Bianchi IX 宇宙模型的探討

國

立

交

通

大

學

物理研究所

碩

士

論

文

Bianchi IX 宇宙模型的探討

A Study on the Bianchi IX Model Universe

研 究 生：柯勝藍

指導教授：高文芳 教授

Bianchi IX 宇宙模型的探討

A Study on the Bianchi IX Model Universe

研 究 生：柯勝藍 Student：Sheng-Lan Ko

指導教授：高文芳 Advisor：W. F. Kao

國 立 交 通 大 學

物理研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Physics

College of Science

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Physics

June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

Bianchi IX 宇宙模型的研究

學生：

柯勝藍

指導教授

：高文芳 博士

國立交通大學物理研究所碩士班

摘

要

爆漲理論可以解釋視界、平坦等微調問題。然而，若限制宇宙一開始就是如

FRW 度規所描述的各向同性，亦是一種不自然。因此我們放寬各向同性的限制

但仍要求宇宙是空間均勻的，亦即，我們把 Bianchi 空間引入重力誘發爆漲裡頭。

我們最後重新檢驗了在變分法裡頭容易被忽略的一個問題，最後我們發現，在

Lagrangian 放入一些高階修正項的 Bianchi II, VIII, IX 模型都可以直接對尺度因

子變分而得到正確的場方程式。

A Study on the Bianchi IX model universe

student：

Sheng-Lan Ko

Advisors：Dr.

W. F. Kao

Institute of Physics

National Chiao Tung University

ABSTRACT

The inflation theory is known to solve the horizon and flatness problems. However,

to restrict the initial universe to be isotropic as described by FRW metric is not natural.

Hence, we release the constraint of isotropy but still require the universe to be

homogeneous, i.e. we take Bianchi spaces into induced gravity inflation. We

re-examine a problem about action principle which may be easily ignored in the end.

After some detailed study, we find that it is correct to do variation of the action with

respect to scale factors for Bianchi IX model up to some higher derivative Lagrangian

corrections.

誌

謝

我很感謝父母親提供給我無憂無慮的環境，讓我可以好好的追尋我的興趣與夢想。也感激

他們給我自由的選擇我的興趣跟發展空間。就像握著尼龍繩堅定的手讓風箏越飛越高，但卻永

遠安全的連繫在一起。家人和朋友們的支持和鼓勵總是讓我在最困頓時突破瓶頸，因此我要把

畢業的喜悅分享給所有給我力量衝破困境的人。

我很感激我的指導教授高文芳博士，可以說是他帶領我進入物理的殿堂，他的聰明跟學問

很難學完，但是他的樂觀、和善與作學問的態度卻是影響我極深的。所上的許多教授也教導我

很多，亦師亦父、亦師亦友，在物理所這個小小的大家庭裡，我學到很多東西。

最後，我很懷念這兩年的生活，這裡的伙伴都很和善也很可愛，學長姐和同學們的鼓勵和

討論、指導，不僅對學業、生活上有幫助，也對煩悶的研究生活注入活力。很多研究所的學生

到畢業可能都沒見過幾個同學，但我在這裡交到了許多好朋友。要感謝的人太多，僅在此說一

聲：謝謝您！

Contents

1 FRW universe and Inflation 1

1.1 大霹靂FRW 宇宙 . . . 1

1.1.1 Cosmological Principle . . . 1

1.1.2 isotropic and homogeneous metric . . . 1

1.1.3 理想流體與狀態方程 . . . 2

1.1.4 模型宇宙的演化 . . . 3

1.2 FRW 的缺點 . . . 4

1.2.1 The flatness problem . . . 5

1.2.2 The horizon problem . . . 5

1.3 Inflation scenario . . . 5

1.3.1 視界與平坦問題的解決 . . . 6

1.3.2 爆漲機制 . . . 6

2 Bianchi II, VIII, IX models 9 2.1 the metric . . . 9

2.2 the Bianchi Type II model . . . 10

2.2.1 Spin connections . . . 10

2.2.2 黎曼張量的分量 . . . 10

2.2.3 里奇張量的分量 . . . 11

2.2.4 純量曲率 . . . 11

2.2.5 高階曲率項 . . . 12

2.3 the Bianchi Type VIII, IX model . . . 13

2.3.1 Spin connections . . . 13 2.3.2 黎曼張量的分量 . . . 14 2.3.3 里奇張量的分量 . . . 14 2.3.4 純量曲率 . . . 15 2.3.5 高階曲率項 . . . 15 2.4 場方程式 . . . 16 2.4.1 Friedmann equation . . . 16 2.4.2 ai的場方程式 . . . 17 2.4.3 E-H action 下的三條場方程式 . . . 18 2.4.4 Bianchi Identity . . . 18

CONTENTS S.L. Ko

3 Results and analysis 20

3.1 E-H model 從非勻向到勻向 . . . 20

3.2 E-H model 解的穩定性分析 . . . 20

3.3 E-H model 數值模擬驗證 . . . 21

3.4 E-H model 下不同狀態的數值解 . . . 23

3.5 Induced gravity model 的數值解 . . . 27

3.6 變分方法的詳細探討 . . . 37 3.6.1 和愛因斯坦方程作比較 . . . 37 3.6.2 正確的變分方法 . . . 38 3.6.3 為什麼直接對a變分會對 . . . 41 3.6.4 正確變分中該引入的座標 . . . 42 3.6.5 高階修正可否直接對a變分 . . . 43 A Bianchi spaces 47 A.1 the Killing equations . . . 48

A.2 三維運動群的九種李代數 . . . 48

A.3 在 G2 裡 [X1, X2] = 0 的度規 . . . 49

A.4 Bianchi II 的度規 . . . 49

A.5 Bianchi I 到 Bianchi IX 度規詳列 . . . 50

B Conventions 52 B.1 變數定義 . . . 52

C Units 54 C.1 Planck units (8π absorbed): . . . 54

List of Figures

1.1 SSB illustration:(a) sign = -1 (b) sign = 1 . . . 7 3.1 Bianchi II model with Λ = 1, solution of (2.4.11), (2.4.12) and

(2.4.13), the unit of t-axis is tg= (3 × 108)−1 sec. , a′(0) = 0.35,

az(0) = 0.1, a(0) = 0.2 . . . 22

3.2 Bianchi VIII model with Λ = 1, solution of (2.4.11), (2.4.12) and (2.4.13), the unit of t-axis is tg= (3 × 108)−1 sec. , a′(0) = 0.1,

az(0) = 0.5, a(0) = 0.2 . . . 22

3.3 Bianchi IX model with Λ = 1, solution of (2.4.11), (2.4.12) and (2.4.13), the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec., a′(0) = 1,

az(0) = 2, a(0) = 1 . . . 23

3.4 Bianchi II with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9) , the

unit of t-axis is tg= (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) = 0.1, a′(0) =

0.42, az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 9.91,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′(0) = 3.10,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1 . . . 24

3.5 Bianchi VIII with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9)

, the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) =

0.1, a′_{(0) = 1.02, a} z(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 9.96, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 3.26, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1 . . . 24

3.6 Bianchi IX with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9) ,

the unit of t-axis is tg= (3×108)−1sec. For VD, a(0) = 1, a′(0) =

0.01, az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 12,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′(0) = 2.94,

az(0) = 0.27, a′z(0) = 0.1 . . . 25

3.7 Bianchi II with ρ0= Λ = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9)

, the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) =

0.1, a′_{(0) = 0.42, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 9.91, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 3.10, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1 . . . 25

LIST OF FIGURES S.L. Ko

3.8 Bianchi VIII with ρ0 = Λ = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and

(3.4.9) , the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD,

a(0) = 0.1, a′_{(0) = 1.02, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 9.96, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 3.26, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1 . . . 26

3.9 Bianchi IX with ρ0 = Λ = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and

(3.4.9) , the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD,

a(0) = 1, a′_{(0) = 0.01, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 12, az(0) = 0.1, a}′ z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 2.94, az(0) = 0.27, a}′ z(0) = 0.1 . . . 26

3.10 Bianchi II R. D. to M. D., with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8)

and (3.4.9) , the unit of t-axis is tg= (3 × 108)−1sec. a(0) = 0.1,

a′_{(0) = 5.46, az(0) = 0.2, a}′

z(0) = 2 . . . 27

3.11 Bianchi VIII R. D. to M. D. with ρ0 = 1, solution of (3.4.7),

(3.4.8) and (3.4.9) , the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec.

a(0) = 0.1, a′_{(0) = 5.53, az(0) = 0.2, a}′

z(0) = 2 . . . 27

3.12 Bianchi IX R. D. to M. D. with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8)

and (3.4.9) , the unit of t-axis is tg= (3 × 108)−1sec. a(0) = 0.1,

a′_{(0) = 12, az(0) = 0.2, a}′

z(0) = 3 . . . 28

3.13 Bianchi II induced gravity inflation, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4), with λ = 4 × 10−17_{, ǫ = 0.05 , v0=}p_{2/ǫ. For fig(a),}

dashed curve is a(t), solid one is az(t), vertical axis is log scale.

. For fig(b), dashed horizontal line stands for minimum of V (φ). Initial conditions are: a(0) = 3 × 105_{, a′(0) = 10}2_{, a}

z(0) = 105,

a′

z(0) = 102 . . . 29

3.14 Bianchi VIII induced gravity inflation, with λ = 4 × 10−17_{, ǫ =}

0.05 , v0 =

p

2/ǫ. The plots are quite similar to Bianchi II’s, thus the curvature term k/a2_{in the field equations is irrelevant.}

Initial conditions are: a(0) = 3 × 105_{, a}′_{(0) = 10}2_{, a}

z(0) = 105,

a′

z(0) = 102 . . . 30

3.15 Bianchi IX induced gravity inflation. Initial conditions are: a(0) = 3 × 105_{, a}′_{(0) = 10}2_{, a}

z(0) = 105, a′z(0) = 102 . . . 30

3.16 Bianchi IX example for comparison of numerical result and ana-lytical approximation , solution of (3.5.17) and (3.5.20), in fig(b), the period is about 1.26×108_t

p, and the analytical approximation

is about 1.11 × 108_t

p . . . 32

3.17 Bianchi II:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4) . . . 33 3.18 Bianchi VIII:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2),

(3.5.3) and (3.5.4) . . . 33 3.19 Bianchi IX:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3)

LIST OF FIGURES S.L. Ko

3.20 Bianchi II induced gravity inflation,, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4), with λ = 8×10−18_{, ǫ = 10}−4_{, v}

0=

p

2/ǫ. For fig(a), vertical axis is log scale. dashed curve is a(t), solid one is az(t)

