1.1.1 Cosmological Principle
宇宙論從愛因斯坦 1917 年一篇 Cosmological considerations of the General Theory of Relativity 開始進入科學化的研究 。 牛頓的重力描述在系統的質量與大小比很小的時 後精確 , 即 M/R << 1 , 相對地 , 廣義相對論 (GR) 在 R 小得比 M 快 , 或是 M 大得比 R 快時顯得重要 。 前者例如中子星或黑洞 , 後者就是宇宙 , 因而描述宇宙的基 本架構就是廣義相對論 。
許多實驗觀測發現在數百 Mpc 尺度以上時 , 宇宙是十分均勻且各向對稱的 [1], [2] , [3] 。 CMB ( 105年以前殘留下來的背景輻射) 的高度均勻性也告訴我們 bady universe 是高度均勻且無向的 。 上述結果就是建立宇宙模型常採用的 「大宇宙原則」 。 大宇宙 原則給我們一個圖像 , 我們可以把宇宙當作一個流體的物理系統 , 每個流體元素 (fluid element) 是由好幾個銀河構成 , 於是我們自然會選擇 comoving frame 來描述這個宇 宙:
t ≡ the proper time of each fluid element xi≡ the spatial coordinates carried by each fluid element
1.1.2 isotropic and homogeneous metric
由於我們的時間座標是流體元素的 proper time , 這意味著 g00= −1 , 而我們可以考 慮固定時間的三維空間切片 , 這意味著時間座標跟空間座標互相垂直 , 即我們有 :
(g00= −1
g0i= 0 (1.1.1)
我們岔題研究一下二維均勻且無向的三種曲面 , 我們將證明他們可以寫成 : ds2= a2( dρ2
1 − kρ2 + ρ2dθ2) (1.1.2)
CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko
其中 k = 0, 1, −1 分別表示平面 , 二維球面以及假球面 。 k = 0 的情況很容易看出來度 規給出平面 , 另一方面我們用球座標寫出半徑為 a 的球面度規 :
ds2= a2dθ2+ a2sin2θdφ2
再令 sin θ → ρ, φ → θ 即可寫成 (1.1.2) 的形式 。 假球是由一 x-z 平面的等切距 曲線 (tractrix) 繞 z 軸旋轉而來 , 等切距曲線的參數是 (x, z) = (a sin θ, a cos θ + a ln(tan θ/2)) , 繞 z 軸旋轉後的曲面參數式就是 :
X(θ, φ) =~
a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ + a ln(tanθ 2)
(1.1.3) 計算其度規可得 :
ds2= a2cot2θdθ2+ a2sin2θdφ2 (1.1.4) 改以局部角座標表示 , 可改寫為 ds2 = a2(du2+ sinh2udv2) 即為 (1.1.2) 形式 。 對 三維均勻且無向空間可以依此類推 , 於是在四維時空底下 , 這樣一個空間均勻且無向的 度規叫做 Friedmann-Robertson-Walker (FRW) 度規可以寫為 [1] :
ds2= dt2− a(t)2
dr2
1 − kr2 + r2(dθ2+ sin2θdφ2)
(1.1.5) 如此一來 , 研究宇宙的幾何就相當於決定 k 的值 , 而研究宇宙的動態行為 , 就相當於 決定 a(t) 。
1.1.3 理想流體與狀態方程
理想流體的定義是在暫時共動座標系(momentarily comoving reference frame) 裡沒有 黏滯性和熱傳導的流體 [1] 。 由於只有粒子流動才能造成能量流動 , 沒有熱傳導這性質 告訴我們 T0i = Ti0 = 0 。 而沒有黏滯性意味著沒有剪切應力 , 這告訴我們 Tij = 0 除非 i = j 。 另外 , Tij 是對角矩陣這件事在所有暫時共動座標系都應成立 , 也就是說 必須有空間旋轉對稱 , 這告訴我們每個 Tii 都應相同 。 於是我們得到在暫時共動座標系 裡的能動張量為 :
Tµν= diag(−ρ, p, p, p) (1.1.6) 這樣一個理想流體 , 他的狀態方程可以寫為 :
p = ωρ (1.1.7)
我們知道宇宙可以分為幾個時期 , 輻射主控 、 物質主控與真空主控宇宙 。 當 ω = −1 時 , 很明顯能動張量等效於宇宙常數的效應 。 而若宇宙中充滿著非相對論性物質 , 由 於非相對論性物質的壓力很小可以忽略 , 因而我們有 ω = 0 。
若宇宙中是充滿著相對論性粒子 , 用 n 標示粒子 , 第 n 顆粒子的能動四向量為 pnα , 則 pnα 的密度可以定義為 :
Tα0=X
n
pnαδ3(x − xn) (1.1.8)
CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko
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從這條式子可以發現若宇宙中只充滿一般性的物質 , 即 ρ, p > 0 , 那麼宇宙的膨脹將會 是減速的 。 宇宙常數項為一定真空能量密度 , 且其具有負壓力 , 因而引進宇宙常數可 以讓宇宙靜止 , 這正是當初愛因斯坦引入宇宙常數的目的 , 然而 , 他也可以造成宇宙 加速膨脹 , 這是近年來實驗上觀測得到的 。
我們若把 Friedmann equation 以哈伯常數 H ≡ ˙a/a 改寫 , 且重新整理成這樣 : k
H2a2 = ρ
3H2/(8πG)− 1 ≡ Ω − 1 (1.1.18) 其中密度比 Ω 定義作物質密度與關鍵密度 (critical density) ρc ≡ 3H2/(8πG) 的比 值 。 如此一來上式明顯地把物質分佈跟宇宙的幾何連了起來 。 如果總物質密度超過了關 鍵密度 , 那麼宇宙是封閉的 (closed) , 若等於關鍵密度 , 宇宙是平坦的 (flat) , 若小 於關鍵密度 , 宇宙是開放的 (open) 。
Ω > 1 → k = +1 closed universe Ω = 1 → k = 0 flat universe Ω < 1 → k = −1 open universe
(1.1.19)
目前的實驗數據顯示 , 我們目前的宇宙 Ω − 1 ≈ O(1) , 這意味著我們現在的宇宙是極 其平坦的 。
由能量守恆 d(ρa3) = −pd(a3) 加上狀態方程 p = ωρ 可得 ρ = ρ0a−3(1+ω), 代 入 k = 0 的 Friedmann equation :
˙a a
2
= 8πG
3 ρ0a−3(1+ω)
假設 a ∼ tx 代入上式可得解 x = 2/3(1 + ω) , 於是對於物質主控跟輻射主控而言 : Matter dominated a ∼ t2/3
Radiation dominated a ∼ t1/2 (1.1.20) 雖然上面的結果是對 k = 0 的平坦宇宙談的 , 但其實對 k = ±1 而言 , 由於 power law 的關系 , 在早期宇宙時 Friedmann equation 中的曲率項相對來講會很小 , 因而可 以丟掉 , 所以上述結果對任何幾何的宇宙都成立 。 對於真空主控來說 , x = 2/3(1 + ω) 會發散 , 這代表真空主控的解不是 a ∼ tx 形式 。 又我們已經知道真空能量主控會膨脹 的很快 , 所以我們又可以把曲率項丟掉 , 因而解出 :
vacuum dominated a(t) = a(0)et/τ (1.1.21) 其中 τ =p
3/(Λc2)