此破壞機構所 作之功不小於內能消散率之上限定理要求，可求出承載力之上限值。

於上述假設條件中必須滿足速度邊界條件、應變與速度諧和條件，因 為只考慮破壞變形組態與能量之消散，因此基礎不需處於平衡狀態。

下限定理則利用靜態容許應力場計算基礎承載力之下限值，首先 假設靜態允許應力場(statically admissible stress field)，滿足平衡條 件、受力幾何邊界並遵行破壞準則，以應力平衡觀念求得極限承載力 之下限值。極限分析法所滿足條件彙整如圖 2. 18 所示。(Chen, 1975)

圖 2. 18 上限定理與下限定理關係圖(Chen, 1975)

滑動線分析法即是於平面應變條件下，基礎材料位於滿足破壞準 則之一塑性破壞區域，此塑性區滿足適合之塑性流動法則及應力平衡 條件下，利用應變之幾何關係再配合其流動法則求出破壞區內特徵線 之斜率。破壞區內特徵線可構成一幅網格(mesh)，利用幾何關係求出 破壞區形狀，此連續變化之特徵線為破壞時之滑動線且材料沿此滑動 線破壞移動。以平衡方程式配合應力莫爾圓之幾何關係與特徵曲線，

則得到沿滑動線上之應力。最後配合不同應力狀態及不同之邊界條 件，求出不同應力狀態下之不同地形條件下之地表承載力。此方法所 推導出之基礎承載力，因滿足上述(1)、(2)、(3)及(4)條件，故為基礎 極 限 承 載 力 之 真 實 解 。 (Lundgren & Mortensen(1953) 、 De

Jong(1957)、Cox(1962)、Spencer(1962)、Sokolovskii(1965))

極限分析法能有效預測土壤或岩石之極限承載力，更可計算複雜 之非均質、非等向或具張裂行為之地質材料的承載能力。Mandel &

Salencon 於 1972 年以滑動線法求解層狀均質土壤之極限承載力。

Chen (1975)假設基礎材料破壞時為圓弧滑動，以極限分析法計算單層 及雙層之非均質非等向性土體的極限承載力。Mandel & Salencon 於 1977 年應用此法求解於土壤之剪力強度隨深度增加條件下之基礎承 載力。Reddy & Venkatakrishna (1982)提出由有限元素法及線性編制法 (linear programming)計算於下限定理求得平面應變條件下之承載力。

Michalowski (1993)以滑動線分析法求得非均質黏土其強度隨深度正 比例增加條件下之極限承載力。Solan & Kleeman (1996)以上限定理求 解均質及非均質複合土體之極限承載力。Yu & Solan (1996)則應用極 限分析法求解加勁土體之承載能力。