中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：分析一維漸變光子晶體

系 所 別：電機工程學系碩士班 學號姓名：M09301053 蔡奕群 指導教授：吳俊傑 博士

中華民國九十五年八月

摘要

本文主要在討論漸變折射率結構的一維層狀光子晶體。透過特徵傳輸矩 陣法，可以計算出反射率圖、能帶圖、電場圖和磁場圖。由計算的結果發 現，梯度分佈的漸變折射率對於一維層狀光子晶體的能隙具有抑制寬度的 效果。

透過阻抗的計算我們了解是因為阻抗匹配所以造成光可通過。使用三角 函數形式的色散方程式可以判斷所選擇的結構參數，是否會讓光通過。進 一步計算出讓 1550nm 的光在第二能隙處可以通過的結構參數。

這項發現對於後續的光子晶體研究，有一定程度的幫助。

I

Abstract.

This thesis studies the graded-index of o1-D photonic crystal (PC). By transfer matrix method, we can calculate the reflectance diagrams、band-gap diagrams and electromagnetic field diagrams. For the results, the graded-index with step parabolic profile can suppress the band-gap.

After calculating the input impedances, we understood that the impedance matching cause the light pass this structure at a special frequency. By using the dispersion equation with trigonometric form, we can estimate the parameters of this structure if the structure let light go pass. Finally, we follow our designing steps and get the parameters of structure that light with 1550nm wavelength can pass at second fundamental frequency.

It is helpful as study of 2-D photonic crystal structure.

II

誌謝

承蒙吳俊傑老師的指導教誨與鼓勵，使我增廣不少知識並受益良多，

讓我可以順利完成碩士論文與學業，於此僅致上我最誠摯的感謝與敬意。

也要感謝交大的楊宗澤老師在每次 meeting 中的指教，讓我受益不少，

以及謝謝彭松村老師和田慶誠老師給了我不少幫助和意見。在此，由衷感 謝吳俊傑博士、楊宗哲博士和鄭紹家博士在口試時對本論文所提出的珍貴 意見。

還要謝謝在研究所這兩年陪伴我的同學們:人中之龍 真．王者永龍兄、

洪興二當家燿哥、小嫩 B 世育哥、206 軍曹的建鴻哥、206 兵長睿哲兄、天 真活潑餐飲界接班人豪哥、認真無敵振村兄和耿依姊。登山社的小背包王 昱、博學的大興、英勇戰士俏姑娘怡禎、自由自在的偉瑜、下坡王阿強、

不愛吃西瓜的美蘭等等。直排輪社的 Mark 和政家，感謝你們大家豐富了我 的碩士兩年生活，並使我長大了不少。

最重要的，要特別謝謝我最親愛的父親、母親、兩個妹妹，體諒與包 容我，並總是默默的支持著我，媽~我畢業了。

III

總目錄

中文摘要

………

Ⅰ 英文摘要

………

Ⅱ 誌謝

………

Ⅲ 總目錄

………

Ⅳ 表目錄

………

Ⅵ 圖目錄

………

Ⅶ

第一章 序論

1.1 歷史回顧……… 1

1.2 研究動機……… 2

1.3 模型……… 3

第二章 數值方法

2.1 傳輸矩陣……… 5

2.2 反射率的計算……… 10

2.3 色散方程式的推導……… 11

2.4 步階分佈折射率的模擬……… 15

2.5 基頻……… 17

IV

第三章 數值計算結果

3.1 沒有漸變效應的光子晶體反射率圖和能隙圖……… 19 3.2 二氟化鎂與硫化鋅的反射率圖、色散圖、電

場圖和磁場圖……… 21 3.3 矽與硫化鋅的反射率圖、色散圖、電場圖和

磁場圖……… 26

第四章 討論

4.1 二氟化鎂材料改成矽材料，厚度的比較……… 33 4.2 阻抗的觀點……… 33 4.3 光是否可以通過的判斷式……… 34 4.4 兩倍頻處可通過 1550nm 的光波長的結構參

數找尋方法……… 39

第五章 結論

………43

參考資料

……… 44

V

表目錄

表(一) 二氟化鎂層與漸變的硫化鋅層的折射率數據……… 16

表(二) 等光程的結構參數……… 20

表(三) 矽層與漸變的硫化鋅層的折射率數據……… 27

表(四) 各倍頻處能隙被抑制的寬度統計……… 33

VI

圖目錄

圖一 anti-reft coat’s 光譜特性圖……… 1

圖二 光子晶體示意圖……… 2

圖三(a) 統多層膜結構……… 4

圖三(b) 漸變多層膜結構……… 4

圖四 電磁場垂直正入射到單一膜層的電磁場分析圖形………… 5

圖五 兩均勻層所組成的單包結構……… 12

圖六 漸變結構的折射率分佈示意圖……… 15

圖七 1、2、4、8 週期的反射率圖 ……… 19

圖八(a) 光程一樣的反射率圖……… 20

圖八(b) 光程一樣的能帶圖……… 20

圖九(a)