. For fig(b), Initial conditions are: a(0) = 3 × 102_{, a}′_{(0) = 100,}

az(0) = 100, a′z(0) = 10, φ(0) = 71, φ′(0) = −0.0001 . . . 34

3.21 Bianchi VIII induced gravity inflation, with λ = 8 × 10−18_{, ǫ =}

10−4 _{, v0 =} p_{2/ǫ. The plots are quite similar to Bianchi II’s,}

thus the curvature term k/a2in the field equations is irrelevant. Initial conditions are: a(0) = 300, a′_{(0) = 100, az(0) = 100,}

a′

z(0) = 10 , φ(0) = 71, φ′(0) = −0.001 . . . 35

3.22 Bianchi IX induced gravity inflation. Initial conditions are: a(0) = 300, a′_{(0) = 100, az(0) = 100, a}′

z(0) = 10, φ(0) = 71, φ′(0) =

−0.0001 . . . 35 3.23 Bianchi II:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3)

and (3.5.4), rolling down from RHS . . . 36 3.24 Bianchi VIII:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2),

(3.5.3) and (3.5.4) . . . 36 3.25 Bianchi IX:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3)

Chapter 1

FRW universe and Inflation

1.1

大霹靂FRW 宇宙

1.1.1

Cosmological Principle

宇宙論從愛因斯坦 1917 年一篇 Cosmological considerations of the General Theory of Relativity 開始進入科學化的研究 。 牛頓的重力描述在系統的質量與大小比很小的時 後精確 , 即 M/R << 1 , 相對地 , 廣義相對論 (GR) 在 R 小得比 M 快 , 或是 M 大得比 R 快時顯得重要 。 前者例如中子星或黑洞 , 後者就是宇宙 , 因而描述宇宙的基 本架構就是廣義相對論 。 許多實驗觀測發現在數百 Mpc 尺度以上時 , 宇宙是十分均勻且各向對稱的 [1], [2] , [3] 。 CMB ( 105_{年以前殘留下來的背景輻射) 的高度均勻性也告訴我們 bady universe} 是高度均勻且無向的 。 上述結果就是建立宇宙模型常採用的 「大宇宙原則」 。 大宇宙 原則給我們一個圖像 , 我們可以把宇宙當作一個流體的物理系統 , 每個流體元素 (fluid element) 是由好幾個銀河構成 , 於是我們自然會選擇 comoving frame 來描述這個宇 宙:

t ≡ the proper time of each fluid element xi≡ the spatial coordinates carried by each fluid element

1.1.2

isotropic and homogeneous metric

由於我們的時間座標是流體元素的 proper time , 這意味著 g00= −1 , 而我們可以考 慮固定時間的三維空間切片 , 這意味著時間座標跟空間座標互相垂直 , 即我們有 : ( g00= −1 g0i= 0 (1.1.1) 我們岔題研究一下二維均勻且無向的三種曲面 , 我們將證明他們可以寫成 : ds2= a2( dρ 2 1 − kρ2 + ρ 2_dθ2_{) (1.1.2)}

CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko

其中 k = 0, 1, −1 分別表示平面 , 二維球面以及假球面 。 k = 0 的情況很容易看出來度 規給出平面 , 另一方面我們用球座標寫出半徑為 a 的球面度規 :

ds2= a2dθ2+ a2sin2θdφ2

再令 sin θ → ρ, φ → θ 即可寫成 (1.1.2) 的形式 。 假球是由一 x-z 平面的等切距 曲線 (tractrix) 繞 z 軸旋轉而來 , 等切距曲線的參數是 (x, z) = (a sin θ, a cos θ + a ln(tan θ/2)) , 繞 z 軸旋轉後的曲面參數式就是 :

~

X(θ, φ) = 

a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ + a ln(tanθ 2)



(1.1.3) 計算其度規可得 :

ds2_{= a}2_cot2_θdθ2_{+ a}2_sin2_θdφ2 _(1.1.4)

改以局部角座標表示 , 可改寫為 ds2 _{= a}2_(du2_{+ sinh}2_udv2_{) 即為 (1.1.2) 形式 。 對}

三維均勻且無向空間可以依此類推 , 於是在四維時空底下 , 這樣一個空間均勻且無向的 度規叫做 Friedmann-Robertson-Walker (FRW) 度規可以寫為 [1] : ds2= dt2− a(t)2  _dr2 1 − kr2 + r 2_(dθ2_{+ sin}2_θdφ2₎  (1.1.5) 如此一來 , 研究宇宙的幾何就相當於決定 k 的值 , 而研究宇宙的動態行為 , 就相當於 決定 a(t) 。

1.1.3

理想流體與狀態方程

理想流體的定義是在暫時共動座標系(momentarily comoving reference frame) 裡沒有 黏滯性和熱傳導的流體 [1] 。 由於只有粒子流動才能造成能量流動 , 沒有熱傳導這性質 告訴我們 T0 i = Ti0 = 0 。 而沒有黏滯性意味著沒有剪切應力 , 這告訴我們 Tij = 0 除非 i = j 。 另外 , Ti j 是對角矩陣這件事在所有暫時共動座標系都應成立 , 也就是說 必須有空間旋轉對稱 , 這告訴我們每個 Ti i 都應相同 。 於是我們得到在暫時共動座標系 裡的能動張量為 : Tµ ν= diag(−ρ, p, p, p) (1.1.6) 這樣一個理想流體 , 他的狀態方程可以寫為 : p = ωρ (1.1.7) 我們知道宇宙可以分為幾個時期 , 輻射主控 、 物質主控與真空主控宇宙 。 當 ω = −1 時 , 很明顯能動張量等效於宇宙常數的效應 。 而若宇宙中充滿著非相對論性物質 , 由 於非相對論性物質的壓力很小可以忽略 , 因而我們有 ω = 0 。 若宇宙中是充滿著相對論性粒子 , 用 n 標示粒子 , 第 n 顆粒子的能動四向量為 pnα , 則 pnα 的密度可以定義為 : Tα0= X n pnαδ3(x − xn) (1.1.8)

CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko 我們也可以定義這能動四向量流為 : Tα 0= X n pnα dxni dt δ 3_{(x − x} n) (1.1.9) 這兩個定義可以寫在一起變成 : Tαβ= X n pnαdxn β dt δ 3 (x − xn) (1.1.10) 又由四動量中 p0_{= E = mγ 且 p = mγv , 我們有 :} pnβ= En dxβ dt (1.1.11) (1.1.10) 就能改寫為 : Tαβ= X n pnαpnβ En δ3(x − xn) (1.1.12) 又假設這能動張量是描述一理想流體 , 於是 : p = 1 3T i i= 1 3 X n p2 n Enδ 3 (x − xn) (1.1.13) −ρ = T00= X n Enδ3(x − xn) (1.1.14) 對於一相對論性流體 , En ≈ |pn| , 於是我們得到相對論性流體會有 p = ρ/3 , 即 ω = 1/3 。 其實觀察能動張量的 trace Tµ µ , 這是一個 Lorentz invariant , 他的量 綱是能量 , 因而只能跟相對論性粒子的能量有關 , 但相對論性粒子沒有靜止質量 , 他 的能量並非洛倫茲不變量 , 因而 Tµ µ 理應是 0 , 從而也可得 ω = 1/3.

1.1.4

模型宇宙的演化

考慮在理想流體下的FRW 度規宇宙 [1] , 其 (0, 0) 分量的愛因斯坦場方程可算出 : ˙a2 a2 + k a2 = 8πG 3 ρ (1.1.15) 這又叫 Friedmann equation , 另外 (i, i) 分量的場方程式為 :

2¨a a+ ˙a2 a2 + k a2 = −8πGp (1.1.16) 從這兩條方程可以得到能量守恆方程 DµTµ0 = 0 , 即 d(ρa3) = −pd(a3) 。 把 (0, 0) 分量和 (i, i) 分量的場方程相減可得 : ¨ a a= − 4πG 3 (ρ + 3p) (1.1.17)

CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko

從這條式子可以發現若宇宙中只充滿一般性的物質 , 即 ρ, p > 0 , 那麼宇宙的膨脹將會 是減速的 。 宇宙常數項為一定真空能量密度 , 且其具有負壓力 , 因而引進宇宙常數可 以讓宇宙靜止 , 這正是當初愛因斯坦引入宇宙常數的目的 , 然而 , 他也可以造成宇宙 加速膨脹 , 這是近年來實驗上觀測得到的 。

我們若把 Friedmann equation 以哈伯常數 H ≡ ˙a/a 改寫 , 且重新整理成這樣 : k H2_a2 = ρ 3H2_/(8πG)− 1 ≡ Ω − 1 (1.1.18) 其中密度比 Ω 定義作物質密度與關鍵密度 (critical density) ρc ≡ 3H2/(8πG) 的比 值 。 如此一來上式明顯地把物質分佈跟宇宙的幾何連了起來 。 如果總物質密度超過了關 鍵密度 , 那麼宇宙是封閉的 (closed) , 若等於關鍵密度 , 宇宙是平坦的 (flat) , 若小 於關鍵密度 , 宇宙是開放的 (open) 。 Ω > 1 → k = +1 closed universe Ω = 1 → k = 0 flat universe Ω < 1 → k = −1 open universe (1.1.19) 目前的實驗數據顯示 , 我們目前的宇宙 Ω − 1 ≈ O(1) , 這意味著我們現在的宇宙是極 其平坦的 。 由能量守恆 d(ρa3_{) = −pd(a}3_{) 加上狀態方程 p = ωρ 可得 ρ = ρ} 0a−3(1+ω), 代 入 k = 0 的 Friedmann equation :  ˙a a 2 = 8πG 3 ρ0a −3(1+ω) 假_{設 a ∼ t}x _{代入上式可得解 x = 2/3(1 + ω) , 於是對於物質主控跟輻射主控而言 :} Matter dominated a ∼ t2/3 Radiation dominated a ∼ t1/2 (1.1.20) 雖然上面的結果是對 k = 0 的平坦宇宙談的 , 但其實對 k = ±1 而言 , 由於 power law 的關系 , 在早期宇宙時 Friedmann equation 中的曲率項相對來講會很小 , 因而可 以丟掉 , 所以上述結果對任何幾何的宇宙都成立 。 對於真空主控來說 , x = 2/3(1 + ω) 會發散 , 這代表真空主控的解不是 a ∼ tx _{形式 。 又我們已經知道真空能量主控會膨脹}

的很快 , 所以我們又可以把曲率項丟掉 , 因而解出 :

vacuum dominated a(t) = a(0)et/τ (1.1.21) 其中 τ =p3/(Λc2₎

1.2

FRW 的缺點

前節簡述的 FRW 大霹靂模型可以解釋很多在宇宙中觀測到的結果跟現象 , 然而卻存在 一些所謂不自然的 「微調」(fine tuning) 問題 [1],[4] 。 這並不是熱霹靂的矛盾或錯誤 , 只 是一個不自然的初始條件 , 而爆漲宇宙模型可以視為一個給予我們現今宇宙初始條件的 理論 。

CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko

1.2.1

The flatness problem

由於物質和能量的吸引力 , 我們會預測宇宙會減速膨脹 。 在輻射主控時 a ∼ t1/2 _所以

˙a ∼ t−1/2 , 而物質主控時 a ∼ t2/3 _{所以 ˙a ∼ t}−1/3 。 觀察 Friedmann equation ,

Ω − 1 = k ˙a2 在 k 6= 0 的情況下 , 可以發現 Ω = 1 是個不穩定平衡點! 也就是說 Ω − 1 是個遞增 函數 , 一旦有小小的偏離將會越來越大 , 這有點 「重力偏好曲率」 的感覺 。 在現今的實 驗發現 0.01 < Ωp < 10 , p 代表現今 , 往時間更早以前推論 , 這意味著早期宇宙的 Ω − 1 要是異常的小 。 我們可以作個簡單的定量估計 , 回溯到輻射 、 物質共存時期 trm (即 ρr(trm) = ρm(trm)) 之前 , 紅位移約 zrm∼ O(104) , 宇宙是物質主控的 a ∼ t2/3, ˙a ∼ t−1/3 ∼ a−1/2 , 於是我們可以估計現在 t p和物質輻射共存時期 trm的 Ω − 1 比 : Ωrm− 1 Ωp− 1 = ˙a(trm) ˙a(tp) −2 = a(trm) a(tp)  = (1 + zrm)−1 = O(10−4) (1.2.22) 再往前推到原始核合成 (nucleosynthesis) 時期 , tnu∼ O(102s) , 這時是輻射主控時 期 a ∼ t1/2_{, ˙a ∼ t−1/2∼ a−1} , 於是 : Ωnu− 1 Ωrm− 1 =  ˙a(tnu) ˙a(trm) −2 = a(tnu) trm 2 = kBTnu kBTrm −2 ∼ O(10−10) (1.2.23) 結合上兩式就能得到 , 若現今要求 Ωp− 1 ∼ O(1) , 回溯到核合成時期就必須 Ωnu−

1 ∼ O(10−14_{) , 再往回推會得到更誇張的初始條件要求 , 這就是所謂的 flatness}

prob-lem 。

1.2.2

The horizon problem

大宇宙原則說了在某個尺度以上 , 宇宙看起來是均勻又等向的 , 例如 CMB 可以均勻 到 10−5。 但是在兩個角度所接受到的 CMB 有可能是來自兩個從來沒有互相溝通過的區 域 , 即各自在各自的視界 (horizon) 以外 , 由於任何資訊傳遞不能快過光速 , 因此在 宇宙有限的時間乘上光速這個距離以外的兩個區域就分屬在各自的視界以外 , 這樣一堆 從未互相溝通過的區域有著這麼均勻的性質 , 這個奇怪的問題就叫作 horizon problem.

1.3

Inflation scenario

爆漲模型假設在 10−35_{s 到 10}−33_{s 之間宇宙經歷了一個相變 , 使得整體爆漲了 10}30 倍以上 [1],[4] 。

CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko

1.3.1

視界與平坦問題的解決

定性上來說 , 我們可以想像所有的曲率因爆漲而被拉平 , 而在這段期間超光速的 (su-perluminary) 膨脹也讓視界問題獲得解決 , 因為現在處在彼此視界範圍外的兩塊區域 , 在當初爆漲之前是屬於因果接觸的 (causal contact) 。 注意到這個超光速的膨脹並非違反相對論裡的假設 , 因為這個膨脹是空間本身的膨 脹 。 由於爆漲時超光速的過程 , 現在或 photon decoupling 時彼此在視界之外的區域 在爆漲剛開始之前是因果接觸的 , 因此在當時整個現在可觀測宇宙達到熱平衡 , 這就能 解釋 CMB 為何如此均勻 。 爆漲是因宇宙中真空能量造成指數膨脹 , 這麼大的膨脹尺度可以把空間拉平 , 定量 上我們可以用 Friedmann equation 估計 : Ω(tf) − 1 Ω(ti) − 1 = ˙a(tf) ˙a(ti) 2 = exp[−2(tf− ti)/∆τ ] ∼ 1060 (1.3.24) 假設宇宙被真空主控膨脹了 e(∆t)/∆τ _{∼ 10}30_{倍 , 那麼爆漲結束後的初始條件 Ω(t} f) 就 能相當的接近 1 。

1.3.2

爆漲機制

Zee 在 1979 年提出 , 一個類似 GUT 的自發性對稱破壞的重力理論 [5] , 隔年 Zee 其 實就發現了他的對稱破壞的重力理論可以解釋視界問題 [6] 。 之後隨著爆漲學說 [4]的提 出 , 多以重力耦合到 Zee 的自發對稱破壞位能的 lagraingian 描述 [7] , 許多人認為該 純量場即 Higgs field[8], [9] , 爆漲與粒子物理標準模型的討論見 [10] : L _{= −}ǫ 2φ 2 R − 1₂∂µφ∂µφ −λ 4(φ 2 − V02)2 (1.3.25) 其中 ǫ, λ 為無量綱常數 。

Spontaneous symmetry breaking

爆漲理論說宇宙在早期經歷一個自發對稱破壞的相變 , 我們簡單說明式 (1.3.25) 位能的 來由 [1] 。 考慮下列這個 Lagrangian : L ₌1 2∂µφ∂ µ_{φ +}(sign) 2 m 2_φ2 −λ₄φ4 (1.3.26) 當 sign 是 −1 時 , 位能的圖形如下圖 (a) 所示; 當 sign 是 1 時 , 位能的圖形如下圖 (b) 所示 。 我們會發現 (1.3.26) 這個系統擁有 φ ↔ −φ 的鏡射對稱 , 然而考慮當 sign 是 1 的真空態 , 我們必須選擇在位能的極小 σ_± = ±pm2_{/λ 作微擾 , 而一旦做出選擇 ,}

真空態就不再具有鏡射對稱 , 這就是自發性對稱破壞 。 由式 (1.3.26) 的 lagrangian , 可以計算能量張量密度為 :

CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko (a) (b)

Φ

V

HΦL

true vacuum

Φ

V

HΦL

true vacuum

false vacuum

Figure 1.1: SSB illustration:(a) sign = -1 (b) sign = 1

當位能到達極小值 , φ 可取作常數 , 因而發現 Tµν = V (< φ >)gµν , 其中 < φ > 代表 φ 的真空期望值 。 所以真空能量密度就是 : < T00>= −m 4 4λ (1.3.28) 由於我們得要讓爆漲結束 , 且現今對於真空能量密度的測量結果發現宇宙常數非常小 , 實際上關於宇宙常數的理論與實驗比較上還有好幾個 orders 的差距 [11] , 但我們這裡 主要目的是讓爆漲結束後爆漲位能 V (φ) 即消失 , 然而在考慮了高階曲率修正項後 , 在 一些模型底下會讓爆漲結束後還有宇宙常數 [12] 。 因此我們在 (1.3.26) 的 lagrangian 裡加上 m4_{/4λ 讓真空態的能量密度為 0 。 令 V}2 0 = σ±2 , 於是我們的自發對稱破壞位能 就能寫為 : V (φ) = λ 4(φ 2 − V02)2 (1.3.29) Inflation scenario: 當宇宙自大霹靂後 , 在溫度降低的過程中會經歷上述的自發對稱破壞相變 , 這時位能從 圖 (1.1.a) 變到 (1.1.b) , 系統 (宇宙) 將會暫時的處於所謂 「假真空」(false vacuum) 狀態中 , 從式 (1.3.25) 的 lagrangian 可以看出 , 此時的位能項相當於提供了一個等 效的宇宙常數 , 因而可以造成宇宙的快速膨脹 。 若是我們適當的選取參數 , 讓假真空附 近異常的平緩 , 我們可以延長 φ 滾下的時間 , 造成所謂 的 slow rollover(亦有學者提 出其他爆漲機制 , 例如 Linde 於 94 年提出由一個純量場觸發另一個純量場的爆漲 , 其 純量場更是以快速的滾動 [13]) , 當然 φ 成長的緩慢是跟 scale factor 的快速膨脹相比 的 , 然而要造成 slow-rollover 的參數選擇似乎又是另一個 fine-tune 的問題 , 這個問 題在考慮弦論之後似乎可以解決 [14], [15] , 但文章內我們不會討論 。 在第三章裡算出的 φ 的場方程是 : ¨ φ + 3H ˙φ + ǫφR +∂V ∂φ = 0 (1.3.30) 這跟一彈珠滾下有摩擦阻力的碗盤是類似的式子 。 當選取參數使得位能如圖 (1.1.(b)) 的 假真空附近那樣的平緩時 , 我們就能使宇宙被真空能量主控一段時間 , 而達到所謂的

CHAPTER 1. FRW UNIVERSE AND INFLATION S.L. Ko de Sitter phase 。 當 φ 逐漸增加到達 σ_± = ±V0 的時後 , φ 總是會不可避免的衝過頭 , 然後就在極 小值的位置震盪 , 這時候爆漲即告結束 , 在這個過程中自發對稱破壞的純量場在假真空 狀態中會造成等效真空能量而達到爆漲 。 實際上爆漲也對宇宙中結構的形成給予了良好的解釋 , 由於爆漲的效應 , 原始甚微 的量子微擾 (quantum fluctuation) 會被爆漲拉大到古典的尺度 , 或是到達天文結構 的尺度 , 因而爆漲不僅僅提供了我們大霹靂宇宙模型適當的初始條件 , 他也充當了宇宙 結構形成的 「種子」 , 然而宇宙中也必須存在一些暗物質 (dark matter) 來幫助加速宇 宙結構的形成 , 這些現象甚至可以藉由實驗上對大尺度 CMB 測量的非均向性分析驗證 [16], [17] 。

Chapter 2

Bianchi II, VIII, IX models

2.1

the metric

Bianchi 宇宙模型是非均向 (anisotropic) 、 但時空均勻 (homogeneous) 的 , 這我們 可從算出來的純量曲率 (scalar curvature) 中得到驗證 。 我們從 Bianchi 宇宙模型 typeII 、 VIII 、 IX 的度規開始出發 , 他們可以如下形式寫在一起 [18] : ds2= −b2(t)dt2+ a2(t) dy2+ f2(y)dz2
+ a2z(t) (dx − h(y)dz) 2 (2.1.1) 其中 f (y) =   y sinh y sin y  , h(y) =   −y2_/2 − cosh y cos y   for Bianchi   II V III IX   對第 VIII 、 第 IX 型的 Bianchi 模型 , 我們可以利用以下的座標變換讓度規長得像 Friedmann-Robertson-Walker 度規 , (sinh y, sin y) → r , z → θ 以及 x → z , 然後度規就變成 : ds2= −b2(t)dt2+a2(t)  _dr2 1 − kr2 + r 2_dθ2_+a2 z(t) h dz − kp1 − kr2_dθi2 _(2.1.2) 其中 k = −1, 1 分別標示第 VIII 和第 IX 型模型 。 而對於 Bianchi II 模型 , 我們令 y → r, x → z 以及 z → θ , 如此一來這度規變成 : ds2= −b(t)2dt2+a(t)2dr2+  a(t)2r2+ az(t)2 r4 4  dθ2+az(t)2r2dzdθ +az(t)2dz2 我們再令 rdθ = dφ , a2= az/2 以及 z′= 2z,Bianchi II 的度規就可以寫成 : ds2= −b(t)2dt2+ a21(t)dr2+ gmndxmdxn (2.1.3) 其中 (x0_{, x}1_{, x}2_{, x}3_{) = (t, r, z, φ) 而且 ,} gmn=  a2(t)2 ra2(t)2 ra2(t)2 a1(t)2+ r2a2(t)2  (2.1.4) 底下我們將就 (2.1.2) 以及 (2.1.3) , (2.1.4) 的度規形式開始討論 。

