基本要件

有限元素法將工程問題劃分成一系列元素，元素之間靠節點連接，工 程問題的求解可由元素（Element）、節點（Node）平衡關係或能量關係建 立節點之間的方程式，然後將各個元素、節點組集在一起而形成代數方程 式，再加入工程問題的邊界條件，即可對方程式求解。一個完整的有限元 素模型（Finite Element Model）包含了節點、元素、材料特性、工程系統 本身的邊界條件、外力負載及約束條件，在電腦上建立有限元素模型是整 個有限元素分析的關鍵。以下說明有限元素模型基本要件及觀念如下所 示：

1. 節點（Nodes）：

節點是構成有限元系統的基本要素，也就是代表整個工程系統中的基 本點。本身物理意義包含了座標位置、自由度資訊（包含位移、溫度、電 壓等）及施加力之所在（包含力、力矩、熱流等）。

2. 元素（Elements）：

元素由節點與節點相連而成，是構成有限元素系統的基礎。元素與元 素之間由節點互相連接，在具有不同特性的材料和不同結構中可選用不同 的元素，元素中包含了物理對象中各種特性。元素類型不同，位移函數也 不同。因為每一個元素都有簡單的幾何形狀，而只有節點上可能有外力作 用，我們把簡單的結構實體的方程式寫出來，這些方程式稱為元素方程式

（Element equation），然後把全部元素的力平衡方程式聯立起來，變成一 組聯立方程式系統，稱為整體結構方程式（Structural global equations），

解出此聯立方程式後就即可得知每個節點上的變位量。在一般有限元素分 析軟體中都有提供多種可供不同分析選擇的元素，例如桿元素、板元素、

體積元素。在工程分析時，選擇適當的元素可以大大提高計算效率和精度。

3. 自由度（Degree of freedom，DOF）：

自由度是指節點上的未知量，結構的問題通常是以變位為未知量。在 2D 時每個節點有二個自由度，3D 時每個節點有三個自由度，每個節點上 有三個自由度，所以共有 12 個自由度，表示成d。假設每個節點上的自

由度分別用 來表示，而四個節點分 別用 來表示，則

這個元素的自由度可以表示為：

Uz Uy

Ux

、 、

i

、

j

、

k

、

l

=

d

{ U

_xⁱ U_yⁱ

U

_zⁱ

U

_x^j U_y^j

U

_z^j

U

_x^k U^k_y

U

_z^k

U

_x^l U^l_y

U

_z^l

}

（51）

4. 形狀函數（Shape function）：

在有限元素法理論裡，考慮一個未知函數y= f

( )

x ，在已知某些x點上 的 值去反求函數 ，找出一條通過這些已知點的曲線，作為近似解。

這條曲線必須是片段平滑（Piece-wise smooth），亦即函數本身是連續的但 一次微分並不需連續。把已知點用直線連接起來形成一條平滑連續函數來 素理論的形狀函數（Shape function）。形狀函數是用連接變位場u和節點 變位 間關係：

當形狀函數是二次時，表示變位場被假設為二次函數。

5.剛性矩陣（Stiffness matrix）：

有限元素理論中將結構體切成很多元素，每個元素可以建立它的力平 衡方程式，表示如下：

=

kd

f （54）

其中 是元素節點上的自由度，d是一個 12×1 的向量，而 是 12×12 的矩 陣。f 是做用在節點上的力， 為剛性（stiffness），k為元素剛性矩陣，其 整體結構力平衡方程式為：

d k

k

=

KD F （55）

F 是做用在節點上的力量， K

是整體結構剛性矩陣（Structural global stiffness）， 為整體結構所有節點上的自由度。

D

2.5.2 基本理論

有限元素基本理論以一個三個自由度的彈簧系統來解釋的求解程序 及基本理論基礎。首先將彈簧系統用虎克定律的公式來表示：

[ ]

K X

F = • （56）

其中，F為外力向量，X為位移向量，而

K

為整個結構剛性強度矩陣。整 個大

K

矩陣是由每一個元素的小

K

矩陣組合而成，把每一個元素的小

K

矩 陣配合其節點，放入正確的大

K

矩陣中就可以組合成整個大

K

矩陣，以一 個標準彈簧元素而言，其外力與位移的關係可表示為：

⎭⎬

統沒有完全被拘束，以致產生剛體運動，故為了使方法能夠繼續執行下去

在文檔中 複合塑膠汽車頭燈之有限元素分析與振動實驗研究 (頁 36-42)