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高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
教材习题参考解答
4.1.1 练习 (教材 P.5)
1.H (t)= -4.9t2+6.5t+10, 则 [t,t+d] 上 的 平 均 速 度 为H (t+d)-H (t)
d =
-4.9(2dt+d2)+6.5d
d =-9.8t-4.9d+6.5,令d 趋于0,则得到运动员在任意时刻 t的瞬时速度为-9.8t+6.5 (m/s).
2.(1)由题1得运动员在任意时刻t 的瞬时速度为-9.8t+6.5 (m/s),令t=0得运动员 在起跳时刻的瞬时速度为6.5m/s.
(2)∵H (t)=-4.9t2+6.5t+10,当t=6.59.8时,H (t)取到最大值,∴运动员到达最 高点处的瞬时速度为0m/s.
(3)令 H (t)=0,得到t=2.238s,此时运动员的瞬时速度为-15.43m/s.
习题1(教材 P.5)
1.物体在 [t,t+d]上的平均速度s(t+d)-s(t) d =v0d
d =v0,即物体在时刻t的瞬时速度 为v0.
2.此球在 [4,4+d]上的平均速度为(4+d)2-16
d =8d+d2
d =8+d,令d 趋于0,则得此 球在垂直方向上的瞬时速度为8m/s.
3.该物 体 在 [t,t+d] 上 的 平 均 速 度 为h+v(t+d)-g(t+d)2
2 - h+vt-gt2 2 æ
è
ç ö
ø
÷
d =v-
gt-gd
2,令d 趋于0,得该物体在时刻t的瞬时速度为v-gt.
设该物体的质量为m,在时刻t=0时,物体的势能为 mgh0,动能为mv220;在时刻t,物 体势能为mght,动能为mv2 .t2 由能量守恒原理,mgh0+mv20
2 =mght+mvt2
2 ,从中可解出 瞬时速度vt=v-gt,与导数方法求出的结果一致.
4.∵f(x)是增函数,
当d>0时,x0+d>x0,∴f(x0+d)>f(x0),即f(x0+d)-f(x0)
d 的符号为正. 当d<0时,x0+d<x0,∴f(x0+d)<f(x0),即f(x0+d)-f(x0)
d 的符号也为正.
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4.1.2 练习 (教材 P.9)
1.取Q(1+d,2(1+d)2),则kPQ=2(1+d)2-2
d =2d+4,令d 趋于0,则得到点 P 处切 线的斜率为4,所以过点P 的切线方程为y=4(x-1)+2,即y=4x-2.
2.取Q(x0+d,3-(x0+d)2),则kPQ=3-(x0+d)2-3+x20
d =-2x0-d,令d 趋于0,则 得到点P 处切线的斜率为-2x0,所以曲线在点 P 处的切线的方程为y=-2x0(x-x0) +y0.
习题2(教材 P.9)
1.取Q(1+d,(1+d)2+1),则kPQ=(1+d)2+1-2
d =d+2,令d 趋于0,则得到点 P 处的切线的斜率为2.
2.取Q(u+d, (u+d)2-3(u+d)+2),则kPQ=u2+d2+2ud-3u-3d+2-u2+3u-2
d =
d+2u-3,令d 趋于0,则得到抛物线y=x2-3x+2在点 P 处的切线的斜率为2u-3.
又因为y=x2-3x+2的顶点V 32,-14 æ
è
ç ö
ø
÷,所以在顶点V 处的切线的斜率为0,故抛物 线y=x2-3x+2在顶点处的切线的方程为y=-14.
3.取Q(x0+d,2(x0+d)2+1),则kPQ=2(x0+d)2+1-(2x20+1)
d =4x0+2d,令d 趋 于0,则得点P 处切线的斜率为4x0,又点P 处的切线平行于直线y=6x+1,所以4x0
=6,则x0=1.5,代入曲线方程,得y0=5.5.
4.1.3 练习 (教材 P.13)
1.函数y=x2-3x 在区间 [-1,1]上的平均变化率为f(1)-f(-1) 1-(-1) =-3.
2.[2,2+d]上的平均速度3(2+d)2+2(2+d)+1-3×22-2×2-1
d =14+3d,当d=1
时,平均速 度 为 17;当 d=0.1 时,平 均 速 度 为 14.3;当 d=0.01 时,平 均 速 度 为 14.03.令d 趋于0,得到在t=2时的瞬时速度为14.
习题3(教材 P.13)
1.y =kx +b 的 瞬 时 变 化 率 就 是 函 数 y =kx +b 的 导 数 y', 按 定 义 计 算 有 k(x+d)+b-kx-b
d =k,当d 趋于0,此式趋于k,即y=kx+b 的瞬时变化率为k.
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2.(1)L 关于x 的瞬时变化率为v+ax,从物理学角度上看,L 关于x 的瞬时变化率即运动物体的瞬时速度; (2)运动物体的瞬时速度关于x 的瞬时变化率为a,其物理意义是 运动物体的加速度.
3.当圆的半径r 变化时,圆面积S 关于r 的瞬时变化率为2πr,即圆的周长;
当圆的直径D 变化时,圆周长C 关于D 的瞬时变化率为π,即圆周率.
4.2.1 练习 (教材 P.17)
1.正方形面积S=x2,其面积关于x 的变化率为S'=2x,是正方形周长的12倍.
2.∵y=x3,y'=3x2,∴ 曲线y=x3 在 点 (2,8)处 切 线 的 斜 率k=12,故 曲 线 在 点 (2,8)处的切线方程为y-8=12(x-2),即12x-y-16=0.
习题4(教材 P.17)
1.S'=3t2,当t=3时,速度为27m/s.
2.因为点 P 不 在 曲 线y=x2 上,设 所 求 切 线 与 曲 线 切 于 点 Q (u,v),又 y'=2x,由 v=u2,
2u=v-5 u-3, ì
î í ïï ïï
得u2-6u+5=0,u=1或u=5,所以满足条件的切线有两条,对应的切点
坐标为 (1,1),(5,25),两条切线的斜率分别为2和10,对应的切线方程为2x-y- 1=0或10x-y-25=0.
3.设点P(u,v),则v=u3, 3u2=3,
{
解得点P 的坐标分别为 (1,1)或 (-1,-1),切线方程 分别为3x-y-2=0,3x-y+2=0.4.经验算, 点 A 不 在 已 知 曲 线 上, 设 所 求 的 切 线 和 已 知 曲 线 切 于 点 Q (u,v), 则 uv=1,
-1u2=v-3 u+5, ì
î í ïï ïï
解得u=53或u=-1,即点Q 的坐标为 53,3 5 æ è
ç ö
ø
÷或 (-1,-1),过点 A
与曲线xy=1相切的两条直线的方程为9x+25y-30=0或x+y+2=0.
5.y= x =x12,y'= 1
2 x,k=y'|x=4=14;
x=y2,x'=2y,k=x'|y=2=4,两次计算的结果互为倒数.
6.令f(x)=x4.则f(x+d)-f(x)
d =(x+d)4-x4 d
=(x+d)2(x+d)2-x4
d =4x3+6dx2+4d2x+d3. 当d 趋于0时,上式趋于4x3,所以(x4)'=4x3.
