复数的几何表示

􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉

教材线索

本节首先回顾了实数的几何表示法,由此得到启发,联想到用平面上的点和向量来表示 复数,即复数a+bi可以用平面上的点 P(a,b)表示,也可以用向量OP→=(a,b)表示, 其次通过向量模的定义给出了复数z 的模|z|= a²+b²及共轭复数与复数模之间的关系:

6

湖南教育出版社

9

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

教材习题参考解答

5.2 练习 (教材 P.85)

1.实部分别是-1, 22,2,0;虚部分别是1, 22,- 2,-12.

2. (1)

x=-23,

y=-4 3.

ì

î í ï ïï ï ï

(2)x=-8,

{

y=3 ^或

{

_y=-8.^x=3,

3. 略

习题1(教材 P.86) 1.D. 2.A. 3.A.

4. (1) a=2, b=-1.

{

⁽²⁾

{

_b=3^a=1,或

{

_b=-3.^a=-1,

5.(1)m=5. (2)m=3或 m=-2. (3)m≠5且 m≠-3,m∈R.

5.3 练习 (教材 P.91)

1.(1)3+4i. (2)-4. (3)10. (4)i. 2.m=± 2.

3.(1)x=-1+ 2i或x=-1- 2i.(2)x=2+i或x=2-i.

习题2(教材 P.91) 1.z²=-12+ 3

2i,z³=1,z²+z+1=0. 2.a⁴=-4.

3.x=14+ 7

4i或x=14- 7 4i.

4.(1)-1,-i,1,i.(2)i^4k=1,i^4k+1=i,i^4k+2=-1,i^4k+3=-i,i¹⁰⁰=1.

(3)2015÷4=503……3,原式=503×(1+i+i²+i³)+1+i+i²=i.

5.(1)z=1-i.(2)z=12+7 2i.

5.4 练习 (教材 P.101) 1.图略, 10,2 5,5,6, 612

0 0

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

2.a=0. 3.- 3<k<- 2或 2<k< 3.

习题3(教材 P.101) 1.四.

2.图形是以原点为圆心,分别以2,5为半径的圆围成的圆环 (含边界).

3.(1)k 值不存在. (2)k=5.

4.设z=x+yi (x,y∈R).(1)z+z=x+yi+(x-yi)=2x∈R.

(2)若z 是实数,则y=0,z=x=z;又若z=z,则x+yi=x-yi,所以y=0,故 z=x∈R.所以z 是实数⇔z=z.

5.根据向量的三角形法则及三角形三边长的性质证明.

复习题五 _{(教材 P.104)}

1.D. 2.α=π2或α=3π2 . 3.1. 4.2i.

5.(1)z=1-i. (2)z=12+ 7

2i或x=12- 7 2i.

(3)z=3+4i. (4)z=4+3i或z=-4-3i.

6.|z1-z2|= 2.

7.|z-i|的最大值是3.

8.△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

9.在直角坐标系中作一个单位圆,以 O 为顶点,Ox 轴正半轴为始边作∠xOP=α,终边 OP 与单位圆的交点P 即为所求.

10.点P 表示的复数是cosα+isinα.

11.(1)α=2kπ

3 (k∈Z). (2)α=2kπn (n∈N^*,k∈Z).

12.z=cos2kπ

n +isin2kπ

n (k=0,1,2,…,n-1),这些点组成正n 边形.

13.设方程的实根为t,则t²-(2i-1)t+3m-i=0,即 (t²+t+3m)-(2t+1)i=0.

根据复数相等的定义,得t²+t+3m=0, 2t+1=0.

{

解得m=112,t=-12.

所以m=112.

1 0

湖南教育出版社

1

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

湖南教育出版社

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

教材习题参考解答

6.1.1 练习 (教材 P.113) 1.6.

2.等式左边各项幂的底数之和与右边幂的底数相等,由归纳可猜想规律:

1³+2³+3³+…+n³=(1+2+3+…+n)². 习题1(教材 P.114)

1.(1)21.

(2)2212=11 6.

2. 11-2= 9=3; 1111-22= 1089=33; 111111-222= 110889=333;…;

111…1-222…2=333…3︸_n个 . ︸

2n个

︸_n个

3.(1)10 55.(提示:由1+2+3+…+10=55可得) (2)n(n+1)

2 .

4.f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=

113,f(9)=131,f(10)=151均为素数,n=40时,f(40)=41² 不 是 素 数,故猜想不正 确.

