常微分方程课件

常微分方程课件

制作者：闫宝强，傅希林，刘衍

胜，范进军，劳会学，张艳燕

第一章 初等积方法

第五章 定性与稳定性概念 第三章 线性微分方程

第二章 基本定理

第四章 线性微分方程组

第六章 一阶偏微方程初步

第1讲　微分方程与解 微分方程

　　什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题 .

 300 多年前，由牛顿 (Newton,1642-1727) 和莱布尼兹 (Leib niz,1646-1716) 所创立的微积分学，是人类科学史上划时代 的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问 题密切相关 . 这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于 人们探求物质世界运动规律的需求 . 一般地，运动规律很难 全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全 过程 . 然而，运动物体 ( 变量 ) 与它的瞬时变化率 ( 导数 ) 之 间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们 容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，

其结果往往形成一个微分方程 . 一旦求出这个方程的解，其

运动规律将一目了然 . 下面的例子，将会使你看到微分方程

是表达自然规律的一种最为自然的数学语言 .

 例 1 物体下落问题

　　设质量为 m 的物体，在时间 t=0 时，在 距地面高度为 H 处以初始速度 v(0) = v0 垂直 地面下落，求 ss 此物体下落时距离与时间的 关系 . 　　解 如图1-1建立坐标系，设为 t 时刻物体 的位置坐标 . 于是物体下落的速度为

 加速度为

　　　　　　　

　



质量为 m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外 力有重力 mg 和空气阻力，当速度不太大时，空 气阻力可取为与速度成正比 . 于是根据牛顿第二 定律　　　　　　 F = ma 　　　　 ( 力 = 质量 × 加速度 )

　　可以列出方程 　　

　

　 　

　

 　　　　　　　　 (1.1)

其中 k ＞ 0 为阻尼系数， g 是重力加速度 . 　　 (1.1) 式就是一个微分方程，这里 t 是自 变量， x 是未知函数，是未知函数对 t 导数 . 现在，我们还不会求解方程 (1.1) ，但是，

如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程 (1.1) 可化为

　　　　　　

（ 1.2 ）　　　　　　　　

将上式对 t 积分两次得

(1.3)

一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数

以及未知函数的某些导数之间的关系式 . 如果其

中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微

分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量

的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微

分方程 . 本书所介绍的都是常微分方程，有时就

简称微分方程或方程 .

例如下面的方程都是常微分方程

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)



在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为 方程的阶 . 这样，一阶常微分方程的一般形式可表为

(1.8)

如果在 (1.8) 中能将 y′ 解出，则得到方程

(1.9)

(1.10) 或

(1.8) 称为一阶隐式方程 ,(1.9) 称为一阶显式方程， (1.10) 称为微分形式的一阶方程 .



n

阶隐式方程的一般形式为

 　　　　　　　（ 1.11 ） 　　 n 阶显式方程的一般形式为

　　　　　　　 (1.12)

 　　在方程 (1.11) 中，如果左端函数 F 对未知函数 y 和它的各阶导数 y′

,y″,…,y(n) 的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程 . 这样，一个以 y 为未知函数，以 x 为自变量的 n 阶 线性微分方程具有如下形式： 　　

　　　　　　　

 显然，方程 (1.4) 是一阶线性方程；方程 (1.5) 是一阶非线性方程；方程 (1.6) 是二阶线性方程；方程 (1.7) 是二阶非线性方程 .

 通解与特解

（ 1.13 ）



微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下 . 　　定义 1. １ 设函数 在区间 I 上连续，且有 直到 n 阶的导数 . 如果把 代入方程 (1.11) ， 得到在区间 I 上关于 x 的恒等式，

　　　　　　

则称 为方程 (1.11) 在区间 I 上的一个解 . 　　这样，从定义 1.1 可以直接验证：

　　 1. 函数 y = x^2+C 是方程 (1.4) 在区间 (-∞ ， +∞) 上的解，其中 C 是任意的常数 .

　　 2. 函数是方程 (1.5) 在区间（ -1,+1 ）上的解

，其中 C 是任意常数 . 又方程 (1.5) 有两个明显的常



2. 函数 是方程 (1.5) 在区间（ -1,+

1 ）上的解，其中 C 是任意常数 . 又方程 (1.5) 有两 个明显的常数解 y =± １，这两个解不包含在上述解 中 .　　 3. 函数 是方程 (1.6) 在区间 (-∞ ， +∞) 上的解，其中和是独立的任意常数 .

　　 4. 函数 是方程 ( １ . ７ ) 在 区间 (-∞ ， +∞) 上的解，其中和是独立的任意常数 . 　这里，我们仅验证 3 ，其余留给读者完成 . 事实 上，在 (-∞ ， +∞) 上有

 事实上，在 (-∞ ， +∞) 上有



 所以在（－∞，＋∞）上有

 　　　　　　　

 从而该函数是方程 (1.6) 的解 .

　　从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中 可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，

也可以不含任意常数 . 我们把 n 阶常微分方程 (1.11) 的含有 n 个独立的 任意常数 C1 ， C2 ，…， Cn 的解 ，称为该方程的通解，如果方程 (1.

11) 的解不包含任意常数，则称它为特解 . 由隐式表出的通解称为通积分

，而由隐式表出的特解称为特积分 .

 由上面的定义，不难看出，函数

 和 分别是方程 (1.4) ， (1.5) 和 (1.6) 的通解，函数 是方程 (1.7) 的通积分，

而函数 y =± １是方程 (1.7) 的特解 . 通常方程的特解可对通 解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍 的初始值条件，或简称初值条件 .

 　初值问题

　　例 1 中的函数 (1.3) 显然是方程 (1.2) 的通解，由于 C_

1 和 C_2 是两个任意常数，这表明方程 (1.2) 有无数个解，

解的图像见下面的图 a 和图 b 所示 .



