電子在週期性晶格中的傳輸行為，可由古典的波茲曼理論描述。隨著系統無 序程度的增加，電子碰到其他缺陷而散射的機率也增加，使得量子干涉的效應逐 漸重要。對於低溫無序系統中，波茲曼傳輸理論的修正，理論上有兩個成熟的量 子修正理論。一個是弱局域效應；另一個是電子-電子交互作用理論。簡單來說，
弱局域效應是單一電子波函數在無序系統中經過一連串不破壞相位記憶的碰撞 之後，回到原點，並發生自我干涉的過程，而電子-電子交互作用則是電子的多 體物理效應，其主要物理圖像是電子在無序系統中的擴散式運動使庫倫交互作用 的屏蔽效應變小，使得相隔較遠的兩電子之交互作用需要被考慮。影響費米能階 附近的費米能態密度異常的減少，而反應在電阻率對溫度的關係上。
2-1 弱局域效應 (Weak-Localization Effect)
如果電子的傳輸是在乾淨的材料中移動，而不會因為雜質或缺陷造成散射，
這種情況的電子是以彈道式傳輸，但若在無序度高的環境則是以隨機的布朗運動 (Brownian motion)用擴散式的傳輸，擴散式傳輸主要是電子在移動的過程中與 隨機的雜質或缺陷做彈性碰撞。在量子力學中，考慮電子的波動性，因受雜質缺 陷的散射使電子的波函數形成兩個互相干涉的建設性干涉波。這樣的量子干涉效 應使原本的行進波被限制於散射位置一區域內稱為「局域效應」。
2-1-1 波動性與粒子性的相對強度與無序程度的關係
我們必頇先了解如何判斷電子傳輸時的粒子性與波動性的強弱，才能知道是 否有局域效應。而這時就要引進一個常數kfl。然而我們知道：
f
kf
2 ；
m Ef kf
2 ) ( 2
(2-1)
這裡可以知道當kf 小的時候，f 大，而f 大則表示電子波動性越強，反之
f 小則表示電子的粒子性越強，所以我們可以經由Ef 計算去找出kf 進而推測波 動性的強度。而 l 代表電子彈性碰撞的平均自由路徑，當 l 越大，代表電子在兩 個彈性碰撞間走了很長的距離，我們稱它彈道式傳輸，屬於粒子性。而當 l 小則 屬於波動。下面我們用一個簡單的表格表示：
材料性質 良導體 導體 絕緣體
2-1-2 時間反演對稱性 (Time Reversal Symmetry)
在高溫時，電子傳輸的電性主要由電子和聲子的非彈性碰撞主導，但在低溫
各路徑長度不同，所以各電子波的相位差異很大。由統計原理得知，干涉效應的 效應時會有電阻上升的原因。以下是在 1983 年，Bergman[2]提出的弱局域效應 物理圖像。
我們假設進出迴圈的動量變化為正負方向的變化，如圖2-4所示，為電子在 動量空間(k space)的示意圖。電子的動量變化可由逆時針或順時針的方向，分 別為(2-3)式和(2-4)式，其中為造成散射的動量。
逆時針的路徑：
圖 2-5 在完美晶格中，固定時間t，電子從 0 點到空間各點的機率密度分佈情 形。
圖2-6 考慮弱局域效應的情況下，固定時間t，電子從0 點到空間各點的機率密 度分佈情形。
2-1-3 弱局域效應對導電率的修正
接下來我們將用機率統計的原理來說明弱局域效應的導電率修正。設想電子 在隨機分佈的散射點中，做無規行走（random walk）的運動。所以我們可以用 古典的擴散理論來估計電子回到它的出發點的機率。
從時間 t=0，由原點出發後，在時間 t，位置 r
，單位體積內找到電子的機 率為：
P( r,t) d e r Dt Dt
4 / 2 /
2
) 4 (
1
(2-4)
D 是擴散常數，d 是系統維度。而根據弱局域理論，電子回到原出發點 O( r
=0) 的機率為：
P(O,t) 2 ) 4 (
1
2
/
d
Dt (2-5) 乘以 2 是考慮弱局域效應中電子的自我建設性干涉的結果。
圖 2-7 單一電子波函數與自我共軛的項建設性干涉示意圖
