壓力耦合效應之評估

圖 4-13 顆粒初始分佈圖

壓力耦合及附加質量效應均與顆粒濃度有直接的關係，我們尚未清楚壓力耦 合及附加質量效應開始產生顯著影響的濃度臨界值為多少，因此本研究採用 Chou et al.(2014)的模擬參數，0.0128 及 0.0512 兩種濃度來進行模擬，以驗證在相同的理 論架構下，Eulerian 與 Lagrangian 法皆能捕捉到相同的流場特性。

我們先觀察沉降初期顆粒的散佈情形，如圖 4-14(a)所示，在沉降時間達 0.8 秒時，流體交界面處已有擾動產生，再觀察流場的垂直速度場分佈可發現，此時 交界面已開始有垂直方向的對流。時間進展至 1.6 秒時，如圖 4-14(c)，已有相當 明顯的 RT 不穩定性現象發生，而相同時間下的流場垂直速度分佈顯示出，原先小 尺度的對流已有明顯的成長。沉降時間達 2 秒後，如圖 4-14(e)，流場已由大尺度 的混合運動主導，有部分顆粒被往上的水流捲至上方區域，此時的流場可看到垂 直方向的對流運動已發展至與流場尺度相當的規模，由於在 0.0128 的濃度下，各 模式的流場情況與顆粒散佈幾乎相同，故僅說明壓力耦合模式的結果，而由 Chou et al.(2014)以 E-E model 所作的模擬結果來看，在初始濃度為 0.0128 的條件下，壓力 耦合模式與傳統固液系統模式並沒有任何明顯的差異，而我們結果符合這個結 論。

(a)顆粒散佈 t=0.8s

(c)顆粒散佈 t=1.6s

(e)顆粒散佈 t=2.0s

(b)流場垂直速度 t=0.8s

(d)流場垂直速度 t=1.6s

(f)流場垂直速度 t=2.0s

為了瞭解在此濃度之情況下，各模式的差異對於沉降距離是否真的沒有顯著 的影響，我們將不同深度的的顆粒體積分率對x−z平面取平均值，然後描繪出顆 粒平均濃度隨深度之變化，如圖 4-15 所示，各模式在沉降達 2 秒時所呈現出的結 果幾乎完全一致，我們認為應是濃度不夠高的緣故，因為壓力耦合與附加質量效 應均與顆粒的濃度有關聯，故後半部分我們將濃度提高四倍後再作觀察。

圖 4-15 顆粒體積分率之垂直分佈(t = 2s)。

此部分說明濃度為 0.0512 的範例，壓力耦合與附加質量均會隨著濃度提高而

圖 4-16 壓力耦合模式之顆粒散佈與流場垂直速度(z=0.02m) (a)顆粒散佈 t=0.4s

(c)顆粒散佈 t=0.8s

(e)顆粒散佈 t=1.2s

(b)流場垂直速度 t=0.4s

(d)流場垂直速度 t=0.8s

(f)流場垂直速度 t=1.2s

我們將不同時間點下各模式的顆粒體積分率以x−z平面取平均後描繪出來，

時間分別為 1.2 秒、1.6 秒及 1.9 秒。首先看到沉降時間達 1.2 秒時的垂直分佈，如 圖 4-17 所示，深度-0.02m 以上的區域幾乎完全一樣，而在-0.02m 以下的區域僅有 些微的差異，整體來說各模式的結果並沒有顯著的不同。

圖 4-17 顆粒體積分率之垂直分佈(t=1.2s)。

接著看沉降達 1.6 秒時的垂直分佈情況，如圖 4-18，在深度-0.02m 至-0.03m 的區域中，壓力耦合的顆粒濃度較其它兩者來得高，而在深度-0.04m 至-0.08m 的 區域中，壓力耦合的顆粒濃度則較其它兩者來得低，此兩點即說明壓力耦合模式 的顆粒沉降速度較慢，故才會產生上層濃度相對較高，而下層濃度相對較低的情 形。其中壓力耦合模式與附加質量耦合模式的差異最為明顯，兩者理論上的差別 僅為顆粒有無受到動壓的影響以及流體之不可壓縮性，故可最直接顯示出壓力耦 合對於顆粒運動的重要性，而從結果來看，壓力耦合的確對顆粒沉降有顯著的影 響。

圖 4-18 顆粒體積分率之垂直分佈(t=1.6s)

當顆粒沉降時間達 1.9 秒之時，已有相當多的顆粒在底部沉積，如圖 4-19 所 示，經歷較長的沉降時間後，壓力耦合的效應開始逐漸展現出來，與理論差異最 小的附加質量耦合模式比較後可發現，壓力耦合模式的沉降速度到後期明顯較慢，

在深度為-0.03m 的地方，兩者顆粒濃度的差距將近 25%。而將壓力耦合模式與傳 統模式比較後發現，雖然並沒有如同附加質量模式那般差異顯著，但在深度-0.02m 至-0.035m 的區間，壓力耦合的濃度仍是較傳統模式來得大，且就下半部區域的分 佈來看，壓力耦合的濃度幾乎都比其他兩者來得低，故我們可以得知在高濃度且 足夠長的沉降時間下，壓力耦合的影響會十分顯著。

壓力耦合會造成顆粒沉降較慢的原因，可以從流場的壓力分佈來瞭解，如圖 4-20 所示，流場壓力在底部為正值，而自由液面處為負值，故可知 y 方向的壓力 梯度為負值(∂ ∂ <P y 0)。從壓力耦合模式的顆粒運動方程式可知，顆粒所受到的壓 力影響之形式為壓力梯度的負值，可見(2-13)式，因此顆粒在沉降的過程中， y 方 向持續受到一向上的作用力，經歷較長時間的沉降後，壓力梯度造成的緩速效果 逐漸展現出來，便呈現出沉降速度較慢的結果。

圖 4-19 顆粒體積分率之垂直分佈(t=1.9s)

圖 4-20 壓力耦合模式之壓力分佈(t = 1s)

由高濃度的範例可發現壓力耦合的效應相當明顯，而壓力耦合的概念即是流

我們亦對中等濃度(φ₀ =0.0128)做了相同的模擬，同樣以x−z平面取平均後描 繪出來，如圖 4-22 所示，與濃度 0.0512 的情況相當類似，顆粒相造成的壓力與總 動壓在同一值級內，此說明即便是在中等濃度的情況下，顆粒流動所引起的壓力 仍是不可忽視的。而我們亦發現同樣使用壓力耦合模式進行模擬，中等濃度範例 的總動壓差明顯小於高濃度範例，此即說明為何在高濃度的情況下顆粒沉降較慢 的情況相對明顯，因為顆粒所受的動壓梯度隨著濃度而增大，即是+y方向的作用 力變大，故濃度提高使得壓力耦合的效應逐漸產生顯著的影響，當濃度達到 0.0512 並經歷較長的沉降時間後，壓力耦合模式的顆粒便明顯比其他模式要沉降得慢。

圖 4-22 壓力耦合與純顆粒流動之壓力分佈(t=1s,φ₀ =0.0128)