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令f(x)=3x2,则f(x+d)-f(x)
d =
3(x+d)2-3x2 d
= (x+d)2-x2
d
[
3(x+d)4+3x4+3x2(x+d)2]
=2dx+d2
d
[
3(x+d)4+3x4+3x2(x+d)2]
= 2x+d
3(x+d)4+3x4+3x2(x+d)2. 当d 趋于0时,上式趋于 2x
33x4=23·x-13.
4.2.2 练习 (教材 P.19) 1.(1)π. (2)-1.
2.因为y'=-sinx,故该曲线在点 (x,cosx)处的切线的斜率为-sinx.方程-sinx=1 的解集为 {x|x=2kπ-π2,k∈Z},即在点 2kπ-πæ 2,0
è
ç ö
ø
÷(k∈Z)处的切线的斜率为1.
方程-sinx=0的解集为 {x|x=kπ,k∈Z},即在点 (kπ,1)(k 为偶数)或点 (kπ, -1)(k 为奇数)处的切线平行于x 轴.
习题5(教材 P.20)
1.(1)y'=4x3. (2)y'=0. (3)y'=5x(ln5). (4)y'= 1cos2x.
2.(1)f'(x)=2xln2,f'(0)=ln2. (2)f'(x)= 1ln10·1x,f'(1)= 1ln10.
3.y'=nxn-1,y'|x=2=n·2n-1=12,解得n=3.
4.(1)∵y= x ,y'=12x-
12,∴曲线在x=4处切线的斜率k=14,故曲线在x=4处的 切线方程为y-2=1
4(x-4),即x-4y+4=0.
(2)∵y=sinx,y'=cosx,∴曲线在x=π3处切线的斜率k=12,故曲线在x=π3处的 切线方程为y- 3
2 =1 2 x-π
3 æ è
ç ö
ø
÷,即x-2y+ 3-π3=0.
4.2.3 练习 (教材 P.26)
1.(1)f'(x)=3-2xln2. (2)S'(t)=3cost-6.
(3)g'(x)=- 74x2-x2. (4)W'(u)=-1u2- 1 2 u. 2.(1)(xex)'=ex+xex.
0
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(2)(3x4ex+2x2ex-ex+7)'=3x4ex+12x3ex+2x2ex+4xex-ex.(3) xtanx æ è
ç ö
ø
÷'= 1tanx- x
sin2x. (4)[2sin(3+x)]'=2cos(3+x).
(5) (5x-e)[ 6]'=30(5x-e)5. (6) sin(1+2x)
x é
ëêê ù
ûúú'=2xcos(1+2x)-sin(1+2x)
x2 .
(7) 1cosx-sinxtanx æ
è
ç ö
ø
÷'=-sinx.
(8) ln(2x+1)+ 12x+1 é
ëêê ù
ûúú'= 22x+1- 2
(2x+1)2= 4x (2x+1)2. 3.(1)不正确.[(3+x2)(2-x3)]'=2x(2-x3)-3x2(3+x2).
(2)不正确. 1+cosxx2 æ
è
ç ö
ø
÷'=-x2sinx-2x(1+cosx)
x4 .
习题6(教材 P.27)
1.(1)f'(x)=-2. (2)H'(t)=-4t+6.
(3)g'(x)=6x+ 14x2. (4)F'(u)=1- 1 2 u. (5)p'(x)=5x4-6x2+6x+6. (6)T'(x)=cosx+sinx.
(7)u'(x)=3ex+ 2cos2x. (8)f'(x)= 1xln2+ 1 cos2x.
2.(1)(x3lnx)'=3x2lnx+x2. (2)(exsinx)'=exsinx+excosx.
(3)(2xtanx)'=2xln2tanx+ 2cosx2x.(4) cosxex æ è
ç ö
ø
÷'=-sinx+cosx ex . (5)[Asin(ωt+φ)]t'=Aωcos(ωt+φ).
(6)[(u+3)ln(u+3)-u]'=ln(u+3).
(7)[(ax+tanx)7]x'=7(ax+tanx)6a+ 1cos2x æ
è
ç ö
ø
÷. (8)(x6e3x-2)'=6x5e3x-2+3x6e3x-2.
3.物体在t=3时的速度为7.5.
4.(1)切点 (1,2);
(2)切线l的方程为y=2x.
5.曲线在点P(u,v)处的切线的方程为y= 1-u2
(1+u2)2(x-u)+v;
切线斜率为1时,点P 的坐标为 (0,0);切线平行于x 轴时,点P 的坐标为 1,12 æ è
ç ö
ø
÷或 -1,-12
æ è
ç ö
ø
÷.
1
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6.该物体的瞬时速度为3aeatsin(kt+b)+3keatcos(kt+b);
瞬时加速度为3a2eatsin(kt+b)+6akeatcos(kt+b)-3k2eatsin(kt+b).
4.3.1 练习 (教材 P.35)
(1)f'(x)=-2,函数f(x)在 R上递减;
(2)f'(x)=1- 1
x,函数f(x)在(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减.
(3)f'(x)=2x2,函数f(x)在 (-∞,0)和 (0,+∞)上递增;
(4)f'(x)=1-1x2,函数f(x)在(-∞,-1)和 (1,+∞)上递增,在(-1,0)和 (0,1)上递减;
习题7(教材 P.36) 1.(1)f'(x)=2x-4.
令f'(x)=2x-4>0,得x>2.
令f'(x)=2x-4<0,得x<2.
所以,原函数在区间(2,+∞)上单调递增,(-∞,2)上单调递减.
(2)f'(x)=1x +1
x2=x+1
x2 ,又x>0,所以f'(x)>0.
所以,原函数在区间(0,+∞)上单调递增.
2.f'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-2,1)上是减函数.
3.y'=ax2-ax-2a=a(x+1)(x-2), 当x∈[-1,2]时,y'>0,且a≠0,
∴a(x+1)(x-2)>0,∴a<0.
4.若把例4中的圆改为教材图4 20的半圆,应选 B;若改为图4 21的三角形,应选 C.
5.由图知,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.
∴原函数在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
又导函数f'(x)的图象是一条直线l,
∴原函数是二次项系数小于0的二次函数,其图象的对称轴是x=1.
∴f(x)=f(2-x),∴f(0)=f(2).
又函数在(1,+∞)上单调递减,
∴f(2)>f(3),即f(0)>f(3).
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4.3.2 练习 (教材 P.40)1.(1)函数的驻点是x=32,极小值点是x=32,极小值为-72.
(2)函数的驻点集合是 x x=nπ+(-1)nπ
6,n∈Z
{ }
,函数的极大值点是x=2kπ+π6,极大值为 3
2 +kπ+π
12,k∈Z, 函数的极小值点是x=2kπ+5π6,极小值为- 32 +kπ+5π
12,k∈Z.
(3)函数无驻点,无极值点.
(4)函数的驻点是x=-2,x=0,函数的极大值点是x=-2,极大值为4e-2, 函数的极小值点为x=0,极小值为0.