W

1=89nm 的反射率圖 ……… 21

圖九(b)

W

1=89nm 的能帶圖……… 21

圖九(c)

W

1=89nm，二倍頻處附近的電場圖……… 22

圖九(d)

W

1=89nm，二倍頻處附近的磁場圖……… 22

圖十(a)

W

1=40nm 的反射率圖……… 23

圖十(b)

W

1=40nm 的能帶圖……… 23

圖十(c)

W

1=40nm，三倍頻處附近的電場圖……… 23

圖十(d)

W

1=40nm，三倍頻處附近的磁場圖……… 23

VII

圖十一(a)

W

1=22nm 的反射率圖……… 24

圖十一(b)

W

1=22nm 的能帶圖……… 24

圖十一(c)

W

1=22nm，四倍頻處附近的電場圖……… 24

圖十一(d)

W

1=22nm，四倍頻處附近的磁場圖……… 25

圖十二(a)

W

1=13nm 的反射率圖……… 25

圖十二(b)

W

1=13nm 的能帶圖……… 25

圖十二(c)

W

1=13nm，五倍頻處附近的電場圖……… 26

圖十二(d)

W

1=13nm，五倍頻處附近的磁場圖……… 26

圖十三(a)

W

1=78nm 的反射率圖……… 28

圖十三(b)

W

1=78nm 的能帶圖……… 28

圖十三(c)

W

1=78nm，二倍頻處附近的電場圖……… 28

圖十三(d)

W

1=78nm，二倍頻處附近的磁場圖……… 28

圖十四(a)

W

1=34nm 的反射率圖……… 29

圖十四(b)

W

1=34nm 的能帶圖……… 29

圖十四(c)

W

1=34nm，三倍頻處附近的電場圖……… 29

圖十四(d)

W

1=34nm，三倍頻處附近的磁場圖……… 29

圖十五(a)

W

1=19nm 的反射率圖……… 30

圖十五(b)

W

1=19nm 的能帶圖……… 30

圖十五(c)

W

1=19nm，四倍頻處附近的電場圖……… 30

VIII

圖十五(d)

W

1=19nm，四倍頻處附近的磁場圖……… 31

圖十六(a)

W

1=11nm 的反射率圖……… 31

圖十六(b)

W

1=11nm 的能帶圖……… 31

圖十六(c)

W

1=11nm，五倍頻處附近的電場圖……… 32

圖十六(d)

W

1=11nm，五倍頻處附近的磁場圖……… 32

圖十七

W

1=78nm，歸一的阻抗值對周期作圖……… 34

圖十八(a) 在一倍頻處，

W

₁對判別數值作圖……… 36

圖十八(b) 在二倍頻處，

W

₁對判別數值作圖……… 36

圖十八(c) 在三倍頻處，

W

₁對判別數值作圖……… 37

圖十八(d) 在四倍頻處，

W

₁對判別數值作圖……… 37

圖十八(e) 在五倍頻處，

W

₁對判別數值作圖……… 38

圖十九(a) 二倍頻是 1550nm 波長，

W

₁對

W

_g作圖……… 40

圖十九(b) 二倍頻是 1550nm 波長，

W

₁對判別數值作圖……… 40

圖二十(a) 二倍頻是 1550nm 波長的反射率圖……… 41

圖二十(b) 二倍頻是 1550nm 波長的能帶圖……… 41

圖二十(c) 二倍頻是 1550nm 波長，二倍頻處的電場圖……… 41

圖二十(d) 二倍頻是 1550nm 波長，二倍頻處的磁場圖……… 42

IX

第一章 序論

1.1 歷史回顧

1817 年，Fraunhofe 在德國用濃硫酸(或硝酸)去侵蝕玻璃，偶然第一次 在實驗室獲得減反射膜。直到 1945 年，單層的減反射膜才應用在眼鏡的製 造上。雖然 1938 年美國與歐洲研製出雙層減反射鏡，但直到 1949 年才製 造出優質的產品。自 1950 年代，鍍膜工藝和電腦輔助設計兩個方面的進步，

使得光學薄膜得以快速發展。光學元件鍍膜的主要的目，是用來改變光譜 特性圖(一) ﹔另外也有消除鬼影，色彩平衡調整及鏡面保護的功用。

λ R

λ R

λ R

抗反射 高反射 中度反射射

λ λ λ

短波長通過 長波長通過 單波長通過

T T T

(圖一) anti-reft coat’s 光譜特性圖

- 1 -

舉凡日常生活中的眼鏡、照相機和光學設備(如傳真機、雷色印表機、掃描 器等)或是光學儀器中的抗反射鏡、高反射鏡、分光鏡、帶通濾光鏡等光學 元件都有鍍膜應用下的成果。