　而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹 . 产生这种多解性的原因是因为方程 (1.2) 所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时 t 所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解 (1.3) 所描述的是任何 一个自由落体的运动规律 . 显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹 . 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例 1 中给出的两个初 始值条件，即

　　　　初始位置　　　　 x(0)= H 　　　初始速度 　　代入到通解中，推得

　　　　　　 　　于是，得到满足上述初值条件的特解为

　　　　　　 　　　　　　　　 (1.14)

它描述了初始高度为H ，初始速度为 v₀的自由落体运动规律 . 　 　 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题 . 　 　 于是我们称 (1.14) 是初值问题

　 　 　 　

　 的解 .

　 　 对于一个n 阶方程，初值条件的一般提法是 　 　

　 　

　 　 其中 x_0

是自变量的某个取定值，而

是相应的未知函数及导数的给定值 . 方程 (1.12) 的初值问题常记为 　 　 　 　 　

(1.15)

 初值问题也常称为柯西（ Cauchy ）问题 .

　　对于一阶方程，若已求出通解 ，只要把初值 条件 　　　　　　　

　　代入通解中，得到方程

　　　　　　　

　　从中解出 C ，设为 C_0 ，代入通解，即得满足初值 条件的解 .

　　对于 n 阶方程，若已求出通解 后，代入初值条件 (1.15) ，得到 n 个方程式

 　　　　 　

(1.17)



如果能从 (1.17) 式中确定出 ，代 回通解，即得所求初值问题的 . 例 2 求方程

　　　　　　

的满足初值条件 的解 . 　　解 方程通解为

　　　　　　 　　求导数后得

　　　　　　将初值条件代入，

得到方程组

　　　　　　

 解出 C_1 和 C_2 得

　　　　　　 　　故所求特解为

 　　　　　　积分曲线

　　为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象 . 一阶方程 (1.9) 的一 个特解的图象是 xoy 平面上的一条曲线，称为方程 (1.9) 的积分曲线，而通解的 图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族 . 例如，方程 (1.4) 的通解 +C 是 xoy 平面上的一族抛物曲线 . 而是过点 (0 ， 0) 的一条积分曲线 . 以后，为了叙述简 便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别 . 对于二阶和二阶以上的方 程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不 同，我们将在第 4 章详细讨论 .

　　最后，我们要指出，本书中按习惯用 代替

 而

　　　　　　　分别代表

本节要点：

　　 1 ．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程 . 　　 2 ．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分 .

　　 3 ．初值问题及初值问题解的求法 . 　　 4 ．解的几何意义，积分曲线 .

 第2讲　变量可分离方程

1 ．什么是变量可分离方程？

（ 1.18 ）

或

（ 1.19 ）

 1 ．什么是变量可分离方程？

 1.2.1 显式变量可分离方程的解法 .

　　 1. 在方程 (1.18) 中，假设 g(y) 是常数，不妨设 g(y)=1.

此时方程 (1.18) 变为

　　　　　　 　　 (1.20)

 设 f(x) 在区间 (a,b) 上连续，那么，求方程 (1.20) 的解就成 为求 f(x) 的原函数 ( 不定积分 ) 的问题 . 于是由积分上限所 确定的函数

　　　　　　　 (1.21)

　　就是方程 (1.21) 的通解，其中 C 是一个任意常数，是一

个固定数，是自变量 .

 2. 假设 g(y) 不是常数，仍设 f(x) 在区间 (a,b) 上连续，而 g(y) 在

 区间上连续 .

　　若 y=y(x) 是方程 (1.18) 的任意一个解，且满足 y(x_0)=

y_0 ，则由解的定义，有恒等式

　　　　　　　 (1.22)

 假设 g(y)≠0 ，于是可用分离变量法把方程写成 　　　　　　

 (1.23)

　　

 将上式两端积分，得到恒等式 　　　　　　 (1.24) 　　

 上面的恒等式表明，当 g(y)≠0 时，方程 (1.18) 的任意一个解必定满足 下面的隐函数方程

反之，若

是隐函数方程 (1.25) 的解，则有恒等式 (1.24) 成立，由 (1.24) 的两边对 x 求导数，就推出 (1.23) 成立，从而 (1.22) 成立，

这就表明了隐函数方程 (1.25) 的解 也是微分方程 (1.18) 的解 .

　在具体求解方程时，往往把 (1.24) 写成不定积分形式

（ 1.26 ）

由上面的证明可知，当 g(y)≠0 时，微分方程 (1.18) 与隐函数方程 (1.26) 是 同解方程，即若由 (1.26) 解出，则它是 (1.18) 的通解，由于 (1.26) 是通解 的隐式表达式，所以 (1.26) 亦称为方程 (1.18) 的通积分 . 在求解过程中，

对于通积分 (1.26) 应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来，

但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式 . 如果积分不能用初等函数表达 出来，此时我们也认为微分方程 (1.18) 已经解出来了，

因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不

　 3. 若存在 ，使 ，则易见

是方程 (1.18) 的一个解，这样的解称为常数解 .

Y(x)=y_0

 1.2.2

微分形式变量可分离方程的解法 　　方程　　　　　　

　　是变量可分离方程的微分形式表达式 . 这时，

x

和 y 在方程中的地位是“平等”的，即 x 与 y 都可以 被认为是自变量或函数 .

　　在求常数解时，若 ，则 y=y_0 为方 程 (1.19) 的解 . 同样，若 ，则 x=x_2 也 是方程 (1.19) 的解 .