2.f'(x)=3x2+6mx+n,依题意得f'(-1)=3-6m +n=0,f(-1)=-1+3m -n+
m2=0.解得 m =1,n=3或 m =2,n=9.但当 m =1,n=3时,f'(x)=3x2+6x+
3=3(x+1)2≥0恒成立,此时x=-1不是f(x)的极值点,应舍去.从而 m=2,n=9, 即有mn=18.
4.3.3 练习 (教材 P.44)
1.(1)函数在 (-∞,+∞)上单调递增,无极值点.
(2)函数在 (-∞,+∞)上单调递减,无极值点.
(3)函数的单调递增区间是 (-3,3),递减区间是 (-∞,-3)和 (3,+∞),函数 的极小值点是x=-3,极大值点是x=3.
(4)函数的单调递增区间是 (-∞,-3)和 (5,+∞),递减区间是 (-3,5),函数 的极小值点是x=5,极大值点是x=-3.
2.F'(x)=x2-4,则F(x)在[-3,-2)上单调递增,在(-2,2]上单调递减,所以x=
-2为极大值点,F(x)max=F(-2)=283.又F(-3)=7,F(2)=-43,所以F(x)min= -43.所以F(x)的最大值为283,最小值为-43.
习题8(教材 P.45)
1.(1)f'(x)=5>0,函数在(-∞,+∞)上单调递增,无极值.
(2)f'(x)= 1(1+x)2>0,函数在(-∞,-1)和 (-1,+∞)上单调递增,无极值.
(3)f'(x)=1+1x2>0,函数的单调递增区间是 (-∞,0)和 (0,+∞),无极值.
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(4)g'(x)=2x-2,函数的单调递减区间是 (-∞,1),单调递增区间是 (1,+∞), 极小值为g(1)=-4.
(5)f'(x)=36x35,函数的单调递减区间是 (-∞,0),单调递增区间是 (0,+∞), 极小值为f(0)=0.
(6)f'(x)=1x +1,∵x>0,∴y'>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.
(7)g'(x)= 2-x(2+x22)2,函数的单调递减区间是 (-∞,- 2)和 (2,+∞),单调递
增区间是(- 2, 2),函数极小值为g(- 2)=- 24,极大值为g(2)= 24 . (8)g'(x)=3x2-4x +1, 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 1æ3,1
è
ç ö
ø
÷, 单 调 递 增 区 间 是 -∞,13
æ è
ç ö
ø
÷和(1,+∞),函数的极大值是g 13 æ è
ç ö ø
÷=3127,函数的极小值是g 1( )=1.
2.(1)F'(x)=6x2+2x-4,函数的单调递减区间是 -1,23 æ
è
ç ö
ø
÷,单调递增区间是 -2,-1( )和 23,1
æ è
ç ö
ø
÷,函数的极大值是F -1( )=4,极小值是F 23 æ è
ç ö ø
÷=-1727,又F(1)=0,F(-2)
=-3,故函数的最大值是F(-1)=4,最小值是F -2( )=-3.
(2)G'(x)=3x2-3x=3x(x-1),函数在(-1,0)和(1,2)上单调递增,在(0,1)上单 调递减.函数的极大值是G(0)=0,极小值G(1)=-12,又G(-1)=-52,G(2)=2,
故函数的最大值是G(2)=2,最小值是G(-1)=-52.
3.f'(x)=3ax2-6ax=3ax(x-2).
令f'(x)=0,得x1=0,x2=2.
只有x2在区间[1,4]内,列表如下:
x 1 (1,2) 2 (2,4) 4
f'( x) - 0 +
f( x) -2a+b ↘ -4a+b ↗ 16a+b
∵a>0,f(x)在区间 [1,4]内有最大值23,最小值3,
∴16a+b=23, -4a+b=3,
{
解得a=1,b=7.4.(1)图略.
(2)P,Q 之间的这段曲线是夹在切线和直线PQ 之间.
可求得P(-5,6),Q (0,-4),直线PQ 方程为:y=-2x-4,与直线PQ 平行 的切线的切点是M -52,-214
æ è
ç ö
ø
÷,该切线方程是y=-2x-414.
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当-5≤x≤0时,-2x-4-(x2+3x-4)=-x2-5x=-x(x+5)≥0, x2+3x-4- -2x-414
æ è
ç ö
ø
÷=x2+5x+254= x+5 2 æ è
ç ö
ø
÷ 2≥0,
所以P,Q 之间的这段曲线夹在切线和直线PQ 之间.
5.设f(x)=x3-3x2+4.
则f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
令f'(x)=0,得x1=0,x2=2.
由于x1,x2都在区间[0,+∞)内,所以列表如下:
x 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'( x) - 0 +
f( x) 4 ↘ 0 ↗
∴当x=2时,f(x)有最小值0,
∴x3-3x2+4≥0,即x3+4≥3x2. 4.4 练习 (教材 P.50)
1.设截去的正方形边长为xcm,则底面矩形的长为 (8-2x)cm,宽为 (5-2x)cm, V =x(8-2x)(5-2x)=4x3-26x2+40x 0<x<52
æ è
ç ö
ø
÷. V'=12x2-52x+40,令V'=0得x=1或x=103 (舍去).
因为V(x)在0<x<52时只有一个极值点x=1,故当x=1时Vmax=18.
所以截去的正方形边长为1cm 时,纸匣的容积最大.
2.设参加旅游的人数为x,旅游团收费为f(x),则依题意有 f(x)=1000x-5(x-100)x(100≤x≤180).
令f'(x)=1500-10x=0,得x=150.
又f(100)=100000,f(150)=112500,f(180)=108000.
所以当参加人数为150人时,旅游团的收费最高,可达112500元.
习题9(教材 P.50)
1.设腰长为x,则下底为2l-2x,高h= x2-(l-x)2= -l2+2lx , S=12(2l-2x)2lx-l2=(-x+l)2lx-l2 12l<x<l
æ è
ç ö
ø
÷, S'=- 2lx-l2+l2-lx
2lx-l2,
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当x=23l时,S 有最大值 39l2.
图 4 27
2.如图4 27,设等腰三角形底边BC 上的高为AD,∠OBD=θ (0°≤θ<90°),则BD=Rcosθ,AD=R+Rsinθ,
S=Rcosθ(R+Rsinθ),S'=R2(1-2sin2θ-sinθ), 令S'=0,得sinθ=12,所以当θ=π6时,Smax=3 34 R2, 此时∠BOD=2∠ABO=π3,
故∠ABC=π3,△ABC 为等边三角形.所以同一个圆的内接 等腰三角形中,等边三角形面积最大.
3.设圆柱的高为x,圆柱底面半径为r,则r= R2- x 2 æ è
ç ö ø
÷ 2,
V=πr2x=πx R2-x2 4 æ
è
ç ö
ø
÷=π -x3 4 +R2x æ
è
ç ö
ø
÷ (0<x<2R),
令V'=π -3æ 4x2+R2 è
ç ö
ø
÷=0,得x=2 33 R,
所以当圆柱的高为2 3
3 R时,体积最大,车下来的金属屑最少.
4.设高为h,底面半径为R,则V=πR2h,h= V πR2, 所以S=2πR2+2πRh=2πR2+2V
R,令S'=4πR-2VR2=0,得R=
3V 2π, 此时h=V
πR2=
34V
π,所以当R=3V
2π,h=34V
π时罐头盒的表面积最小.
