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(70)

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教材习题参考解答

4.1.1 练习 (教材 P.5)

1.H (t)= -4.9t²+6.5t+10, 则 [t,t+d] 上的平均速度为H (t+d)-H (t)

d =

-4.9(2dt+d²)+6.5d

d =-9.8t-4.9d+6.5,令d 趋于0,则得到运动员在任意时刻 t的瞬时速度为-9.8t+6.5 (m/s).

2.(1)由题1得运动员在任意时刻t 的瞬时速度为-9.8t+6.5 (m/s),令t=0得运动员在起跳时刻的瞬时速度为6.5m/s.

(2)∵H (t)=-4.9t²+6.5t+10,当t=6.59.8时,H (t)取到最大值,∴运动员到达最高点处的瞬时速度为0m/s.

(3)令 H (t)=0,得到t=2.238s,此时运动员的瞬时速度为-15.43m/s.

习题1(教材 P.5)

1.物体在 [t,t+d]上的平均速度s(t+d)-s(t) d =v0d

d =v⁰,即物体在时刻t的瞬时速度为v0.

2.此球在 [4,4+d]上的平均速度为(4+d)²-16

d =8d+d²

d =8+d,令d 趋于0,则得此球在垂直方向上的瞬时速度为8m/s.

3.该物体在 [t,t+d] 上的平均速度为h+v(t+d)-g(t+d)²

2 - h+vt-gt² 2 æ

è

ç ö

ø

÷

d =v-

gt-gd

2,令d 趋于0,得该物体在时刻t的瞬时速度为v-gt.

设该物体的质量为m,在时刻t=0时,物体的势能为 mgh0,动能为mv2²⁰;在时刻t,物体势能为mgh^t,动能为mv2 .^t² 由能量守恒原理,mgh⁰+mv²0

2 =mgh^t+mvt²

2 ,从中可解出瞬时速度vt=v-gt,与导数方法求出的结果一致.

4.∵f(x)是增函数,

当d>0时,x0+d>x⁰,∴f(x⁰+d)>f(x⁰),即f(x0+d)-f(x0)

d 的符号为正. 当d<0时,x0+d<x⁰,∴f(x⁰+d)<f(x⁰),即f(x0+d)-f(x0)

d 的符号也为正.

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(71)

高中数学教师教学用书

4.1.2 练习 (教材 P.9)

1.取Q(1+d,2(1+d)²),则k^PQ=2(1+d)²-2

d =2d+4,令d 趋于0,则得到点 P 处切线的斜率为4,所以过点P 的切线方程为y=4(x-1)+2,即y=4x-2.

2.取Q(x0+d,3-(x0+d)²),则kPQ=3-(x0+d)²-3+x²0

d =-2x0-d,令d 趋于0,则得到点P 处切线的斜率为-2x0,所以曲线在点 P 处的切线的方程为y=-2x⁰(x-x0) +y0.

习题2(教材 P.9)

1.取Q(1+d,(1+d)²+1),则k^PQ=(1+d)²+1-2

d =d+2,令d 趋于0,则得到点 P 处的切线的斜率为2.

2.取Q(u+d, (u+d)²-3(u+d)+2),则k^PQ=u²+d²+2ud-3u-3d+2-u²+3u-2

d =

d+2u-3,令d 趋于0,则得到抛物线y=x²-3x+2在点 P 处的切线的斜率为2u-3.

又因为y=x²-3x+2的顶点V 32,-14 æ

è

ç ö

ø

÷,所以在顶点V 处的切线的斜率为0,故抛物线y=x²-3x+2在顶点处的切线的方程为y=-14.

3.取Q(x0+d,2(x0+d)²+1),则k^PQ=2(x0+d)²+1-(2x²0+1)

d =4x0+2d,令d 趋于0,则得点P 处切线的斜率为4x0,又点P 处的切线平行于直线y=6x+1,所以4x⁰

=6,则x0=1.5,代入曲线方程,得y0=5.5.

4.1.3 练习 (教材 P.13)

1.函数y=x²-3x 在区间 [-1,1]上的平均变化率为f(1)-f(-1) 1-(-1) =-3.

2.[2,2+d]上的平均速度3(2+d)²+2(2+d)+1-3×2²-2×2-1

d =14+3d,当d=1

时,平均速度为 17;当 d=0.1 时,平均速度为 14.3;当 d=0.01 时,平均速度为 14.03.令d 趋于0,得到在t=2时的瞬时速度为14.

习题3(教材 P.13)

1.y =kx +b 的瞬时变化率就是函数 y =kx +b 的导数 y', 按定义计算有 k(x+d)+b-kx-b

d =k,当d 趋于0,此式趋于k,即y=kx+b 的瞬时变化率为k.

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(72)

高中数学教师教学用书

2.(1)L 关于x 的瞬时变化率为v+ax,从物理学角度上看,L 关于x 的瞬时变化率即运

动物体的瞬时速度; (2)运动物体的瞬时速度关于x 的瞬时变化率为a,其物理意义是运动物体的加速度.

3.当圆的半径r 变化时,圆面积S 关于r 的瞬时变化率为2πr,即圆的周长;

当圆的直径D 变化时,圆周长C 关于D 的瞬时变化率为π,即圆周率.

4.2.1 练习 (教材 P.17)

1.正方形面积S=x²,其面积关于x 的变化率为S'=2x,是正方形周长的12倍.

2.∵y=x³,y'=3x²,∴ 曲线y=x³ 在点 (2,8)处切线的斜率k=12,故曲线在点 (2,8)处的切线方程为y-8=12(x-2),即12x-y-16=0.

1.S'=3t²,当t=3时,速度为27m/s.

2.因为点 P 不在曲线y=x² 上,设所求切线与曲线切于点 Q (u,v),又 y'=2x,由 v=u²,

2u=v-5 u-3, ì

î í ïï ïï

得u²-6u+5=0,u=1或u=5,所以满足条件的切线有两条,对应的切点

坐标为 (1,1),(5,25),两条切线的斜率分别为2和10,对应的切线方程为2x-y- 1=0或10x-y-25=0.

3.设点P(u,v),则v=u³, 3u²=3,

{

^解得点P 的坐标分别为 (1,1)或 (-1,-1),切线方程分别为3x-y-2=0,3x-y+2=0.

4.经验算, 点 A 不在已知曲线上, 设所求的切线和已知曲线切于点 Q (u,v), 则 uv=1,

-1u²=v-3 u+5, ì

î í ïï ïï

解得u=53或u=-1,即点Q 的坐标为 53,3 5 æ è

ç ö

ø

÷或 (-1,-1),过点 A

与曲线xy=1相切的两条直线的方程为9x+25y-30=0或x+y+2=0.

5.y= x =x¹²,y'= 1

2 x,k=y'|^x=4=14;

x=y²,x'=2y,k=x'|^y=2=4,两次计算的结果互为倒数.

6.令f(x)=x⁴.则f(x+d)-f(x)

d =(x+d)⁴-x⁴ d

=(x+d)²(x+d)²-x⁴

d =4x³+6dx²+4d²x+d³. 当d 趋于0时,上式趋于4x³,所以(x⁴)'=4x³.