1987 E. Yablonovitch [1]及 S. John[2]不約而同地指出，光子系統中有光 子能隙的存在。後來並發展出一維、二維和三維的光子晶體，如圖(二)，

圖(二)光子晶體示意圖

這種新材料的發展，應用很廣。以一維光子晶體的應用來說，環型的一維 光子晶體應用在光纖的大角度彎曲處可以抑制光的溢出。而一維光子晶體 的全向性反射的特性，也可以用來提升 GaN-based LED 的激光效率，進一 步改善面射型雷射(Vertical-cavity Surface-emitting Lasers)的效率[3]。

1.2 研究動機

大部分討論到的光子晶體，都是以矽和空氣組成，研究的問題偏重在如

- 2 -

何擴大能隙寬度。能隙越寬所能涵蓋的頻寬也就越大。如果希望光子晶體 不只是用在作為傳輸光訊號的媒介，例如對頻率具有選擇性，那麼如何減 少或消失某一特定頻率的能隙寬度，是一個值得探討的問題。

通常，增加折射率差異可以擴大能係寬度。如果，使用步階漸變的結構 來減緩折射率間的變化量，能隙的效應就不會這麼的明顯。基於這個想法，

我們使用步階漸變折射率的分佈，用在基礎的一維的光子晶體結構，觀察 能隙的變化。

1.3 模型

最簡單的多層膜結構就是圖三(a) 。由兩層均勻材料層所組成的一個週 期結構，反覆堆疊而成。圖三(a)這個結構，由於可透過調整材料折射率間 的差異來增加能隙寬度，所以折射率差值的存在是造成能隙產生的因素之 ㄧ。假如使用漸變結構來減緩折射率之間的變化量，或許可以看到能帶圖 不一樣變化。所以我們替換其中一個均勻材料，改以折射率漸變的材料取 代，就得到圖三(b)的結構。其中，漸變折射率分佈是選擇用開口向下的線 形式來排列組合，達到減緩折射率之間的變化量差異。

- 3 -

傳統 改變

一個週期 一個週期

(a) (b) 圖三(a)傳統多層膜結構(b)漸變多層膜結構

- 4 -

第二章 數值方法

目前在分析光子晶體的方法有許多種，例如平面波展開法(Plane Wave Method)[4.5]、傳輸矩陣法(Transfer Matrix Method)[4.6]和時域有限差分法 (Finite Difference Time Domain Method)[7]。其中傳輸矩陣法是最適合用來計 算多層膜結構和一維光子晶體，除了容易學習，相較於平面波展開法，還 可以計算有限週期數的結構。所以接下來我們就詳細說明傳輸矩陣法是如 何計算的。

2.1. 傳輸矩陣

首先，考慮沿 x 方向厚度為 d 的單一膜層結構，y 和 z 方向是無限延伸。如 圖(四) 。

0

d

z

η

2

Ι

Hr Ι

Er

y

η

1

x

η

o

E

Ιi Ι

H

i

Π

E

t Π

H

t

Ι

H

t

E

Ιt '

rΠ

E

'

Π

Hr H^rΠ

Π

Er

Π

E

i Π

H

i

- 5 -

圖(四) 電磁場垂直正入射到單一膜層的電磁場分析圖形

假設膜層的兩邊填滿半無限的介質材料，其本質阻抗分別為

η

_o和

η

₂，而膜 層的本質阻抗為

η

₁。假設入射波從左邊主平面垂直入射到此單一膜層。左 邊邊界(Ⅰ)處電磁場的邊界條件為

: _Ι+ _Ι = _Ι+ '_Π

Ι

E E E E

_r

E

_{i r t} (1.a)

: _Ι− _Ι = _Ι− '_Π

Ι

H H H H

_r

H

_{i r t} (1.b)

而右邊邊界(Ⅱ)處電磁場的邊界條件

Π Π Π

Π

E

_i +

E

_r =

E

_t

E :

(1.c)

Π Π Π

Π

H

_i −

H

_r =

H

_t

H :

(1.d)

透過本質阻抗的定義

H

=

E

η (2)

其中 _o

n n

o

π

ε

η

=

μ

⋅1 =¹²⁰

- 6 -

磁場可以由電場來表示，所以方程式(1.b)和方程式(1.d)可以改寫為方程式 (3.a)和方程式(3.b)

1 '

:

η η

^Π

= −

− Ι Ι

Ι Ι ^r

E E E

H E

^t

o r

i (3.a)

2 1

: ^Π

η

^Π

η

^Π

Π

E

_i −

E

_r =

E

_t

H

(3.b)