5.Q'(t)=-3t2+6t+9=-3(t-1)2+12,即求导函数取最大值的点,Q'(t)在t=1时取 最大,故当t=1即9:00时工作效率最高.
6.设下底面单位面积造价为a 元,则侧面单位面积造价为12a元,上底面单位面积造价为 14a元,油桶的高为l,πr2l=20π,所以l=20r2.
总造价y=a·πr2+2πrl·12a+1 4aπr2, y'=πa 52r-20
r2 æ
è
ç ö
ø
÷,函数仅有一个极值点r=2, 所以当r=2时总造价最低.
7.如图4 28,在线段 AB 上取一点D,设BD=x,则0≤x≤10,|CD|= x2+9,
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图 4 28
修路费用y=4000(10-x)+5000 x2+9,y'=-4000+5000x
x2+9,由y'=0得x=4,
所以应在线段AB 上取一点D,点 D 距离点B 为4km,按 A→D→C 设计线路最省.
8.S=b+(b+2bcosθ)
2 ·bsinθ=b2(sinθ+sinθcosθ),S'=b2(2cosθ-1)(cosθ+1),
∵θ 是锐角,∴cosθ+1≠0,
当cosθ=12时,S'=0,面积有最大值,此时坡度为tanθ= 3,θ=60°.
9.设剪去的圆心角为θ 弧度,V=13πr2 R2-r2,V'=23πr R2-r2- πr3 3 R2-r2. 当r= 63R时V'=0,容积有最大值,
此时2πr=2 63 πR=(2π-θ)R,θ= 2-2 63 æ
è
ç
öø
÷
π.习题10(教材 P.59)
依照曲边梯形的面积求法,分成三个步骤:
(1)用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片;
(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,每个圆柱的高均为hn,底半径依次为:
nr,2rn,3rn,…,(n-1)r n ,r;
(3)V(n)=π rn22+22r2 n2 +32r2
n2 +…+(n-1)2r2 n2 +n2r2
n2 é
ëêê ù
ûúú ·h n
=πr2h
n3 · 1[ 2+22+32+…+(n-1)2+n2]
=πr2h n3 ·1
6n(n+1)(2n+1)
=πr2h 6 1+1
n æ è
ç ö
ø
÷ 2+1n æ è
ç ö
ø
÷,
当n 趋于无穷大时,V(n)趋于13πr2h,则所求圆锥的体积为V=13πr2h.
习题11(教材 P.62)
(1)计算函数f(x)=x2在区间 [a,b]上的曲边梯形面积.
把区间 [a,b]n 等分,整个曲边梯形就被分为n 个小曲边梯形.用一系列小矩形近似 地代替对应的小曲边 梯 形,那么每个矩形的宽度均为d=b-an ,长度依次为a2,(a+
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2.(1)kPQ=0,k(2,3)=0. (2)kPQ=12,k(2u,u+1)=12.(3)kPQ=-h-3,k(2,-2)=-3. (4)kPQ=10+6d+d2,k(2,4)=10.
(5)kPQ=- 12+h,k(1,1)=-12.
3.(1)c=4x,Δc
Δx=4,c'(u)=4,c'(v)=4.
(2)S= 34x2,ΔS Δx= 3
4c,S'(u)=0,S'(v)= 32c.
(3)S=πx2,ΔS
Δx=π(R+1),S'(1)=2π,S'(R)=2πR.
(4)S=πx2,ΔSΔx=π(D+1),S'(1)=2π,S'(D)=2πD.
(5)V=43πx3,ΔVΔx=4
3π(R2+Rr+r2),V'(r)=4πr2,V'(R)=4πR2. 4.(1)y'=3cosx-2sinx.
(2)y'=3x2. (3)y'=4x3-2x.
(4)y'=mxm-1(xn+an)+nxn-1(xm+am).
(5)f'(x)=cos(x+3t).
(6)f'(x)=ln(3x+2)+ 3x3x+2.
(7)f'(x)=8x-4txetx 2.
(8)f'(x)=-sx2-7s+excosex.
5.(1)y'=-3x2-4x-4,函数在(-∞,+∞)上单调递减.
(2)y'=12x3-12x2-24x,函数在(-1,0)和(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-1) 和(0,2)上单调递减.
(3)y'=3x2+2x-1,函数在(-∞,-1)和 1æ3,+∞
è
ç ö
ø
÷上单调递增,在 -1,13 æ
è
ç ö
ø
÷上单 调递减.
6.(1)函数的极大值为f(-1)=10,极小值为f(3)=-22.
(2)函数的极大值为f(1)=11,极小值为f(7)=-97.
(3)函数的极大值为f(-1)=f(1)=2,极小值为f(0)=1.
(4)函数的极大值为f(-a)=-2a,极小值为f(a)=2a.
7.(1)函数的最小值为f(1)=-1,最大值为f(4)=8.
(2)函数的最小值为f(1)=3,最大值为f 52 æ è
ç ö ø
÷=1058 . 8.(1)当t=0或t=8时s=0.
(2)当t=0或t=4或t=8时v=0.
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9.(1)设圆柱底面半径为r,圆柱的高为h,则h=2 R2-r2, V=πr2·2 R2-r2,V'=2π2r R2-r2- r3
R2-r2 æ
è
ç
öø
÷
.令V'=0,得r2=23R2,此时h=2 33 R,
所以当h=2 33 R时,所求的圆柱的体积最大.
(2)设圆锥底面半径为r,球心到圆锥底面圆心的距离为x,圆锥的高为h,则h=R+
x,V=13π(R2-x2)(R+x),V'=π3(-3x2-2Rx+R2) (0<x<R).
当0<x<R
3时,函数单调递增,当R3<x<R时,函数单调递减.
所以当x=R
3时函数取得最大值,此时h=R+R3=4 3R.
10.设圆半径为r,矩形高为h,S=12πr2+2rh,
c=πr+2r+2h=12πr+2r+S r = 1
2π+2 æ
è
ç ö
ø
÷r+S
r ≥2 1 2π+2 æ
è
ç ö
ø
÷S . 当且仅当 1
2π+2 æ
è
ç ö
ø
÷r=S
r,即S= 12π+2 æ
è
ç ö
ø
÷r2时周长有最小值. 又S=12πr2+2rh,所以 12π+2
æ è
ç ö
ø
÷r2=12πr2+2rh,故r h =1.
即当rh =1时周长最小.
11.
∫
-π2π2cosxdx 表 示 由x= - π2,x= π2,y=0,y=cosx 所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积,∫
π0sinxdx 表示由直线x=0,x=π,y=0和y=sinx 所围成的曲边梯形的面积,由图 形可知它们的面积相等.12.(1)12(b2-a2). (2)2π.