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(73)

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令f(x)=³x²,则f(x+d)-f(x)

d =

3(x+d)²-³x² d

= (x+d)²-x²

d

[

³(x+d)⁴+³x⁴+³x²(x+d)²

]

⁼

2dx+d²

d

[

³(x+d)⁴+³x⁴+³x²(x+d)²

]

= 2x+d

3(x+d)⁴+³x⁴+³x²(x+d)². 当d 趋于0时,上式趋于 2x

3³x⁴=23·x^-¹³.

4.2.2 练习 (教材 P.19) 1.(1)π. (2)-1.

2.因为y'=-sinx,故该曲线在点 (x,cosx)处的切线的斜率为-sinx.方程-sinx=1 的解集为 {x|x=2kπ-π2,k∈Z},即在点 2kπ-πæ 2,0

è

ç ö

ø

÷(k∈Z)处的切线的斜率为1.

方程-sinx=0的解集为 {x|x=kπ,k∈Z},即在点 (kπ,1)(k 为偶数)或点 (kπ, -1)(k 为奇数)处的切线平行于x 轴.

1.(1)y'=4x³. (2)y'=0. (3)y'=5^x(ln5). (4)y'= 1cos²x.

2.(1)f'(x)=2^xln2,f'(0)=ln2. (2)f'(x)= 1ln10·1x,f'(1)= 1ln10.

3.y'=nx^n-1,y'|^x=2=n·2^n-1=12,解得n=3.

4.(1)∵y= x ,y'=12x^-

12,∴曲线在x=4处切线的斜率k=14,故曲线在x=4处的切线方程为y-2=1

4(x-4),即x-4y+4=0.

(2)∵y=sinx,y'=cosx,∴曲线在x=π3处切线的斜率k=12,故曲线在x=π3处的切线方程为y- 3

2 =1 2 x-π

3 æ è

ç ö

ø

÷,即x-2y+ 3-π3=0.

4.2.3 练习 (教材 P.26)

1.(1)f'(x)=3-2^xln2. (2)S'(t)=3cost-6.

(3)g'(x)=- 74x²-x². (4)W'(u)=-1u²- 1 2 u. 2.(1)(xe^x)'=e^x+xe^x.

0

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(74)

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(2)(3x⁴e^x+2x²e^x-e^x+7)'=3x⁴e^x+12x³e^x+2x²e^x+4xe^x-e^x.

(3) xtanx æ è

ç ö

ø

÷'= 1tanx- x

sin²x. (4)[2sin(3+x)]'=2cos(3+x).

(5) (5x-e)[ ⁶]'=30(5x-e)⁵. (6) sin(1+2x)

x é

ëêê ù

ûúú'=2xcos(1+2x)-sin(1+2x)

x² .

(7) 1cosx-sinxtanx æ

è

ç ö

ø

÷'=-sinx.

(8) ln(2x+1)+ 12x+1 é

ëêê ù

ûúú'= 22x+1- 2

(2x+1)²= 4x (2x+1)². 3.(1)不正确.[(3+x²)(2-x³)]'=2x(2-x³)-3x²(3+x²).

(2)不正确. 1+cosxx² æ

è

ç ö

ø

÷'=-x²sinx-2x(1+cosx)

x⁴ .

1.(1)f'(x)=-2. (2)H'(t)=-4t+6.

(3)g'(x)=6x+ 14x². (4)F'(u)=1- 1 2 u. (5)p'(x)=5x⁴-6x²+6x+6. (6)T'(x)=cosx+sinx.

(7)u'(x)=3e^x+ 2cos²x. (8)f'(x)= 1xln2+ 1 cos²x.

2.(1)(x³lnx)'=3x²lnx+x². (2)(e^xsinx)'=e^xsinx+e^xcosx.

(3)(2^xtanx)'=2^xln2tanx+ 2cos^x²x.(4) cosxe^x æ è

ç ö

ø

÷'=-sinx+cosx e^x . (5)[Asin(ωt+φ)]^t'=Aωcos(ωt+φ).

(6)[(u+3)ln(u+3)-u]'=ln(u+3).

(7)[(ax+tanx)⁷]x'=7(ax+tanx)⁶a+ 1cos²x æ

è

ç ö

ø

÷. (8)(x⁶e^3x-2)'=6x⁵e^3x-2+3x⁶e^3x-2.

3.物体在t=3时的速度为7.5.

4.(1)切点 (1,2);

(2)切线l的方程为y=2x.

5.曲线在点P(u,v)处的切线的方程为y= 1-u²

(1+u²)²(x-u)+v;

切线斜率为1时,点P 的坐标为 (0,0);切线平行于x 轴时,点P 的坐标为 1,12 æ è

ç ö

ø

÷或 -1,-12

æ è

ç ö

ø

÷.

1

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(75)

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6.该物体的瞬时速度为3ae^atsin(kt+b)+3ke^atcos(kt+b);

瞬时加速度为3a²eâtsin(kt+b)+6akeâtcos(kt+b)-3k²eâtsin(kt+b).

4.3.1 练习 (教材 P.35)

(1)f'(x)=-2,函数f(x)在 R上递减;

(2)f'(x)=1- 1

x,函数f(x)在(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减.

(3)f'(x)=2x²,函数f(x)在 (-∞,0)和 (0,+∞)上递增;

(4)f'(x)=1-1x²,函数f(x)在(-∞,-1)和 (1,+∞)上递增,在(-1,0)和 (0,1)上递减;

习题7(教材 P.36) 1.(1)f'(x)=2x-4.

令f'(x)=2x-4>0,得x>2.

令f'(x)=2x-4<0,得x<2.

所以,原函数在区间(2,+∞)上单调递增,(-∞,2)上单调递减.

(2)f'(x)=1x +1

x²=x+1

x² ,又x>0,所以f'(x)>0.

所以,原函数在区间(0,+∞)上单调递增.

2.f'(x)=6x²+6x-12=6(x+2)(x-1),

当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-2,1)上是减函数.

3.y'=ax²-ax-2a=a(x+1)(x-2), 当x∈[-1,2]时,y'>0,且a≠0,

∴a(x+1)(x-2)>0,∴a<0.

4.若把例4中的圆改为教材图4 20的半圆,应选 B;若改为图4 21的三角形,应选 C.

5.由图知,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.

∴原函数在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

又导函数f'(x)的图象是一条直线l,

∴原函数是二次项系数小于0的二次函数,其图象的对称轴是x=1.

∴f(x)=f(2-x),∴f(0)=f(2).

又函数在(1,+∞)上单调递减,

∴f(2)>f(3),即f(0)>f(3).

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(76)

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4.3.2 练习 (教材 P.40)

1.(1)函数的驻点是x=32,极小值点是x=32,极小值为-72.

(2)函数的驻点集合是 x x=nπ+(-1)ⁿπ

6,n∈Z

{ }

^,

函数的极大值点是x=2kπ+π6,极大值为 3

2 +kπ+π

12,k∈Z, 函数的极小值点是x=2kπ+5π6,极小值为- 32 +kπ+5π

12,k∈Z.

(3)函数无驻点,无极值点.

(4)函数的驻点是x=-2,x=0,函数的极大值点是x=-2,极大值为4e^-2, 函数的极小值点为x=0,极小值为0.

2.f'(x)=3x²+6mx+n,依题意得f'(-1)=3-6m +n=0,f(-1)=-1+3m -n+

m²=0.解得 m =1,n=3或 m =2,n=9.但当 m =1,n=3时,f'(x)=3x²+6x+

3=3(x+1)²≥0恒成立,此时x=-1不是f(x)的极值点,应舍去.从而 m=2,n=9, 即有mn=18.