由於我們選擇電磁場垂直入射，所以通過厚度 d 的介質層後，相位的改變 量為

kd d

=

λ

⋅

π

2

(4) 其中

λ

π

=2

k

傳播常數

因此

E

ti與

E

_iΠ和

E

_rΠ和 ^'_Π透過改變的相位量可以連結成下面的關係式子

E

r

jkd i

t

E e

E

_Ι = _Π⋅ ⁺ (5.a)

jkd

r

e

E E

r

Π⋅ −

Π =

' (5.b)

接下來我們使用 和 來表示邊界處(Ⅰ)的電磁場，所以方程式(1.a)和方程 式(3.a)可以寫成

Ι Π

E E

- 7 -

'

+ Π

= _Ι

Ι

E E

_r

E

_t (6.a)

1 '

η

^Π

= ^Ι−

Ι ^r

E

H E

^t (6.b)

同樣的，邊界處(Ⅱ) 也有相同的寫法

Π Π Π =

E

_i +

E

_r

E

(7.a)

η

1 ^Π Π Π

=

E

ⁱ −

E

^r

H

(7.b)

接下來把方程式(5.a)和方程式(5.b)帶入方程式(6.a)和方程式(6.b) ，解聯立 方程式，可以得到

E

i_Π和E_rΠ

jkd

i E H e

E_Π

= (

_Ι

+

_{Ι Ι}

)

⁻

2

1

η (8.a)

jkd

r E H e

E_Π

= (

_Ι

−

_{Ι Ι}

)

⁺

2

1

η (8.b)

然後，把方程式(8.a)和方程式(8.b)帶入方程式(7.a)和(7.b) ，就會得到透過 邊界處(Ⅰ)的電磁場來表示在邊界處(Ⅱ)的電磁場的關係式子

- 8 -

jkd

jkd E H e

e H E

E_Π

=

_Ι

+

_Ι ⁻

+ (

_Ι

−

_Ι

)

⁺

2

) 1 2 (

1

1

1 η

η (9.a)

] ) 2 (

) 1 2 (

[ 1 1

1 1

1

jkd

jkd E H e

e H E

H_Π

=

_Ι

+

η _Ι ⁻

−

_Ι

−

η _Ι ⁺

η (9.b)

整理後

+ Ι Ι −

+

Π

=

e−

+

e E

+

e

−

e H

E ^{jkd jkd}

(

^{jkd jkd}

) 2

) 1 2 (

1

η1 (9.c)

+ Ι Ι −

+

Π

=

e−

−

e E

+

e

+

e H

H ^{jkd jkd}

(

^{jkd jkd}

) 2

) 1 2 (

1 1

η1 (9.d)

使用尤拉方程式

) sin(

)

cos(

kd i kd

e

^+jkd = + (10.a)

) sin(

)

cos(

kd i kd

e^−jkd

= −

(10.b)

把(9.c)和(9.d)替換成為三角函數的形式就會得到

Ι Ι

Π

=

kd E

−

i kd H

E

cos( )

η₁

sin( )

(11.a)

Ι Ι

Π

= −

kd E

+

kd H

H

1 sin( ) cos( )

η1 (11.b)

改以矩陣的形式表達方程式(11.a)和方程式(11.b)，得到

- 9 -

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅ ⎡

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

Ι Ι Π

Π

H E kd

kd i

kd i

kd H

E

) cos(

) 1 sin(

) sin(

) cos(

1

1

η

η

(12)

其中傳輸矩陣 T

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

= 1 sin( ) cos( ) ) sin(

) cos(

1

1

kd kd

i

kd i

kd T

η

η

(13)

是厚度 d 的薄膜對於通過的電磁波的相位所造成的效應。

2.2. 反射率的計算

仍然考慮圖(四)這樣一個結構，由方程式(1.a)(1.b)(1.c)(1.d)邊界處的電磁場 可以分別由

E

_Ιi、

E

_tΠ和

E

_rΙ表示如下

Ι Ι Ι=

E

_i +

E

_r

E

(14.1)

o r

i E

H E

η

^Ι

Ι Ι

= −

(14.2)

Π=

E

_tΠ

E

(14.3)

η

2^Π Π=

E

^t

H

(14.4)

把方程式(14.1)(14.2)(14.3)(14.4)分別帶入方程式(12)得到

- 10 -

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ + −

⎥ ⋅

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

Ι Ι

Ι Ι Π

Π

o r i

r i t

t

E E

E E kd

kd i

kd i

kd E

E

η η

η η ^{sin( ) cos( )}

1

) sin(

) cos(

1

1

2

(15)

