基本理論

在低頻雜訊當中我們可以發現一個雜訊強度與頻率呈現 1/f 關係的雜訊，它存在於 各種系統之中，包括我們所量測的 ITO 薄膜，還有譬如奈米線、半導體之中。而現今 也存在著非常多對於這種現象的模型，但是並沒有所謂正確的解釋，目前並無法證明 哪一種模型是對的。目前普遍認為在不同的系統中所適用的模型是不同的，其機制原 理亦不同，目前主流的模型有三種: 載子數擾動模型(Carrier number fluctuation

model)、遷移率漲落模型(Mobility fluctuation model)還有 Correlated carrier and mobility fluctuation models。

2-2.

Carrier number fluctuation model，是 McWorther 所提出的一套模型，他主要 想要解釋的是半導體之中的 1/f noise。在半導體之中，存在著氧化層以及半導體層的 結構，在氧化層之中的氧化物有可能在製程之中自然形成的缺陷而形成氧空缺，而這 些氧空缺會有機會使半導體中的載子被侷限住，我們稱之為侷限態。而在這兩層結構 之間的介面，當載子在半導體層之中流動時，載子就有可能會藉由穿隧效應而被侷限 在氧化層之中，而隨著時間原先在氧化層之中的載子也有機率會回到半導體層之中，

而在載子往氧化層移動的過程中，半導體層中的載子數變少，電阻就會隨之增大，而 載子如果往半導體層移動，則電阻變小，所以我們才會看到電阻總是有一個擾動變 化，因為在半導體層上的載子數目會隨著時間做變化。處在侷限態的載子經過一段時 間跳回半導體層的這個過程，如果我們今天只考慮它隨著某個特徵時間𝜏變化，所以我 們可以將電壓變化導出

𝛿𝑉(𝑡) = 𝑉₀𝑒^−𝜏𝑡 (2-1)

5

之後，為了得到功率譜密度(power spectrum density)，要先得到功率對時間的關 係，一般來說我們定義雜訊隨時間變化為式(2-2)

𝑆_𝑉(𝑡) = 〈𝛿𝑉(𝑡₀)𝛿𝑉(𝑡₀+ 𝑡)〉 = 𝑉₀²𝑒^−𝜏𝑡〈𝑒^{−2𝑡0𝜏}〉 (2-2)

之後可以利用複利葉轉換將功率對時間的關係轉變成功率對頻率關係，也就是所 謂的 power spectrum density

𝑆_𝑉(𝜔) = 𝑅𝑒[𝐹{𝑆_𝑉(𝑡)}] = 𝑅𝑒 [𝑉₀〈𝑒^{−2𝑡0𝜏} 〉 ¹

√2𝜋(¹_𝜏+𝑖𝜔)] (2-3)

= 𝑉₀〈𝑒^{−2𝑡𝜏0}〉 1

√2𝜋 𝜏 1 + 𝜔²𝜏²

其中𝑆_𝑉(𝜔)是功率對頻率的關係，𝜔是角速度，可以變換成頻率。

而以上的結果是討論固定一個特徵時間時所得出的，然而一個正常的系統中雜訊 的特徵時間不可能只有一個。考慮到特徵時間為一個分佈，所以我們對τ進行積分

𝑆_𝑉(𝜔) = 𝑉₀〈𝑒^{−2𝑡0𝜏} 〉 ¹

√2𝜋∫_1+𝜔^𝜏_2𝜏2𝑔(𝜏)𝑑𝜏 (2-4)

其中𝑔(𝜏)是侷限態的分佈。而在此同時，我們考慮溫度對載子在侷限態以及在半 導體層中的穿隧效應所造成的影響，我們將之看成一個典型的二能級系統(two-level system)

而我們將溫度所提供的效應加進，在此我們可以將特徵時間𝜏會變成

𝜏 = 𝜏₀𝑒^{𝑘𝐵𝑇𝐸}

(2-5)

𝐸₁ 𝐸₂

圖 2-1 二能級系統示意圖

6

以上是依照 Carrier number fluctuation model 的想法所寫出的，然而在 Mobility fluctuation model 有另一番不同的解釋。Mobility fluctuation model 表示在薄膜樣品之中 的電阻擾動來自於薄膜中的載子流動性隨時變所造成的，而在為何有載子流動性變化 這邊我們的解釋是因為在薄膜之中存在著一些雜質，考慮雜質在一個 two-level system 中，而雜質在不同的態下對載子散射(scattering)的強度不同，這進而會影響到整體載子 的遷移速率。相比之下，一個是考慮載子的侷限態以及非侷限態，另一個卻是考慮到 雜質處的態所影響到的散射強度。雖然兩者解釋不同但是在計算上卻是相同的。

2-3.