4.3.3 练习 (教材 P.44)

1.(1)函数在 (-∞,+∞)上单调递增,无极值点.

(2)函数在 (-∞,+∞)上单调递减,无极值点.

(3)函数的单调递增区间是 (-3,3),递减区间是 (-∞,-3)和 (3,+∞),函数的极小值点是x=-3,极大值点是x=3.

(4)函数的单调递增区间是 (-∞,-3)和 (5,+∞),递减区间是 (-3,5),函数的极小值点是x=5,极大值点是x=-3.

2.F'(x)=x²-4,则F(x)在[-3,-2)上单调递增,在(-2,2]上单调递减,所以x=

-2为极大值点,F(x)^max=F(-2)=283.又F(-3)=7,F(2)=-43,所以F(x)min= -43.所以F(x)的最大值为283,最小值为-43.

1.(1)f'(x)=5>0,函数在(-∞,+∞)上单调递增,无极值.

(2)f'(x)= 1(1+x)²>0,函数在(-∞,-1)和 (-1,+∞)上单调递增,无极值.

(3)f'(x)=1+1x²>0,函数的单调递增区间是 (-∞,0)和 (0,+∞),无极值.

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(77)

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(4)g'(x)=2x-2,函数的单调递减区间是 (-∞,1),单调递增区间是 (1,+∞), 极小值为g(1)=-4.

(5)f'(x)=36x³⁵,函数的单调递减区间是 (-∞,0),单调递增区间是 (0,+∞), 极小值为f(0)=0.

(6)f'(x)=1x +1,∵x>0,∴y'>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.

(7)g'(x)= 2-x(2+x²²)²,函数的单调递减区间是 (-∞,- 2)和 (2,+∞),单调递

增区间是(- 2, 2),函数极小值为g(- 2)=- 24,极大值为g(2)= 24 . (8)g'(x)=3x²-4x +1, 函数的单调递减区间是 1æ3,1

è

ç ö

ø

÷, 单调递增区间是 -∞,13

æ è

ç ö

ø

÷和(1,+∞),函数的极大值是g 13 æ è

ç ö ø

÷=3127,函数的极小值是g 1( )=1.

2.(1)F'(x)=6x²+2x-4,函数的单调递减区间是 -1,23 æ

è

ç ö

ø

÷,单调递增区间是 -2,-1( )和 23,1

æ è

ç ö

ø

÷,函数的极大值是F -1( )=4,极小值是F 23 æ è

ç ö ø

÷=-1727,又F(1)=0,F(-2)

=-3,故函数的最大值是F(-1)=4,最小值是F -2( )=-3.

(2)G'(x)=3x²-3x=3x(x-1),函数在(-1,0)和(1,2)上单调递增,在(0,1)上单调递减.函数的极大值是G(0)=0,极小值G(1)=-12,又G(-1)=-52,G(2)=2,

故函数的最大值是G(2)=2,最小值是G(-1)=-52.

3.f'(x)=3ax²-6ax=3ax(x-2).

令f'(x)=0,得x1=0,x2=2.

只有x2在区间[1,4]内,列表如下:

x 1 (1,2) 2 (2,4) 4

f'( x) - 0 +

f( x) -2a+b ↘ -4a+b ↗ 16a+b

∵a>0,f(x)在区间 [1,4]内有最大值23,最小值3,

∴16a+b=23, -4a+b=3,

{

解得a=1,b=7.

4.(1)图略.

(2)P,Q 之间的这段曲线是夹在切线和直线PQ 之间.

可求得P(-5,6),Q (0,-4),直线PQ 方程为:y=-2x-4,与直线PQ 平行的切线的切点是M -52,-214

æ è

ç ö

ø

÷,该切线方程是y=-2x-414.

4

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(78)

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当-5≤x≤0时,

-2x-4-(x²+3x-4)=-x²-5x=-x(x+5)≥0, x²+3x-4- -2x-414

æ è

ç ö

ø

÷=x²+5x+254= x+5 2 æ è

ç ö

ø

÷ 2≥0,

所以P,Q 之间的这段曲线夹在切线和直线PQ 之间.

5.设f(x)=x³-3x²+4.

则f'(x)=3x²-6x=3x(x-2).

令f'(x)=0,得x1=0,x2=2.

由于x1,x2都在区间[0,+∞)内,所以列表如下:

x 0 (0,2) 2 (2,+∞)

f'( x) - 0 +

f( x) 4 ↘ 0 ↗

∴当x=2时,f(x)有最小值0,

∴x³-3x²+4≥0,即x³+4≥3x². 4.4 练习 (教材 P.50)

1.设截去的正方形边长为xcm,则底面矩形的长为 (8-2x)cm,宽为 (5-2x)cm, V =x(8-2x)(5-2x)=4x³-26x²+40x 0<x<52

æ è

ç ö

ø

÷. V'=12x²-52x+40,令V'=0得x=1或x=103 (舍去).

因为V(x)在0<x<52时只有一个极值点x=1,故当x=1时Vmax=18.

所以截去的正方形边长为1cm 时,纸匣的容积最大.

2.设参加旅游的人数为x,旅游团收费为f(x),则依题意有 f(x)=1000x-5(x-100)x(100≤x≤180).

令f'(x)=1500-10x=0,得x=150.

又f(100)=100000,f(150)=112500,f(180)=108000.

所以当参加人数为150人时,旅游团的收费最高,可达112500元.

1.设腰长为x,则下底为2l-2x,高h= x²-(l-x)²= -l²+2lx , S=12(2l-2x)2lx-l²=(-x+l)2lx-l² 12l<x<l

æ è

ç ö

ø

÷, S'=- 2lx-l²+l²-lx

2lx-l²,

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(79)

高中数学教师教学用书

当x=23l时,S 有最大值 39l².

图 4 27

2.如图4 27,设等腰三角形底边BC 上的高为AD,∠OBD=θ (0°≤

θ<90°),则BD=Rcosθ,AD=R+Rsinθ,

S=Rcosθ(R+Rsinθ),S'=R²(1-2sin²θ-sinθ), 令S'=0,得sinθ=12,所以当θ=π6时,Smax=3 34 R², 此时∠BOD=2∠ABO=π3,

故∠ABC=π3,△ABC 为等边三角形.所以同一个圆的内接等腰三角形中,等边三角形面积最大.

3.设圆柱的高为x,圆柱底面半径为r,则r= R²- x 2 æ è

ç ö ø

÷ 2,

V=πr²x=πx R²-x² 4 æ

è

ç ö

ø

÷=π -x³ 4 +R²x æ

è

ç ö

ø

÷ (0<x<2R),

令V'=π -3æ 4x²+R² è

ç ö

ø

÷=0,得x=2 33 R,

所以当圆柱的高为2 3

3 R时,体积最大,车下来的金属屑最少.

4.设高为h,底面半径为R,则V=πR²h,h= V πR², 所以S=2πR²+2πRh=2πR²+2V

R,令S'=4πR-2VR²=0,得R=

3V 2π, 此时h=V

πR²=

34V

π,所以当R=³V

2π,h=³4V

π时罐头盒的表面积最小.

5.Q'(t)=-3t²+6t+9=-3(t-1)²+12,即求导函数取最大值的点,Q'(t)在t=1时取最大,故当t=1即9:00时工作效率最高.

