基態投射法

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2.3.1 基態投射法

Figure 2.4: 此示意圖為自旋數目 N = 4 及算符數 2n = 10 的零溫投射方法模擬空間。箭頭方向為 算符乘積和自旋狀態之傳遞方向，圓點為自旋狀態，其中實心圓點為自旋朝下，而空心圓點為自 旋朝上。方塊則是為算符總類，空心正方形為常數算符 ˆH0,i，實心正方形為橫場算符 ˆH_−1,i，而 橫跨兩自旋的實心長方形則是為鍵結算符 ˆH_1,(ij)。與 SSE 不同的地方在於算符傳遞方向的兩端為 開放邊界條件，也就是左右兩端的狀態不必相同，而期望值矩陣元⟨xl|O|xr⟩ 的計算沿著算符乘積 方向做測量並做平均。

首先取一任意狀態的向量 |Ψtr⟩ 當試探態向量（trial state vector），令能量本徵 向量{|ϕn⟩ , n = 0, 1, 2, · · · } 為基底向量，試探態向量則可展開表示為：

|Ψtr⟩ =^X

k

c_k|ϕk⟩ (2.41)

其中 c_k為展開係數。而投射法是將一高次方（ n ）哈密頓算符 ˆHⁿ作用於試探態 向量|Ψtr⟩ 上，並且給予一常數 C ，使得最低能量本徵值的絕對值 |E0− C| 大於 其於本徵值的絕對值 [31]，因此可表示為：



C− ˆH^n|Ψtr⟩ = c0(C − E0)ⁿ

"

|ϕ0⟩ +c₁ c0

C− E1

C− E0

n

|ϕ1⟩ + · · ·

#

(2.42)

由於在上式中的能量比值|(C − Ek)/(C − E0)| < 1 ，所以當 n → ∞ 下，其值趨 近於零，可得



C− ˆH

_n

|Ψtr⟩−−−→ c^n→∞ 0(C − E0)ⁿ|ϕ0⟩ (2.43)

若 c₀ = ⟨ϕ0|Ψtr⟩ ̸= 0。故在高次方哈密頓算符 ˆHⁿ 的作用下，任意不與基態向

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法並沒有像 SSE 方法引入 M− n 個單位算符，因此我們會在這兩大更新上作小修 改：

局域更新

針對一具有 N 個自旋、 N_b 個鍵結之量子易辛鐵磁模型，我們檢驗具有 2n 算符的 乘積 S_2n中每一個的算符，並以下列幾點規則作自旋狀態或算符序列的更新：

1. 若遇到一橫場項算符（非對角算符） ˆH_−1,i ，則更新該算符所對應之晶格位 置其作用後的自旋狀態，即自旋的翻轉。

2. 若 遇 到 一 對 角 算 符 ˆH_0,i 或 ˆH_1,(ij) ， 我 們 先 拿 到 原 來 的 對 角 算 符， 並 以 式 (2.20) 的 機 率 置 入 常 數 算 符 ˆH_0,i ； 或 以 式 (2.21) 的 機 率 置 入 一 鍵 結算符 ˆH_1,(ij) ，這時置入的鍵結位置 (i, j) 相鄰的兩自旋必須為平行（相同 方向）狀態，否則拒絕此鍵結算符的加入。

上述的步驟必須重複進行至有一對角算符被置入為止。

叢集更新

如同 SSE 方法的叢集更新法則，唯一的差別在於零溫投射法在模擬空間算符傳遞 方向的兩端為開放邊界條件，因此這裡決定叢集的成長與終止有三法則：

1. 叢集終止於單位算符，即橫場算符 ˆH_−1,i 或常數算符 ˆH_0,i 。 2. 叢集終止於算符傳遞方向兩端邊界的自旋狀態。

3. 若遇到鍵結算符 ˆH_1,(ij)，四端連結之自旋會被納入同一叢集，且會沿著四端 方向繼續成長。

當叢集建構完畢後，剩下就跟 SSE 方法的一樣，以 1/2 的機率翻轉叢集內所有的 自旋狀態與算符種類，其翻轉步驟也包含：

• 自旋翻轉。

• 橫場算符 ˆH_−1,i變常數算符 ˆH_0,i ；常數算符 ˆH_0,i 變橫場算符 ˆH_−1,i 。

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Chapter 3 模擬結果

我們測試蒙地卡羅退火法對探討以下幾類相變問題的可行性或效率：（一) 具 z = 1 的量子臨界點；（二）Kosterlitz­Thouless (KT) 相態；（三）具無窮大動力學 指數 z =∞ 的無序臨界點。所應用的方法為第 2 章所描述的有限溫度隨機級數展 開量子蒙地卡羅方法（SSE）及零溫投射法。

3.1 自旋鐵磁鏈及方晶格鐵磁

3.1.1 平衡態模擬

為利用有限溫度 SSE 方法來探測絕對零溫量子相變，我們先針對固定系統尺 度 L 逐步降低溫度（提高 β）來檢驗期望值的收斂情形。若期望值於 β ≥ β^∗收斂 至一定值，我們便可將 β^∗及其以上的 β 值視為模擬上的等效零溫。這裡我們考慮 均質的量子易辛模型（式 (1.5)）定義於一維度及二維方晶格。

圖 3.1 與圖 3.2 分別展示對於 J = 1 的一維量子易辛鐵磁模型的 Binder 比值 g 、 磁化量平方 m²在已知的量子臨界點 h_c = 1 時對應不同的溫度 β⁻¹ 的關係，這裡 模擬的總蒙地卡羅步數為 200000 。從圖中可觀察到，對不同系統尺度 L 的期望值 數據的曲線在足夠低溫時 ( β^∗ ≈ 512 ) 會逐漸收斂至一定值。除此之外，我們將 β 視為虛數時間，利用 β∼ L^z 的關係 ( z = 1 ) 與臨界定標關係 [10]，使對應不同的 L 的數據坐落於一曲線。這裡的使用臨界指數 ν = 1 以及 β_m = 0.125 [33, 34]。

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