奇異值分解

就影像處理的觀點而言，單張影像可視為一個由正數所構成的矩陣，而影像

可以透過線性代數的矩陣分解，將影像空間轉換分解，讓浮水印技術在設計上有 更大的彈性。矩陣的分解依用途的不同，可以分為奇異值分解法(singular value decomposition, SVD)、三角分解法(triangular factorization)、及 QR 分解法(QR factorization)等三種。過去的文獻中，奇異值分解法是較為熱門的技術，並且能 夠有效地應用在數位浮水印上[15]。最早奇異值分解法是用來解決最小平方誤差 (least-square error)問題[42]，目前應用在影像上的有資料壓縮[43]、消除雜訊[44]

及數位浮水印[17]等問題。

奇異值分解基本上是一種基底變換的演算法，可將一個n× 的矩陣A分解成n 兩個正交矩陣(orthogonal matrix)U、V，該矩陣具有影像的幾何特性，以及一個 對角矩陣(diagonal matrix)S，該矩陣具有影像的亮度特性，其中 U、S、V

n

分別為U和V的行向量(column vector)，位於對角矩陣之對角線上的數 值 稱為奇異值，σ 會滿足下列條件： _i

2. 影像層中每一奇異值所指定的圖層亮度會相對應到幾何圖層中特定的奇 異向量。

3. 奇異值代表內在的代數性質。

在文獻上，2001 年 Gorodetski 等人[23]提出的 SVD 數位浮水印技術，嵌入方 法是將彩色影像的 Red、Green、Blue 矩陣，各自切割成多個大小為 k×k 且不重 疊的區塊，再個別對每個區塊進行奇異值分解。最後根據每個區塊中最大的奇異 值σ 以及要嵌入的二元資料，來決定_i σ 的修改值以完成嵌入行為。 _i

2002 年由 Liu 和 Tan[17]所提出基於 SVD 之數位浮水印方法，嵌入方法先 將原始影像進行奇異值分解，再將浮水印加到對角矩陣 S 中。然後將對角矩陣進 行奇異值分解，並且取其奇異值矩陣為 Sw，最後將 Sw 結合到原始影像所分解出 的 U、V 矩陣，即完成嵌入。

2008 年 Mohammad 等人[52]，提出了改進 2002 年由 Liu 和 Tan[17]的浮水印 方法。該方法主要改善 Liu 和 Tan[17]的計算複雜度，其嵌入方法是將原始影像 分割成多個大小為 M×N 且不重疊的區塊，再對每個區塊進行奇異值分解，接著 將浮水印位元藏入對角矩陣之中，最後對其結果進行反奇異值分解完成嵌入。該 方法相對於 Liu 和 Tan[17]方法，少了大量的計算複雜度；且在取出時需要的資 訊較少。

奇異值分解法的基底變換特性，能根據原始影像的資料作為基底計算出向量 域的資料。因此奇異值分解法具有良好的穩定性，無論影像內容是變化較大的高 頻區域，或者是變化較小的低頻區域，奇異值分解法都可依照影像的像素值轉換 出所屬的對應空間，使得奇異值分解法可在不同性質的影像上轉換出相同性質的 係數。而奇異值分解法轉換後得到的三個矩陣比原始影像的空間域能夠提供更多 資訊，也讓浮水印的設計上有更大的彈性。

奇異值分解法雖然在設計上能提供更大的彈性，但轉換過程往往需要用到一 個決定浮水印放大或縮小嵌入強度參數。此參數值越大則浮水印強韌性相對提

升，但會造成影像失真而降低不可視性，這正是浮水印技術經常面臨的兩難情形。