　　当时 ，用它除方程 (1.19) 两端，分 离变量，得

　　　　　　



　　　　　

　　上式两端同时积分，得到方程 (1.19) 的通积分 　　　　　　　

 本节要点：

　　 1 ．变量可分离方程的特征．

　　 2 ．分离变量法的原理：微分方程（ 1.1 8 ）与分离变量后的积分方程（ 1.26 ）当 时是同解方程．

　　 3 ．变量可分离方程一定存在常数解 y=

y_0, 并且满足 ．



　　 第3讲　齐次微分方程

 1

．什么是齐次方程？　　

　　上一节，介绍了变量可分离方程的解法 . 有些方程，它 们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后

，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分 离的方程 . 　　如果一阶显式方程

　　　　　　（ 1.9 ） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程 (1.9) 为一阶齐次 微分方程 .

所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以 写为　　　　　　　 　　　　　　　　　 (1.27)

 　 1.3.1 齐次方程的解法

　　方程 (1.27) 的特点是它的右端是一个以 为变元的函数，经过如下的变量变换，它能 化为变量可分离方程 .

　　令 　　　　　　 　　则有　　　　　　　　

　　代入方程 (1.27) 得



方程 (1.28) 是一个 变量可分离方程，当 时，分离 变量并积分，得到它的通积分

　　　　　　　　　 　　　　　　　（ 1.29 ）



　或

　　　　　　　 　　即　



　　　　　　 　　其中



　　　　　　　　

以代入，得到原方程 (1.27) 的通积分 　　　　　　

若存在常数，使 ，则 ，是 (1.28) 的解，由 ，得

 　在一般情况下，如何判断方程 (1.9) 是齐次方程呢 ? 这相当于考虑，

什么样的二元函数 能化成形状为 的函数 . 下面我们说明零次 齐次函数具有此性质 .

　　所谓 对于变元 x 和 y 是零次齐次式，是指对于任意 的常 数，有恒等式

　　

 　　　　　　　

　　因此，令 ，则有

 　　　　　　

　　因此，所谓齐次方程，实际上就是方程 (1.9) 的右端函数

 是一个关于变元 x ， y 的零次齐次式 .

 1.3.2

第二类可化为变量可分离的方程

　　形如　　　　　　　 　　　　　　 (1.30)

　　的方程是第二类可化为变量可分离的方程 . 其 中，　　显然，方程 (1.30) 的右端函数，对于 x ， y 并 不是零次齐次函数，然而函数

　　　　　　　

（ 1.31 ）

　　则为零次齐次函数 . 事实上，我们有 　　　　　　　

 下面我们将通过变量变换把 (1.30) 中的 C1 及 C2 消去，将方程 (1.30) 的右端函 数化成 (1.31) 的形式，从而把方程 (1.30) 化成齐次方程 .

 令　　 ( 为待定常数 ) 　　

 则　　 代入 (1.30) 得 　　　　　　　

　　

 选取 使得

 　　　　　　　 (1.32)

　　 (1.32) 是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关 . 　　如果



则 (1.32) 有唯一组解，把 取为这组解，于是 (1.30) 就化成齐次方程



　　　　　　求出这个方程解，并用变换 　　　　　　　

代回，即可得 (1.30) 的解 .

上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移 . 当时，直线 　　　　　　　

与直线　　　　　　　

相交于一点，将二式联立求得交点 ( ) ，再作坐标平移

，就把原点移到 ( ). 又由于在坐标平移变换



下有 成立，这样 (1.30) 就变成齐次方程了 .

　如果 ，则 (1.32) 没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时 方程 (1.30) 也可化为变量可分离方程求解 .

　　实际上由 ，有 　　　　　　 成立 .

下面仅以 来讨论， ( 以 讨论相同 ).

1) ，此时 (1.30) 为

　　　　　　　

　　令，则得到关于 z 的变量可分离方程 　　　　　　　

　　 2) 中至多有一个为零 .

当 时，由 (1.33) 必有 ，方程 (1.30) 成为 　　　　　　　

　　这是一个变量可分离方程 .

3) 当 且 时，由 (1.33) 有

　　　　　　

　　于是 ，原方程 (1.30) 成为 　　　　　　　

令 则

　　代入上面方程，得到一个关于 z 的方程

　　　　　　　 　　这也是一个变量可分离方程



本节要点：

　　 1 ．一阶显式方程 是齐次方程右端函数



是一个零次齐次函数．

　　 2 ．齐次方程解法的本质是，方程

　　　　　　

（ 1.27 ）

通过变量替换化为变量可分离方程求解．

　　 3 ．方程（ 1.30 ）的解法是齐次方程解法的扩 展，把一个不是齐次方程的方程，选通过变量替

 1.4 一阶线性微分方程

本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型 . 一阶线性微分方程的形式是

（ 1.34 ）

 如果 ，即

 (1.35)

称为一阶线性齐次方程 . 如果 不恒为零，则称 (1.34) 为一阶线性非齐次 方程 .

 1.4.1 一阶线性非齐次方程的通解

先考虑线性齐次方程 (1.35) ，注意这里“齐次”的含意与 1.3 节中的不同，这 里指的是在 (1.34) 中不含“自由项” ，即 显然， (1.35) 是

 一个变量可分离方程，由 1.2 节易知它的通解是

 (1.36)

下面使用常数变易法再求线性非齐次方程 (1.34) 的解 . 其想法是：当 C 为常数 时，函数 (1.36) 的导数，恰等于该函数乘上 - p(x), 从而 (1.36) 为齐次 方程 (1.35) 的 解 . 现在要求非齐次方程 (1.34) 的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于 . 为此，



(1.37)



为方程 (1.34) 的解，其中 C(x) 待定 . 将 (1.37) 代 入 (1.34) ，有

即

积分后得

把上式代入 (1.37) ，得到 (1.34) 的通解公式为



(1.38)

在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按 常数变易法的步骤来求解即可 .

 1.4.2 伯努利 (Bernoulli) 方程 形如

 (1.44)

的方程，称为伯努利方程 .

伯努利方程 (1.44) 是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶

线性方程 .

在 (1.44) 两端除以 ，得

 (1.45) 为了化成线性方程，令



则 代入 (1.45) 得

 这样，就把 (1.44) 化成以 z 为未知函数的线性方程了 .