5.3 52n 5 2n-1

2

6.凸n 边形有n 个点,一个点与剩余的n-3个点构成一条对角线,因为重复了一次,所以对 角线的条数为n(n-3)

2 .

7.(1)

顶点数 边数 区域数

(a) 4 6 3

(b) 8 12 5

(c) 6 9 4

(d) 10 15 6

(2)顶点数+区域数=边数+1.

(3)边数=顶点数+区域数-1=999+999-1=1997.

6.1.2 练习 (教材 P.117)

1.另外四个面不平行;四个侧面伸展后交于一点;中截面平行于上、下底面.

2 4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

2.∵xⁱ≥0(i=1,2,…,n),且x1+x2+…+xⁿ=1,

∴0≤xⁱ≤1(i=1,2,…,n).∴0≤xⁱ≤ xⁱ≤1.

∴ x¹+ x²+…+ xⁿ≥x¹+x²+…+xⁿ=1.

而 (x1+ x2+…+ xⁿ)²

=(x1+x2+…+xⁿ)+2(x1x2+ x1x3+ x1x4+…+ xn-1xn) ≤n(x1+x2+…+xⁿ)=n.

∴1≤ x1+ x2+…+ xⁿ≤ n.

习题2(教材 P.118) 1.略.

2.球心与截面圆 (不经过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面;与球心距离相等的两 个截面圆的面积相等,与球心距离不等的两个截面圆的面积不等,距球心较近的截面圆 的面积较大.

3.(1)不正确. (2)不正确. (3)不正确.

6.1.3 练习 (教材 P.121)

因为任意的平行四边形的两条对角线互相平分, (大前提)

而矩形是平行四边形, (小前提)

所以矩形的两条对角线互相平分. (结论)

习题3(教材 P.121)

1.因为任意的等腰三角形的两底角相等, (大前提) 而∠ABC和∠ACB是等腰△ABC的两底角, (小前提)

所以∠ABC=∠ACB. (结论)

2.因为不在同一直线上的三点可以确定一个圆, (大前提)

A,B,C三点不在同一直线上, (小前提)

所以A,B,C三点可以确定一个圆. (结论) 3.因为所对的弦是直径的圆周角是直角, (大前提)

而已知圆周角所对的弦是直径, (小前提)

所以这个圆周角是直角. (结论)

4.因为两条互相垂直的直线所成角是90°, (大前提)

而两条直线都与第三条直线垂直, (小前提)

所以这两条直线与第三条直线所成角都是90°, (结论)

因为同位角相等两直线平行, (大前提)

而两条直线与第三条直线所成的同位角都等于90°, (小前提)

所以这两条直线平行. (结论)

3 4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

6.2.1 练习 (教材 P.125)

1.法1:(综合法)设两个不相等的正数分别是a,b,则 (a- b)²>0⇒a+b-2 ab>0⇒a+b>2 ab⇒a+b

2 > ab.

即两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数. 法2:(分析法)设两个不相等的正数分别是a,b,则

a+b2 > ab⇐a+b>2 ab⇐a+b-2 ab>0⇐(a- b)²>0.

最后一个不等式成立,故a+b

2 > ab.

即两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数. 2.左边= b

a +c a æ è

ç ö

ø

÷+ c b +a

b æ è

ç ö

ø

÷+ a c +b

c æ è

ç ö

ø

÷-3= b a +a

b æ è

ç ö

ø

÷+ c b +b

c æ è

ç ö

ø

÷+ a c +c

a æ è

ç ö

ø

÷-3,

∵a,b,c 为不全相等的正数,∴b a +a

b ≥2,bc +c

b ≥2,ac +c

a ≥2,且这三式的等号 不能同时成立 (否则a=b=c).

∴ b a +a

b æ è

ç ö

ø

÷+ c b +b

c æ è

ç ö

ø

÷+ a c +c

a æ è

ç ö

ø

÷-3>6-3=3,即b+c-a

a +c+a-b

b +a+b-c c >3.

习题4(教材 P.126) 1.法1:(综合法)

由平行四边形ABCD 得AD=BC,AD∥BC BM =MC=12BC

AN =ND=12AD

ü

þ ý ï ï ï ï ïï

⇒四边形 ANCM 是平行四边形

⇒AM ∥CN

BM =MC

}

⇒BE=EF,同理可得FD=EF,所以BE=EF=FD.

法2:(分析法)略.

2.法1:(综合法)

(x²-1)²≥0⇒x⁴+1≥2x²⇒ x²

1+x⁴≤12.