其中 (15)式包含兩個方程式以及三個未知數( )，所以可以經由計 算推導出 / 和 / 的比值，也就是反射係數(reflection coefficie-

E

Ιi

E

_tΠ

E

_rΙ

Ι

E

r

E

_Ιi

E

_tΠ

E

_Ιi

nt) r和透射係數(transmission coefficient) t，分別如下

D C B

A

D C B

A E

r E

o o

o o

i r

2 2

2

2

η

η η η

η η η η

+

−

−

+ +

−

= −

=

Ι

Ι (16.a)

D C B

A

C B D A E

t E

o o

i t

2 2

2

( )

2

η η η η

η

+

−

−

⋅

−

= ⋅

=

Ι

Π (16.b)

其中

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

) cos(

) 1 sin(

) sin(

) cos(

1

1

kd kd

i

kd i

kd D

C B A

η

η

透過方程式(16.a)(16.b)求得反射率(reflectance)和穿透率(transmittance)的值

r*

r

R

= ⋅

(17.a)

t*

t

T

= ⋅

(17.b)

2.3. 色散方程式的推導

- 11 -

考慮一維光子晶體中一個單包的結構，如圖(五) 。是由兩個材料所組 成，沿 y 和 z 方向是無限延伸，本質阻抗分別為

η

₁和

η

₂，傳播常數分別為 和 。而單包的左邊和右邊分別假設是半平面無限延伸的材料，其本質阻 抗分別為

k

1

k

2

η

o和

η

₃。

η

1

η o η

₂

η

₃

k

1

k

₂

x y

z

d

1

d

2

單胞

圖(五) 兩均勻層所組成的單包結構

假設我們考慮圖(五)這樣一個兩層的結構，所對應的傳輸矩陣分別為

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

) cos(

) 1 sin(

) sin(

) cos(

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1

d k d

k i

d k i

d k

η

η

(18.a)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡− −

) cos(

) 1 sin(

) sin(

) cos(

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

d k d

k i

d k i

d k η

η

(18.b)

- 12 -

其中

1 1

2 λ

= π

k

_，

2 2

2 λ

= π k

則一個單包所對應的傳輸矩陣是方程式(18.a)和方程式(18.b)的乘積

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

⎥ •

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

) cos(

) 1 sin(

) sin(

) cos(

) cos(

) 1 sin(

) sin(

) cos(

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1

d k d

k i

d k i

d k d

k d

k i

d k i

d k

η

η η

η

(18.c)

我們用矩陣

M

來取代方程式(18.c) 乘開後的矩陣，而 、 、 和 分 別代表 M 矩陣的元素

m

11

m

₁₂

m

₂₁

m

₂₂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

22 21

12 11

m m

m

M m

(18.d)

使用特徵值和特徵向量來描述矩陣

M

，特徵值

λ

、特徵向量

X

和矩陣

M

有一關係式

X

MX = λ

^(19.a)

因為特徵向量

X

不為零向量，所以

= 0

− I

M λ

^(19.b)

(19.b)經過矩陣運算可以得到方程式(19.c)，稱為特徵值方程式。

- 13 -

( m

₁₁

− λ )( m

₂₂

− λ ) = 0

^(19.c)

假設兩個特徵值分別為

λ

₁和

λ

₂，則特徵值方程式也可以表示為

0 ) )(

( λ − λ

₁

λ − λ

₂

=

^(19.d)

比較方程式(19.c)和(19.d)我們得到

22 11

2

1

+ λ = m + m

λ

^(20.a)

2

1

1

⋅ λ =

λ

^(20.b)

由方程式(20.b)，合理假設特徵值為指數形式，而且互為倒數，則特徵值可 以表示為

e

⁻

jkd

1

=

λ

^(21.a)

e

⁺

jkd

2

=

λ

^(21.b)

把方程式(21.a)和(21.b)代入(20.a)並把方程式(18.c)乘開後的 和 一併 帶入後，獲得

m

11

m

₂₂

- 14 -

) sin(

) sin(

) (

) cos(

) cos(

2

1 1 2 2

1 2

2 1 2

2 1

1

d k d k d k d

k e e

^{jkd jkd}

η η η η ₊

−

=

+

⁺

−

(22.a)

把左邊的指數透過尤拉公式換成三角函數，最終我們得到一個三角函數形 式的色散方程式 :

) sin(

) sin(

) 2 (

) 1 cos(

) cos(

)

cos(

1 1 2 2

1 2

2 1 2

2 1

1

d k d k d k d

k

kd η

η η η ₊

−

=

^(22.b)

其中

d = d

₁

+ d

₂

2.4. 步階分佈折射率的模擬

透過多層膜的堆疊和折射率的安排，我們可以表現出一個漸變結構，其中 折射率是對稱步階線的分佈，如圖(六)

n

x n

1

n

4

n

3

n

2

n

5

n

⁶

n

⁷

n

8

n

9

n

10

n

11

n

12

一個週

放大

- 15 -

圖(六) 漸變結構的折射率分佈示意圖

這裡我們使用到漸變光纖的折射率公式，來獲得梯度分佈的折射率值

5 ]

) ( 2 1

[

^1/2

7

− Δ =

=

a

a n r

n ^α (23)

假如選用氟化鎂的折射率 1.38 為 的值，而硫化鋅(ZnS)材料為漸變結構中 最高的折射率值( )。為了得到折射率分佈，所以選擇

n

1

35 .