本节要点：

1 ．线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，

这种方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解 法上占有重要地位．

2 ．由常数变易法求得的通解表达式（ 1.38 ） 或特解表达式（ 1.43 ）能帮助我们证明解的某些渐 近性质． 3 ．伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换 化为线性方程的非线性方程．

 1.5 全微分方程及积分因子

 1.5.1 全微分方程

如果微分形式的一阶方程



的左端恰好是一个二元函数 的全微分，

即

 则称 (1.10) 是全微分方程或恰当方程，而函数 称为微分式 (1.46) 的原函数 . 例如方程

(1.47)

就是一个全微分方程 . 因为它的左端恰是二元函数 的全微分 .

 全微分方程如何求解呢 ? 先看一下方程 (1.47), 由于它的左端是二元函数 的 全微分，从而方程可写成

（ 1 ． 10 ）

 若 是 (1.47) 的解，应有恒等式

 从而 （ 1.48 ）

 由此解出

这说明，全微分方程 (1.47) 的任一解包含在表达式 (1.48) 中 . 一般地，有如下定理 定 理 1.1 假如 是微分 (1.46) 的一个原函数，则全微分方程 (1.10) 的通积分为

 （１ .49 ） 其中 C 为任意常数 .

证明 先证 (1.10) 的任一解 均满足方程 (1.49). 因为 为 (1.10) 的解

，故有恒等式

因为 为 (1.10) 的原函数，所以有

从而

于是 满足 (1.49).

再证明 (1.49) 所确定的任意隐函数 均为 (1.10) 的解 . 因为 是由 (1.49) 所确定的隐函数，所以存在常数 C ，

使

将上式微分并应用 是 (1.46) 的原函数的性质，

即有

从而 是方程 (1.10) 的解，定理证毕 .

根据上述定理，为了求解全微分方程 (1.10) ，只须求出它的一个原函数 ，就可 以得到它的通积分

.

下面介绍两种求原函数的方法 . 1. 求原函数的直接观察法

在某些简单情形下，可以由观察方程 (1.10) 直接 求出它的一个原函数，从而

2 ．求原函数的一般方法 .

定理 1.2 如果方程 (1.10) 中的 ， 在矩形区域

上连续可微，则方程 (1.10) 是全微分方程的充要条件是：在 R 上有 （ 1.50 ）

证明 必要性，设 (1.10) 是全微分方程，则存在原函数 ，使得

所以

 将以上二式分别对 y 和 x 求偏导数，得到



因为 M ， N 连续可微，所以

 成立，即 (1.50) 成立 .

充分性，设 (1.50) 在区域 R 内成立，现在求一个二元函数 ，使它 满足

即

 由第一个等式，应有



其中 为 y 的任意可微函数，为了使 ，再 满足

必须适当选取 ，使满足



由参变量积分的性质和条件 (1.50) ，上式即为



参变量积分的分析性质 :

参变量积分 （ 1 ） ; 是参变量．

若 及在矩形

 上连续，则参 变量积分（ 1 ）定义的函数 在区间 上可微，并且



 或

 从而应取

积分后得到

因为只要一个 就够了，故取 . 于是，函数 (1.51)

就是所求的原函数，而全微分方程 (1.10) 的通积分是

 (1.52)

定理 1.2 不但给出了判断方程 (1.10) 为全微分方程的充要条件，而且 给出了当判别式 (1.50) 成立时， (1.51) 式就是 (1.10) 左端的原函数，

而 (1.52) 就是 (1.10) 的通积分 .

 1.5.2 积分因子

以上我们给出了全微分方程的求解公式，但是，方程 (1.10) 未必都 是全微分方程，例如，下面这个简单方程

 (1.54) 就不是全微分方程，因为



如果，将上面这个方程两端同乘以 ，得到方程

 (1.55)

 这是一个全微分方程，因为此时有

 通常我们称 为方程 (1.54) 的积分因子，因为它 可使方程 (1.54) 变成全微分方程 (1.55). 一般地，我们有下面的定义 . 假如存在这样的连续可微函数 ，使方程



(1.56)

成为全微分方程，我们就把 称为方程 (1.1 0) 的一个积分因子 .

易于看到，当 时，方程 (1.10) 与 (1.56) 是同解的 . 于是，为了求解 (1.10) ，只须求解 (1.5 6) 就可以了，但是如何求得积分因子 呢 ? 下面就 来研究求积分因子 的方法 .

方程 (1.56) 是全微分方程的充要条件为



展开并整理后，上式化成

（ 1 ． 57 ）



一般地说，偏微分方程 (1.57) 是不易求解的 . 不过，对于某 些特殊情况， (1.57) 的求解问题还是比较容易的 . 下面我们 给出两种特殊的积分因子的求法 .

1 ．方程 (1.10) 存在只与 x 有关的积分因子的充要条件是

只与 x 有关，且此时有



(1.58)

证明 必要性，若方程 (1.10) 存在只与 x 有关的积分因子 ，则有 , 这样 (1.57) 成为



即



(1.59)

因为 (1.59) 左端只与 x 有关，所以它的右端也只与 x 有关 .

充分性，如果 只与 x 有关，且 是方程 (1.

59) 的解，

即

不难验证， 就是 (1.10) 的一个积分因子 . 证毕 .

