基頻

使用等效折射率的想法，我們可以得到一個由結構參數所決定的一個特 殊的頻率，稱為基頻

ω

_o，如果考慮圖(五)的結構，基頻會是

2 2 1 1

0

n d n d

w c

= +

π

(24)

17

其中 c 是光速

有了上述的理論推導和折射率數據後，接下來是我們的計算結果

18

-第三章 數值計算結果

3.1 沒有漸變效應的光子晶體反射率圖和能隙圖

接下來我們透過前面的數學方法寫成計算機程式碼，計算反射率，利用反 射率和被基頻歸一後的頻率作圖，計算不同週期數目得到圖(七)，隨著週期 數的增加，反射率圖上的能隙寬度隨之收斂。

ω/ω_o

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

period 1 period 2 period 4 period 8

圖(七) 1、2、4、8 週期的反射率圖

假如仍然考慮圖(五)的結構，假如讓每一層的光程相等，則在偶數倍頻處的 頻率可以在色散方程式(22.b)中找到對應的 值，滿足色散方程式的結果造

k

19

-成在偶數倍頻處光可以通過。在光層一樣的條件要求下，一組合理的數據 列於表(二)

表(二)等光程的結構參數

折射率 寬度(nm) 材料 1

n

_a=1.38

d

_a=126 材料 2

n

_b=2.35

d

_b=74

在使用計算反射率和能帶圖的方法我們透過計算機得到下面圖形的結果

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω/ωo

0 1 2 3 4 5

3.14 5.5

0 1 2 3 4 5

ω/ω0

(a) (b)

圖(八.)

n

_a

d

_a

= n

_b

d

_b，

ω

_o=2710.0(THz)，對應的波長

λ

_o=695.6nm (a)反射率圖(b)能隙圖

從圖八(a)中，偶數倍頻處的反射率不再為 1，而在圖八(b)相同頻率處的能

20

-隙寬度消失，這與我們之前對色散方程式的分析結果一樣。證實能帶圖和 反射率圖可互相呼應，而且我們的程式確實可以拿來作為觀察反射率和能 隙的計算工具。

3.2 二氟化鎂與硫化鋅的反射率圖、色散圖、電場 圖和磁場圖

在表(一)中，選取氟化鎂的折射率 1.38 為 的值，在漸變結構的寬度和 折射率值不改變的情況下，分別計算 =89nm、40nm、22nm 和 13nm 的反 射率圖和能帶圖。此外由傳輸矩陣，我們也計算了能隙消失處頻率附近的 電場圖和磁場圖。得到如下的結果

n

1

W

1

Case 1 :

W

₁=89nm，計算反射率和能帶圖得到

W₁=89nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W₁=89nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(九)

ω

_o=2583.7(THz)，對應的波長

λ

_o=729.6nm 21

-(a) 反射率圖(b)色散圖

可以從圖九(a)的 2

ω

_o頻率處看到反射率值不再為 1，對應到圖九(b)的位置，

能隙消失。計算 1.9

ω

o、2

ω

o和 2.1

ω

o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

(d)

圖(九)計算 2

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

可以看出在 2

ω

o處的電場和磁場可以通過。

case 2 :

W

₁=40nm，計算反射率圖和能帶圖得到

22

-W₁=40

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W₁=40nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十)

ω

_o=3171.6(THz)，對應的波長=794.32nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在圖十(a) 的 1

ω

_o、2

ω

_o、4

ω

_o和 5

ω

_o處的反射率達到 1，對應到圖十(b)上，

有能隙寬度的存在。而在 3

ω

_o處的反射率不再達到 1，對應能帶圖上，能隙 寬度消失。計算 2.9

ω

_o、3

ω

_o和 3.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

23

-(d)

圖(十)計算 3

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 3

ω

_o處的電場和磁場可以順利通過。

case 3 :

W

₁=22nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=22nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W1=22nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十一)

ω

_o=3460.9(THz)，對應的波長

λ

_o=544.6nm (a) 反射率圖(b)色散圖

由圖十一(a)發現在 1

ω

_o、2

ω

_o、3

ω

_o和 5

ω

_o處有能隙，對應到圖十一(b)上，

可以看到能隙寬度的存在。在4

ω

_o處，圖十一(a) 和圖十一(b)都告訴我們沒 有能隙存在。計算 3.9

ω

_o、4

ω

_o和 4.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

24

-(c)