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko

2.2

the Bianchi Type II model

為了計算 gµν , 我們得先算 [g µν] 的反矩陣 , 我們容易得到 g00 = −1/b2 和 g11 = 1/a2 1, 而 : g−1mn= 1 a2 1a22  a2 1+ r2a22 −ra22 −ra2 2 a22  (2.2.1) 而在對四維時空作體積分時 , 由於 4-volume element 為√_−gdx4, 我們得算出 [g µν] 的行列式值 : det(g) = −a 4 1a22 B (2.2.2) 在 (2.2.2) 中我們引入了 B(t) ≡ 1/b(t)2。

2.2.1

Spin connections

接下來我們計算出所有非零的 spin connections , spin connections 跟度規之間的關系 是: Γa bc= 1 2g ad_(∂ bgcd+ ∂cgbd− ∂dgbc) 這些 spin connections 可以簡潔的寫為 : Γ000= − ˙ B 2B Γ 0 11= Ba21H1 Γ101= H1 (2.2.3) Γ1 23= −1₂J Γ133= −rJ (2.2.4) Γ0mn= B  a2 2H2 ra22H2 ra2 2H2 (a21H1+ r2a22H2)  (2.2.5) Γm0n=  H2 −r(H1− H2) 0 H1  (2.2.6) Γm1n = 1 2  −rJ 1 − r2_J J rJ  (2.2.7) 其中 , 哈伯常數 Hi ≡ ˙ai/ai, i = 1, 2 。 我們也引入了變數 J ≡ a22/a21。 且注意到上 式中的矩陣行列順序是 (z, φ) × (z, φ) 或 (x2_{, x}3_{) × (x}2_{, x}3_{) 。 即 m, n 的取值是 2 或} 3 。

2.2.2

黎曼張量的分量

黎曼張量 (Rienman curvature tensor) 是廣義相對論裡頭很重要的幾何量 , 他是度規 的二次微分 : Rdcba = −∂aΓdbc− ΓecbΓdae− (a ↔ b) 為了便於往後的計算 , 我們把黎曼張量的第二腳標以度規拉上 , 即 Rab cd= gbeRaecd , 底下計算出所有不為零的黎曼張量分量 : R0i0i= 1 2BH˙ i+ B(H 2 i + ˙Hi) (2.2.8)

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko R0m 1n=  _r 2BJ∆ −B(1 − r2 2J)∆ −B2J∆ − r 2BJ∆  (2.2.9) R1m0n= −r a2 1J∆ 1 2a2 1(1 − 2r 2_J)∆ 1 a2 1J∆ r a2 1J∆ ! (2.2.10) R1m 1n= 1 4a2 1J + BH1H2 r( J a2 1 − BH1∆) 0 −4a32 1J + BH 2 1 ! (2.2.11)  R01 23 R2323 R23 01 R0203  = " −B2J∆ J 4a2 1 + BH1H2 ∆ 2a2 1 − r 2B∆ − rB(H˙ 12− H22+ ˙∆) # (2.2.12) 其中我們引入了 ∆ ≡ H1− H2。 同樣地 , 上面的 m , n 取值是 2 或 3 , 分別對應到 矩陣的第一 、 第二行列 。

2.2.3

里奇張量的分量

我們在此子節中算出所有里奇張量 (Ricci tensor) 的非零項分量 , 我們將看到當我們計 算高階曲率項時 , 先計算出里奇張量會方便許多 。 里奇張量定義為黎曼張量第一與第四 腳標的縮併 (contraction) : Rba≡ Rcabc 我們直接由上一子節的結果縮併第一與第四腳標 : Rab= gcaRcb= gcaRdcbd= Rdabd 計算出所有非零 Ra b 形式的里奇張量 : R00= − " ˙B 2(3H) + B(H 2 s+ 3 ˙H) # R11= R33= − " −_2aJ2 1 +B˙ 2H1+ B(2H 2 1+ H1H2+ ˙H1) # R2 2= − " J 2a2 1 +B˙ 2H2+ B(H 2 2+ 2H1H2+ ˙H2) # R23= r " −_aJ2 1 +B˙ 2∆ + B(2H 2 1 − H1H2− H22+ ˙∆) #

2.2.4

純量曲率

純_{量曲率的定義是 R ≡ Rab}gab, 他可以由子節 (2.2.2) 的結果直接得到 , 因為 : −R = −Rabgab= Rcabcgab= Rbcbc 計算可得 : −R = Rαβαβ= − 1 2a2 1 J + B[(3H)2+ 2(3 ˙H) + Hs2] + ˙B(3H) (2.2.13)

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko 其中 3H ≡ 2H1+ H2 , 3 ˙H ≡ 2 ˙H1+ ˙H2 還有 Hs2 ≡ 2H12+ H22。 我們注意到 (2.2.13) 式中的右手邊是跟座標無關的 , 這個結果驗證了 Bianchi type II 是時空均勻 的 (homogeneous) 。 當我們取 H1→ H2的極限時 (即取均向極限) , 我們得到 : −R = (12H2+ 6 ˙H) −_2aκ2 而標準熱霹靂的 Friedmann-Roberson-Walker 模型的純量曲率是 [1] : −RF RW = 12H2+ 6 ˙H + 6 k a2

因此在趨向勻向 (isotropic) 極限的時後 , Bianchi II 模型是趨近於開放 (open) k = −1宇宙的 。

2.2.5

高階曲率項

在接近普朗克尺度(Planck scales) 時 , 量子重力理論 (Loop quantum gravity) 或是 弦論 (string theory) 預測到愛因斯坦的重力理論必需要修正 [23],[19],[20] 。 弦論在愛 因斯坦方程加上一無窮級數 , 當研究尺度跟弦的大小差不多時 , 修正項就重要了 , 這正 是早期宇宙也許會發生的 。 近日高能物理學家與暢銷書作家 Anthony Zee 在研討會上 說了 , 我們 (物理學家) 已引入了太多的純量場 , 我們也不知道到底是否真的存在純量 場? , 然而也有學者發表了直接由高階修正項的重力理論直接導致爆漲的可能性 [21] 。 於是 , 對我們的 Lagrange formulation 來說 , 高到三次的修正項對 Lagrangian den-sity 的影響是 : L _{= −R + αR}2_{+ βR}µν_{Rµν+ γR}µν_βγRβγ_ρσRρσ_{µν (2.2.14)} β項: 首先我們考慮二次曲率項 Rab_R ab= RabRba , 在 Bianchi II 裡頭由子節 (2.2.3) 可 以計算出 : Rab_R ab= RabRba = (R00)2+ (R11)2+ (R22)2+ (R33)2 =" ˙B 2(3H) + B(H 2 2 + ˙H2+ 2H12+ 2 ˙H1) #2 + " −_2aJ2 1 +B˙ 2H1+ B(2H 2 1+ H1H2+ ˙H1) #2 × 2 + " J 2a2 1 +B˙ 2H2+ B(H 2 2 + ˙H2+ 2H1H2) #2 (2.2.15) 我們可以在 (2.2.15) 式中檢查一下 , 每一項的因次都是L−2。

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko γ項: 由於黎曼張量的對稱性 : Rabcd= −Rbacd= Rbadc 容易發現 : Rab cdRcdefRefab= 8 × {Rγ} (2.2.16) 又由於腳標排列的對稱性 , Rγ可以寫成 : {Rγ} = (R0i0i)3+ (Rijij)3 | {z } i<j + 3 ×            R01 01R0123R2301 + R0123R2323R2301 + R0202R0212R1202 + R02 02R0213R1302 + R0203R0312R1202 + R0203R0313R1302 + R02 12R1212R1202 + R0212R1213R1302 + R0213R1313R1302 + R03 03R0312R1203 + R0303R0313R1303 + R0312R1212R1203 + R03 12R1213R1303 + R0313R1313R1303            注意到 : R0212R1213R1302+ R0312R1213R1303= 0 R0203R0312R1202+ R0203R0313R1302= 0 把其他項仔細的加起來 : {Rγ} =2 " ˙B 2H1+ B(H 2 1 + ˙H1) #3 +" ˙B 2H2+ B(H 2 2 + ˙H2) #3 + 2 J 4a2 1 + BH1H2 3 +  −3J 4a2 1 + BH2 1 3 + 3 ( −BJ∆a2 2 1 (− 3J 4a2 1 + BH 2 1) − BJ∆ 2 2a2 1 ( J 4a2 1 + BH1H2) − BJ∆2 a2 1 [ ˙ B 2H2+ B(H 2 2+ ˙H2)] − BJ∆ 2 2a2 1 [ ˙ B 2H1+ B(H 2 1+ ˙H1)] ) (2.2.17) 同樣地 , 上式中的每一項因次都是一致的 。 注意觀察 B 和 ˙B 出現時總是會跟著一些 「伙伴」 , 我們即將利用這一巧妙的性質推出跟模型無關的一條場方程通式 。

2.3

the Bianchi Type VIII, IX model

2.3.1

Spin connections

類似地 , 我們先算出 spin connections : Γ0 00= −_2BB˙ Γ011= BH1g11 Γ101= H1 (2.3.1) Γ1 11= _1−krkr2 Γ1₂₃= −r 2 √ 1 − kr2_{J Γ}1 22= r(1 − kr2) − kr(1 − kr2)J (2.3.2)

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko Γ0mn= B  H1a2r2+ Hza2z(1 − kr2) Hzg23 Hzg23 Hzg33  (2.3.3) Γm0n=  H1 0 k√1 − kr2_{∆ H} z  (2.3.4) Γm1n= " 1 r− k 2rJ 1 2r√1−kr2J 2k−r2 2r√1−kr2 − √ 1−kr2 2r J k 2rJ # (2.3.5)