2 ．方程 (1.10) 存在只与 y 有关的积分因子的充要条件是 只与 y 有关，且此时有

(1.60) 证明 与 1 ．相似证明 . 本节要点 :

1 ．全微分方程的解法本质是求一个全微分的原函数问题．

2 ．求原函数的常用方法

观察法，适用于简单方程．

公式法，（ 1.51 ）式．

3 ．积分因子的求法要求掌握公式（ 1.58 ）和公式（ 1.60 ），

即会求只与 x 有关或只与 y 有关的积分因子．

 1.6 一阶隐式微分方程

前面几节介绍的是求解显式方程

 （ 1.9 ）

的一些初等积分法 . 本节要讨论如何求解隐式方程

 （ 1.8 ） 方程 (1.8) 也称为导数未解出的一阶方程 . 求解方程 (1.8) 的问题分两种情况考虑：

1 ． 假如能从 (1.8) 中把 解出，就得到一个或几个显式方程



如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程 (1.8) 的解 . 例 1 求解方程

解 方程左端可以分解因式， 得

从而得到两个方程

这两个方程都可以求积， 得到

它们都是原方程的解 .

 2 ．如果在 (1.8) 中不能解出 y’ 时，则可用下面介绍的“参 数法”求解，本节主要介绍其中两类可积类型，

类型Ⅰ 类型Ⅱ

类型Ⅰ的特点是，方程中不含 y 或 x ；类型Ⅱ的特点是 y 可以解出或 x 可以解出 .

 首先，考虑类型Ⅰ中的方程

（

  1.61 ）

我们已经知道，方程 (1.61) 的一个解 ， 在平面 上的图象是一条曲线，而曲线是可以用参数表示的，称为 参数形式解，即是定义在区间 上的可微函数

 使得

在 上恒成立 .

显然，如果能从方程 (1.61) 中求出解 ，再把它参数化，就可以得到 (1.61) 的参数形式解，但这是没有什么意义的 . 下面介绍的参数法，是在方程 (1.61) 中当解 不出来时，先把方程 (1.61) 化成等价的参数形式，然后根据某种恒等式，可以求出 原方程 (1.61) 的参数形式解 . 这种求解过程就称为参数法 . 具体作法如下：

(1) 方程 (1.61) 化成参数形式

从几何上看， 表示平面 上的曲线，可以把这曲线表示为适当的参数形 式

（ 1.62 ） 这里 t 是参数，当然有

（ 1.63 ） 成立 .

(2) 求 (1.61) 的参数形式解

由于 (1.62) 和沿着 (1.61) 的任何一条积分曲线上恒满足基本关系式

这样，把 (1.62) 代入上式，得

上式两端积分，得到

 不难验证：将 (1.64) 代入 (1.61) 得到 (1.63) ，这说明 (1.64) 确实是 (1.61) 的参数形式通 解 . 同理，可以讨论类型Ⅰ的方程

不难验证：将 (1.64) 代入 (1.61) 得到 (1.63) ，这说明 (1.64) 确实是 (1.61) 的参 数形式通解 .

同理，可以讨论类型Ⅰ的方程

 (1.65) 设其可以表示的参数形式

 由于

有

积分， 得

从而 (1.65) 的参数形式通解为



现在，考虑类型Ⅱ中的方程



（ 1.66 ）

从几何上看，方程 (1.66) 表示 空间中的曲 面，令 ，有 ，这样 (1.66) 的参数形 式是 (1.67 ）

同样，由基本关系式有 将 (1.67) 代入上式，得

或 （ 1.68 ）



这是一个关于自变量为 x ，未知函数为 p 的方程 . 如果能求得通解



代入到 (1.67) 的第三个方程中，即得 (1.66) 的通解

如果只能求得 (1.68) 的通积分

则它与 (1.67) 的第三个方程联立，

为 (1.66) 的参数形式解，若能消去参数 p ，可得 (1.66) 的通解或通积分 .

在上述求解过程中，请读者注意：当从方程 (1.6 8) 中解出 时，只 要将其代入 (1.67) 的第三 式，就得到 (1.66) 的通解了，而不要再将 p 认为 y’ ，再积分来求 y ．这是为什么呢 ? 因为用参数 法求解方程 (1.66) 的实质意义在于：当从 (1.66) 中 不能解出 时，通过参数法，把求解 (1.66) 化 为一个以 x 为自变量，以 为未知函数

 的方程 (1.68) ，一旦从 (1.68) 中解得 ， 那么它当然满足 (1.67) 中的第 三式，即有 ，而这相当于在 (1.66) 中先把 解出，又由于 方程 (1.66) 形式的特殊性，使得 成为了原方程 (1.66) 的通解 .

同理，可以考虑类型Ⅱ的方程

(1.69)

 设其参数形式为

 （ 1.70 ） 由其本关系式，有

 将 (1.70) 代入上式，得

或

（ 1.71 ）

 如果能从 (1.71) 解出通解 ，代入到 (1.70) 第三式，即得 (1.69) 的通积 分



如果从 (1.71) 中解出通积分

将它与 (1.70) 第三式联立，

将它与 (1.70) 第三式联 立，

消去 p ，可得 (1.69) 的通积分

 （隐函数存在定理及求导公式 ) ， 隐函数存在定理及求导公 式 隐函数方程 （ 1 ）

设 在点 的某一领域内满足 ① 具有连续偏导数；

② ；

③ ，则方程（ 1 ）在 的 某领域内 恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数 ， 满足 ，并且

（ 2 ） （ 2 ）称为隐函数求导公式 .

方程 (1.73) 称为克莱洛 (Clairaut) 方程 . 由 (1.75) 式可知，

 本节要点：

1 ．求解隐式方程时，首先考虑用第一种解法，即尽可 能化成显式方程求解，

其次再考虑用参数法求解．

2 ．理解好参数解法原理，类型Ⅰ和类型Ⅱ解法的原理 是一样的．例如 方程 参数解法的原理是：

（ 1 ）方程 （ 1.61 ） 与其参数化方程 (1.62) 在 平面上等价．

（ 2 ）由 解出（ 1.62 ）的解．

 (1.64)

 (3) （ 1.64 ）是（ 1.61 ）的参数形式解，因为

3 ．类型Ⅱ方程 解法的基本思想是，先通过等价关系

 3 ．类型Ⅱ方程 解法的基本思想是，

先通过等价关系解得 y’ ，然后代入原方程，

从而得到到原方程的通解．

 第7讲　几种可降阶的高阶方程

 几种可降阶的高阶方程

　　本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高 阶方程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法” . 　　