(d)

圖(十一)計算 4

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在頻率 4

ω

_o處的電場和磁場都可以通過。

case4

W

₁=13nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=13nm

κd

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W₁=13nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十二)

ω

_o=3626.2(THz)，對應的波長

λ

_o=519.8nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

_o、2

ω

_o、3

ω

_o和4

ω

_o處都有能隙，而在 5

ω

_o處就沒有。計算 4.9

ω

_o、

25

-5

ω

_o和 5.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

(d)

圖(十二)計算 5

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在頻率 5

ω

_o處的電場和磁場都可以通過。

3.2 矽與硫化鋅的反射率圖、色散圖、電場圖和磁 場圖

選擇矽的折射率 1.5，滿足我們邊界要求的

Δ

=0.29，而對應的折射率如表(三)

表(三) 矽層與漸變的硫化鋅層的折射率數據

26

-折射率符號 折射率值 膜層寬度(nm)

n

1 _1.5000

W

₁

n

2 _{1.5230 11}

n

3 _{1.8635 11}

n

4 _{2.0903 11}

n

5 _{2.2383 11}

n

6 _{2.3226 11}

n

7 _{2.3500 11}

n

8 _{2.3226 11}

n

9 _{2.2383 11}

n

10 _{2.0903 11}

n

11 _{1.8635 11}

n

12 _{1.5230 11}

計算結果如下

case 1 :

W

₁=78nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

27

-W₁=78nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0 1 2 3 4 5

W₁=78nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω/ω0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十三)

ω

_o=2591.5(THz)，對應的波長

λ

_o=727.36nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

o、3

ω

_o、4

ω

_o和5

ω

_o處都有能隙，而在 2

ω

_o處就沒有。計算 1.9

ω

o、 2

ω

o和 2.1

ω

o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

圖(十三)計算

(d)

2

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 2

ω

_o處的電磁場可以通過。

28

-case 2 :

W

₁=34nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=34nm W₁=34nm

κd R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0 1 2 3 4

5 5

0 1 2 3 4

ω/ω0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(a) (b)

圖(十四)

ω

_o=3166.1(THz)，對應的波長

λ

_o=595.36nm (b)色散圖

1

(a) 反射率圖

ω

o、2

ω

_o、4

ω

_o和5

ω

_o處都有能隙，而在 3

ω

_o處就沒有。計算 2.9

ω

_o

在 、

3

ω

o和 3.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

29

-(d)

圖(十四)計算 3

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 3

ω

_o處的電磁場可以通過。

case 3 :

W

₁=19nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=19nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0

W₁=19nm

κd 1

2 3 4 5

0 2 3 4 5

ω/ω0

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(a) (b)

圖(十五)

ω

_o=3424.957(THz)，對應的波長

λ

_o=550.36nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

o、2

ω

_o、3

ω

_o和5

ω

_o處都有能隙，而在 4

ω

_o處就沒有。計算 3.9

ω

o、 4

ω

o和 4.1

ω

o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

30

-(d)

圖(十五)計算 4

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

ω

o

在 4 處的電磁場可以通過。

case 4 :

W

₁=11nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=11nm

R

W₁=11nm

κ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0 1 2 4 5

3

d 0

1 2 3 5

4

ω/ω0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(a) (b)

圖(十六)

ω

_o=3581.12(THz)，對應的波長

λ

_o=526.36nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

_o、2

ω

_o、3

ω

_o和4

ω

_o處都有能隙，而在 5

ω

_o處就沒有。計算 4.9

ω

_o、 5

ω

o和 5.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

31

-(c)

(d)

圖(十六)計算 5

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 5

ω

_o處的電磁場可以通過。

32

-第四章 討論

4.1 二氧化鎂材料改成矽材料，厚度的比較

第三章主要計算了二氧化鎂和矽這兩種材料搭配漸變結構層來計算，關 能隙消失處的 值和搭配的材料寬度，列表於表(四)