依 Carrier number fluctuation model 的結果我們可以得到

𝑆_𝑉(𝜔) = 𝑉₀〈𝑒^{−2𝑡0𝜏} 〉 ¹ 是今天這個 two-level system 之間存在著一個特徵時間(relaxation time)，假設在單一 relaxation time 下，那麼它的位壘躍遷機率就會像是(圖 2-2)一樣，在中間有一個峰值。

接下來我們所要做的就是找出𝑆_𝑉與 thermal activity energy，這裡稱做𝑔(𝐸₀)的關係。

7 在

𝜕𝑓(𝐸)

𝜕𝐸 |_𝐸=𝐸0 = 0 (2-9) 的情況下

𝐸₀ = −𝑘_𝐵𝑇 ln(𝜔𝜏₀) ∝ 𝑘_𝐵𝑇 (2-10) 而我們另外假設 g(E)對𝑘𝐵𝑇的變化是很小的，則

𝑆_𝑉(𝜔)= 𝑉₀^〈𝑒^{−2𝑡𝜏0〉} 1

√2𝜋^∫

𝜏₀𝑒^{𝑘𝐸𝐵𝑇} 1 + 𝜔²τ₀²𝑒^{𝑘2𝐸𝐵𝑇}

𝑔⁽𝐸⁾𝑑𝐸 ∝

𝑉₀〈𝑒^{−2𝑡0𝜏} 〉 ¹

√2𝜋

𝜏0 1 𝜔𝜏0

1+𝜔²τ₀²(_𝜔𝜏0¹ )²𝑔(𝐸)𝑘_𝐵𝑇 ∝^𝑘𝐵𝑇

𝜔 𝑔(𝐸₀) (2-11) 最後我們可以知道𝑆_𝑉(𝜔)與^𝑘𝐵𝑇

𝜔 𝑔(𝐸₀)呈現正相關。接下來我們參考霍格(F.N.

Hooge)對於 1/f noise 所提出的解釋是由於樣品中載子的遷移率擾動(Mobility fluctuation) 所產生的，他所提出的經驗公式

𝑆_𝑉(𝑓) = 𝛾_𝑁^𝑉2

𝑎𝑓 (2-12) 其中𝑆_𝑉是功率隨頻率的變化，V 式樣品上的電壓，𝛾為一個常數，在 Hooge 理論中 大約為2 × 10⁻³，𝑁_𝑎是樣品上的總載子數，f 是頻率

圖 2-2 位壘在不同能量下的躍遷機率

8 最終我們整合(式 2-11)以及(式 2-12)可以得到

𝛾

𝑁_𝑎 ∝ 𝑘_𝐵𝑇𝑔(𝐸₀) (2-13) 經過整理後

𝑔(𝐸₀) ∝ ^𝛾(𝑇)_𝑇 (2-14) 𝛾值我們可以用 Hooge 的理論配合實驗得到。之後測量溫度 T 對𝛾值的變化，就可 以得到𝑔(𝐸₀)的變化趨勢。而𝑔(𝐸₀)就如之前所說的，是特徵時間的分佈關係。

不過這個理論在某些方面有些不合理的地方。第一，它在功率譜上沒有對頻率 0 對稱，以 McWorther model 為例，(圖 2-3)就顯示它對 0 點對稱，而在 Hooge model 則 不行。

-10 0 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

S V (V2 /Hz)

 (rad)

圖 2-3 McWorther model 功率譜分佈[6]

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第二，Hooge model 在低頻時的頻率譜並不會收斂，反觀 McWorther model 在低頻

時，雖然是 1/f 的分佈，但是在趨近於頻率 0 的地方他會收斂(圖 2-4)，所以整個功率 強度是可以計算的，但是在 Hooge model 的理論中就不行。

雖然Hooge model 在實際上還有許多的問題，但是它對雜訊在金屬薄膜上的預測 非常的好，所以我們在之後的討論主要用的還是Hooge model。

圖 2-4 McWorther model 與 Hooge model 比較[6]

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三、樣品製作與低溫雜訊測量方法