圖 2-8 單一電子波函數與非自我共軛的項建設性干涉示意圖
如圖 2-8，電子散射截面約為fd1，電子在時間dt 內，以費米速度f掃過 為電子碰撞的平均自由路徑。另外 Eric Akkermans 和 Gilles Montambaux 對於弱局 域效應對導電率的修正，也有同樣的結果 [4] 。
quasi-1d 2 1( )
2-2-1a 外加磁場對弱局域效應相位破壞的影響
圖 2-9 外加磁場時，造成波函數相位變化。
我們知道封閉的迴路外加磁場時，會造成一個相位差。藉由費曼路徑積 分和電磁學中積分與路徑無關的技巧，我們可以算出相位的變化量是：
l S
S e d e B
l d e A
0
2
(2-17)
是外加磁場造成的相位差，S 是被封閉路徑包圍的面積。是磁場通過 S 的磁通量，0 4.1351015
e
h (Tesla-m2)是磁通量量子。
前面所說的弱局域效應為電子在經過的時間後回到原點做建設性干涉的 行為，在外加磁場破壞同調性後，兩分波回到原點有相位差 2。因為每條路 徑的形狀、長短不一，路徑構成的平面和磁場的夾角也不同，因此各路徑的相位 差 2幾乎都不相同，很多這種自我干涉的迴圈因此被破壞，破壞後電子留在 原點的機率電小，導電度提高，也就是電阻率下降，所以在弱局域效應明顯的磁 電阻中可以看到負磁阻的情況如圖 2-10。
圖 2-10 鎂薄膜的磁電阻曲線。（Bergmaim, 1982 [5]）
而在空心圓柱狀樣品，小磁場範圍中，可測量到電阻會有如上述(2-17)式所 描述週期性震盪的現象，以0做基本週期，當磁場不斷加大，不再有封閉的迴 路產生自我建設性干涉時，電阻值不會再改變下降，弱局域現象消失，電子的傳 導回復到波茲曼理論可預測的模型，圖2-11。
圖 2-11 小磁場範圍的磁阻震盪曲線 Al’tshuler et al.,1981[6] ；D.Y. Sharvin and Y.V. Sharvin, 1981[7]。
2-2-1b 電子-聲子非彈性碰撞
聲子可以視為一種晶格受熱擾動造成的震盪，只要在溫度高於絕對零度時就 會存在。而電子-聲子的交互作用與金屬和超導體的許多性質有關，且電子受聲 子散射是產生電阻的主要原因。我們藉由圖 2-12 介紹各種電子-聲子的交互作 用。
如圖 2-12(a)，有一個整齊排列的週期性晶格，且晶格靜止不動（無聲子），
一電子波動量k
由左進入，這個電子波被散射，產生一個基本波，當把所有的基 本波的振幅疊加起來，會發現其他方向都抵銷了，只剩下原來的k
方向和 G
k k
' （G
為倒晶格向量）
圖 2-12(b)為一整齊排列的晶格，但此時他不再是靜止不動，而是以wph的 頻率震動，並且以動量q
在晶格中傳遞。用相同電子波動量k
由左進入，則波的 相位會被調整，調整範圍為wph，符合聲子的吸收與放射頻率，也就是說電子 與聲子之間有能量的交換k k q
~
以及k k q G
' 。
圖 2-12 電子波在各種晶格情況下的散射圖[8] Bergmann, G.：(a)有序系統，無 聲子(b)有序系統，有聲子(c)無序系統，無聲子(d)無序系統，有聲子。
圖 2-12(c)為隨意排列的晶格（無序），且靜止不動（無聲子），一電子波動 量k
從左方進入，在疊加所有散射的波之後，並沒有任何方向被抵銷，也就是電 子波可以散射到任何方向k'
。
圖 2-12(d)為電子在無序晶格中與聲子波發生隨機的散射，過程中電子和聲 子不再動量守恆，也就是k~'q k'k
，因為是無序系統，所以k' 和k
之間沒有 特定關係，不能再用 Bloch wave 展開計算，我們稱這個為 pseudo-umklapp 散射。