6.设下底面单位面积造价为a 元,则侧面单位面积造价为12a元,上底面单位面积造价为 14a元,油桶的高为l,πr²l=20π,所以l=20r².

总造价y=a·πr²+2πrl·12a+1 4aπr², y'=πa 52r-20

r² æ

è

ç ö

ø

÷,函数仅有一个极值点r=2, 所以当r=2时总造价最低.

7.如图4 28,在线段 AB 上取一点D,设BD=x,则0≤x≤10,|CD|= x²+9,

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(80)

高中数学教师教学用书

图 4 28

修路费用y=4000(10-x)+5000 x²+9,

y'=-4000+5000x

x²+9,由y'=0得x=4,

所以应在线段AB 上取一点D,点 D 距离点B 为4km,按 A→D→C 设计线路最省.

8.S=b+(b+2bcosθ)

2 ·bsinθ=b²(sinθ+sinθcosθ),S'=b²(2cosθ-1)(cosθ+1),

∵θ 是锐角,∴cosθ+1≠0,

当cosθ=12时,S'=0,面积有最大值,此时坡度为tanθ= 3,θ=60°.

9.设剪去的圆心角为θ 弧度,V=13πr² R²-r²,V'=23πr R²-r²- πr³ 3 R²-r². 当r= 63R时V'=0,容积有最大值,

此时2πr=2 63 πR=(2π-θ)R,θ= 2-2 63 æ

è

ç

ö

ø

÷

π.

习题10(教材 P.59)

依照曲边梯形的面积求法,分成三个步骤:

(1)用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片;

(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,每个圆柱的高均为hn,底半径依次为:

nr,2rn,3rn,…,(n-1)r n ,r;

(3)V(n)=π rn²²+2²r² n² +3²r²

n² +…+(n-1)²r² n² +n²r²

n² é

ëêê ù

ûúú ·h n

=πr²h

n³ · 1[ ²+2²+3²+…+(n-1)²+n²]

=πr²h n³ ·1

6n(n+1)(2n+1)

=πr²h 6 1+1

n æ è

ç ö

ø

÷ 2+1n æ è

ç ö

ø

÷,

当n 趋于无穷大时,V(n)趋于13πr²h,则所求圆锥的体积为V=13πr²h.

习题11(教材 P.62)

(1)计算函数f(x)=x²在区间 [a,b]上的曲边梯形面积.

把区间 [a,b]n 等分,整个曲边梯形就被分为n 个小曲边梯形.用一系列小矩形近似地代替对应的小曲边梯形,那么每个矩形的宽度均为d=b-an ,长度依次为a²,(a+

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(82)

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(83)

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(84)

高中数学教师教学用书

2.(1)k^PQ=0,k(2,3)=0. (2)k^PQ=12,k(2u,u+1)=12.

(3)k^PQ=-h-3,k^(2,-2)=-3. (4)k^PQ=10+6d+d²,k^(2,4)=10.

(5)k^PQ=- 12+h,k(1,1)=-12.

3.(1)c=4x,Δc

Δx=4,c'(u)=4,c'(v)=4.

(2)S= 34x²,ΔS Δx= 3

4c,S'(u)=0,S'(v)= 32c.

(3)S=πx²,ΔS

Δx=π(R+1),S'(1)=2π,S'(R)=2πR.

(4)S=πx²,ΔSΔx=π(D+1),S'(1)=2π,S'(D)=2πD.

(5)V=43πx³,ΔVΔx=4

3π(R²+Rr+r²),V'(r)=4πr²,V'(R)=4πR². 4.(1)y'=3cosx-2sinx.

(2)y'=3x². (3)y'=4x³-2x.

(4)y'=mx^m-1(xⁿ+aⁿ)+nx^n-1(x^m+a^m).

(5)f'(x)=cos(x+3t).

(6)f'(x)=ln(3x+2)+ 3x3x+2.

(7)f'(x)=8x-4txe^tx ².

(8)f'(x)=-sx²-7s+e^xcose^x.

5.(1)y'=-3x²-4x-4,函数在(-∞,+∞)上单调递减.

(2)y'=12x³-12x²-24x,函数在(-1,0)和(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-1) 和(0,2)上单调递减.

(3)y'=3x²+2x-1,函数在(-∞,-1)和 1æ3,+∞

è

ç ö

ø

÷上单调递增,在 -1,13 æ

è

ç ö

ø

÷上单调递减.

6.(1)函数的极大值为f(-1)=10,极小值为f(3)=-22.

(2)函数的极大值为f(1)=11,极小值为f(7)=-97.

(3)函数的极大值为f(-1)=f(1)=2,极小值为f(0)=1.

(4)函数的极大值为f(-a)=-2a,极小值为f(a)=2a.

7.(1)函数的最小值为f(1)=-1,最大值为f(4)=8.

(2)函数的最小值为f(1)=3,最大值为f 52 æ è

ç ö ø

÷=1058 . 8.(1)当t=0或t=8时s=0.

(2)当t=0或t=4或t=8时v=0.

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(85)

高中数学教师教学用书

9.(1)设圆柱底面半径为r,圆柱的高为h,则h=2 R²-r², V=πr²·2 R²-r²,V'=2π2r R²-r²- r³

R²-r² æ

è

ç

ö

ø

÷

.

令V'=0,得r²=23R²,此时h=2 33 R,

所以当h=2 33 R时,所求的圆柱的体积最大.

(2)设圆锥底面半径为r,球心到圆锥底面圆心的距离为x,圆锥的高为h,则h=R+

x,V=13π(R²-x²)(R+x),V'=π3(-3x²-2Rx+R²) (0<x<R).

当0<x<R

3时,函数单调递增,当R3<x<R时,函数单调递减.

所以当x=R

3时函数取得最大值,此时h=R+R3=4 3R.

10.设圆半径为r,矩形高为h,S=12πr²+2rh,

c=πr+2r+2h=12πr+2r+S r = 1

2π+2 æ

è

ç ö

ø

÷r+S

r ≥2 1 2π+2 æ

è

ç ö

ø

÷S . 当且仅当 1

2π+2 æ

è

ç ö

ø

÷r=S

r,即S= 12π+2 æ

è

ç ö

ø

÷r²时周长有最小值. 又S=12πr²+2rh,所以 12π+2

æ è

ç ö

ø

÷r²=12πr²+2rh,故r h =1.

即当rh =1时周长最小.

11.

∫

^-^π²^π²cosxdx 表示由x= - π2,x= π2,y=0,y=cosx 所围成的曲边梯形的面积,

∫

^π⁰sinxdx 表示由直线x=0,x=π,y=0和y=sinx 所围成的曲边梯形的面积,由图形可知它们的面积相等.

12.(1)12(b²-a²). (2)2π.

13.以拱宽所在直线为x 轴,拱高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,设桥拱抛物线为y=

ax²+h,将 1æ2b,0 è

ç ö

ø

÷代入得a=-4h

b²,所以y=-4hb²x²+h.

S =2

∫

⁰^b²^æ^è^ç^-4^b^h²^x²^+h^ö^ø^÷^{dx =2 - 4}^æ^è^ç ^3b^h²^x³^+hx^ö^ø^÷ ⁰^b²⁼^{2 - 4}^æ^è^ç ^3b^h²^×^b^{8 +}³ ^b²^h^ö^ø^÷⁼²³^bh.