法2:(分析法) x²

1+x⁴≤12⇐x⁴+1≥2x²⇐(x²-1)²≥0.

最后一个不等式成立,故 x²

1+x⁴≤12.

3.法1:(分析法)

4 4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

a³+b³>a²b+ab²⇔a²(a-b)+b²(b-a)>0⇔(a-b)(a²-b²)>0⇔(a-b)²(a+b)>0.

∵a,b 均为正实数,且a≠b,∴最后一个不等式成立,故原不等式成立.

法2:(综合法)

∵a,b 均为正实数,且a≠b,

∴(a-b)²(a+b)>0.∴(a-b)(a²-b²)>0.

∴a²(a-b)+b²(b-a)>0.

∴a³+b³>a²b+ab². 4.法1:(综合法)

平行四边形ABCD⇒ AB=CD

AB∥DC⇒∠1=∠2

{

AE⊥BD

CF⊥BD

}

⇒∠AEB=∠CFD=90°

}

^⇒

△ABE≌△CDF⇒AE=CF AE⊥BD

CF⊥BD

}

^⇒AE∥CF

}

⇒AECF 是平行四边形.

法2:(分析法)略.

5.法1:(分析法) 3+ 7<2 5

⇐(3+ 7)²<(2 5)²

⇐10+2 21<20

⇐2 21<10

⇐84<100.

最后一个不等式成立,故原不等式成立.

法2:(综合法) 84<100

⇒2 21<10

⇒10+2 21<20

⇒(3+ 7)²<(2 5)².

因为3+ 7>0,2 5>0,所以 3+ 7<2 5.

6.2.2 练习 (教材 P.129)

假设a∥α 不成立,∵a⊄α,∴a 与α 相交,设a∩α=A.

∵a∥b,∴A∉b.在平面α 内过点A 作直线c∥b, 所以a∥c,这与a∩c=A 矛盾.∴a∥α.

5 4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

习题5(教材 P.129)

1.设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12.∵f(1)+f(3)-2f(2)=(1+a+b)+(9+3a+b) -2(4+2a+b)=2,∴|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=2,由假设

|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<2,矛盾,故结论成立.

2.假设a,b,c,d 都是非负实数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0.由a+b=1,c+d=1 知(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)=1,∵ad+bc≥0,∴ac+bd≤1,这与已知的 ac+bd>1矛盾.所以假设错误,故a,b,c,d 中至少有一个是负数.

3.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1.

∵0<a<2,0<b<2,0<c<2,

∴a(2-b)b(2-c)c(2-a)≤ a+(2-a) 2 é

ëêê ù ûúú

2· b+(2-b)² 2 é

ëêê ù

ûúú ·c+(2-c) 2 é

ëêê ù ûúú

2=1.

又由假设易得a(2-b)b(2-c)c(2-a)>1.矛盾,故结论成立.

4.假设方程x²+px+q=0有整数根m,则有m²+pm+q=0,∴m(m+p)=-q.∵p 为 奇数,∴不论 m 为奇数还是偶数,m 与m+p 中必有一个是偶数.∴m(m+p)必为偶 数.∴-q 为偶数,即q 为偶数,这与已知q 为奇数矛盾.假设不成立,故方程x²+px+

q=0不可能有整数根.

5.假设不等式 1æx²-1 è

ç ö

ø

÷ 1

y²-1 æ è

ç ö

ø

÷≥9不成立,则有 1æx²-1 è

ç ö

ø

÷ 1

y²-1 æ è

ç ö

ø

÷<9,

∴1-x²

x² ·1-y²

y² <9.∴(1-x²)(1-y²)<9x²y².∴(1-x)(1-y)(1+x)(1+y)<9x²y².

∵x+y=1,∴xy(1+x)(1+y)<9x²y².∵x,y>0,∴(1+x)(1+y)<9xy.

∴1+x+y+xy<9xy.∴2<8xy,即xy>14.由x,y>0,x+y=1得xy< x+y 2 æ è

ç ö

ø

÷

2=14.

两式矛盾,假设不成立,∴ 1æx²-1 è

ç ö

ø

÷ 1

y²-1 æ è

ç ö

ø

÷≥9.

6.3 练习 (教材 P.132)

1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即 1+3+5+…+(2k-1)=k².

那么1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)². 这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

2.(1)当n=1时,左边=S1=a1,右边=a1,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即S^k=a1(1-q^k) 1-q .