2.3.2

黎曼張量的分量

R0i0i= B( ˙Hi+ Hi2) + ˙ B 2Hi (2.3.6) R0m1n= k 2rBJ∆ − k 2r√1−kr2BJ∆ −_2r√k 1−kr2  2r2− (1 − kr2)JB∆ −2rkBJ∆ ! (2.3.7) R1m 0n= − k(1−kr2 ) r J a2∆ k√1−kr2 r J a2∆ k√1−kr2 2ra2  r2_{− 2(1 − kr}2_)J_∆ k(1−kr2 ) r J a2∆ ! (2.3.8) R1m1n= − 3k2 4 J a2 + k a2 + BH₁2 0 −√1 − kr2_k2 J a2 − k a2 − BH₁2+ BH₁H_z  _k2 4 J a2 + BH₁H_z ! (2.3.9)  R01 23 R2323 R23 01 R0302  = " _kr√_1−kr2 2 JB∆ k2 4 J a2 + BH1Hz − k 2r√1−kr2 1 a2∆ √ 1 − kr2hB˙ 2∆ + B( ˙∆ + H 2 1 − Hz2) i # (2.3.10)

2.3.3

里奇張量的分量

R00= − ˙ B 2(2H1+ Hz) − B(2H 2 1+ Hz2+ 2 ˙H1+ ˙Hz) R1 1= − k a2 + k2 2 a2 z a4 − ˙ B 2H1− B(2H 2 1+ H1Hz+ ˙H1) R2 2= R11 R32= p 1 − kr2 " −_ak2 + k 2a2z a4 − ˙ B 2(H1− Hz) + B(−2H 2 1+ H1Hz+ Hz2− ˙H1+ ˙Hz) # =p1 − kr2_(R1 1+ R33) R33=k 2 2 a2 z a4 + ˙ B 2Hz+ B(H 2 z+ 2H1Hz+ ˙Hz)

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko

2.3.4

純量曲率

注意到了曲率裡頭的項有一些規則 , 因此我們引入一些變數改寫之 : A = ˙H1+ H12 B = H2 1+ k a2 C = H1Hz D = ˙Hz+ Hz2 E =k 2 4 a2 z a4 F = (H1− Hz)2 −R = Rαβαβ= − k2 2a2J + 2 k a2 + B[(3H) 2_{+ 2(3 ˙H) + H}2 s] + ˙B(3H) = 4A + 2B + 4C + 2D − 2E (2.3.11) 在趨向各向均勻極_{限時 , Bianchi VIII 模型是趨向於開放 (k = −1) 宇宙 , 而 Bianchi} IX 模型則是趨向於封閉 (closed, k = 1) 的宇宙 。

2.3.5

高階曲率項

β項: RabRba = R00R00+ R11R11+ R22R22+ R33R33 = ( ₃ X i=1 " B( ˙Hi+ Hi2) + ˙ B 2Hi #)2 + " −k 2 2 a2 z a4+ ( k a2 + BH 2 1) + BH1Hz+ B( ˙H1+ H12) + ˙ B 2H1 #2 + " −k 2 2 a2 z a4+ ( k a2 + BH 2 1) + BH1Hz+ B( ˙H1+ H12) + ˙ B 2H1 #2 + " k2 2 a2 z a4 + 2BH1Hz+ B( ˙Hz+ H 2 z) + ˙ B 2Hz #2 (2.3.12) = 6A2_{+ 2B}2_{+ 6C}2_{+ 2D}2_{+ 12E}2

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko γ項: γRabcdRcdefRefab = −3k 2 2 J a2B∆ 2 _{B( ˙H} 1+ H12) + ˙ B 2H1 ! + 2 B( ˙H1+ H12) + ˙ B 2H1 !3 − 3k2_aJ2B∆ 2 _{B( ˙H} z+ Hz2) + ˙ B 2Hz ! + B( ˙Hz+ Hz2) + ˙ B 2Hz !3 −3k 2 2 J a2B∆ 2 k2 4 J a2 + BH1Hz  + 2 k 2 4 J a2 + BH1Hz 3 − 3k2J a2B∆ 2  −3k 2 4 J a2 + k a2 + BH 2 1  +  −3k 2 4 J a2 + k a2 + BH 2 1 3 (2.3.13) = 2A3+ B3+ 2C3+ 2D3− 25E3− 9B2E + 6C2E + 27BE2+ 6CE2

+ 30F E2_{− 6AEF − 12BEF − 6CEF − 18DEF}

注意到從純量曲率開始 , 若作如下代換 k → 0 , k2 _{→ 1 , a → a} 1 , az → a2 以及 Hz → H2 將會得到 Bianchi II 的相應量 , 這其實意味著也許能找到一個座標把三個 度規寫在一起 。 無論如何 , 我們底下將常常一起討論三個模型 。

2.4

場方程式

2.4.1

Friedmann equation

我們將推出一個無論是 Einstein-Hilbert action 或是高階修正都能通用的 Frideman equation [22],[23] 。 把 Action 的空間部分先積掉 , S =R d4_{x√gL = N}R _dtL簡化 為一維變分 。 注意到我們已在 (2.1.2) 和 (2.1.3) 中塞入一函數b(t) 。 把 action 對b(t)變 分之後再設回1可得一場方程 : ∂L ∂B − d dt  ∂L ∂ ˙B  = 0 其中L = √gL = L V /√B, V ≡ a2_a z, ˙V = V (3H) 。 先處理掉√g = V 可得 : L _{− 2}∂L ∂B + 2( d dt + 3H) ∂L ∂ ˙B = 0 (2.4.1) 注意到 (2.2.13), (2.2.15), (2.2.17), (2.3.11), (2.3.12) 與 (2.3.13) 中由於因次的關系 , B 總是出現在B ˙Hi與BHiHj中 。 於是我們可以用連鎖律作如下的代換 : ∂L ∂B → Hi 2 ∂L ∂Hi + ˙Hi ∂L ∂ ˙Hi (2.4.2)

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko 而 ˙B總是以 ˙BHi/2的項出現 , 但由於最後要把B 設回 1 , 所以這裡手法稍微不同 。 注 意到 ˙B的地方都跟著一項 ˙Hi , 於是可以作這代換 : ∂L ∂ ˙B → Hi 2 ∂L ∂ ˙Hi (2.4.3) 把 (2.4.2) 和 (2.4.3) 代入 (2.4.1) 即得 : L _{+ Hi(}d dt+ 3H) ∂L ∂ ˙Hi = Hi∂L ∂Hi + ˙Hi∂L ∂ ˙Hi (2.4.4)

2.4.2

a

i

的場方程式

對a(t)變分的場方程式 : δL = (δV )L + V δL = 2 aV L δa + V  ∂L ∂a δa + ∂L ∂ ˙aδ ˙a + ∂L ∂¨a δ¨a  = V  2 aL + δL δa − ( d dt+ 3H) δL δ ˙a + ( d dt + 3H) 2δL δ¨a  δa = 0 (2.4.5) 然而我們已經先把 Lagrangian density 以哈伯常數Hi, ˙Hi表示了 , 因此我們把偏微分 項作如下代換 : δL δa = δL δH1 ∂H1 ∂a + δL δ ˙H1 ∂ ˙H1 ∂a + ∂L ∂a = −1_aH1L1−1 a( ˙H1− H 2 1)L1+ ∂aL (2.4.6) δL δ ˙a = δL δH1 ∂H1 ∂ ˙a + δL δ ˙H1 ∂ ˙H1 ∂ ˙a = 1 aL1− 2 aH1L 1 _(2.4.7) δL δ¨a = δL δH1 ∂H1 ∂¨a + δL δ ˙H1 ∂ ˙H1 ∂¨a = 1 aL 1 _(2.4.8) 把 (2.4.6), (2.4.7) 和 (2.4.8) 代入 (2.4.5) 。 我們便得到對a(t)變分的通式 : 2L + (d dt + 3H) 2_L1 − (_dtd + 3H)L1+ a∂aL = 0 (2.4.9) 其中 Li_{= ∂L /∂ ˙H} i, Li= ∂L /∂Hi。 類似地 , 對az變分的通式算出來是 : L _{+ (}d dt+ 3H) 2_L1 − (_dtd + 3H)L1+ az∂azL = 0 (2.4.10)

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko

2.4.3

E-H action 下的三條場方程式

在 Einstein-Hilbert action 模型下的場方程式由前節可算出 : 2H1Hz+ H12+ k a2− k2 4 a2 z a4 − Λ = 0 (2.4.11) k2 4 a2 z a4 + H 2 1+ Hz2+ H1Hz+ ˙H1+ ˙Hz− Λ = 0 (2.4.12) k a2 − 3k2 4 a2 z a4 + 3H 2 1+ 2 ˙H1− Λ = 0 (2.4.13) 其中只有 Friedmann equation 是一條一次微分方程 。 當把k → 0, k2 _{→ 1就是} Bianchi II 的場方程式 。

2.4.4

Bianchi Identity

由於 Bianchi identity , 前節有兩條獨立的微分方程給出a(t)與az(t)的解 。 定義Hµν≡

Gµ ν − Tµν , 由 Bianchi identity DµHµν = 0以及能量守恆DµTµν = 0 , 我們有 DµHµν= 0 。 他的0分量給我們 : (∂t+ 3H)Htt= 2H1Hrr+ HzHzz (2.4.14) 若Ht t= 0且Hrr和Hzz其中一個為 0 , 另一個也將為 0 。 θ和z分量自己消掉了 , 但r 分 量告訴我們 : ∂rHrr+ ΓθθrHrr+ ΓzzrHrr− ΓθθrHθθ− ΓθzrHzθ− ΓzzrHzz− ΓzθrHθz= 0 (2.4.15)

2.5

Induced gravity model

我們現在考慮 , 造成爆漲的因素是一純量場(scalar field) 。 於是寫下這個 Lagrangian density , 我們採用 Zee 的自發對稱破壞位能 (spontaneous-symmetry-breaking po-tential) [25],[7],[5] : L _{= −}ǫ 2φ 2 R + T (φ) − V (φ) = −₂ǫφ2R − 1₂∂µφ∂µφ −λ 4(φ 2 − V02)2 (2.5.1)

CHAPTER 2. BIANCHI II, VIII, IX MODELS S.L. Ko 其中 ǫ 是其 coupling constant , λ 和 V0 是某個常數 , ǫ 和 λ 都是無量綱的 。 利用前 節的場方程公式 , 很容易得出對 B, a 和 az 變分的場方程分別是 : ǫφ2  (H12+ 2H1Hz+ k a2 − a2 z 4a4) + 2Hφ(3H)  +1 2∂µφ∂ µ φ − V (φ) = 0 (2.5.2) ǫφ2 ( ˙H1+ H12+ ˙Hz+ Hz2+ H1Hz+ a 2 z 4a4) +2Hφ(H1+ Hz) + 2Hφ2+ 2( ˙Hφ+ Hφ2) ! −1 2∂µφ∂ µ φ − V (φ) = 0 (2.5.3) ǫφ2  (2 ˙H1+ 3H12+ k a2 − 3a2 z 4a4) + (4HφH1+ 4H 2 φ+ 2 ˙Hφ)  −1₂∂µφ∂µφ − V (φ) = 0 (2.5.4) 其中Hφ ≡ ˙φ/φ 。 注意到當令 φ 為常數時 , 上面三個場方程會回到 (2.4.11), (2.4.12) 與 (2.4.13) 。 至於對 φ 的變分 : δL = δ(√gL ) = −√gǫφRδφ − δ( √_g 2 ∂µφ∂ µ φ) −√g∂V ∂φδφ = 0 而上式右手邊的中間項可以如下計算 : δ( √_g 2 ∂µφ∂ µ_{φ) =}√_g∂µ_φ∂ µ(δφ) = −∂µ(√g∂µφ)δφ = −√gDµ∂µφδφ 其中我們用到了 ∂µ(√gAµ) = DµAµ 。 因此對 φ 變分得到的場方程式是 : −ǫφR + Dµ∂µφ −∂V ∂φ = 0 (2.5.5)