13.以拱宽所在直线为x 轴,拱高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,设桥拱抛物线为y=
ax2+h,将 1æ2b,0 è
ç ö
ø
÷代入得a=-4h
b2,所以y=-4hb2x2+h.
S =2
∫
0b2æèç-4bh2x2+höø÷dx =2 - 4æèç 3bh2x3+hxöø÷ 0b2=2 - 4æèç 3bh2×b8 +3 b2höø÷=23bh.14.(1)y'=12sin33xcos34xcos3x-12sin43xsin4xcos24x.
(2)y'=ex2+2e-x2-xe-x2. (3)y'=(2+2x)a2x+x2lna.
(4)y'= lnx(x+1)2.
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15.p2-4q=0.16.16x-8y+25=0.
17.a=2,b=1.
18.a=2,函数在x=π3处有极大值为3.
19.由已知,a≠0 (否则b2-3ac=b2≥0),f'(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4(b2-3ac)<0.
∴f(x)在 (-∞,+∞)上是单调函数,f(x)无极值.
20.设容器底面的一边长为x m,则另一边长为 x+12 æ è
ç ö
ø
÷m,容器高h=165-2x(m), V=x x+12
æ è
ç ö
ø
÷ 16 5-2x æ
è
ç ö
ø
÷=-2x3+115x2+85x (0<x<1.6), V'=-6x2+225x+8
5.
当0<x<1时,函数V(x)单调递增,当1<x<1.6时,函数V(x)单调递减.
所以函数有最大值是V(1)=95(m3),此时h=165-2=6 5(m).
所以当高为6
5 m时,容器容积最大,最大容积为9 5 m3.
21.利润y=P(x)x-C(x)=24200x-15x3-50000-200x=-15x3+24000x-50000 (元),
∴y'=-35x2+24000.令y'=0,得x=200(t).当x=200(t)时,y=3.15×106(元).
所以当每月生产200t时,利润最大,最大值为3.15×106元. 22.(1)12πa2.
(2)原式=
∫
10 1- (x -1)2dx -∫
10xdx ,此式表示以 (1,0)为圆心,1为半径的14圆 面积减去以直线y=x,y=0,x=1所围成的三角形面积,其值为14π-1 2.
23.
∫
a-af(x)dx 表示由直线x=-a,x=a,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面 积.由于f(x)是偶函数,故该面积是由直线x=0,x=a,y=0和曲线y=f(x)所围 成的曲边梯形的面积的2倍,即2∫
a0f(x)dx ,所以∫
a-af(x)dx =2∫
a0f(x)dx.图 4 32
24.f(a)(b-a) 表 示 SABEF,f (b)(b-a) 表 示 SABCD,∫
baf(x)dx 表示SABCF,所以f(a)(b-a)<
∫
baf(x)dx <f(b)(b-a), 如图 4 32所示.3
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25.(1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2. f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2).
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln2>0.
所以f'(x),f(x)随x 的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,ln2) ln2 ( ln2,+∞)
f'( x) + 0 - 0 +
f( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(ln2,+∞),单调递减区间为(0,ln2).
(2)f(x)=(x-1)ex-kx2,x∈[0,k],k∈ 1æ2,1 è
ç ù
ûúú . f'(x)=xex-2kx=x(ex-2k),
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(2k).
为比较k 与ln(2k)的大小,令φ(x)=k-ln(2k),k∈ 1æ2,1 è
ç ù
ûúú , 则φ'(x)=1-1
k =k-1
k ≤0,所以φ(x)在 1æ2,1 è
ç ù
ûúú 上是减函数,
∴φ(1)≤φ(k)<φ 1 2 æ è
ç ö ø
÷,
∴1-ln2≤φ(k)<1
2<k,即0<ln(2k)<k.
所以f'(x),f(x)随x 的变化情况如下表:
x (0,ln(2k)) ln(2k) ( ln(2k),k)
f'( x) - 0 +
f( x) ↘ 极小值 ↗
f(0)=-1,
f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3+1=(k-1)ek-(k3-1)=(k-1)[ek-(k2+k+1)].
∵k∈ 1æ2,1 è
ç ù
ûúú ,∴k-1≤0, 对任意的k∈ 1æ2,1
è
ç ù
ûúú ,y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方,
∴ek-(k2+k+1)≤0,
∴f(k)-f(0)≥0,即f(k)≥f(0).
∴函数f(x)在[0,k]上的最大值 M =f(k)=(k-1)ek-k3. 26.(1)∵f(0)=1,a>0,∴f(0)=a2=1,∴a=1.
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
又f'(x)=3x2+2bx+c=0的两个根分别是1和2,
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∴-2b
3=3,得b=-92.c
3=2,得c=6.
∴f(x)=x3-92x2+6x+1.
(2)由(1)得,f'(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),
当x∈[2,+∞)时,f'(x)≥0,所以f(x)在[2,+∞)上是增函数, 对x∈[2,+∞),当x=2时,f(x)min=f(2)=3,
要使f(x)<12m3-mlnm-mt+3在x∈[2,+∞)上有解,
只需f(x)min<12m3-mlnm-mt+3,即3<12m3-mlnm-mt+3对任意m∈(0,2]
恒成立,
即t<12m2-lnm 对任意m∈(0,2]恒成立.
设h(m)=12m2-lnm,m∈(0,2],则t<h(m)min,
h'(m)=m-1m =m2-1
m =(m+1)(m-1)
m ,令h'(m)=0,得 m=1或 m=-1(舍), 当m∈(0,2]时,h'(m)与h(m)的变化情况如下表:
m (0,1) 1 (1,2) 2
h'(m) - 0 +
h(m) ↘ 极小值 1
2 ↗ 2-ln2
∴m=1时,h(m)min=h(1)=12,
所以t<12,即实数t的取值范围为t<12.
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乘法可按与两个多项式相乘类似的办法进行,并注意把i2换成-1.
例2 已知复数z1=1+2i,z2=4-3i.求z2-1及z1
z2.
分析 通过操作演算让学生掌握复数除法的 “分母实数化”方法,而不必专门记忆复数 除法法则.
例3 在复数范围内解下列方程:
(1)x2=-3; (2)x2=i.
分析 (1)求负数a 的平方根可直接用公式± -ai.
(2)求其他复数的平方根可通过设x=a+bi,通过复数相等的充要条件,利用待定系 数法求解.
例4 在复数范围内解一元二次方程x2+x+1=0.
点评 求实系数一元二次方程根的问题,关键先验证系数是否都为实数,再确定 Δ=
b2-4ac的符号,代入相关公式求根.
相关链接
代数基本定理及其应用
任何n (n>0,n∈N)次复系数多项式f(x)至少有一个复数根.
推论1:任何n (n>0,n∈N)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为n 个一次 因式的乘积,即n 次多项式f(x)有n 个复数根.
推论2:如果虚数a+bi是实系数一元n 次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的 根,那么它的共轭虚数a-bi也是方程的根,即实系数一元n 次方程 “虚根成对”出现.