6 4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

那么 Sk+1=S^k+ak+1=a1(1-q^k)

1-q +a¹q^k

=a1[(1-q^k)+q^k-q^k+1] 1-q

=a1(1-q^k+1) 1-q .

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据(1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

习题6(教材 P.132)

1.(1)当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即 2+4+6+…+2k=k²+k.

那么2+4+6+…+2k+2(k+1)=k²+k+2(k+1)=(k+1)²+(k+1).

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

2.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即

1²+2²+3²+…+k²=k(k+1)(2k+1)

6 .

那么 1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²

=k(k+1)(2k+1)

6 +(k+1)²

=(k+1)k(2k+1)

6 +(k+1) é

ëêê ù

ûúú

=(k+1)2k²+7k+6

6 =(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]

6 .

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

3.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即

1³+2³+3³+…+k³= 1é2k(k+1) ëêê ù

ûúú². 那么 1³+2³+3³+…+k³+(k+1)³

= 1é2k(k+1) ëêê ù ûúú

2+(k+1)³=(k+1)² 1

4k²+(k+1) é

ëêê ù ûúú

=14(k+1)²(k²+4k+4)=14(k+1)²(k+2)²= 1é2(k+1)(k+2)

ëêê ù

ûúú². 7

4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

4.(1)当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即

1×2+2×3+3×4+…+k×(k+1)=13k(k+1)(k+2).

那么 1×2+2×3+3×4+…+k×(k+1)+(k+1)(k+2)

=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)

=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)

=(k+1)(k+2)13k+1 æ

è

ç ö

ø

÷

=13(k+1)(k+2)(k+3).

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据(1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

5.(1)当n=3时,f(3)=180°=(3-2)×180°,公式成立.

(2)假设当n=k 时,公式成立,即f(k)=(k-2)×180°(k≥3).

那么f(k+1)=f(k)+180°=(k-2)×180°+180°=[(k+1)-2]×180°(k≥3).

这表明,当n=k+1时,公式也成立.

根据 (1)、(2),可以断定,公式对n≥3的任何正整数n 都成立.

6.法1:n=2时,f(1)=1=2×f(2)-2.

n=3时,f(1)+f(2)=1+ 1+12 æ è

ç ö

ø

÷=3×f(3)-3.

n=4时,f(1)+f(2)+f(3)=4×f(4)-4.

归纳猜想g(n)=n,再用数学归纳法证明.

法2:g(n)=

n-11 +n-2 2 +n-3

3 +…+n-(n-1) n-1 f(n)-1

=n 1+12+1

3+…+ 1n-1 æ

è

ç ö

ø

÷-(n-1) f(n)-1

=n[f(n)-1]

f(n)-1 =n.

故存在g(n)使等式成立.

复习题六 _{(教材 P.139)} 1.100².

8 4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

2.16,4n.

3.Sn=4(n-1).

4.等腰梯形的两个底角相等,

由已知AD∥BC,AB=DC 知梯形ABCD 是一个等腰梯形, 所以,梯形 ABCD 的两个底角相等,即∠B=∠C.

5.由已知a,b,c 为不全相等的三个正实数,

∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca,且三个不等式中不能同时取“=”号,

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

6.法1:(分析法) 3+ 7<2+ 6

⇐(3+ 7)²<(2+ 6)²

⇐10+2 21<10+4 6

⇐2 21<4 6

⇐84<96,

最后一个不等式成立,故原不等式成立.

法2:(综合法) 84<96

⇒2 21<4 6

⇒10+2 21<10+4 6

⇒(3+ 7)²<(2+ 6)²,

因为3+ 7>0,2+ 6>0,所以 3+ 7<2+ 6.

法3:(反证法)假设不等式 3+ 7<2+ 6不成立,则 3+ 7≥2+ 6, 3+ 7≥2+ 6

⇐(3+ 7)²≥(2+ 6)²

⇐10+2 21≥10+4 6

⇐2 21≥4 6

⇐84≥96,

因为84≥96显然违背常识,所以假设不成立,故 3+ 7<2+ 6.

7.假设ⁿa≥ⁿb不成立,则ⁿa<ⁿb.

na<ⁿb⇒a<b,与已知a≥b 矛盾,假设不成立,故ⁿa≥ⁿb.

8.(1)①当n=1时,左边=4,右边=4,等式成立.

②假设当n=k 时,等式成立,即

1×4+2×7+3×10+…+k×(3k+1)=k(k+1)².