然而，當聲子波長比電子平均自由徑大很多時（非常低溫下），不是所有聲子都 能有效地影響電子的能態。
而在電子-聲子理論發展上，Bergmann 在 1971 年[8]考慮圖 2-12(d)的模型，
這種 pseudo-umklapp 的過程特別對低能量交換的作用有貢獻，而 Takayama(1973) [9]在不純的金屬中 TD時計算出和 Bergmann 相同的結果： 們之間(T2 ~ T4都有)，研究者Reizer和Sergeyev（1986）[11]同意(2-19)的結 果，而包括我們實驗室和許多學者的實驗[12]都證實了(2-18)的結論
將2-20式轉換為和溫度的關係可以得到（Ashcroft and Mermin ,1976 [14]）：
2
但若是在無序系統中，Schmid等人(Schmid, 1974[15]; Al’tshuler,Aronov
表 2-1 電子分波對(electron partial wave pairs)的各種自旋態，箭頭方向 代表電子的自旋方向。φ代表自旋波函數，j 為總角動量，m 為磁量子
數
也因此，在電子的波函數自我干涉中，古典項仍不變，其干涉項可表示為： 自旋-軌道作用（spin orbital scattering）。Abrikosov 和 Gorkov（1962）
[15]第一個提出自旋-軌道散射時間：
2 現象，稱為反弱局域效應(Weak anti-localization effect)。
圖2-13 反弱局域效應中，令電子從原點出發一定時間後回到原點的機率為1，由
項趨近於１，則(2-28)式即為基本弱局域效應對電導的修正式。但若自旋-軌道 散射很強的時候（so 1），括號內的指數項趨近於０，只剩下自旋單態對電 導的修正，這個修正會使得導電率變號，而這裡的反弱局域效應使得磁電阻也由 原本的負磁阻轉為正磁阻。
2-2-2b 自旋-自旋散射
電子自旋直接受到磁性雜質(localized spin)自旋的散射反向(flip)，產生 微擾而破壞相干反散射的時間反演對稱，不管原先兩個分波的自旋方向是平行或 反平行的，一連串散射後都會造成隨機無規則的自旋方向並導致相位的混亂。與 自旋-軌域不同的是，電子自旋是直接反向不受軌域角動量的影響，和原子大小 無關。而波函數也只有triplet的貢獻。1981年，Fukuyama[19]提出自旋-自旋散 射率1/s可以表示成：
s
1 ～2N(EF)niJ2S2 (2-29)
) (EF
N 為費米能態密度，ni是磁性雜質的密度。一般而言因為角動量守恆，所以 電子自旋-自旋作用與溫度無關。但假若是屬於Kondo effect 的話，其散射率會 與TK有關且會是溫度的函數。
2-2-3 電子-電子交互作用
前面提到的弱局域效應是單一電子的自我干涉效應，而電子-電子交互作用 是屬於多體物理的現象，由於傳導電子間的庫倫力作用，電子會互相碰撞影響，
此系統稱為費米液體(Fermi liquid)，在乾淨的系統時常用費米液體之蘭道理論 (Landau theory)來描述但與在乾淨系統中Landau 費米液體理論不同的是，
Altshuler 和Aronov[16][17]在1979 年發現在無序系統中，由於電子行擴散運 動的緣故，使得不同電子間的屏障作用變弱，假如應用費米液體理論（準粒子的
觀念）來推導，會導致在費米能球面附近有明顯的奇異點出現，導致電導率和比 熱必頇出現修正項。我們簡單說明電子電子交互作用中的兩個通道，粒子-空穴 通道與粒子-粒子通道。
2-2-3a 粒子—空穴通道(Diffusion Channel)
如圖2-14，圖中所描繪的線條分別為兩電子的波函數路徑，兩電子從C 和D
如圖2-14，圖中所描繪的線條分別為兩電子的波函數路徑，兩電子從C 和D