5.4 复数的几何表示
教材线索
本节首先回顾了实数的几何表示法,由此得到启发,联想到用平面上的点和向量来表示 复数,即复数a+bi可以用平面上的点 P(a,b)表示,也可以用向量OP→=(a,b)表示, 其次通过向量模的定义给出了复数z 的模|z|= a2+b2及共轭复数与复数模之间的关系:
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教材习题参考解答
5.2 练习 (教材 P.85)
1.实部分别是-1, 22,2,0;虚部分别是1, 22,- 2,-12.
2. (1)
x=-23,
y=-4 3.
ì
î í ï ïï ï ï
(2)x=-8,
{
y=3 或{
y=-8.x=3,3. 略
习题1(教材 P.86) 1.D. 2.A. 3.A.
4. (1) a=2, b=-1.
{
(2){
b=3a=1,或{
b=-3.a=-1,5.(1)m=5. (2)m=3或 m=-2. (3)m≠5且 m≠-3,m∈R.
5.3 练习 (教材 P.91)
1.(1)3+4i. (2)-4. (3)10. (4)i. 2.m=± 2.
3.(1)x=-1+ 2i或x=-1- 2i.(2)x=2+i或x=2-i.
习题2(教材 P.91) 1.z2=-12+ 3
2i,z3=1,z2+z+1=0. 2.a4=-4.
3.x=14+ 7
4i或x=14- 7 4i.
4.(1)-1,-i,1,i.(2)i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i100=1.
(3)2015÷4=503……3,原式=503×(1+i+i2+i3)+1+i+i2=i.
5.(1)z=1-i.(2)z=12+7 2i.
5.4 练习 (教材 P.101) 1.图略, 10,2 5,5,6, 612
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2.a=0. 3.- 3<k<- 2或 2<k< 3.习题3(教材 P.101) 1.四.
2.图形是以原点为圆心,分别以2,5为半径的圆围成的圆环 (含边界).
3.(1)k 值不存在. (2)k=5.
4.设z=x+yi (x,y∈R).(1)z+z=x+yi+(x-yi)=2x∈R.
(2)若z 是实数,则y=0,z=x=z;又若z=z,则x+yi=x-yi,所以y=0,故 z=x∈R.所以z 是实数⇔z=z.
5.根据向量的三角形法则及三角形三边长的性质证明.
复习题五 (教材 P.104)
1.D. 2.α=π2或α=3π2 . 3.1. 4.2i.
5.(1)z=1-i. (2)z=12+ 7
2i或x=12- 7 2i.
(3)z=3+4i. (4)z=4+3i或z=-4-3i.
6.|z1-z2|= 2.
7.|z-i|的最大值是3.
8.△ABC 是等腰三角形或直角三角形.
9.在直角坐标系中作一个单位圆,以 O 为顶点,Ox 轴正半轴为始边作∠xOP=α,终边 OP 与单位圆的交点P 即为所求.
10.点P 表示的复数是cosα+isinα.
11.(1)α=2kπ
3 (k∈Z). (2)α=2kπn (n∈N*,k∈Z).
12.z=cos2kπ
n +isin2kπ
n (k=0,1,2,…,n-1),这些点组成正n 边形.
13.设方程的实根为t,则t2-(2i-1)t+3m-i=0,即 (t2+t+3m)-(2t+1)i=0.
根据复数相等的定义,得t2+t+3m=0, 2t+1=0.
{
解得m=112,t=-12.
所以m=112.
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教材习题参考解答
6.1.1 练习 (教材 P.113) 1.6.
2.等式左边各项幂的底数之和与右边幂的底数相等,由归纳可猜想规律:
13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2. 习题1(教材 P.114)
1.(1)21.
(2)2212=11 6.
2. 11-2= 9=3; 1111-22= 1089=33; 111111-222= 110889=333;…;
111…1-222…2=333…3︸n个 . ︸
2n个
︸n个
3.(1)10 55.(提示:由1+2+3+…+10=55可得) (2)n(n+1)
2 .
4.f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=
113,f(9)=131,f(10)=151均为素数,n=40时,f(40)=412 不 是 素 数,故猜想不正 确.
5.3 52n 5 2n-1
2
6.凸n 边形有n 个点,一个点与剩余的n-3个点构成一条对角线,因为重复了一次,所以对 角线的条数为n(n-3)
2 .
7.(1)
顶点数 边数 区域数
(a) 4 6 3
(b) 8 12 5
(c) 6 9 4
(d) 10 15 6
(2)顶点数+区域数=边数+1.
(3)边数=顶点数+区域数-1=999+999-1=1997.
6.1.2 练习 (教材 P.117)
1.另外四个面不平行;四个侧面伸展后交于一点;中截面平行于上、下底面.
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2.∵xi≥0(i=1,2,…,n),且x1+x2+…+xn=1,∴0≤xi≤1(i=1,2,…,n).∴0≤xi≤ xi≤1.
∴ x1+ x2+…+ xn≥x1+x2+…+xn=1.
而 (x1+ x2+…+ xn)2
=(x1+x2+…+xn)+2(x1x2+ x1x3+ x1x4+…+ xn-1xn) ≤n(x1+x2+…+xn)=n.
∴1≤ x1+ x2+…+ xn≤ n.
习题2(教材 P.118) 1.略.
2.球心与截面圆 (不经过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面;与球心距离相等的两 个截面圆的面积相等,与球心距离不等的两个截面圆的面积不等,距球心较近的截面圆 的面积较大.
3.(1)不正确. (2)不正确. (3)不正确.
6.1.3 练习 (教材 P.121)
因为任意的平行四边形的两条对角线互相平分, (大前提)
而矩形是平行四边形, (小前提)
所以矩形的两条对角线互相平分. (结论)
习题3(教材 P.121)
1.因为任意的等腰三角形的两底角相等, (大前提) 而∠ABC和∠ACB是等腰△ABC的两底角, (小前提)
所以∠ABC=∠ACB. (结论)
2.因为不在同一直线上的三点可以确定一个圆, (大前提)
A,B,C三点不在同一直线上, (小前提)
所以A,B,C三点可以确定一个圆. (结论) 3.因为所对的弦是直径的圆周角是直角, (大前提)
而已知圆周角所对的弦是直径, (小前提)
所以这个圆周角是直角. (结论)
4.因为两条互相垂直的直线所成角是90°, (大前提)
而两条直线都与第三条直线垂直, (小前提)
所以这两条直线与第三条直线所成角都是90°, (结论)
因为同位角相等两直线平行, (大前提)
而两条直线与第三条直线所成的同位角都等于90°, (小前提)
所以这两条直线平行. (结论)
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6.2.1 练习 (教材 P.125)
1.法1:(综合法)设两个不相等的正数分别是a,b,则 (a- b)2>0⇒a+b-2 ab>0⇒a+b>2 ab⇒a+b
2 > ab.
即两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数. 法2:(分析法)设两个不相等的正数分别是a,b,则
a+b2 > ab⇐a+b>2 ab⇐a+b-2 ab>0⇐(a- b)2>0.
最后一个不等式成立,故a+b
2 > ab.