14.(1)y'=12sin³3xcos³4xcos3x-12sin⁴3xsin4xcos²4x.

(2)y'=e^x²+2e^-^x²-xe^-^x². (3)y'=(2+2x)a^2x+x²lna.

(4)y'= lnx(x+1)².

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(86)

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15.p²-4q=0.

16.16x-8y+25=0.

17.a=2,b=1.

18.a=2,函数在x=π3处有极大值为3.

19.由已知,a≠0 (否则b²-3ac=b²≥0),f'(x)=3ax²+2bx+c,Δ=4(b²-3ac)<0.

∴f(x)在 (-∞,+∞)上是单调函数,f(x)无极值.

20.设容器底面的一边长为x m,则另一边长为 x+12 æ è

ç ö

ø

÷m,容器高h=165-2x(m), V=x x+12

æ è

ç ö

ø

÷ 16 5-2x æ

è

ç ö

ø

÷=-2x³+115x²+85x (0<x<1.6), V'=-6x²+225x+8

5.

当0<x<1时,函数V(x)单调递增,当1<x<1.6时,函数V(x)单调递减.

所以函数有最大值是V(1)=95(m³),此时h=165-2=6 5(m).

所以当高为6

5 m时,容器容积最大,最大容积为9 5 m³.

21.利润y=P(x)x-C(x)=24200x-15x³-50000-200x=-15x³+24000x-50000 (元),

∴y'=-35x²+24000.令y'=0,得x=200(t).当x=200(t)时,y=3.15×10⁶(元).

所以当每月生产200t时,利润最大,最大值为3.15×10⁶元. 22.(1)12πa².

(2)原式=

∫

¹⁰ ^{1- (}^{x -1)}²^{dx -}

∫

¹⁰xdx ,此式表示以 (1,0)为圆心,1为半径的14圆面积减去以直线y=x,y=0,x=1所围成的三角形面积,其值为1

4π-1 2.

23.

∫

^a^-a^f(x)dx 表示由直线x=-a,x=a,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.由于f(x)是偶函数,故该面积是由直线x=0,x=a,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的2倍,即2

∫

^a⁰^f(^{x)dx ,所以}

∫

^a^-a^f(^{x)dx =2}

∫

^a⁰^f(^x)dx.

图 4 32

24.f(a)(b-a) 表示 S^ABEF,f (b)(b-a) 表示 S^ABCD,

∫

^b^a^f(^{x)dx 表示S}^ABCF^,

所以f(a)(b-a)<

∫

^b^a^f(x)dx <f(b)(b-a), 如图 4 32所示.

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(87)

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25.(1)当k=1时,f(x)=(x-1)e^x-x². f'(x)=e^x+(x-1)e^x-2x=x(e^x-2).

令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln2>0.

所以f'(x),f(x)随x 的变化情况如下表:

x (-∞,0) 0 (0,ln2) ln2 ( ln2,+∞)

f'( x) + 0 - 0 +

f( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(ln2,+∞),单调递减区间为(0,ln2).

(2)f(x)=(x-1)e^x-kx²,x∈[0,k],k∈ 1æ2,1 è

ç ù

ûúú . f'(x)=xe^x-2kx=x(e^x-2k),

令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(2k).

为比较k 与ln(2k)的大小,令φ(x)=k-ln(2k),k∈ 1æ2,1 è

ç ù

ûúú , 则φ'(x)=1-1

k =k-1

k ≤0,所以φ(x)在 1æ2,1 è

ç ù

ûúú 上是减函数,

∴φ(1)≤φ(k)<φ 1 2 æ è

ç ö ø

÷,

∴1-ln2≤φ(k)<1

2<k,即0<ln(2k)<k.

所以f'(x),f(x)随x 的变化情况如下表:

x (0,ln(2k)) ln(2k) ( ln(2k),k)

f'( x) - 0 +

f( x) ↘ 极小值 ↗

f(0)=-1,

f(k)-f(0)=(k-1)e^k-k³+1=(k-1)e^k-(k³-1)=(k-1)[e^k-(k²+k+1)].

∵k∈ 1æ2,1 è

ç ù

ûúú ,∴k-1≤0, 对任意的k∈ 1æ2,1

è

ç ù

ûúú ,y=e^k的图象恒在y=k²+k+1下方,

∴e^k-(k²+k+1)≤0,

∴f(k)-f(0)≥0,即f(k)≥f(0).

∴函数f(x)在[0,k]上的最大值 M =f(k)=(k-1)e^k-k³. 26.(1)∵f(0)=1,a>0,∴f(0)=a²=1,∴a=1.

∴f'(x)=3x²+2bx+c.

又f'(x)=3x²+2bx+c=0的两个根分别是1和2,

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(88)

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∴-2b

3=3,得b=-92.c

3=2,得c=6.

∴f(x)=x³-92x²+6x+1.

(2)由(1)得,f'(x)=3x²-9x+6=3(x-1)(x-2),

当x∈[2,+∞)时,f'(x)≥0,所以f(x)在[2,+∞)上是增函数, 对x∈[2,+∞),当x=2时,f(x)min=f(2)=3,

要使f(x)<12m³-mlnm-mt+3在x∈[2,+∞)上有解,

只需f(x)min<12m³-mlnm-mt+3,即3<12m³-mlnm-mt+3对任意m∈(0,2]

恒成立,

即t<12m²-lnm 对任意m∈(0,2]恒成立.

设h(m)=12m²-lnm,m∈(0,2],则t<h(m)min,

h'(m)=m-1m =m²-1

m =(m+1)(m-1)

m ,令h'(m)=0,得 m=1或 m=-1(舍), 当m∈(0,2]时,h'(m)与h(m)的变化情况如下表:

m (0,1) 1 (1,2) 2

h'(m) - 0 +

h(m) ↘ 极小值 1

2 ↗ 2-ln2

∴m=1时,h(m)^min=h(1)=12,

所以t<12,即实数t的取值范围为t<12.

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乘法可按与两个多项式相乘类似的办法进行,并注意把i²换成-1.

例2 已知复数z¹=1+2i,z²=4-3i.求z²^-1及z1

z2.

分析通过操作演算让学生掌握复数除法的 “分母实数化”方法,而不必专门记忆复数除法法则.

例3 在复数范围内解下列方程:

(1)x²=-3; (2)x²=i.

分析 (1)求负数a 的平方根可直接用公式± -ai.

(2)求其他复数的平方根可通过设x=a+bi,通过复数相等的充要条件,利用待定系数法求解.

例4 在复数范围内解一元二次方程x²+x+1=0.

点评求实系数一元二次方程根的问题,关键先验证系数是否都为实数,再确定 Δ=

b²-4ac的符号,代入相关公式求根.

代数基本定理及其应用

任何n (n>0,n∈N)次复系数多项式f(x)至少有一个复数根.

推论1:任何n (n>0,n∈N)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为n 个一次因式的乘积,即n 次多项式f(x)有n 个复数根.

推论2:如果虚数a+bi是实系数一元n 次方程aⁿxⁿ+an-1x^n-1+…+a1x+a0=0的根,那么它的共轭虚数a-bi也是方程的根,即实系数一元n 次方程 “虚根成对”出现.