Chapter 3

Results and analysis

3.1

E-H model 從非勻向到勻向

Einstein-Hilber 模型中的場方程式 (2.4.11), (2.4.12) 與 (2.4.13) 是一複雜的非線性聯 立微分方程組 , 雖然無法得到解析解 , 但我們可以作定性分析 [23] 。 我們首先證明在 Bianchi II, VIII, IX 的模型下 , 雖然一開始非各向均勻 (anisotropic) , 但隨著爆漲 過程 , 會趨向各個方向都對稱 。 注意到 ˙V /V = 3H , 從 (2.4.12) 與 (2.4.13) 我們可 以得到 : ˙ ∆ + 2H12− H1Hz− Hz2= − k a2 + a2 z a4 ˙ ∆ + (3H)∆ = −_ak2 + a2 z a4 d dt(V ∆) = −kaz+ a3 z a2 ∆ = ∆(0)V (0) V − k a2 Rt 0az(t′)dt′ az + Rt 0a 3 z(t′)/a2(t′)dt′ a2_a z (3.1.1) 其中 ∆(0) 和 V (0) 是某個初始值 。 從 (3.1.1) 式中可以清楚看到 , 當爆漲呈現自然指 數上升 (exponential increase) 的時後 , 右邊的三項都將隨著時間的增加而趨近於零 。 這意味著 : ∆ → 0 as t → ∞

這個結果告訴我們 , 從 Bianchi II, VIII, IX 模型出發不會違背現今觀察到且我們深信 的大宇宙原則 (Cosmological Principle) , 因為 Bianchi 模型本身即具有平移對稱性 (spacetime homogeneous) , 而現在證明了隨著時間的演化 , 雖然爆漲的一開始是非 各向均勻 (anisotropic) , 之後還是會回歸到各向均勻的宇宙 (spacetime isotropic) 。

3.2

E-H model 解的穩定性分析

我們已經知道隨著爆漲 , 宇宙會趨向於各向對稱 。 然而到達各向均勻時 , 這個對稱的 狀態是穩定抑或不穩定呢 [23]? 這點我們可以對 (2.4.11), (2.4.12) 與 (2.4.13) 作一微

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko 擾 (perturbation) 驗證 , 我們將證明其一階微擾將隨時間趨近於零 。 首先假設系統已 達各向均勻的狀態 , 此時不僅 H1 ≈ Hz , 我們還知道 a(t) 和 az(t) 都很大 , 因此 和其他項比起來 , k/a2_{及 a}2 z/a4 都可以丟掉 。 於是微分方程組 (2.4.11), (2.4.12) 與 (2.4.13) 變成 : 2H1Hz+ H12− Λ = 0 H12+ Hz2+ ˙H1+ ˙Hz+ H1Hz− Λ = 0 3H12+ 2 ˙H1− Λ = 0 令 H1= H0+ δH1, Hz= H0+ δHz 代入上式並保留到第一階 : 2H0δH1+ H0δHz= 0 (3.2.1) δ ˙H1+ δ ˙Hz+ 3H0(δH1+ δHz) = 0 (3.2.2) δ ˙H1+ 3H0δH1= 0 (3.2.1) 告訴我們 δHz= −2δH1。 接著把 δ(H1+ Hz) 看做一個變數並令 H0= ˙a/a , 可從 (3.2.2) 積出 : δH1+ δHz= constant a3 → 0 as t → ∞ (3.2.3) 從 (3.2.3) 明顯看出 δH1 → 0 且 δHz → 0 , 當 t → ∞ 。 這告訴我們爆漲終了的時 後宇宙是各向對稱且穩定的 , 當有任何擾動使得爆漲終了的宇宙偏離了各向均勻的狀態 , 他會隨即回復各向均勻 。

3.3

E-H model 數值模擬驗證

由於Einstein-Hilbert 模型的場方程 (2.4.11), (2.4.12) 和 (2.4.13) 無法得到解析解 , 因此我們作數值解分別跑出 Bianchi II, VIII, IX 的 scale factors 以及 anisotropy(∆) 的圖形 :

在 induced gravity 之前 , 理論只牽扯到 c 和 G 兩個常數 , 把這兩個常數令作 1 , 即是幾何單位 (Geometrized units) 。 我們可以把所有的單位變成長度的某次方 , 詳 細請見附錄 。

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 2 4 6 8 10 12 14 t 50 100 150 200 250

ai BII scale factors

aHtL azHtL 1 2 3 4 5 t 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 D BII Anisotropy

Figure 3.1: Bianchi II model with Λ = 1, solution of (2.4.11), (2.4.12) and (2.4.13), the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. , a′(0) = 0.35, az(0) = 0.1,

a(0) = 0.2 (a) (b) 2 4 6 8 10 12 14 t 250 500 750 1000 1250 1500

ai BVIII scale factors

aHtL azHtL 1 2 3 4 5 t 1 2 3 4 5 6 D BVIII Anisotropy

Figure 3.2: Bianchi VIII model with Λ = 1, solution of (2.4.11), (2.4.12) and (2.4.13), the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. , a′(0) = 0.1, az(0) = 0.5,

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 2 4 6 8 10 12 14 t 500 1000 1500 2000

ai BIX scale factors

aHtL azHtL 1 2 3 4 5 t 0.2 0.4 0.6 0.8 1 D BIX Anisotropy

Figure 3.3: Bianchi IX model with Λ = 1, solution of (2.4.11), (2.4.12) and (2.4.13), the unit of t-axis is tg= (3 ×108)−1sec., a′(0) = 1, az(0) = 2, a(0) = 1

3.4

E-H model 下不同狀態的數值解

許多物理系統都能理想化成一些只有局部碰撞的粒子集合 , 例如 : 黑體輻射 、 稀薄電漿... 等等 。 其中一個例子就是我們的宇宙 。 這樣一個稀薄的完美流體系統 , 他的狀態方程十 分簡單可以描述如下 [1] : p = ωρ (3.4.1) 其中 ω = 0, 1/3, −1 時分別表示宇宙處在物質 (非相對性物質) 、 輻射 、 與真空狀態 。 我們考慮這樣一個簡單的理想流體 , 他的能量動量張量是 : Tµν= diag(−ρ, p, p, p) (3.4.2) 於是我們該解的場方程式就是 : 2H1Hz+ H12+ k a2 − 1 4 a2 z a4 − Λ = ρ(t) (3.4.3) 1 4 a2z a4 + H 2 1+ Hz2+ H1Hz+ ˙H1+ ˙Hz− Λ = −p(t) (3.4.4) k a2 − 3 4 a2 z a4 + 3H 2 1+ 2 ˙H1− Λ = −p(t) (3.4.5) 另外 , 從能量守恆 , DµTµ0= 0 可得 : ∂µTµ0+ ΓµµaTa0− Γaµ0Tµa= 0 由 (3.4.2) 式與第二章中的 spin connection 表 , 我們有 : ˙ρ + (3H)ρ + (3H)p = 0 積分可得 : ρ(t) = ρ0V−(1+ω) (3.4.6) 其中 ρ0是某個初始值 , 而 V = a2az。 當 ω = 0 時能量密度跟體積成反比 , 這就是物 質主宰的宇宙 , 當 ω = 1/3 時 , 由於輻射的能量跟波長成反比 , 因此 ρ ≈ V−4/3 ,

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko 當 ω = −1 時 , ρ = constant , 隨著宇宙膨脹能量密度維持定值 , 黑暗能量正有著這 個性質 。 把 (3.4.6) 和狀態方程 (3.4.1) 代入 (3.4.3), (3.4.4) 與 (3.4.5) , 就得到我們要用數 值解的微分方程組 : 2H1Hz+ H12+ k a2 − 1 4 a2 z a4 − Λ = ρ0V−(1+ω) (3.4.7) 1 4 a2 z a4+ H 2 1+ Hz2+ H1Hz+ ˙H1+ ˙Hz− Λ = −ωρ0V−(1+ω) (3.4.8) k a2 − 3 4 a2 z a4+ 3H 2 1+ 2 ˙H1− Λ = −ωρ0V−(1+ω) (3.4.9) 我們將考慮有宇宙常數和沒有宇宙常數的情況 , 分別畫出各個情況 a(t) 對時間 t 的 圖以及非均向性 ∆ 對時間 t 的作圖 , 我們可以看到真空狀態的爆漲總是最快的 , 而且 無論哪一種模型 , 最終都會趨向各向均勻 : (a) (b) 2 4 6 8 10 t 2 4 6 8 10 12 14 aHtL _Bianchi2 Ω=-1 Ω=13 Ω=0 0.5 1 1.5 2 t 1 2 3 4 5 D _Bianchi2 Ω=-1 Ω=13 Ω=0

Figure 3.4: Bianchi II with ρ0 = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9) ,

the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) = 0.1, a′(0) = 0.42,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 9.91, az(0) = 0.1, a′ z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′(0) = 3.10, az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1 (a) (b) 2 4 6 8 10 t 5 10 15 20 25 aHtL Bianchi8 Ω=-1 Ω=13 Ω=0 0.5 1 1.5 2 t 1 2 3 4 5 D Bianchi8 Ω=-1 Ω=13 Ω=0

Figure 3.5: Bianchi VIII with ρ0 = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9) ,

the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) = 0.1, a′(0) = 1.02,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 9.96, az(0) = 0.1,

a′

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 2 4 6 8 10 t 1 2 3 4 5 6 7 8 aHtL _Bianchi9 Ω=-1 Ω=13 Ω=0 1 2 3 4 5 t -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 D _Bianchi9 Ω=-1 Ω=13 Ω=0

Figure 3.6: Bianchi IX with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9) , the

unit of t-axis is tg= (3×108)−1sec. For VD, a(0) = 1, a′(0) = 0.01, az(0) = 0.1,

a′

z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 12, az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For MD,

a(0) = 0.1, a′_{(0) = 2.94, az(0) = 0.27, a}′ z(0) = 0.1 接下來是有宇宙常數的數值解 : (a) (b) 2 4 6 8 t 50 100 150 200 aHtL Bianchi2 Ω=-1 Ω=13 Ω=0 0.5 1 1.5 2 t 1 2 3 4 5 D _Bianchi2 Ω=-1 Ω=13 Ω=0