即两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数. 2.左边= b
a +c a æ è
ç ö
ø
÷+ c b +a
b æ è
ç ö
ø
÷+ a c +b
c æ è
ç ö
ø
÷-3= b a +a
b æ è
ç ö
ø
÷+ c b +b
c æ è
ç ö
ø
÷+ a c +c
a æ è
ç ö
ø
÷-3,
∵a,b,c 为不全相等的正数,∴b a +a
b ≥2,bc +c
b ≥2,ac +c
a ≥2,且这三式的等号 不能同时成立 (否则a=b=c).
∴ b a +a
b æ è
ç ö
ø
÷+ c b +b
c æ è
ç ö
ø
÷+ a c +c
a æ è
ç ö
ø
÷-3>6-3=3,即b+c-a
a +c+a-b
b +a+b-c c >3.
习题4(教材 P.126) 1.法1:(综合法)
由平行四边形ABCD 得AD=BC,AD∥BC BM =MC=12BC
AN =ND=12AD
ü
þ ý ï ï ï ï ïï
⇒四边形 ANCM 是平行四边形
⇒AM ∥CN
BM =MC
}
⇒BE=EF,同理可得FD=EF,所以BE=EF=FD.法2:(分析法)略.
2.法1:(综合法)
(x2-1)2≥0⇒x4+1≥2x2⇒ x2
1+x4≤12.
法2:(分析法) x2
1+x4≤12⇐x4+1≥2x2⇐(x2-1)2≥0.
最后一个不等式成立,故 x2
1+x4≤12.
3.法1:(分析法)
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a3+b3>a2b+ab2⇔a2(a-b)+b2(b-a)>0⇔(a-b)(a2-b2)>0⇔(a-b)2(a+b)>0.∵a,b 均为正实数,且a≠b,∴最后一个不等式成立,故原不等式成立.
法2:(综合法)
∵a,b 均为正实数,且a≠b,
∴(a-b)2(a+b)>0.∴(a-b)(a2-b2)>0.
∴a2(a-b)+b2(b-a)>0.
∴a3+b3>a2b+ab2. 4.法1:(综合法)
平行四边形ABCD⇒ AB=CD
AB∥DC⇒∠1=∠2
{
AE⊥BD
CF⊥BD
}
⇒∠AEB=∠CFD=90°}
⇒△ABE≌△CDF⇒AE=CF AE⊥BD
CF⊥BD
}
⇒AE∥CF}
⇒AECF 是平行四边形.法2:(分析法)略.
5.法1:(分析法) 3+ 7<2 5
⇐(3+ 7)2<(2 5)2
⇐10+2 21<20
⇐2 21<10
⇐84<100.
最后一个不等式成立,故原不等式成立.
法2:(综合法) 84<100
⇒2 21<10
⇒10+2 21<20
⇒(3+ 7)2<(2 5)2.
因为3+ 7>0,2 5>0,所以 3+ 7<2 5.
6.2.2 练习 (教材 P.129)
假设a∥α 不成立,∵a⊄α,∴a 与α 相交,设a∩α=A.
∵a∥b,∴A∉b.在平面α 内过点A 作直线c∥b, 所以a∥c,这与a∩c=A 矛盾.∴a∥α.
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习题5(教材 P.129)
1.设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12.∵f(1)+f(3)-2f(2)=(1+a+b)+(9+3a+b) -2(4+2a+b)=2,∴|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=2,由假设
|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<2,矛盾,故结论成立.
2.假设a,b,c,d 都是非负实数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0.由a+b=1,c+d=1 知(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)=1,∵ad+bc≥0,∴ac+bd≤1,这与已知的 ac+bd>1矛盾.所以假设错误,故a,b,c,d 中至少有一个是负数.
3.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1.
∵0<a<2,0<b<2,0<c<2,
∴a(2-b)b(2-c)c(2-a)≤ a+(2-a) 2 é
ëêê ù ûúú
2· b+(2-b)2 2 é
ëêê ù
ûúú ·c+(2-c) 2 é
ëêê ù ûúú
2=1.
又由假设易得a(2-b)b(2-c)c(2-a)>1.矛盾,故结论成立.
4.假设方程x2+px+q=0有整数根m,则有m2+pm+q=0,∴m(m+p)=-q.∵p 为 奇数,∴不论 m 为奇数还是偶数,m 与m+p 中必有一个是偶数.∴m(m+p)必为偶 数.∴-q 为偶数,即q 为偶数,这与已知q 为奇数矛盾.假设不成立,故方程x2+px+
q=0不可能有整数根.
5.假设不等式 1æx2-1 è
ç ö
ø
÷ 1
y2-1 æ è
ç ö
ø
÷≥9不成立,则有 1æx2-1 è
ç ö
ø
÷ 1
y2-1 æ è
ç ö
ø
÷<9,
∴1-x2
x2 ·1-y2
y2 <9.∴(1-x2)(1-y2)<9x2y2.∴(1-x)(1-y)(1+x)(1+y)<9x2y2.
∵x+y=1,∴xy(1+x)(1+y)<9x2y2.∵x,y>0,∴(1+x)(1+y)<9xy.
∴1+x+y+xy<9xy.∴2<8xy,即xy>14.由x,y>0,x+y=1得xy< x+y 2 æ è
ç ö
ø
÷
2=14.
两式矛盾,假设不成立,∴ 1æx2-1 è
ç ö
ø
÷ 1
y2-1 æ è
ç ö
ø
÷≥9.
6.3 练习 (教材 P.132)
1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k 时,等式成立,即 1+3+5+…+(2k-1)=k2.
那么1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2. 这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
2.(1)当n=1时,左边=S1=a1,右边=a1,等式成立.
(2)假设当n=k 时,等式成立,即Sk=a1(1-qk) 1-q .
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那么 Sk+1=Sk+ak+1=a1(1-qk)1-q +a1qk
=a1[(1-qk)+qk-qk+1] 1-q
=a1(1-qk+1) 1-q .
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
习题6(教材 P.132)
1.(1)当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.
(2)假设当n=k 时,等式成立,即 2+4+6+…+2k=k2+k.
那么2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1).
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
2.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k 时,等式成立,即
12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)
6 .
那么 12+22+32+…+k2+(k+1)2
=k(k+1)(2k+1)
6 +(k+1)2
=(k+1)k(2k+1)
6 +(k+1) é
ëêê ù
ûúú
=(k+1)2k2+7k+6
6 =(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]
6 .
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
3.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k 时,等式成立,即
13+23+33+…+k3= 1é2k(k+1) ëêê ù
ûúú2. 那么 13+23+33+…+k3+(k+1)3
= 1é2k(k+1) ëêê ù ûúú
2+(k+1)3=(k+1)2 1
4k2+(k+1) é
ëêê ù ûúú
=14(k+1)2(k2+4k+4)=14(k+1)2(k+2)2= 1é2(k+1)(k+2)
ëêê ù
ûúú2. 7
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这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据 (1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
4.(1)当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.
(2)假设当n=k 时,等式成立,即
1×2+2×3+3×4+…+k×(k+1)=13k(k+1)(k+2).