表(四) 各倍頻處能隙被抑制的寬度統計

二氧化鎂(1.38) 矽(1.5)

W

1

於

第_二能隙消失的

W

_{1 89nm 78 nm}

第三能隙消失的

W

₁ 40 nm 34 nm 第四能隙消失的

W

₁ 22 nm 19 nm 第五能隙消失的

W

₁ 13 nm 11 nm

二氧化鎂的折射率是 1.38 而矽的折射率是 1.5，漸變層的最高折射率度 固定為 2.35 的硫化鋅。由於矽的折射率值比較接近硫化鋅的折射率值，所 以需要的 寬度比二氧化鎂的寬度小。

4.2

為了解釋能帶消失的現象我們計算了輸入阻抗，以圖(十三)的結構參數 為例子，計算週期數對輸入阻抗作圖，其中阻抗的實部和虛部分別對空氣 的阻抗( Za=377 )做歸一，得到圖(十七)

W

1

阻抗的觀點

33

-2ω_o can pass (n₁=1.50 W₁=78nm)

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 1.0 1.2

period

100 200 300 400 500

0.6 0.8

Z in /Za

real part imaginary part 1

圖(十七)

在一個週期的時候，歸一的阻抗值為 0.9928+0.0247i，代表此結構和右邊的 半無限大的空氣層相互匹配，所以光可以通過。

4.3 光是否可以通過的判斷式

以色散方程式來看這樣一個現象，可以解釋成 :

34

-這樣一個步階結構決定了一個色散方程式，假如入射光的頻率可以滿足色散方程

，光就無法通過

接下來我們透過色散方程式來判斷一組 的現象。

如圖(六) 。 所對應的色散方程式為

(25)

其中

T T T T T T T T T T T T

₂

m m

= • • • • • • • • • • •

⎢ ⎥

是第 i 層的特徵矩陣

程式(25)可以變成一個判斷光是否可以通過這樣一個結構的判斷式子 式，光就可通過 ﹔不滿足，就會在那頻率處產生能隙

結構參數是否滿足發生能隙被抑制

考慮我們的漸變結構是由 12 層均勻折射率的薄膜所構成，

11 22

cos( kd ) 1/ 2( = m + m )

11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

21 22

m m

⎡ ⎤

⎣ ⎦

T

i

方

1 ) (

2 /

1 m

₁₁

+m

₂₂

<

光可以通過 (26.a)

1 ) >

m

光不可以通過

( 2 /

1 m

₁₁

+

₂₂ (26.b)

採用表 的漸變折射率，改變不同的 所計算得到的 數值 做圖，得到不同頻率處的圖形

(一)

W

₁

1/ 2( m

₁₁

+ m

₂₂

)

35

-在頻率為 1

ω

_o處

ω=1ω

₀

-1.14 -1.12 -1.10 0 -1.02 -1.00

W₁(nm)

-1.06 -1.04

+m22)/2(m11 -1. 8

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

圖十八(a) 在頻率為 2

ω

_o處

ω=2ω

₀

W₁(nm)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0.98

1.00 0 1.04 1.06 1.08

+m22)/2(m11 1. 2

圖十八(b)

36

-在頻率為 3

ω

_o處

ω=3ω

₀

W₁(nm)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 -1.05

-1.04 -1.03 -1.02 -1.01 -1.00 -0.99

(m11+m22)/2

0 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

圖十八(c) 在頻率為 4

ω

_o處

ω=4ω

₀

W₁(nm)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0.99

1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05

(T11+T22)/2

00 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

圖十八(d)

37

-在頻率為 5

ω

_o處

ω=5ω

₀

W₁(nm)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 -1.030

-1.025 -1.020 -1.015 -1.010 -1.005 -1.000 -0.995

(m11+m22)/2

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

圖十八(e)

從圖十八(a)到圖十八(e)可以看出在頻率越高處可以選擇的 越多，而在低 頻處計算到 到 200nm 的寬度，並沒有找到滿足的厚度。在 2

W

1

W

1

ω

_o處，當

厚度介於 82nm~92nm 可以滿足方程式 26(a) 。在 3

W

1

ω

o處，當 厚度介於 37nm~42nm 可以滿足方程式 26(a) 。在 4

W

1

ω

o處，當 厚度介於 21nm~24nm 和 108nm~115nm 兩個區間內，可以滿足方程式 。在 5

W

1

26(a)