Figure 3.7: Bianchi II with ρ0= Λ = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9)

, the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) = 0.1, a′(0) = 0.42,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 9.91, az(0) = 0.1,

a′

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 2 4 6 8 t 100 200 300 400 aHtL _Bianchi8 Ω=-1 Ω=13 Ω=0 0.5 1 1.5 2 t 1 2 3 4 5 D _Bianchi8 Ω=-1 Ω=13 Ω=0

Figure 3.8: Bianchi VIII with ρ0= Λ = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9)

, the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) = 0.1, a′(0) = 1.02,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 9.96, az(0) = 0.1, a′ z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′(0) = 3.26, az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1 (a) (b) 1 2 3 4 5 6 7 t 20 40 60 80 100 120 aHtL Bianchi9 Ω=-1 Ω=13 Ω=0 1 2 3 4 5 t -1 1 2 3 4 5 D Bianchi9 Ω=-1 Ω=13 Ω=0

Figure 3.9: Bianchi IX with ρ0 = Λ = 1, solution of (3.4.7), (3.4.8) and (3.4.9)

, the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. For VD, a(0) = 1, a′(0) = 0.01,

az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For RD, a(0) = 0.1, a′(0) = 12, az(0) = 0.1, a′z(0) = 0.1. For MD, a(0) = 0.1, a′_{(0) = 2.94, az(0) = 0.27, a}′ z(0) = 0.1 我們可以看到 , 真空態的膨脹總是最快的 , 輻射主控態次之 , 而物質主控態的爆漲 則是最慢的 。 無論如何 , 任何的模型 、 任何的初始條件都會使的非均向性趨近於零 。 接著我們把輻射主控 (時間到 30 萬年) 跟物質主控 (時間從 30 萬年到 150 億年) , 按 真實時間比例連接起來 , 且做出非均向性對時間的圖 , 其實在爆漲時已經把非均性向幾 乎抹平了 。

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 0.01 0.1 1 10 100time 0.1 0.5 1 5 10 aHtL

Bianchi2

R. D. M. D. 0 5 10 15 20 25 30 t 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 D

Bianchi2

Figure 3.10: Bianchi II R. D. to M. D., with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8)

and (3.4.9) , the unit of t-axis is tg= (3 × 108)−1 sec. a(0) = 0.1, a′(0) = 5.46,

az(0) = 0.2, a′z(0) = 2 (a) (b) 0.01 0.1 1 10 100time 0.1 0.5 1 5 10 50 100 aHtL

_Bianchi8

R. D. M. D. 0 200 400 600 800 1000 t 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 D

Bianchi8

Figure 3.11: Bianchi VIII R. D. to M. D. with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8)

and (3.4.9) , the unit of t-axis is tg= (3 × 108)−1 sec. a(0) = 0.1, a′(0) = 5.53,

az(0) = 0.2, a′z(0) = 2

3.5

Induced gravity model 的數值解

回憶第一章中的Induced gravity 的 Lagrangian 是

L _{= −}ǫ 2φ 2 R − 1₂∂µφ∂µφ −λ 4(φ 2 − v02)2 為了簡化起見 , 我們考慮第二章中引起爆漲的的純量場只是時間的函數 , 因為我們 考慮的 Bianchi space 也是時空均勻的 , 這麼一來 : ∂µφ∂µφ = − ˙φ2 而且 (2.5.5) 左邊的第二項就能這樣展開 : Dµ∂µφ = ∂µ∂µφ + Γµνµgνα∂αφ = − ¨φ − 3H ˙φ

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 0.01 0.1 1 10 100time 0.1 0.5 1 5 10 50 aHtL

_Bianchi9

R. D. M. D. 0 1000 2000 3000 4000 5000 t 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 D

Bianchi9

Figure 3.12: Bianchi IX R. D. to M. D. with ρ0= 1, solution of (3.4.7), (3.4.8)

and (3.4.9) , the unit of t-axis is tg = (3 × 108)−1 sec. a(0) = 0.1, a′(0) = 12,

az(0) = 0.2, a′z(0) = 3 於是我們要解的場方程式就變成 : ǫφ2  (H12+ 2H1Hz+ k a2 − a2 z 4a4) + 2Hφ(3H)  −1₂φ˙2− V (φ) = 0 (3.5.1) ǫφ2 ( ˙H1+ H12+ ˙Hz+ Hz2+ H1Hz+ a 2 z 4a4) +2Hφ(H1+ Hz) + 2Hφ2+ 2( ˙Hφ+ Hφ2) ! +1 2φ˙ 2_{− V (φ) = 0 (3.5.2)} ǫφ2  (2 ˙H1+ 3H12+ k a2 − 3a2 z 4a4) + (4HφH1+ 4H 2 φ+ 2 ˙Hφ)  +1 2φ˙ 2 − V (φ) = 0 (3.5.3) ¨ φ + 3H ˙φ + ǫφR +∂V ∂φ = 0 (3.5.4) 我們作數值解並畫出每個模型 scale factors 的爆漲情況與純量場隨時間的變化 , 並 做出非均向性 ∆ 與時間的關系 , 注意到我們故意選擇參數使純量場在一開始時作緩慢的 滾動 , 在滾動到位能極小的時後即停止爆漲 :

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 2 4 6 8

t

H

10

8

_t

p

L

1011 1020 1030 1035

a

i

Bianchi2

2 4 6 8

t

H

10

8

_t

p

L

1 2 3 4 5 6 7

Φ

_Bianchi2

Figure 3.13: Bianchi II induced gravity inflation, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4), with λ = 4 × 10−17_{, ǫ = 0.05 , v0=}p_{2/ǫ. For fig(a), dashed curve}

is a(t), solid one is az(t), vertical axis is log scale. . For fig(b), dashed horizontal

line stands for minimum of V (φ). Initial conditions are: a(0) = 3 × 105, a′_{(0) =}

102, az(0) = 105, a′z(0) = 102 時間單位為 t′ p ∼ 2.70 × 10−43sec , 其中 t′p = p 8πG~/c5 _{為 modified planck} time unit(我們設 8πG = 1) 。 底下我們作非均向性的數值分析 , 發現隨著爆漲很快地 所有非均向性都會被抹平 , 基於這個特點 , 讓我們增加了 Bianchi spaces 可以拿來當 作爆漲模型的信心 , 也讓我們容易作底下的近似解析分析 。 把 (3.5.1),(3.5.2),(3.5.3) 和 (3.5.4) 改寫成 : ǫ  H12+ 2H1Hz+ k a2− a2 z 4a4  + 2ǫ ˙φ(3H) −1₂φ˙ 2 φ − V (φ) φ = 0 (3.5.5) 2ǫ  H2 1+ H1Hz+ ˙H1+ ˙Hz+ Hz2+ a2 z 4a4  + 4ǫ ˙φ(H1+ Hz) + 4ǫ ˙ φ2 φ + 4ǫ ¨φ + ˙ φ2 φ − 2 V (φ) φ = 0 (3.5.6) ǫφ  3H12+ 2 ˙H1+ k a2− 3a2 z 4a4  + 4ǫ ˙φH1+ 2ǫ ˙ φ2 φ + 2ǫ ¨φ + 1 2 ˙ φ2 φ − V (φ) φ = 0 (3.5.7) ǫφ  −6H1− 4H1Hz− 4 ˙H1− 2 ˙Hz− 2Hz2− 2 k a2 + a2 z 2a4  + ¨φ + 3H ˙φ + V′(φ) = 0 (3.5.8) 將上面四式加起來會發現 , 方刮號裡的東西都消掉了 , 而得出 : ¨ φ + 3H ˙φ +φ˙ 2 φ + V′_{− 4V/φ} 1 + 6ǫ = 0 (3.5.9)

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 2 4 6 8

t

H

10

8

_t

p

L

1011 1020 1030 1035

a

i

Bianchi8

2 4 6 8

t

H

10

8

_t

p

L

1 2 3 4 5 6 7

Φ

_Bianchi8

Figure 3.14: Bianchi VIII induced gravity inflation, with λ = 4×10−17_{, ǫ = 0.05}

, v0=

p

2/ǫ. The plots are quite similar to Bianchi II’s, thus the curvature term k/a2 _{in the field equations is irrelevant. Initial conditions are: a(0) = 3 × 10}5_,

a′_{(0) = 10}2_{, a} z(0) = 105, a′z(0) = 102 (a) (b) 2 4 6 8

t

H

10

8

_t

p

L

1011 1020 1030 1035

a

i

Bianchi9

2 4 6 8

t

H

10

8

_t

p

L

1 2 3 4 5 6 7

Φ

_Bianchi9

Figure 3.15: Bianchi IX induced gravity inflation. Initial conditions are: a(0) = 3 × 105_{, a}′_{(0) = 10}2_{, a} z(0) = 105, a′z(0) = 102 而由於非均向性很快的被抹平, 因此我們令 H1= Hz, (3.5.1) 可以改寫為 : 1 ǫφ2  1 2φ˙ 2_{+ V}  − k a2 + a2 z 4a4 = 3H 2  1 + 2Hφ H  (3.5.10) 首先我們分析早期 「slow-rollover」 時期 , 即爆漲時期 。 此時 scale factors 的成長速度 是遠大於純量場的成長速度的 , 因而 Hφ<< H 。 而此時純量場的 「加速度」 因為受到 強大的 「阻力」 而很小 , 即 ¨φ << 3H ˙φ 。 而且此時純量場的 「動能」 是遠小於當時的 「位能差」 , 亦即 ˙φ2_{<< V (φ) , 總結我們在 slow-rollover 時有如下近似 :} Hφ<< H (3.5.11) ˙ φ2_{<< V (φ) (3.5.12)} ¨ φ << 3H ˙φ (3.5.13)

