我们可以就方程 (1.8) 或 (1.9) 给出奇解的定义。
定义 2. 3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性 都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线
由上述定义，可见 2.2 节例 2 中的解
是方程
的奇解，而例 1 中的解
和
是方程
的奇解。
2.4.2 不存在奇解的判别法 假设方程 (1.9) 的右端函数
在区域
上有定义，如果
在 D 上连续且
在 D 上有界 ( 或连续 ) ，那么由本章定理 2.2 ，方程的任一解是唯一的，从而在 D 内一定不存在奇解。
如果存在唯一性定理条件不是在整个
有定义的区域 D 内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条 件的区域上 . 进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们 也可以断定该方程无奇解。
例 2 判断下列方程 (1)
(2)
是否存在奇解。
解 (1) 方程右端函数
, 均在全平面上连续，故方程 (1) 在
全平面上无奇解。
(2) 方程右端函数
在区域
上有定义且连续，
在 y > x 上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有 y = x ，即若方程 (2) 有奇解必定是 y = x ，然而 y = x 不是方 程的解，从而方程 (2) 无奇解。
2.4.3 包络线及奇解的求法
下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程 (1.9) 或 (1.8) 的通积分
求它奇解的方法。
当任意常数 C 变化时，通积分
给出了一个单参数曲线族 (C) ，其中 C 为参数，我们来定义 (C) 的包络线。
定义 2.4 设给定单参数曲线族
(2.10)
其中 C 为参数，
对所有变量连续可微 . 如果存在连续可微曲线 L ，其上任一点均有 (C) 中某一曲线与 L 相切，且在 L 上不同点， L 与 (C) 中不同曲线相切
，那么称此曲线 L 为曲线族 (C) 的包络线或简称包络。见图 2-14
图 2-14
定理 2.5 方程 (1.9) 的积分曲线族 (C) 的包络线 L 是 (1.9) 的
定理 2.6 若 L 是曲线族 (2.10) 的包络线，则它满足如下的 C- 判别式
(2.11)
反之，若从 (2.11) 解得连续可微曲线
且满足：
和
, （称为非退化条件），则
是曲线族的包络线 .
证明 对 L 上任取一点 p(x,y) ，由包络线定义，有 (C) 中一条曲线 l 在 p 点与 L 相切，设 l 所对应的参数为 C ，故 L 上的点坐标 x 和 y 均是 C 的连续可微函数，设为
又因为 p(x,y) 在 l 上，故有恒等式
(2.12)
L在 p 点的切线斜率为
l在 p 点的切线斜率为
因为 l 与 L 在 p 点相切，故有
，即有关系式
(2.13)
另一方面，在 (2.12) 式两端对 C 求导得
此式与 (2.13) 比较，无论是在
同时为零，或不同时为零的情况下均有下式
(2.14)
成立 . 即包络线满足 C- 判别式 (2.11).
反之，在
上任取一点 q(C)=(Φ(C),ψ(C)), 则有
(2.15) 成立 .
因为
不同时为零，所以对 (2.10) 在 q 点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线
, 它在 q 点的斜率为
(2.16)
另一方面， Γ 在 q 点的斜率为
(2.17)
现在，由 (2.15) 的第一式对 C 求导得
再利用 (2.15) 的第二式推出
(2.18) 因为
和
分别不同时为零，所以，由 (2.18) 、 (2.17) 和 (2.16) 推出
, 即曲线族 (2.10) 中有曲线 γ 在 q 点与曲线 Γ 相切 . 因此， Γ 是曲线族 (2.10) 的包络线。
例 3 求
的奇解 .
解 在本章 2.2 节已解得方程通解为
由 C- 判别式
解得
. 由于
, 所以
为原方程的奇解 . 例 4 求方程
解 由上面的例 1 ，该方程的通解为
, 由 C- 判别式
(2.19)
的第二式解出
代入第一式，得到
。 因为
，故
为方程的奇解。
例 5 求克莱洛方程
的奇解，其中 Ψ 是二次可微函数且
。
解 由第 1 章 1.6 节的例 2 可知该方程的通解为
C- 判别式为
2.19)( 为 因
, 故由 (2.19) 所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解 . 即克莱洛方程总有奇解。
本节要点：
2.5 解对初值的连续依赖性 直到现在，我们都是把初值
看成固定的数值，然后再去研究微分方程 (2.1) 经过点
的解 . 这个解是自变量 x 的函数 . 易于看出，当初值x0和y0变动时，对应的解也要跟着变动 . 所以，方程 (2.1) 的解也应该是初值
的函数 . 例如，方程
过点
的解为
，它显然是所有变量 ,
和
的函数 . 对于一般情形，为了表示微分方程 (2.1) 过点
的解是所有变量
,
和
的函数，我们采用记号 .
按记号的定义，应有
现在提出一个应用上很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的 ? 我们知道，很多自然现象的研究都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解 . 但 是这些初值是要通过实验来测定的，因此所得到的数据总会有些误差，如果所测定 的初始值的微小误差引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问 题的解在实用上就不会有多大的价值 . 所以，实际应用上经常要求，在所研究的现 象的某个有限过程中，当初
值
,
变化不大时，相应的解变化不大 . 下面给出其数学上的确切的定义 .
定义 2.5 设初值问题
的解
在区间
上存在，如果对任意
，存在
, 使得对于满足
的一切
，相应初值问题 (2.2) 的解
都在
上存在，且有
则称初值问题 (2.2) 的解 在点
连续依赖于初值 ，
(图 2-16) 。
定理 2.7 ( 解对初值连续依赖定理 ) 设 f(x,y) 在区域 D 内连续，且关于变量 y 满足李普希兹条件 .如果
，初值问题 (2.2)有解
,且当
时，
,则对任意
，存在
，使对于满足
的任意
，初值问题
(2.2)
的解
也在区间
上有定义，且有
证明 对给定
，选取
，使得闭区域 U：
整个含在区域 D 内，这是能够做到的，因为区域 D是开的，且当
时，
, 所以，只要
2
的带开域 U 就整个包含在区域 D 内，如图 2-17 所示 .
图 2-17 选取
满足
其中 N 为李普希兹常数，
，另外，还要保证闭正方形
含于带形区域 U 的内部。
由存在唯一性定理可知，对于任一
, 在
的某领域上存在唯一解
，且在
尚有定义的区间上，有
(2.20 ） 另外，还有
对上述两式作差并估值：
由贝尔曼不等式，则有
(2.21)
因此，只要在
尚有定义的区间上，就有 (2.21) 式成立 . 下面我们要证明
在区间
例 1 考虑与 2.2 节例 1 类似的方程 易知
为解，
为解，上半平面通解为
, 下半平面通解为
. 积分曲线大致如图 2-18 。
可以看到，对于
轴上的初值 , 在任意有限的闭区间上解对初值连续依赖，但是，在
上，无论
, 如
何接近
，当
充分大时，过
的积分曲线就不能与过
的积分曲线 ( 即
) 任意接近了。