7 =2

n α

=2 。而

Δ

的

選擇，是以漸變層邊界的折射率值( 和 )要接近但不小於氟化鎂的折射 率值( )為選取的準則，為的是讓折射率值平滑的改變。當 r=1 可以得到 和 的值，當 r=2 可以得到 和 的值，依此類推下去可以得到一組折射 率的數據，如表(一)

n

2

n

12

n

1

n

6

n

8

n

₅

n

₉

表(一) 二氟化鎂層與漸變的硫化鋅層的折射率數據

折射率符號 折射率值 膜層寬度(nm)

n

1 1.3800

W

₁

n

2 1.4100 11

n

3 1.8057 11

n

4 2.0616 11

n

5 _{2.2264 11}

- 16 -

n

6 2.3197 11

n

7 2.3500 11

n

8 _{2.3197 11}

n

9 2.2264 11

n

10 2.0616 11

n

11 1.8057 11

n

12 1.4100 11

其中，我們已經先固定漸變層每一層的寬度都是 11nm。表(一)的折射率，

理論上可以使用電漿輔助化學氣相沉積法(Plasma Enhanced Chemical Vapor Deposition ﹔PECVD)製造的不同折射率的氮氧化矽(SiOxNy)膜層來實現。

但須考量，目前的技術所能製造的範

圍，而對各層折射率做修正。

2.5. 基頻

使用等效折射率的想法，我們可以得到一個由結構參數所決定的一個特 殊的頻率，稱為基頻

ω

_o，如果考慮圖(五)的結構，基頻會是

2 2 1 1

0

n d n d

w c

= +

π

(24)

- 17 -

其中 c 是光速

有了上述的理論推導和折射率數據後，接下來是我們的計算結果

- 18 -

第三章 數值計算結果

3.1 沒有漸變效應的光子晶體反射率圖和能隙圖

接下來我們透過前面的數學方法寫成計算機程式碼，計算反射率，利用反 射率和被基頻歸一後的頻率作圖，計算不同週期數目得到圖(七)，隨著週期 數的增加，反射率圖上的能隙寬度隨之收斂。

ω/ω_o

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

period 1 period 2 period 4 period 8

圖(七) 1、2、4、8 週期的反射率圖

假如仍然考慮圖(五)的結構，假如讓每一層的光程相等，則在偶數倍頻處的 頻率可以在色散方程式(22.b)中找到對應的 值，滿足色散方程式的結果造

k

- 19 -

成在偶數倍頻處光可以通過。在光層一樣的條件要求下，一組合理的數據 列於表(二)

表(二)等光程的結構參數

折射率 寬度(nm) 材料 1

n

_a=1.38

d

_a=126 材料 2

n

_b=2.35

d

_b=74

在使用計算反射率和能帶圖的方法我們透過計算機得到下面圖形的結果

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω/ωo

0 1 2 3 4 5

3.14 5.5

0 1 2 3 4 5

ω/ω0

(a) (b)

圖(八.)

n

_a

d

_a

= n

_b

d

_b，

ω

_o=2710.0(THz)，對應的波長

λ

_o=695.6nm (a)反射率圖(b)能隙圖

從圖八(a)中，偶數倍頻處的反射率不再為 1，而在圖八(b)相同頻率處的能

- 20 -

隙寬度消失，這與我們之前對色散方程式的分析結果一樣。證實能帶圖和 反射率圖可互相呼應，而且我們的程式確實可以拿來作為觀察反射率和能 隙的計算工具。

3.2 二氟化鎂與硫化鋅的反射率圖、色散圖、電場 圖和磁場圖

在表(一)中，選取氟化鎂的折射率 1.38 為 的值，在漸變結構的寬度和 折射率值不改變的情況下，分別計算 =89nm、40nm、22nm 和 13nm 的反 射率圖和能帶圖。此外由傳輸矩陣，我們也計算了能隙消失處頻率附近的 電場圖和磁場圖。得到如下的結果

n

1

W

1

Case 1 :

W

₁=89nm，計算反射率和能帶圖得到

W₁=89nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W₁=89nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(九)