5.4　复数的几何表示

􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉

教材线索

本节首先回顾了实数的几何表示法,由此得到启发,联想到用平面上的点和向量来表示复数,即复数a+bi可以用平面上的点 P(a,b)表示,也可以用向量OP→=(a,b)表示, 其次通过向量模的定义给出了复数z 的模|z|= a²+b²及共轭复数与复数模之间的关系:

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教材习题参考解答

5.2 练习 (教材 P.85)

1.实部分别是-1, 22,2,0;虚部分别是1, 22,- 2,-12.

2. (1)

x=-23,

y=-4 3.

ì

î í ï ïï ï ï

(2)x=-8,

{

y=3 ^或

{

_y=-8.^x=3,

3. 略

习题1(教材 P.86) 1.D. 2.A. 3.A.

4. (1) a=2, b=-1.

{

⁽²⁾

{

_b=3^a=1,^或

{

_b=-3.^a=-1,

5.(1)m=5. (2)m=3或 m=-2. (3)m≠5且 m≠-3,m∈R.

5.3 练习 (教材 P.91)

1.(1)3+4i. (2)-4. (3)10. (4)i. 2.m=± 2.

3.(1)x=-1+ 2i或x=-1- 2i.(2)x=2+i或x=2-i.

习题2(教材 P.91) 1.z²=-12+ 3

2i,z³=1,z²+z+1=0. 2.a⁴=-4.

3.x=14+ 7

4i或x=14- 7 4i.

4.(1)-1,-i,1,i.(2)i^4k=1,i^4k+1=i,i^4k+2=-1,i^4k+3=-i,i¹⁰⁰=1.

(3)2015÷4=503……3,原式=503×(1+i+i²+i³)+1+i+i²=i.

5.(1)z=1-i.(2)z=12+7 2i.

5.4 练习 (教材 P.101) 1.图略, 10,2 5,5,6, 612

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2.a=0. 3.- 3<k<- 2或 2<k< 3.

习题3(教材 P.101) 1.四.

2.图形是以原点为圆心,分别以2,5为半径的圆围成的圆环 (含边界).

3.(1)k 值不存在. (2)k=5.

4.设z=x+yi (x,y∈R).(1)z+z=x+yi+(x-yi)=2x∈R.

(2)若z 是实数,则y=0,z=x=z;又若z=z,则x+yi=x-yi,所以y=0,故 z=x∈R.所以z 是实数⇔z=z.

5.根据向量的三角形法则及三角形三边长的性质证明.

复习题五 _{(教材 P.104)}

1.D. 2.α=π2或α=3π2 . 3.1. 4.2i.

5.(1)z=1-i. (2)z=12+ 7

2i或x=12- 7 2i.

(3)z=3+4i. (4)z=4+3i或z=-4-3i.

6.|z1-z2|= 2.

7.|z-i|的最大值是3.

8.△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

9.在直角坐标系中作一个单位圆,以 O 为顶点,Ox 轴正半轴为始边作∠xOP=α,终边 OP 与单位圆的交点P 即为所求.

10.点P 表示的复数是cosα+isinα.

11.(1)α=2kπ

3 (k∈Z). (2)α=2kπn (n∈N^*,k∈Z).

12.z=cos2kπ

n +isin2kπ

n (k=0,1,2,…,n-1),这些点组成正n 边形.

13.设方程的实根为t,则t²-(2i-1)t+3m-i=0,即 (t²+t+3m)-(2t+1)i=0.

根据复数相等的定义,得t²+t+3m=0, 2t+1=0.

{

解得m=112,t=-12.

所以m=112.

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(128)

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(129)

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(130)

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(131)

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(132)

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(133)

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(142)

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(143)

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(144)

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(145)

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教材习题参考解答

6.1.1 练习 (教材 P.113) 1.6.

2.等式左边各项幂的底数之和与右边幂的底数相等,由归纳可猜想规律:

1³+2³+3³+…+n³=(1+2+3+…+n)². 习题1(教材 P.114)

1.(1)21.

(2)2212=11 6.

2. 11-2= 9=3; 1111-22= 1089=33; 111111-222= 110889=333;…;

111…1-222…2=333…3︸_n个 . ︸

2n个

︸_n个

3.(1)10 55.(提示:由1+2+3+…+10=55可得) (2)n(n+1)

2 .

4.f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=

113,f(9)=131,f(10)=151均为素数,n=40时,f(40)=41² 不是素数,故猜想不正确.

5.3 52n 5 2n-1

2

6.凸n 边形有n 个点,一个点与剩余的n-3个点构成一条对角线,因为重复了一次,所以对角线的条数为n(n-3)

2 .

7.(1)

顶点数边数区域数

(a) 4 6 3

(b) 8 12 5

(c) 6 9 4

(d) 10 15 6

(2)顶点数+区域数=边数+1.

(3)边数=顶点数+区域数-1=999+999-1=1997.

6.1.2 练习 (教材 P.117)

1.另外四个面不平行;四个侧面伸展后交于一点;中截面平行于上、下底面.

2 4

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(146)

高中数学教师教学用书

2.∵xⁱ≥0(i=1,2,…,n),且x1+x2+…+xⁿ=1,

∴0≤xⁱ≤1(i=1,2,…,n).∴0≤xⁱ≤ xⁱ≤1.

∴ x¹+ x²+…+ xⁿ≥x¹+x²+…+xⁿ=1.

而 (x1+ x2+…+ xⁿ)²

=(x1+x2+…+xⁿ)+2(x1x2+ x1x3+ x1x4+…+ xn-1xn) ≤n(x1+x2+…+xⁿ)=n.

∴1≤ x1+ x2+…+ xⁿ≤ n.

习题2(教材 P.118) 1.略.

2.球心与截面圆 (不经过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面;与球心距离相等的两个截面圆的面积相等,与球心距离不等的两个截面圆的面积不等,距球心较近的截面圆的面积较大.

3.(1)不正确. (2)不正确. (3)不正确.

6.1.3 练习 (教材 P.121)

因为任意的平行四边形的两条对角线互相平分, (大前提)

而矩形是平行四边形, (小前提)

所以矩形的两条对角线互相平分. (结论)

习题3(教材 P.121)

1.因为任意的等腰三角形的两底角相等, (大前提) 而∠ABC和∠ACB是等腰△ABC的两底角, (小前提)

所以∠ABC=∠ACB. (结论)

2.因为不在同一直线上的三点可以确定一个圆, (大前提)

A,B,C三点不在同一直线上, (小前提)

所以A,B,C三点可以确定一个圆. (结论) 3.因为所对的弦是直径的圆周角是直角, (大前提)

而已知圆周角所对的弦是直径, (小前提)

所以这个圆周角是直角. (结论)

4.因为两条互相垂直的直线所成角是90°, (大前提)

而两条直线都与第三条直线垂直, (小前提)

所以这两条直线与第三条直线所成角都是90°, (结论)

因为同位角相等两直线平行, (大前提)

而两条直线与第三条直线所成的同位角都等于90°, (小前提)

所以这两条直线平行. (结论)

3 4

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(147)

高中数学教师教学用书

6.2.1 练习 (教材 P.125)

1.法1:(综合法)设两个不相等的正数分别是a,b,则 (a- b)²>0⇒a+b-2 ab>0⇒a+b>2 ab⇒a+b

2 > ab.

即两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数. 法2:(分析法)设两个不相等的正数分别是a,b,则

a+b2 > ab⇐a+b>2 ab⇐a+b-2 ab>0⇐(a- b)²>0.

