模擬退火

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3.1.3 模擬退火

雖然量子蒙地卡羅退火法不等效於可反應量子動力學的量子退火法（quantum annealing）。 但 考 慮 有 限 尺 度 的 系 統， 我 們 應 可 藉 蒙 地 卡 羅 退 火 法 極 度 緩 慢 改變參數的方式作近似平衡的計算。若下降速率慢於臨界速率 u < u_KZ ，或 u∼ L^−α, α > z + 1/ν ，對應至非平衡的定標型式 (3.7) ，式 (3.7) 定標函數 ˜O 的第 二個變數將消失或趨近一常數。不同於前一節的討論，我們這裡在退火過程中時 時作觀察量的測量，若系統確能達近似平衡，得出的觀察量與參數的關係應該可 以在臨界點附近呈現正確的平衡態有限尺度定標形式（式 (1.12)）。

為討論量子臨界點的有限尺度定標，我們調降的參數為橫場（量子參數），但 亦同時調降溫度，我們將如此的退火路徑於圖 3.10 中的路徑 (i) 表示。另外，我 們也考慮固定低溫只調降橫場的退火路徑，以路徑 (ii) 表示。

ferromagnet

paramagnet

Figure 3.10: 量子模擬退火的路徑示意圖。其中 hc與 Tc分別為量子與古典的臨界點，而紅色區域 為磁化量有序的鐵磁體，其餘區域為無序的順磁體。以一維模型而言，Tc = 0，即鐵磁體僅侷限 於 T = 0 軸上。我們循兩種路徑去逼近量子臨界點。

路徑 (i) ：同時降溫降橫場 一維

首先我們對一維量子易辛鐵磁模型進行同時降溫及降橫場的退火模擬。退火過 程如下：從起始溫度 β_i = 0.2 及起始橫場 hi = 5 隨蒙地卡羅步驟降至終止溫度 β_f = 1024 及零場 h_f = 0。若總蒙地卡羅步數為 S_sm，每步調降的溫度及橫場距離 為：

dβ = β_f − βi

S (3.10)

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dh = h_i− hf

S_mc (3.11)

圖 3.11(a) 與 圖 3.13(a) 分 別 用 兩 個 不 同 長 度 的 蒙 地 卡 羅 步 數 Smc = 2¹⁴ 及 S_mc = 2¹⁷作 Binder 比值對橫場強度關係圖。我們觀察到雖然數值曲線呈現一些小 震盪，但足以看出它們與平衡態的計算結果大致吻合。尤其是更緩慢調降參數的 S_sm = 2¹⁷結果之有限尺度定標更佳擬合平衡態臨界相變的理論值；雖然在有限尺 度定標圖 3.13(b) 中我們拋棄較小系統尺度 ( L < 32 ) 的數值，但平衡態計算的結 果圖 3.3(b) 同樣尺度的數值亦呈現不甚理想的擬合品質（注意：那裡僅顯示很小 的參數範圍：0.95≤ h ≤ 1.05）。

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05

h

0.4 0.6 0.8 1

g _{L = 8}

L = 16 L = 32 L = 64 L = 128 L = 256 h = 1

S_mc = 2¹⁴ N_s = 1000

(a)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(h-h_c)L^1/ν

0.4 0.6 0.8 1

g

L = 32 L = 64 L =128 L = 256

S_mc = 2¹⁴ N_s = 1000 h_c = 1

ν = 1

(b)

Figure 3.11: 一維量子易辛鐵磁模型線性降溫和降橫場的模擬退火，模擬參數為 S_mc = 2¹⁴以及 N_s= 1000 。(a)：Binder 比值對橫場強度圖。(b)：Binder 比值的有限尺度定標圖。這裡採用的零 溫量子相變點為 h_c= 1 ，臨界指數為 ν = 1 。

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Figure 3.20: 一維量子易辛鐵磁模型非等間隔升降溫度和線性橫場的模擬退火及回火，分別採用 Ns = 400 樣本，上升和下降過程的 Binder 比值。採用的蒙地卡羅步數分別為 (a)：Smc = 2¹⁴。

Figure 3.21: 一維量子易辛鐵磁模型非等間隔升降溫度和等間隔升降橫場的模擬退火及回火，採用 Ns= 400 ， S_mc= 2¹⁸，在上升和下降過程的 Binder 比值。

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Figure 3.22: 一維量子易辛鐵磁模型非等間隔升降溫度和等間隔升降橫場的模擬退火及回火，採用 S_mc = 2¹⁸以及 Ns = 800。(a)：Binder 比值對橫場強度圖。(b)：Binder 比值的有限尺度定標圖。

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(a)：Binder 比值對橫場強度圖。(b)：Binder 比值的有限尺度定標圖。這裡採用零溫量子相變點為 h_c= 3.044 ，臨界指數為 ν = 0.63 [36]。

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Figure 3.26: 對二維量子易辛鐵磁模型同時非線性降溫及線性降橫場，採用 Ns= 800。(a)：Binder 比值對橫場強度圖。(b)：Binder 比值的有限尺度定標圖。這裡採用零溫量子相變點為 hc = 3.044

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