ω

_o=2583.7(THz)，對應的波長

λ

_o=729.6nm - 21 -

(a) 反射率圖(b)色散圖

可以從圖九(a)的 2

ω

_o頻率處看到反射率值不再為 1，對應到圖九(b)的位置，

能隙消失。計算 1.9

ω

o、2

ω

o和 2.1

ω

o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

(d)

圖(九)計算 2

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

可以看出在 2

ω

o處的電場和磁場可以通過。

case 2 :

W

₁=40nm，計算反射率圖和能帶圖得到

- 22 -

W₁=40

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W₁=40nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十)

ω

_o=3171.6(THz)，對應的波長=794.32nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在圖十(a) 的 1

ω

_o、2

ω

_o、4

ω

_o和 5

ω

_o處的反射率達到 1，對應到圖十(b)上，

有能隙寬度的存在。而在 3

ω

_o處的反射率不再達到 1，對應能帶圖上，能隙 寬度消失。計算 2.9

ω

_o、3

ω

_o和 3.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

- 23 -

(d)

圖(十)計算 3

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 3

ω

_o處的電場和磁場可以順利通過。

case 3 :

W

₁=22nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=22nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W1=22nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十一)

ω

_o=3460.9(THz)，對應的波長

λ

_o=544.6nm (a) 反射率圖(b)色散圖

由圖十一(a)發現在 1

ω

_o、2

ω

_o、3

ω

_o和 5

ω

_o處有能隙，對應到圖十一(b)上，

可以看到能隙寬度的存在。在4

ω

_o處，圖十一(a) 和圖十一(b)都告訴我們沒 有能隙存在。計算 3.9

ω

_o、4

ω

_o和 4.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

- 24 -

(c)

(d)

圖(十一)計算 4

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在頻率 4

ω

_o處的電場和磁場都可以通過。

case4

W

₁=13nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=13nm

κd

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

W₁=13nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω

/

ω

0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十二)

ω

_o=3626.2(THz)，對應的波長

λ

_o=519.8nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

_o、2

ω

_o、3

ω

_o和4

ω

_o處都有能隙，而在 5

ω

_o處就沒有。計算 4.9

ω

_o、

- 25 -

5

ω

_o和 5.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

(d)

圖(十二)計算 5

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在頻率 5

ω

_o處的電場和磁場都可以通過。

3.2 矽與硫化鋅的反射率圖、色散圖、電場圖和磁 場圖

選擇矽的折射率 1.5，滿足我們邊界要求的

Δ

=0.29，而對應的折射率如表(三)

表(三) 矽層與漸變的硫化鋅層的折射率數據

- 26 -

折射率符號 折射率值 膜層寬度(nm)

n

1 _1.5000

W

₁

n

2 _{1.5230 11}

n

3 _{1.8635 11}

n

4 _{2.0903 11}

n

5 _{2.2383 11}

n

6 _{2.3226 11}

n

7 _{2.3500 11}

n

8 _{2.3226 11}

n

9 _{2.2383 11}

n

10 _{2.0903 11}

n

11 _{1.8635 11}

n

12 _{1.5230 11}

計算結果如下

case 1 :

W

₁=78nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

- 27 -

W₁=78nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0 1 2 3 4 5

W₁=78nm

κd

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω/ω0

0 1 2 3 4 5

(a) (b)

圖(十三)

ω

_o=2591.5(THz)，對應的波長

λ

_o=727.36nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

o、3

ω

_o、4

ω

_o和5

ω

_o處都有能隙，而在 2

ω

_o處就沒有。計算 1.9

ω

o、 2

ω

o和 2.1

ω

o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

圖(十三)計算

(d)

2

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 2

ω

_o處的電磁場可以通過。

- 28 -

case 2 :

W

₁=34nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=34nm W₁=34nm

κd R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0 1 2 3 4

5 5

0 1 2 3 4

ω/ω0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(a) (b)

圖(十四)

ω

_o=3166.1(THz)，對應的波長

λ

_o=595.36nm (b)色散圖

1

(a) 反射率圖

ω

o、2

ω

_o、4

ω

_o和5

ω

_o處都有能隙，而在 3

ω

_o處就沒有。計算 2.9

ω

_o

在 、

3

ω

o和 3.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

- 29 -

(d)

圖(十四)計算 3

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 3

ω

_o處的電磁場可以通過。

case 3 :

W

₁=19nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=19nm

R

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0

W₁=19nm

κd 1

2 3 4 5

0 2 3 4 5

ω/ω0

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(a) (b)

圖(十五)

ω

_o=3424.957(THz)，對應的波長

λ

_o=550.36nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

o、2

ω

_o、3

ω

_o和5

ω

_o處都有能隙，而在 4

ω

_o處就沒有。計算 3.9

ω

o、 4

ω

o和 4.1

ω

o處的電場和磁場得到下面的圖形

(c)

- 30 -

(d)