1.7.1

第一种可降阶的高阶方程

　　方程　　　　　 　　　　　　 　 （ 1.78 ）

　　这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为 . 这时只要令 　　　　　　

　　 (1.78) 中就化成

　　　　　　 　　　　　　　 （ 1.79 ） 　　如果 (1.79) 能求出通解

　　　　　　 　　则由对

　　　　　　积分 ，就可以求出 y 来了 . 　　



第二种可降阶的高阶方程

　　方程　　　　　　

　　这类方程的特点是不显含自变量 x ，这时，

总可以利用代换 ，使方程降低一阶 . 以二阶 方程　　　　　　　

　　为例 . 令 ，于是有 　　　　　　　

　　代入原方程，就有 　　

 " 这是一个关于未知函数 p " 的一阶方程 . 如 果由它可求得

　　　　　　则有 　　　　　　　

　　这是一个关于的变量可分离方程，可求

得通积分 .

 1.7.3 恰当导数方程 　　假如方程

　　　　　　 　 　 　　　（ 1.80 ） 的左端恰为某一函数 对 x 的导 数，即 (1.80) 可化为　

 则 (1.80) 称为恰当导数方程 .

　　这类方程的解法与全微分方程的解法相类 似，显然可降低一阶，成为

　　　　　　 　　　　

之后再设法求解这个方程 .

 初等积分法小结

　　 1 ． 5 种基本解法 　　分量变量法



 　　常数变易法

 　　积分因子法：化为全微分方程

 参 数 法

　　　　降 阶 法



2 ．初等积分法的历史地位

　　自 1676 年微分方程的研究工作开始，其后 100 多年间是初等积分发展的重要时期．

　 1841 年法国数 （ Liouville ）指出：绝大多数常 微分方程不能用初等积分求解，例如方程



就不能用初等积分求解．这说明初等积分法有相当 的局限性．

　　但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被 认为是常微分方程中非常有用的解题方法之一，也

 第8讲　应用举例

 一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤

： 　　 I ．建立方程　对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量 关系列出微分方程和相应初值条件

　　 II ．求解方程 　　 III ．分析问题

　　通过已求得的解的性质，分析实际问题 . 　　 1.8.1 等角轨线

　　我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条 曲线相交成

给定的角度 . 这样的曲线称为己知曲线的等角轨线 . 当所给定的角为直 角时，等角轨线就称为正交轨线 . 等角轨线在其它很多学科 ( 如天文、

气象等 ) 中都有应用 . 下面就来介绍求等角轨线的方法 . 　　首先把问题进一步提明确一些．

　　设在 (x, y) 平面上，给定一个单参数曲线族 (C) ：

 . 求这样的曲线 ，使得 l 与 (C’) 中每一条曲线的交角都是定角 ( 图 1-3).



　　　

　　　　　　　



　　　　　　图 1-3

　　设 l 的方程为 . 为了求 ，我们先来求 出



所应 满足的微分方程，也就是要先求得 的关 系式 . 条件告诉我们 l 与 (C’) 的曲线相交成定角 ， 于是，可以想见， y_1 和 y_1’ 必然应当与 (C’) 中 的曲线 y=y(x) 及其切线的斜率 y’ 有一个关系 . 事实 上，当 时，有



　　　　

 当 时，有

　　　　　　 　　　　　　 (1.82) 　　又因为在交点处， , 于是，如果我们能求得 的关系，即曲线族 (C) 所满足的微分方程

　　　　　　　 (1.8)

 只要把 y=y_1 和 (1.81) 或 (1.82) 代入 (1.8) ，就可求得 x,y_1.y_1’ 所应 满足的方程了 .

　　如何求 (1.8) 呢 ? 采用分析法 .

　　设 y=y(x) 为 (C’ ) 中任一条曲线，于是存在相应的 C ，使得

 　　

 　　因为要求 x,y,y’ 的关系，将上式对 x 求导数，得 　　　　　　

 　　　　 　　　　 (1.84)

　　这样，将上两式联立，即由

　　　　　　　　 　　　 　　　 　　 (1.85

 　消去 C ，就得到 x,y(x),y’(x) 所应当满足的关系

 这个关系称为曲线族 (C’) 的微分方程 . 于是，等角轨线 ( ) 的微分方程就是

　　　　　　　 (1.86) 而正交轨线的微分方程为

　　　　　　　 　 (1.87) 　　为了避免符号的烦琐，以上两个方程可以不用 y_1 ， 而仍用 y ，只要我们

明确它是所求的等角轨线的方程就行了 .

　　为了求得等角轨线或正交轨线，我们只需求解上述两个

方程即可 .

 例 1 　求直线束 y=Cx 的等角轨线和正交 轨线 . 　　解　首先求直线族 y=Cx 的微分方程 . 　　将 对求 x 导 , 得 y’=c ，由

　　　　　　　

　　消去 C ，就得到 y=Cx 的微分方程 　　　　　　　

　　当 时，由 (1.86) 知道，等角轨线的 微分方程为

　　　　　　

 　 或

　　　　　　　及 　　　　　　　

　　 即　　　　　　　 　　积分后得到

　　　　　　

　　或　　　　　　

　　如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线

 ( 图 1-4).

 　　　

 如果 ，由 (1.87) 可知，正交轨线的微分 方程为 　　　　　　　即

　　　　　　 　　或　　　　　　

　　故正交轨线为同心圆族 ( 图 1- 5).