那么 1×4+2×7+3×10+…+k×(3k+1)+(k+1)×[3(k+1)+1]

9 4

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

=k(k+1)²+(k+1)×[3(k+1)+1]

=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]

=(k+1)(k²+4k+4)

=(k+1)(k+2)².

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

(2)①当n=1时,左边=a²1,右边=a²1,等式成立.

②假设当n=k 时,等式成立,即

(a1+a2+…+a^k)²=a²1+a²2+…+a^2k+2(a1a2+…+a1ak+a2a3+…+a2ak+…+ak-1ak).

那么 (a1+a2+…+a^k+ak+1)²

=(a1+a2+…+a^k)²+a²k+1+2ak+1(a1+a2+…+a^k)

=a²1+a²2+…+a^2k+2(a1a2+…+a1ak+a2a3+…+a2ak+…+ak-1ak)+

a²k+1+2ak+1(a1+a2+…+a^k)

=a²1+a²2+…+a^2k+a²k+1+2(a1a2+…+a1ak+1+a2a3+…+a2ak+1+…+a^kak+1).

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

(3)①当n=1时,左边=13,右边=13,等式成立.

②假设当n=k 时,等式成立,即 11×3+² 2²

3×5+…+ k²

(2k-1)(2k+1)=k(k+1) 2(2k+1).

那么 11×3+² 2²

3×5+…+ k²

(2k-1)(2k+1)+ (k+1)² (2k+1)(2k+3)

=k(k+1) 2(2k+1)+

(k+1)² (2k+1)(2k+3)

=k(k+1)(2k+3) 2(2k+1)(2k+3)+

(k+1)² (2k+1)(2k+3)

=k(k+1)(2k+3)+2(k+1)² 2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)[k(2k+3)+2(k+1)]

2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)(2k+1)(k+2) 2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)(k+2) 2(2k+3) .

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

(4)①当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.

0 5

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

②假设当n=k 时,等式成立.即

(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k×1×3×…×(2k-1).

那么 (k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1)

=2^k×1×3×…×(2k-1)·2(2k+1)

=2^k+1×1×3×…×[2(k+1)-1].

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

9.按图进行归纳,由周期性变化知第2015次的图应与第三次的图一样,故小兔应坐在第4 号座位上.

10.(反证法)假设不等式a³+b³>a²b+ab²不成立,则a³+b³≤a²b+ab², a³+b³≤a²b+ab²

⇐a³+b³-a²b-ab²≤0

⇐a²(a-b)+b²(b-a)≤0

⇐(a-b)(a²-b²)≤0

⇐(a-b)²(a+b)≤0.

由a,b>0,且a≠b 得(a-b)²(a+b)>0,两个不等式矛盾,所以假设不成立, 故a³+b³>a²b+ab².

11.假设圆内两条非直径的弦相交于点P 并且互相平分,连接圆心O 与点P,则过点 P 有 两条弦都垂直于OP,这与 “平面内过一点作直线的垂线有且仅有一条”矛盾,假设不 成立,故圆内两条非直径的弦相交,它们不可能互相平分.

12.(1)对任意实数a,b 均有 C⁰ⁿaⁿ+Cⁿ¹a^n-1b+C²ⁿa^n-2b²+…+Cⁿⁿbⁿ=(a+b)ⁿ,(大前提) 而1,-1是实数,(小前提)

所以,C⁰ⁿ-C¹ⁿ+C²ⁿ-C³ⁿ+…+(-1)ⁿCⁿⁿbⁿ=0.(结论)

(2)对任意实数a,b 均有 C⁰ⁿaⁿ+Cⁿ¹a^n-1b+Cⁿ²a^n-2b²+…+Cⁿⁿbⁿ=(a+b)ⁿ, (大前提) 而1-x,x 是实数,(小前提)

所以,C⁰ⁿ(1-x)ⁿ+C¹ⁿ(1-x)^n-1x+C²ⁿ(1-x)^n-2x²+…+Cⁿⁿxⁿ=1.(结论)

13.任一存在反函数的函数y=f(x)的图象与它反函数y=f^-1(x)的图象关于直线y=x 对 称,而函数y=x-aax-1的反函数由y=x-a

ax-1⇒x=y-a

ay-1可求得f^-1(x)=x-aax-1,所以,函 数y=x-a

ax-1的图象关于直线y=x 对称.

14.计算得

S1= 11×2=1 2, S2= 11×2+ 1

2×3=1 2+1

6=2 3,

1 5

湖南教育出版社

1

湖南教育出版社

湖南教育出版社

在文檔中 湖南教育出版社 (頁 99-157)