圖(十五)計算 4

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

ω

o

在 4 處的電磁場可以通過。

case 4 :

W

₁=11nm，計算得到的反射率圖和能帶圖如下

W₁=11nm

R

W₁=11nm

κ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ω/ω0

0 1 2 4 5

3

d 0

1 2 3 5

4

ω/ω0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(a) (b)

圖(十六)

ω

_o=3581.12(THz)，對應的波長

λ

_o=526.36nm (a) 反射率圖(b)色散圖

在 1

ω

_o、2

ω

_o、3

ω

_o和4

ω

_o處都有能隙，而在 5

ω

_o處就沒有。計算 4.9

ω

_o、 5

ω

o和 5.1

ω

_o處的電場和磁場得到下面的圖形

- 31 -

(c)

(d)

圖(十六)計算 5

ω

_o頻率附近的電場和磁場圖(c)電場(d)磁場

在 5

ω

_o處的電磁場可以通過。

- 32 -

第四章 討論

4.1 二氧化鎂材料改成矽材料，厚度的比較

第三章主要計算了二氧化鎂和矽這兩種材料搭配漸變結構層來計算，關 能隙消失處的 值和搭配的材料寬度，列表於表(四)

表(四) 各倍頻處能隙被抑制的寬度統計

二氧化鎂(1.38) 矽(1.5)

W

1

於

第_二能隙消失的

W

_{1 89nm 78 nm}

第三能隙消失的

W

₁ 40 nm 34 nm 第四能隙消失的

W

₁ 22 nm 19 nm 第五能隙消失的

W

₁ 13 nm 11 nm

二氧化鎂的折射率是 1.38 而矽的折射率是 1.5，漸變層的最高折射率度 固定為 2.35 的硫化鋅。由於矽的折射率值比較接近硫化鋅的折射率值，所 以需要的 寬度比二氧化鎂的寬度小。

4.2

為了解釋能帶消失的現象我們計算了輸入阻抗，以圖(十三)的結構參數 為例子，計算週期數對輸入阻抗作圖，其中阻抗的實部和虛部分別對空氣 的阻抗( Za=377 )做歸一，得到圖(十七)

W

1

阻抗的觀點

- 33 -

2ω_o can pass (n₁=1.50 W₁=78nm)

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 1.0 1.2

period

100 200 300 400 500

0.6 0.8

Z in /Za

real part imaginary part 1

圖(十七)

在一個週期的時候，歸一的阻抗值為 0.9928+0.0247i，代表此結構和右邊的 半無限大的空氣層相互匹配，所以光可以通過。

4.3 光是否可以通過的判斷式

以色散方程式來看這樣一個現象，可以解釋成 :

- 34 -

這樣一個步階結構決定了一個色散方程式，假如入射光的頻率可以滿足色散方程

，光就無法通過

接下來我們透過色散方程式來判斷一組 的現象。

如圖(六) 。 所對應的色散方程式為

(25)

其中

T T T T T T T T T T T T

₂

m m

= • • • • • • • • • • •

⎢ ⎥

是第 i 層的特徵矩陣

程式(25)可以變成一個判斷光是否可以通過這樣一個結構的判斷式子 式，光就可通過 ﹔不滿足，就會在那頻率處產生能隙

結構參數是否滿足發生能隙被抑制

考慮我們的漸變結構是由 12 層均勻折射率的薄膜所構成，

11 22

cos( kd ) 1/ 2( = m + m )

11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

21 22

m m

⎡ ⎤

⎣ ⎦

T

i

方

1 ) (

2 /

1 m

₁₁

+m

₂₂

<

光可以通過 (26.a)

1 ) >

m

光不可以通過

( 2 /

1 m

₁₁

+

₂₂ (26.b)

採用表 的漸變折射率，改變不同的 所計算得到的 數值 做圖，得到不同頻率處的圖形

(一)

W

₁

1/ 2( m

₁₁

+ m

₂₂

)

- 35 -

在頻率為 1

ω

_o處

ω=1ω

₀

-1.14 -1.12 -1.10 0 -1.02 -1.00

W₁(nm)

-1.06 -1.04

+m22)/2(m11 -1. 8

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

圖十八(a) 在頻率為 2

ω

_o處

ω=2ω

₀

W₁(nm)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0.98

1.00 0 1.04 1.06 1.08

+m22)/2(m11 1. 2

圖十八(b)

- 36 -

在頻率為 3

ω

_o處

ω=3ω

₀

W₁(nm)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 -1.05

-1.04 -1.03 -1.02 -1.01 -1.00 -0.99

(m11+m22)/2

0 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

圖十八(c) 在頻率為 4

ω

_o處

ω=4ω

₀

W₁(nm)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0.99

1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05

(T11+T22)/2

00 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

圖十八(d)

- 37 -