　　　　　　　　　

　　　　　　　图 1-5



1.8.2 动力学问题

　　前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律　　 f=ma, 　　这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式 . 它 的右端明显地含有加速度 a

， ^a

是位移对时间的二阶导数 . 列 出微分方程的关键就在于找到外力 f 和位移及对时间的导数—

—速度的关系 . 只要找到这个关系，就可以由 f=ma 列出微分 方程了 .

　　在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解条件

，如初值条件等 .

　　例 2 　物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻 力的作用，在速度不太大的情况下 ( 低于音速的 4 ／ 5) ，空 气阻力可看做与速度的平方成正比 . 试证明在这种情况下，落 体存在极限速度 v_1 。

 解　设物体质量为 m ，空气阻力系数为 k ，又设在 t 时刻 物体的下落速度为 v ，于是在时刻 物体所受的合外力为 　　　　　　　 ( 重力 - 空气阻力 )

这里，建立的坐标系，使得重力 mg 方向向下，与运 动方向一致，空气阻力方向向上，与运动方向相反。从而

，根据牛顿第二定律可列出微分方程

　　　　　　　 　　　　　　　（ 1.88 ） 　　因为是自由落体，所以有

　　　　　　 　 v(0)=0 　 (1.89)

　　解 (1.88) ，由 (1.89) 有

　　　　　　　

　　积分得

 或

 　　　　　　 　　解出 v ，得

　　　　　　　 　　当 时 , 有

　　　　　　　 　　　　　　　　 (1.9 0) 　　据测定， , 其中 为物体形状有关常数， 为 介质密度，

为物体在地面上的投影面积 .

　　人们正是根据公式 (1.90) ，来为跳伞者设计保证安全的



第二章　基本定理



　　　　　　　　　第09讲　解的存在性与唯一性定理 　



2.1 常微分方程的几何解释我们在 1.1 节已经给出了微分 方程及其解的定义 . 本节将就一阶显式方程

　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　

　　



给出这些定义的几何解释 . 由这些解释，我们可以从方程 (1 .9) 本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征 . 首先，我们要给出“线素场”的概念 . 设 (1.9) 的右端函数 f(x, y) 在区域 G 内有定义 ( 图 2-1), 即对 G 内任意一点 (x,y) ，都 存在确定值 . 以 (x,y) 点 为中点，作一单位线段，使其斜率 恰为 k=f(x,y) ，称为在 (x,y) 的线素 . 于是在 G 内每一点都 有一个线素 . 我们说，方程 (1.9) 在区域 G 上确定了一个线素 场 . 　



　　　　图 2-1 　　　

（ 1 ． 9 ）

 下面来讨论方程 (1.9) 的解与它确定的线素场的关系 . 前面，我们已经把 (1.9) 的解 的图象称为 (1.9) 的积分曲线 .

　　定理 2.1 曲线 L 为 (1.9) 的积分曲线的充要条件是：在 L 上任一点， L 的 切线与 (1.9) 所确定的线素场在该点的线素重合；亦即 L 在每点均与线素场的 线素相切 .

　　证明（略）

　　这个定理表明这样一个事实： (1.9) 的积分曲线在其上每一点都与线素场 的线素相切 . 或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线 .

 2.2 解的存在唯一性定理

　　本节利用逐次逼近法，来证明微分方程

　　　　　　　 　　　　　　 (2.1) 的初值问题

　　　　　　　 　　　　　　 (2.2) 的解的存在与唯一性定理 .

　　 2.2.1 存在性与唯一性定理的叙述

　　定理 2.2 ( 存在与唯一性定理 ) 如果方程 (2.1) 的右端函数 在闭矩形域 　 　　　　　　　　　

上满足如下条件：

　　 (1) 在 R 上连续 ;

　　 (2) 在 R 上关于变量 y 满足李普希兹 (Lipschitz) 条件，即存在常数 N ， 使对于 R 上任何一对点 (x,y) 和 有不等式：

　

 则初值问题 (2.2) 在区间 上存在唯一解 　　　　　　

其中 　　在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明 :

　　 1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的 . 然而，我们 能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它 . 即如果函数 f(x,y) 在闭矩形域 R 上关于 y 的偏导数 f’_y(x,y) 存在并有界， . 则 李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有

 　　　　　　　　　

其中 满足 ， 从而 . 如果 f’_y(x,y) 在 R 上连续，它在

R

上当然就满足李普希兹条件 .

 2. 现对定理中的数 h0 做些解释 . 从几何直观上，初值问题 (2.2) 可能呈 现如图 2-5 所示的情况 . 这时，过点 的积

 　

　　　　　　 图 2-5

分曲线 当 x=x_1 或 x=x_2 时，其中 ， ， 到达 R 的上边界 y=y_0+b 或下边界 y=y_0-b . 于是，当 时，曲线 便可能没有定义 . 由此可见，初值问题 (2.2) 的 解未必在整个区间 上存在 .

 但是，由 2.1 节的常微分方程的几何解释可知，定理 2.1 就是要证明：

在线素场 R 中，存在唯一一条过点 (x_0,y_0) 的积分曲线　　　

　　 它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切 . 现在定理假定 f(x, y) 在 R 上连续 , 从而存在

　　　　　　　

 于是，如果从点 (x_0,y_0) 引两条斜率分别 等于 M 和 -M 的直线，则积分曲线

( 如果存在的话 ) 必被限制在图 2-6 的带阴 影的两个区域内，因此，只要我们取

　　　　　　　

则过点 (x_0,y_0) 的积分曲线 ( 如果存在的 话 ) 当 x 在区间上变化时，必位于 R 之中 .

 　　　 　　　　　　　

图 2-6

 2.2.2 存在性的证明

　　求解初值问题（ 2.2 ） 求解积分方程（ 2.3 ） .

 　　　　　　　　

　　因此，只要证明积分方程 (2.3) 的连续解在 上存在 而且唯一就行了 . 　　下面用毕卡 (Picard) 逐次逼近来证明 积分方程 (2.3) 的连续解的存在性，可分三个步骤进行 :

　　 1. 构造逐次近似序列 .