最后一个不等式成立,故a+b

2 > ab.

即两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数. 2.左边= b

a +c a æ è

ç ö

ø

÷+ c b +a

b æ è

ç ö

ø

÷+ a c +b

c æ è

ç ö

ø

÷-3= b a +a

b æ è

ç ö

ø

÷+ c b +b

c æ è

ç ö

ø

÷+ a c +c

a æ è

ç ö

ø

÷-3,

∵a,b,c 为不全相等的正数,∴b a +a

b ≥2,bc +c

b ≥2,ac +c

a ≥2,且这三式的等号不能同时成立 (否则a=b=c).

∴ b a +a

b æ è

ç ö

ø

÷+ c b +b

c æ è

ç ö

ø

÷+ a c +c

a æ è

ç ö

ø

÷-3>6-3=3,即b+c-a

a +c+a-b

b +a+b-c c >3.

习题4(教材 P.126) 1.法1:(综合法)

由平行四边形ABCD 得AD=BC,AD∥BC BM =MC=12BC

AN =ND=12AD

ü

þ ý ï ï ï ï ïï

⇒四边形 ANCM 是平行四边形

⇒AM ∥CN

BM =MC

}

⇒BE=EF,同理可得FD=EF,所以BE=EF=FD.

法2:(分析法)略.

2.法1:(综合法)

(x²-1)²≥0⇒x⁴+1≥2x²⇒ x²

1+x⁴≤12.

法2:(分析法) x²

1+x⁴≤12⇐x⁴+1≥2x²⇐(x²-1)²≥0.

最后一个不等式成立,故 x²

1+x⁴≤12.

3.法1:(分析法)

4 4

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(148)

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a³+b³>a²b+ab²⇔a²(a-b)+b²(b-a)>0⇔(a-b)(a²-b²)>0⇔(a-b)²(a+b)>0.

∵a,b 均为正实数,且a≠b,∴最后一个不等式成立,故原不等式成立.

法2:(综合法)

∵a,b 均为正实数,且a≠b,

∴(a-b)²(a+b)>0.∴(a-b)(a²-b²)>0.

∴a²(a-b)+b²(b-a)>0.

∴a³+b³>a²b+ab². 4.法1:(综合法)

平行四边形ABCD⇒ AB=CD

AB∥DC⇒∠1=∠2

{

AE⊥BD

CF⊥BD

}

⇒∠AEB=∠CFD=90°

}

^⇒

△ABE≌△CDF⇒AE=CF AE⊥BD

CF⊥BD

}

^⇒AE∥CF

}

⇒AECF 是平行四边形.

法2:(分析法)略.

5.法1:(分析法) 3+ 7<2 5

⇐(3+ 7)²<(2 5)²

⇐10+2 21<20

⇐2 21<10

⇐84<100.

最后一个不等式成立,故原不等式成立.

法2:(综合法) 84<100

⇒2 21<10

⇒10+2 21<20

⇒(3+ 7)²<(2 5)².

因为3+ 7>0,2 5>0,所以 3+ 7<2 5.

6.2.2 练习 (教材 P.129)

假设a∥α 不成立,∵a⊄α,∴a 与α 相交,设a∩α=A.

∵a∥b,∴A∉b.在平面α 内过点A 作直线c∥b, 所以a∥c,这与a∩c=A 矛盾.∴a∥α.

5 4

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(149)

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习题5(教材 P.129)

1.设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12.∵f(1)+f(3)-2f(2)=(1+a+b)+(9+3a+b) -2(4+2a+b)=2,∴|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=2,由假设

|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<2,矛盾,故结论成立.

2.假设a,b,c,d 都是非负实数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0.由a+b=1,c+d=1 知(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)=1,∵ad+bc≥0,∴ac+bd≤1,这与已知的 ac+bd>1矛盾.所以假设错误,故a,b,c,d 中至少有一个是负数.

3.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1.

∵0<a<2,0<b<2,0<c<2,

∴a(2-b)b(2-c)c(2-a)≤ a+(2-a) 2 é

ëêê ù ûúú

2· b+(2-b)² 2 é

ëêê ù

ûúú ·c+(2-c) 2 é

ëêê ù ûúú

2=1.

又由假设易得a(2-b)b(2-c)c(2-a)>1.矛盾,故结论成立.

4.假设方程x²+px+q=0有整数根m,则有m²+pm+q=0,∴m(m+p)=-q.∵p 为奇数,∴不论 m 为奇数还是偶数,m 与m+p 中必有一个是偶数.∴m(m+p)必为偶数.∴-q 为偶数,即q 为偶数,这与已知q 为奇数矛盾.假设不成立,故方程x²+px+

q=0不可能有整数根.

5.假设不等式 1æx²-1 è

ç ö

ø

÷ 1

y²-1 æ è

ç ö

ø

÷≥9不成立,则有 1æx²-1 è

ç ö

ø

÷ 1

y²-1 æ è

ç ö

ø

÷<9,

∴1-x²

x² ·1-y²

y² <9.∴(1-x²)(1-y²)<9x²y².∴(1-x)(1-y)(1+x)(1+y)<9x²y².

∵x+y=1,∴xy(1+x)(1+y)<9x²y².∵x,y>0,∴(1+x)(1+y)<9xy.

∴1+x+y+xy<9xy.∴2<8xy,即xy>14.由x,y>0,x+y=1得xy< x+y 2 æ è

ç ö

ø

÷

2=14.

两式矛盾,假设不成立,∴ 1æx²-1 è

ç ö

ø

÷ 1

y²-1 æ è

ç ö

ø

÷≥9.

6.3 练习 (教材 P.132)

1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即 1+3+5+…+(2k-1)=k².

那么1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)². 这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

2.(1)当n=1时,左边=S1=a1,右边=a1,等式成立.

(2)假设当n=k 时,等式成立,即S^k=a1(1-q^k) 1-q .

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(150)

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那么 Sk+1=S^k+ak+1=a1(1-q^k)

1-q +a¹q^k

=a1[(1-q^k)+q^k-q^k+1] 1-q

=a1(1-q^k+1) 1-q .

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据(1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

习题6(教材 P.132)

(2)假设当n=k 时,等式成立,即 2+4+6+…+2k=k²+k.

那么2+4+6+…+2k+2(k+1)=k²+k+2(k+1)=(k+1)²+(k+1).

(2)假设当n=k 时,等式成立,即

1²+2²+3²+…+k²=k(k+1)(2k+1)

6 .

那么 1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²

=k(k+1)(2k+1)

6 +(k+1)²

=(k+1)k(2k+1)

6 +(k+1) é

ëêê ù

ûúú

=(k+1)2k²+7k+6

6 =(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]

6 .

1³+2³+3³+…+k³= 1é2k(k+1) ëêê ù

ûúú². 那么 1³+2³+3³+…+k³+(k+1)³

= 1é2k(k+1) ëêê ù ûúú

2+(k+1)³=(k+1)² 1

4k²+(k+1) é

ëêê ù ûúú

=14(k+1)²(k²+4k+4)=14(k+1)²(k+2)²= 1é2(k+1)(k+2)

ëêê ù

ûúú². 7

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(151)

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1×2+2×3+3×4+…+k×(k+1)=13k(k+1)(k+2).