ω

_o處，當 厚 度介於 13nm~14nm、70nm~73nm 和 178nm~188nm 三個區間內，可以滿足 方程式 26(a) 。

這樣一個漸變的結構是沒有辦法讓 1

W

1

ω

o處的能隙消失，因為當結構參數

38

-固定後，

ω

_o就決定了。所以只能在 2

ω

_o、3

ω

_o、4

ω

_o、5

ω

_o或

光 長 結構

1550nm 波長，所以假 要想應 這樣一個結構到現有的光 通訊系統上，就必須讓能隙消失處 的波

是更高頻率處 才能有抑制的效果產生。

4.4 兩倍頻處可通過 1550nm 參數找 尋方法

由於現在的光纖通訊都是應用在能量損失最小的

的 波 的

如 用 纖

長對應到 1550nm 附近。接下來說明找尋結構參數的步驟，目的是希望 在

2 ω

_o處通過的光波長是 1550nm。

首先假設圖(六)中

n

₂ ~

n

₁₂ 每一層的寬度都相等，以符號

W

_g表示。因 為要求在

2 ω

_o處光可以通過，所以入射光的頻率為

ω

o

ω = 2

₍₂₇₎

接下來把方程式(24)帶到(27)得到

2 1

1 )( )]

i

g i

設定 由 1nm 增加到 500nm，每一次遞增 1nm。透過(28)式可以找到對應

∑

¹²

( ) /[(

2 /

2

π c λ c π n W n W

(28)

=

• +

=

W

1

39

-的

可 一組數據都會是滿足兩

倍頻處對應的波長是 1550nm 和兩倍頻率在色散方程式中可以找到 值。

對 做圖和 對判斷數值

g，使得 1550 波長落在二倍頻處。然後再把這 500 組數透過方程式(26) 做判斷，就 以找出許多組對應的

W

₁和

W

_g數據。每

W

k W

₁

W

g

W

₁ 做圖分別得到圖十九(a)(b)

ω=2ω₀=2x608.05(Thz)

W₁(nm 35

45 55 60 65 70 75

)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500

40 50 Wg(nm)

(a)

ω=2ω₀=2x608.05(Thz)

0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05

W₁(nm) (m11+m22)/2

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500

(b)

40

-圖十九(a)1550nm 條件下，

W

₁對

W

_g作圖(b)

W

₁對1/ 2(

m

₁₁ +

m

₂₂)作圖

從計算出的判斷數值發現，當 落在 357nm 到 398nm 之間，

的數值落到小於等於 1 的範圍內，落在這個範圍內的結構參數都是我們要 找的。選取其中的一組數據， =370nm 和 =47.0014nm，來計算能帶圖 和反射率圖，得到下面的結果

W

1

( m

₁₁

+ m

₂₂

) / 2

W

1

W

_g

W₁=374nm W_g=47.0014/each

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

ω_o=608.0500THz

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(二十)

ω

_o=608.05(THz) ，對應的波長

λ

_o=3100nm (a) 反射率圖(b)色散圖

與我們預估的結果一樣，而二倍頻處的電場圖和磁場圖如下

41

-圖二十(c)電場

圖二十(d)電場

也都可以通過。

42

-第五章 結論

1-D 光子晶體中，透過傳輸矩陣的計算發現，改變 厚度可以使特定頻率處的能隙縮小。除了由結構所決定的基頻無法被抑制 外，其他高階頻率處的能隙都可以被我們分別選擇性的抑制，而讓光可以 通過。解釋特定頻率的光可通過的原因可以由色散方程式和阻抗匹配來加 以解釋。三角函數形式的色散方程式可以用來判斷所選擇的結構參數是否 可以讓能隙抑制處的頻率正好是我們所選擇的入射光頻率。而阻抗可以用 來決定光子晶體所需要多少的週期數，足夠的週期數才能有明顯的效益。

使用梯度漸變結構到

43

在文檔中 中 華 大 學 (頁 32-59)