 　　　　



近似序列

在每一项都在 上有定义，这是因为 于是 ．这样，我们在区 间 上，按逐次逼近手续得到了一个 连续函数列 ( 近似序列 )



　　

　　 2. 证明近似序列 在区间 上一致收敛（序列）.



“ 函数序列的一致收敛

　　 1 ．设 （ 1 ）

 是定义在 I 上的函数序列，若对 ，数列 　　　

收敛，则称 x_0 为序列（ 1 ） 的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．

在收敛域上每一点，序列（ 1 ）都有极限，这极限形成收 敛域上的 一个函数，称为极限函数．设此函数为 S(x) ，即

　　 2 ．若对 ，总存在一个只与 有关的自然 数 N ，使得对 I 上任何一点

，当 时，有 ，则称序列（ 1 ）在 I 上一致收敛．

 证明分如下二步：

　　（ 1 ）序列 在 上一致收敛 级数（ 2.7 ）在 上

一致收敛（级数）．

 “ 函数项级数的一致收敛



“ 函数项级数的一致收敛

　　 1 ．设函数项级数 （ 1 ）

在区间 I 上收敛于和函数 S(x) ，即对 ， 数项级数 收敛于 S(x_0) ，或级数（ 1 ） 的部分和所组成的数列

=

 　 3 ．若函数项级数（ 1 ）的每一项都在 I 上连续，并且在 I 上一致收敛，

　　则（ 1 ）的和函数 在 I 上连续．

 因为级数

　　　　 （ 2.7 ） 的部分和

　　　　　　

 （ 2 ）级数（ 2.7 ）在 上一致收敛．

　　 用数学归纳法，易证级数（ 2.7 ）从第二项开始，每一项绝对值都小于正 项级数 　　

　　　　　 　　　　

的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的 . 所以，由优级数判别法，

 　“ 函数项级数的一致收敛判别法

（魏尔斯特拉斯优级数判别法）

函数项级数 （ 1 ）



若函数项级数（ 1 ）在区间 I 上满足

（ I ） ；

（ II ） 正项级数 收敛．

则函数项级数（ 1 ）在区间 I 上一致收敛．

数项级数收敛的判别法

（比值判别法，达朗贝尔（ ）判别法）

若正项级数 的后项与前项的比值的极限等于

： 则当 时级数收敛， 时（或 ）

时级数发散； 时级数可能收敛，也可能发散．

 级数 (2.7) 在区间 上不仅收敛，而且一致收敛 . 设其和 函数为 ，从而近似序列 在区间 [x_0-h_0,x_0+h_0] 上一致 收敛于 . 由于 在区间 [x_0-h_0,x_0+h_0] 上 连续，因而 也是连续的 .

　　 3. 证明 是积分方程 (2.3) 的解，从而也是初值问题 (2.2) 的解 . 在 n 次近似序列（ 2.6 ）两端取极限有

　　　　　　　　　 　　

 因为 　　　　　　所以要证明 是积分方程（ 2.3 ）的解

，即 　　　　　　　 成立，只需证明

　　　　　　

　　下面用“ ε-N 语言”证明上面的极限成立．

由于序列 在区间 [x_0-h_0,x_0+h_0] 上一致收敛，因此，对任给 ε>0, 存 在自然数 N, 当 n>N 时，对区间 [x_0-h_0,x_0+h_0] 上所有 x 恒有

从而

　　　　　　　 由此推得

　　　　　　 　　换句话说，我们得到

　　现在对恒等式 (2.6) 两端取极限，

　　　　　　　

就得到 　　此即表明函数 是 (2.3) 的解 . 至此定理的存在性部分证毕 .



2.2.3

唯一性的证明

　　下面来证明解的唯一性 . 为此我们先介绍一个在微分方程中很有用 的不等式，即贝尔曼 (Bellman) 不等式 .

　　贝尔曼引理 设 y(x) 为区间 [a,b] 上非负的连续函数，

 . 若存在 使得 y(x) 满足不等式

　　　　 　　　　　 　　　　　　　　 (2.9)

 则有

 　　证明 先证明 的情形 .

　　令 ，于是从 (2,9) 式立即有 　　　　　　

上式两端同乘以因子 , 则有

　　　　　　　上式两端从 x0 到 x 积分，则有

　 　

　 　 　 　

即　

　 　 　 　

　

　 　 由 (2.9) 知，

,从而由上式得到　

　 　 　 　

　 　 　

　的情形类似可证，引理证毕 .

　 　 积分方程 (2.3) 解的唯一性证明，采用反证法 . 　 　 假设积分方程 (2.3) 除了解

之外，还另外有解

，我们下面要证明：在　

上，必有　

. 　 　 　事实上，因为　

　 　 　 　

及　

　 　 　 　 　 　 　 　 

将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有　

　 　 　 　

　

　 　 　 　　

令

, 从而由贝尔曼引理可知，在

上有

，即

.

　 　 至此，初值问题 (2.2) 解的存在性与唯一性全部证完 .

　 　 　 　 2.2.4 二点说明

　 　 为了加深对定理的理解，下面我们再作二点说明 . 　 　 1.（见教材）　

　 　 2. 如果方程 (2.1)是线性方程，即　

　 　 　 　

我们不难验证，此时方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理 2.2 中的方法，可以证明对任意初始值　

. 线性方程满足

的解在整个区间

上有定义 . 事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项 (2.6) 　 　 　 　

在区间

上存在且连续即可 . 　

　 　 由定理 2.2 知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢 ? 下面的例子回答了这个问题 . 例 1 试证方程　

　 　 　 　

　

经过xoy平面上任一点的解都是唯一的 .

　　证明　右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理 2.2 的条件，因此对于 轴外任何点

，该方程满足

的解都存在且唯一 . 于是，只有对于