那么 1×2+2×3+3×4+…+k×(k+1)+(k+1)(k+2)

=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)

=(k+1)(k+2)13k+1 æ

è

ç ö

ø

÷

=13(k+1)(k+2)(k+3).

根据(1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

5.(1)当n=3时,f(3)=180°=(3-2)×180°,公式成立.

(2)假设当n=k 时,公式成立,即f(k)=(k-2)×180°(k≥3).

那么f(k+1)=f(k)+180°=(k-2)×180°+180°=[(k+1)-2]×180°(k≥3).

这表明,当n=k+1时,公式也成立.

根据 (1)、(2),可以断定,公式对n≥3的任何正整数n 都成立.

6.法1:n=2时,f(1)=1=2×f(2)-2.

n=3时,f(1)+f(2)=1+ 1+12 æ è

ç ö

ø

÷=3×f(3)-3.

n=4时,f(1)+f(2)+f(3)=4×f(4)-4.

归纳猜想g(n)=n,再用数学归纳法证明.

法2:g(n)=

n-11 +n-2 2 +n-3

3 +…+n-(n-1) n-1 f(n)-1

=n 1+12+1

3+…+ 1n-1 æ

è

ç ö

ø

÷-(n-1) f(n)-1

=n[f(n)-1]

f(n)-1 =n.

故存在g(n)使等式成立.

复习题六 _{(教材 P.139)} 1.100².

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(152)

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2.16,4n.

3.Sn=4(n-1).

4.等腰梯形的两个底角相等,

由已知AD∥BC,AB=DC 知梯形ABCD 是一个等腰梯形, 所以,梯形 ABCD 的两个底角相等,即∠B=∠C.

5.由已知a,b,c 为不全相等的三个正实数,

∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca,且三个不等式中不能同时取“=”号,

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

6.法1:(分析法) 3+ 7<2+ 6

⇐(3+ 7)²<(2+ 6)²

⇐10+2 21<10+4 6

⇐2 21<4 6

⇐84<96,

最后一个不等式成立,故原不等式成立.

法2:(综合法) 84<96

⇒2 21<4 6

⇒10+2 21<10+4 6

⇒(3+ 7)²<(2+ 6)²,

因为3+ 7>0,2+ 6>0,所以 3+ 7<2+ 6.

法3:(反证法)假设不等式 3+ 7<2+ 6不成立,则 3+ 7≥2+ 6, 3+ 7≥2+ 6

⇐(3+ 7)²≥(2+ 6)²

⇐10+2 21≥10+4 6

⇐2 21≥4 6

⇐84≥96,

因为84≥96显然违背常识,所以假设不成立,故 3+ 7<2+ 6.

7.假设ⁿa≥ⁿb不成立,则ⁿa<ⁿb.

na<ⁿb⇒a<b,与已知a≥b 矛盾,假设不成立,故ⁿa≥ⁿb.

8.(1)①当n=1时,左边=4,右边=4,等式成立.

②假设当n=k 时,等式成立,即

1×4+2×7+3×10+…+k×(3k+1)=k(k+1)².

那么 1×4+2×7+3×10+…+k×(3k+1)+(k+1)×[3(k+1)+1]

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=k(k+1)²+(k+1)×[3(k+1)+1]

=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]

=(k+1)(k²+4k+4)

=(k+1)(k+2)².

根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.

(2)①当n=1时,左边=a²1,右边=a²1,等式成立.

②假设当n=k 时,等式成立,即

(a1+a2+…+a^k)²=a²1+a²2+…+a²^k+2(a1a2+…+a1ak+a2a3+…+a2ak+…+ak-1ak).

那么 (a1+a2+…+a^k+ak+1)²

=(a1+a2+…+a^k)²+a²k+1+2ak+1(a1+a2+…+a^k)

=a²1+a²2+…+a²^k+2(a1a2+…+a1ak+a2a3+…+a2ak+…+ak-1ak)+

a²k+1+2ak+1(a1+a2+…+a^k)

=a²1+a²2+…+a²^k+a²k+1+2(a1a2+…+a1ak+1+a2a3+…+a2ak+1+…+a^kak+1).

(3)①当n=1时,左边=13,右边=13,等式成立.

②假设当n=k 时,等式成立,即 11×3+² 2²

3×5+…+ k²

(2k-1)(2k+1)=k(k+1) 2(2k+1).

那么 11×3+² 2²

3×5+…+ k²

(2k-1)(2k+1)+ (k+1)² (2k+1)(2k+3)

=k(k+1) 2(2k+1)+

(k+1)² (2k+1)(2k+3)

=k(k+1)(2k+3) 2(2k+1)(2k+3)+

(k+1)² (2k+1)(2k+3)

=k(k+1)(2k+3)+2(k+1)² 2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)[k(2k+3)+2(k+1)]

2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)(2k+1)(k+2) 2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)(k+2) 2(2k+3) .

(4)①当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.

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②假设当n=k 时,等式成立.即

(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k×1×3×…×(2k-1).

那么 (k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1)

=2^k×1×3×…×(2k-1)·2(2k+1)

=2^k+1×1×3×…×[2(k+1)-1].

9.按图进行归纳,由周期性变化知第2015次的图应与第三次的图一样,故小兔应坐在第4 号座位上.

10.(反证法)假设不等式a³+b³>a²b+ab²不成立,则a³+b³≤a²b+ab², a³+b³≤a²b+ab²

⇐a³+b³-a²b-ab²≤0

⇐a²(a-b)+b²(b-a)≤0

⇐(a-b)(a²-b²)≤0

⇐(a-b)²(a+b)≤0.

由a,b>0,且a≠b 得(a-b)²(a+b)>0,两个不等式矛盾,所以假设不成立, 故a³+b³>a²b+ab².

11.假设圆内两条非直径的弦相交于点P 并且互相平分,连接圆心O 与点P,则过点 P 有两条弦都垂直于OP,这与 “平面内过一点作直线的垂线有且仅有一条”矛盾,假设不成立,故圆内两条非直径的弦相交,它们不可能互相平分.

12.(1)对任意实数a,b 均有 C⁰ⁿaⁿ+Cⁿ¹a^n-1b+C²ⁿa^n-2b²+…+Cⁿⁿbⁿ=(a+b)ⁿ,(大前提) 而1,-1是实数,(小前提)

所以,C⁰ⁿ-C¹ⁿ+C²ⁿ-C³ⁿ+…+(-1)ⁿCⁿⁿbⁿ=0.(结论)

(2)对任意实数a,b 均有 C⁰ⁿaⁿ+Cⁿ¹a^n-1b+Cⁿ²a^n-2b²+…+Cⁿⁿbⁿ=(a+b)ⁿ, (大前提) 而1-x,x 是实数,(小前提)

所以,C⁰ⁿ(1-x)ⁿ+C¹ⁿ(1-x)^n-1x+C²ⁿ(1-x)^n-2x²+…+Cⁿⁿxⁿ=1.(结论)

13.任一存在反函数的函数y=f(x)的图象与它反函数y=f^-1(x)的图象关于直线y=x 对称,而函数y=x-aax-1的反函数由y=x-a

ax-1⇒x=y-a

ay-1可求得f^-1(x)=x-aax-1,所以,函数y=x-a

ax-1的图象关于直线y=x 对称.

14.计算得

S1= 11×2=1 2, S2= 11×2+ 1

2×3=1 2+1

6=2 3,

1 5

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高中数学教师教学用书

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