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko

又 k/a2 _{與 a}2

z/4a4 項由於 scale factors 的快速膨脹很快就不重要 , 作了這些近似後

(3.5.9) 與 (3.5.10) 就變成 : 3H ˙φ = 4V /φ − V′ 1 + 6ǫ (3.5.14) H2= V 3ǫφ2 (3.5.15) 把 (3.5.15) 開根號得 : H = ± r λ 12ǫ φ2_{− v}2 0 φ (3.5.16) 其中上方符號代表從右滾下 , 下方符號代表從左滾下 。 將 (3.5.16) 代入 (3.5.14) , 並 忽略 (3.5.14) 中分母的 6ǫ 可得 : ˙ φ = ∓ r 4λǫ 3 v 2 0 可以解得 : φ(t) = φ(0) ∓ r 4λǫ 3 v 2 0t ≡ φ(0) ∓ αt (3.5.17) 我們可以看到數值解的 φ − t 圖形的確在前段看起來像是線性的 。 把 (3.5.17) 代入 (3.5.16) : ˙a a = ± r λ 12ǫ  φ −v 2 0 φ  ⇒ ln a = ± r λ 12ǫ  φ(0)t ∓ α₂t2±v 2 0 α ln φ  + const. ⇒ _aa 0 =  φ φ(0) 1/(4ǫ) exp φ(0) 2_{− φ}2 8ǫv2 0  (3.5.18) 從 (3.5.18) 可以看到 , 從左邊滾下的爆漲在早期主要是以指數相當大的 power law 爆 漲 , 而從右邊滾下的爆漲在 slow-rollover 時期主要是以 exp 形式爆漲 。 接著我們研究當位勢滾到極小值附近作震盪時的近似 。 令 φ = v0+ ϕ 代入 (3.5.9) 中 , 且忽略分母的 6ǫ , 忽略 ϕ 二次以上的高階項可得 : ¨ ϕ + 3H ˙ϕ + 2λv20ϕ = 0 (3.5.19) 這就是一條 damped oscillation 的方程 , 可解得 : ϕ(t) = e−3Ht/2sin p 8v2 0λ − 9H2 2 t ! ∼ e−3Ht/2sin√2λv0t  (3.5.20) 底下我們拿 Bianchi IX 當例子 , 把 φ 的線性近似解跟 φ − t 圖畫在一起 , 且估算一 下在震盪時期的週期 , 和數值作出來的週期作個比較 :

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 2 4 6 8

t

H

10

8

_t

P

L

1 2 3 4 5 6 7

Φ

1,1 1.2 1.3

t

H

10

8

t

P

L

6.3 6.32 6.34 6.36 6.38

Φ

1,1 1.2 1.3

Bianchi9

Figure 3.16: Bianchi IX example for comparison of numerical result and ana-lytical approximation , solution of (3.5.17) and (3.5.20), in fig(b), the period is about 1.26 × 108_t

p, and the analytical approximation is about 1.11 × 108tp

我們發現上圖 (a) 在 107_t p 以前該線性近似都還蠻貼近數值結果 , 另一方面在上 圖 (b) 裡頭數值作出來的週期大約是1.26 × 108_t p , 而我們解析近似出來的週期大約是 1.11 × 108_t p , 亦是在可接受的範圍 。 注意到我們選擇參數 ǫ 與 v0 的取值時 , 必須滿足 ǫ = 2/v20 的關系 , 原因是我們 必須讓爆漲結束時的牛頓常數跟我們現在所知的一樣 。 又 λ 的取值方面 , 由於我們要在 108_t p 的時間內爆漲約 e60 ∼ 1026 以上 , 因而 可以知_{道 H ∼ 10}−6 _{左右 , 從式(3.5.16) 可以看到 , 這意味著 λ 的 order 大約是} λ ∼ 10−11_{ǫ 。}

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko 200 400 600 800 1000

t

H

t

Pl

L

0.002 0.004 0.006 0.008

D

_Bianchi2

Figure 3.17: Bianchi II:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4) 200 400 600 800 1000

t

H

t

Pl

L

0.002 0.004 0.006 0.008

D

_Bianchi8

Figure 3.18: Bianchi VIII:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4) 200 400 600 800 1000

t

H

t

Pl

L

0.002 0.004 0.006 0.008

D

_Bianchi9

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko 上面我們作的是讓純量場 φ 從 0 的位置滾下 , 接著我們發現讓 φ 從 φ(0) >> V0 滾下也可以成功爆漲 : (a) (b) 1 2 3 4

t

H

10

8

_t

p

L

1011 1020 1030 1035

a

i

Bianchi2

1 2 3 4 5

t

H

10

8

t

p

L

145 150 155 160 165

Φ

1 2 3 4 5

Bianchi2

Figure 3.20: Bianchi II induced gravity inflation,, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4), with λ = 8 × 10−18_{, ǫ = 10}−4 _{, v0 =} p_{2/ǫ. For fig(a), vertical}

axis is log scale. dashed curve is a(t), solid one is az(t) . For fig(b), Initial

conditions are: a(0) = 3 × 102_{, a}′_{(0) = 100, az(0) = 100, a}′

z(0) = 10, φ(0) = 71,

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko (a) (b) 1 2 3 4

t

H

10

8

_t

p

L

1011 1020 1030 1035

a

i

Bianchi8

1 2 3 4 5

t

H

10

8

t

p

L

145 150 155 160 165

Φ

1 2 3 4 5

Bianchi8

Figure 3.21: Bianchi VIII induced gravity inflation, with λ = 8×10−18_{, ǫ = 10}−4

, v0 =

p

2/ǫ. The plots are quite similar to Bianchi II’s, thus the curvature term k/a2_{in the field equations is irrelevant. Initial conditions are: a(0) = 300,}

a′_{(0) = 100, az(0) = 100, a}′ z(0) = 10 , φ(0) = 71, φ′(0) = −0.001 (a) (b) 1 2 3 4

t

H

10

8

_t

p

L

1011 1020 1030 1035

a

i

Bianchi9

1 2 3 4 5

t

H

10

8

t

p

L

145 150 155 160 165

Φ

1 2 3 4 5

Bianchi9

Figure 3.22: Bianchi IX induced gravity inflation. Initial conditions are: a(0) = 300, a′_{(0) = 100, az(0) = 100, a}′

z(0) = 10, φ(0) = 71, φ′(0) = −0.0001

接著我們一樣作非均向性的數值分析 , 發現隨著爆漲很快地所有非均向性還是都會被 抹平 。

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko 20 40 60 80 100

t

H

t

Pl

L

0.05 0.1 0.15 0.2

D

_Bianchi2

Figure 3.23: Bianchi II:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4), rolling down from RHS

20 40 60 80 100

t

H

t

Pl

L

0.05 0.1 0.15 0.2

D

_Bianchi8

Figure 3.24: Bianchi VIII:Dynamics of Anisotropy, sol. of (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) and (3.5.4) 20 40 60 80 100

t

H

t

Pl

L

0.05 0.1 0.15 0.2

D

_Bianchi9

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko

3.6

變分方法的詳細探討

上面我們作了許多分析 , 這些分析要正確 , 很重要的一個前提是 , 對 gµν 變分的場方 程式得要是對的 。

3.6.1

和愛因斯坦方程作比較

考慮真空解 , 我們知道愛因斯坦方程式是[1] : 1 2gµνR − Rµν | {z } Gµν +Λgµν = χTµν = 0 ⇒ Gµν = −Λδµν (3.6.1) 底下我們將算出 Einstein tensor , 直接套用愛因斯坦方程式 (3.6.1) 來驗證我們的場方 程式 (2.4.11), (2.4.12) 和 (2.4.13) 正不正確 。 由第二章 , 我們可以直接算出 Gµ ν : G00= −k a2 + 1 4 a2 z a4 − H 2 1− 2H1Hz (3.6.2) G1 1= − 1 4 a2 z a4 − H 2 1− H1Hz− Hz2− ˙H1− ˙Hz (3.6.3) G22= G11 (3.6.4) G33= − k a2 + 3 4 a2 z a4 − 3H 2 1− 2 ˙H1 (3.6.5) G32= −k p 1 − kr2_[−k a2 + a2 z a4− 2H 2 1 + H1Hz+ Hz2− ˙H1+ ˙Hz] (3.6.6) 現下上式有 4 條方程但我們只有兩個變數 , 而 Bianchi identity 正給了我們上面四條 方程的兩個關系式 。 我們可以輕易驗證第二章中推出的 Bianchi identity : (∂t+ 3H)H00= 2H1H11+ HzH33 而另一條 Bianchi identity 則給我們 : [∂rHrr+ ΓθθrHrr+ ΓzzrHrr− ΓθθrHθθ− ΓθzrHzθ− ΓzzrHzz] − [ΓzθrHθz] = 0 ⇒ Γ331(H11− H33) − Γ231H32− Γ321H23= 0 (3.6.7) 再由 : H23= ga2Ha3= g22H23+ g32H33 = H32= ga3Ha2= g23H22+ g33H32 可以得到 : H11− H33= a 2 zH32− (a2r2+ (1 − kr2)a2z)H23 k√1 − kr2_a2 z (3.6.8)

CHAPTER 3. RESULTS AND ANALYSIS S.L. Ko 把 (3.6.8) 代入 (3.6.7) : ka2 z 2ra2 a2 zH32− [a2r2+ (1 − kr2)a2z]H23 k√1 − kr2_a2 z − a 2 z 2r√1 − kr2_a2H 3 2− " k(2 − kr2₎ 2r√1 − kr2 − √ 1 − kr2_a2 z 2ra2 # H23= 0 (3.6.9) 化簡可得 : − k 2r√1 − kr2H 2 3= 0 (3.6.10) 因此 Bianchi identity 告訴我們 H2 3會消掉 。 把 (3.6.10) 代入 (3.6.8) 就能得到 H11, H3 3與 H32 間的關系 , 因此 (3.6.7) 這條 r 分量的 Bianchi identity 給了我們兩個資 訊 。 從上面我們看到若把 (3.6.2), (3.6.3), (3.6.5) 代入愛因斯坦方程 (3.6.1) 則得到 (2.4.11), (2.4.12), (2.4.13) 三式 。 因而我們之前的推導都是正確無誤的 。 而且其實 我們只要推導對 g00 和 g11 變分的場方程式即可 , 其他的由 Bianchi identity 可以寫 出來 。

3.6.2

正確的變分方法

前節的結果雖然驗證無誤 , 但仔細研究一下我們的變分方法 , 似乎有很大的瑕疵 。 我們 知道把 action 對度規分量 gµν 變分 , 就能得到場方程式 [1] , 一般來說 , gµν 是個場 , 即他是時空的函數 , 因此我們理應對 gµν(xρ) 變分才對 , 然而我們作的卻是對 scale

factors 變分! 這顯然有點問題 , 我們不只只變分到時間部分 , scale factors 還出現在 不同的度規分量中 。

我們先對 Bianchi IX 求 Einstein-Hilbert 模型下的 G11場方程式 , 由於 Bianchi

IX 度規中有一些很醜的 factor , 我們考慮底下這個度規形式1, ds2= −b(t)2dt2+a1(t, r)2dr2+a2(t, r)2dθ2+2a24(t, r)dθdz +a3(t)2dz2 (3.6.11) 他保留了 (2.1.2)的度規形式 , 而且對 a1(t, r) 變分就可以得到正確的場方程式 。 我們 把跟度規有關的量算出 : gµν =     −1 0 0 0 0 a2 1 0 0 0 0 a2 2 a24 0 0 a2 4 a23     (3.6.12) gµν =   −1 0 0 0 a−2 1 0 0 0 (gmn₎   where gmn= 1 a2 2a23− a44  a2 3 −a24 −a2 4 a22  (3.6.13) det(g) = a21(−a22a23+ a24) (3.6.14) 1 下一節將說明為什麼對 a1(t, r, θ, z) 和 對 a1(t, r)變分是一樣的 , 都可以得到 G11= Λ