那么 1×2+2×3+3×4+…+k×(k+1)+(k+1)(k+2)
=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+2)13k+1 æ
è
ç ö
ø
÷
=13(k+1)(k+2)(k+3).
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)、(2),可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
5.(1)当n=3时,f(3)=180°=(3-2)×180°,公式成立.
(2)假设当n=k 时,公式成立,即f(k)=(k-2)×180°(k≥3).
那么f(k+1)=f(k)+180°=(k-2)×180°+180°=[(k+1)-2]×180°(k≥3).
这表明,当n=k+1时,公式也成立.
根据 (1)、(2),可以断定,公式对n≥3的任何正整数n 都成立.
6.法1:n=2时,f(1)=1=2×f(2)-2.
n=3时,f(1)+f(2)=1+ 1+12 æ è
ç ö
ø
÷=3×f(3)-3.
n=4时,f(1)+f(2)+f(3)=4×f(4)-4.
归纳猜想g(n)=n,再用数学归纳法证明.
法2:g(n)=
n-11 +n-2 2 +n-3
3 +…+n-(n-1) n-1 f(n)-1
=n 1+12+1
3+…+ 1n-1 æ
è
ç ö
ø
÷-(n-1) f(n)-1
=n[f(n)-1]
f(n)-1 =n.
故存在g(n)使等式成立.
复习题六 (教材 P.139) 1.1002.
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2.16,4n.3.Sn=4(n-1).
4.等腰梯形的两个底角相等,
由已知AD∥BC,AB=DC 知梯形ABCD 是一个等腰梯形, 所以,梯形 ABCD 的两个底角相等,即∠B=∠C.
5.由已知a,b,c 为不全相等的三个正实数,
∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca,且三个不等式中不能同时取“=”号,
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
6.法1:(分析法) 3+ 7<2+ 6
⇐(3+ 7)2<(2+ 6)2
⇐10+2 21<10+4 6
⇐2 21<4 6
⇐84<96,
最后一个不等式成立,故原不等式成立.
法2:(综合法) 84<96
⇒2 21<4 6
⇒10+2 21<10+4 6
⇒(3+ 7)2<(2+ 6)2,
因为3+ 7>0,2+ 6>0,所以 3+ 7<2+ 6.
法3:(反证法)假设不等式 3+ 7<2+ 6不成立,则 3+ 7≥2+ 6, 3+ 7≥2+ 6
⇐(3+ 7)2≥(2+ 6)2
⇐10+2 21≥10+4 6
⇐2 21≥4 6
⇐84≥96,
因为84≥96显然违背常识,所以假设不成立,故 3+ 7<2+ 6.
7.假设na≥nb不成立,则na<nb.
na<nb⇒a<b,与已知a≥b 矛盾,假设不成立,故na≥nb.
8.(1)①当n=1时,左边=4,右边=4,等式成立.
②假设当n=k 时,等式成立,即
1×4+2×7+3×10+…+k×(3k+1)=k(k+1)2.
那么 1×4+2×7+3×10+…+k×(3k+1)+(k+1)×[3(k+1)+1]
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=k(k+1)2+(k+1)×[3(k+1)+1]
=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]
=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)(k+2)2.
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
(2)①当n=1时,左边=a21,右边=a21,等式成立.
②假设当n=k 时,等式成立,即
(a1+a2+…+ak)2=a21+a22+…+a2k+2(a1a2+…+a1ak+a2a3+…+a2ak+…+ak-1ak).
那么 (a1+a2+…+ak+ak+1)2
=(a1+a2+…+ak)2+a2k+1+2ak+1(a1+a2+…+ak)
=a21+a22+…+a2k+2(a1a2+…+a1ak+a2a3+…+a2ak+…+ak-1ak)+
a2k+1+2ak+1(a1+a2+…+ak)
=a21+a22+…+a2k+a2k+1+2(a1a2+…+a1ak+1+a2a3+…+a2ak+1+…+akak+1).
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
(3)①当n=1时,左边=13,右边=13,等式成立.
②假设当n=k 时,等式成立,即 11×3+2 22
3×5+…+ k2
(2k-1)(2k+1)=k(k+1) 2(2k+1).
那么 11×3+2 22
3×5+…+ k2
(2k-1)(2k+1)+ (k+1)2 (2k+1)(2k+3)
=k(k+1) 2(2k+1)+
(k+1)2 (2k+1)(2k+3)
=k(k+1)(2k+3) 2(2k+1)(2k+3)+
(k+1)2 (2k+1)(2k+3)
=k(k+1)(2k+3)+2(k+1)2 2(2k+1)(2k+3)
=(k+1)[k(2k+3)+2(k+1)]
2(2k+1)(2k+3)
=(k+1)(2k+1)(k+2) 2(2k+1)(2k+3)
=(k+1)(k+2) 2(2k+3) .
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
(4)①当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.
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②假设当n=k 时,等式成立.即
(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1).
那么 (k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1)
=2k×1×3×…×(2k-1)·2(2k+1)
=2k+1×1×3×…×[2(k+1)-1].
这表明,当n=k+1时,等式也成立.
根据①、②,可以断定,等式对任何正整数n 都成立.
9.按图进行归纳,由周期性变化知第2015次的图应与第三次的图一样,故小兔应坐在第4 号座位上.
10.(反证法)假设不等式a3+b3>a2b+ab2不成立,则a3+b3≤a2b+ab2, a3+b3≤a2b+ab2
⇐a3+b3-a2b-ab2≤0
⇐a2(a-b)+b2(b-a)≤0
⇐(a-b)(a2-b2)≤0
⇐(a-b)2(a+b)≤0.
由a,b>0,且a≠b 得(a-b)2(a+b)>0,两个不等式矛盾,所以假设不成立, 故a3+b3>a2b+ab2.
11.假设圆内两条非直径的弦相交于点P 并且互相平分,连接圆心O 与点P,则过点 P 有 两条弦都垂直于OP,这与 “平面内过一点作直线的垂线有且仅有一条”矛盾,假设不 成立,故圆内两条非直径的弦相交,它们不可能互相平分.
12.(1)对任意实数a,b 均有 C0nan+Cn1an-1b+C2nan-2b2+…+Cnnbn=(a+b)n,(大前提) 而1,-1是实数,(小前提)
所以,C0n-C1n+C2n-C3n+…+(-1)nCnnbn=0.(结论)
(2)对任意实数a,b 均有 C0nan+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnnbn=(a+b)n, (大前提) 而1-x,x 是实数,(小前提)
所以,C0n(1-x)n+C1n(1-x)n-1x+C2n(1-x)n-2x2+…+Cnnxn=1.(结论)
13.任一存在反函数的函数y=f(x)的图象与它反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对 称,而函数y=x-aax-1的反函数由y=x-a
ax-1⇒x=y-a
ay-1可求得f-1(x)=x-aax-1,所以,函 数y=x-a
ax-1的图象关于直线y=x 对称.
14.计算得
S1= 11×2=1 2, S2= 11×2+ 1
2×3=1 2+1
6=2 3,
1 5