由上節可知，鑲嵌兩種材料的奈米結構對熱傳導能力的改變有限 (圖 4-1~3)，因此本文提出多孔性奈米結構，假設二維結構中存在 1~
47
4.2.1 單孔隙矽奈米線
單孔隙矽奈米線(Si nano-wire)的熱傳導係數，由圖 4-4 和 4-5 的 比較，當孔隙尺寸小於線寬 LC的 1%時，孔隙的存在對奈米線熱傳並 無太大影響，其熱傳導係數接近無孔隙的奈米線，然而當孔隙尺寸增 加熱傳導係數越低；圖 4-6 為 LC=100nm 時溫度分布，由於孔隙邊界 絕熱，高溫聲子撞擊孔隙-x 方向界面後反射，與材料內部比較，此界 面造成相對高溫；孔隙+x 方向界面亦發生相似的情形，較低溫的聲 子碰撞後反射使得此界面相對低溫，此現象是因為尺寸效應的發生，
造成聲子碰撞介面後發生聲子穿遂效應(Ballistic Transfer)，即聲子未 經任何碰撞就穿射出材料，因此經界面反射的聲子未達能量平衡即射 出材料邊界，使得此區域內相對高(低)溫。由方程式 2-29 可知，當孔 隙尺寸接近或小於聲子平均自由徑，即尺寸效應發生時，等號右側因 為碰撞造成的強度變化可被忽略，因此可得：
=0
∂ + ∂
∂
∂
x I y I µ
η (4-1)
由此可知，尺寸效應造成的高溫區影響範圍與η和µ的比例有關。
圖 4-7 為此物理模型下熱通量分布，可看出因為聲子經過界面反 射造成熱通量降低、熱傳導係數下降；進一步觀察不同孔隙尺寸之熱 通量，因為尺寸效應而產生的高(低)溫區域內沒有熱能傳遞，並因為 聲子反射使的熱阻上升，因此熱傳導係數下降。
因此，奈米線中單一孔隙的存在：
1. 造成聲子鏡反射，使得等效熱傳導係數下降。
2. 當線寬接近或小於 2 倍的聲子平均自由徑時，尺寸效應的發生使
經孔隙反射的聲子穿透材料，降低熱傳導係數。
49
2. 當 LC>500nm 時，孔隙的存在對聲子傳遞的影響有限－由溫度的 分布(圖 4-12)可知，經由孔隙散射的聲子比例降低，這是因為圖 4-13 中，面對高溫的介面 B 與面對低溫的介面 A 其輻射視界係 數(view factor)驟降，因此聲子射入 Z2區域的機率大幅降低，因 此熱傳導係數急劇上升，因此溫度並不會因為孔隙而產生紊亂，
因此當 LC>500nm 時，若 LC越大，孔隙的影響越小。
B. 交錯排列的孔隙越大、聲子通過的空間越小(圖 4-14~15)，使得聲 子傳遞過程中散射越明顯，熱傳導係數越低。
4.2.3 多孔隙矽奈米線
當奈米線中存在多孔隙(圖 2-7)，其熱性質會隨孔隙的排列或孔 隙大小而發生變化，進而考慮一奈米線中存在齊列式排列的 8 個孔隙 (如圖 2-8)，當孔隙尺寸變化對熱傳能力的影響。圖 4-16 為齊列式多 孔隙奈米線之熱傳導係數與孔隙尺寸之關係圖。當線寬大於 500nm，
尺寸效應的作用不明顯，熱傳導係數將隨著孔隙尺寸增大而減小；和 本文 4.2.2 相同，當線寬小於 500nm，此時尺寸效應的影響增加，孔 隙與孔隙間散射的聲子交互作用，使得孔隙造成的散射影響改變。圖 4-17 為孔隙間隔高寬比與聲子強度變化率關係圖，可發現孔隙高寬比 影響的散射和齊列式雙孔隙奈米線結果相近，聲子受到孔隙散射的比 例和孔隙間隔高寬比有很大的關係，且由於孔隙較多，散射聲子的比 例增加，因此相較於雙孔隙奈米線，多孔隙奈米線對熱傳導係數的影 響較大。
由圖 4-18 可知，孔隙交錯式排列的奈米線中，孔隙的存在使得 熱傳導係數下降；當孔隙越大，聲子的運動範圍越小，因此受到的阻
抗越大、熱傳導係數越低。當材料線寬(L)遠大於聲子平均自由徑時，
尺寸效應的影響不明顯。因此在交錯式多孔隙奈米線中，相同孔隙率 下，當線寬越大，孔隙的影響越小。
由圖 4-19 的比較可比較出齊列式與交錯式多孔隙奈米線二者，
在孔隙間距高寬比大於 1.33 時，尺寸效應的作用以及孔隙面積相同 使得聲子散射率相近，當孔隙間距高寬比小於 1.33 時，齊列式多孔 隙奈米線，由於孔隙間相互作用，造成散射率變化。
51
10 100 1000 10000
LSi (nm)
0.1 1 10 100
Keff. (W/mK)
Si/Ge Nano-Composite Ge Wire
Chen et al.[14]
圖 4-1 二維矽/鍺奈米結構與鍺奈米線之熱傳導係數比較
10 100 1000 10000 Lx (nm)
0.1 1 10 100
Keff.(W/mK)
Nano-Composite GaAs Nano-Wire
圖 4-2 AlAs/GaAs 奈米結構與 GaAs 奈米線之熱傳導係數比較
53
0 100 200 300 400
LSi (nm)
0 10 20 30 40 50
K eff.(W/mK)
Align Stagger
圖 4-3 熱傳導係數與特徵線寬之關係比較
1x100 1x101 1x102 1x103 LX (nm)
1x10-1 1x100 1x101 1x102 1x103
Keff.(W/mK)
圖 4-4 二維矽奈米線線寬與熱傳導係數之關係
55
10 100 1000
LH (nm) 10
100
Keff. (W/mK)
L=100nm L=200nm L=500nm L=1000nm
圖 4-5 單孔隙矽奈米線之孔隙尺寸與熱傳導係數關係
a.LH=20nm
57
a.LH=20nm
b.LH=40nm
圖 4-7 單孔隙矽奈米線(LC=100nm)之熱通量(W/m2)分布
a.LH=200nm
59
10 100 1000
LH (nm) 100
Keff.(W/mK)
L=200nm L=400nm L=1000nm L=2000nm
圖 4-9 齊列式雙孔隙矽奈米線之孔隙尺寸與熱傳導係數關係圖
10 100 1000 LH (nm)
10 100
Keff. (W/mK)
L=200nm L=400nm L=1000nm L=2000nm
圖 4-10 交錯式雙孔隙矽奈米線之孔隙尺寸與熱傳導係數關係圖
61
a.LH=20nm b.LH=50nm
c.LH=60nm d.LH=80nm
圖 4-11 齊列式雙孔隙矽奈米線(LC=100nm)之溫度分布
a.LH=200nm b.LH=500nm
c.LH=600nm d.LH=800nm
63
圖 4-13 齊列式雙孔隙矽奈米線 Z2
B A
Z1
a.LH=20nm
b.L =60nm
65
a.LH=200nm
b.LH=600nm
圖 4-15 交錯式雙孔隙矽奈米線(LC=1000nm)之溫度分布
10 100 1000 LH (nm)
100
Keff. (W/mK)
L=400nm L=800nm L=1200nm L=2000nm L=4000nm
圖 4-16 齊列式多孔奈米線之孔隙尺寸與熱傳導係數關係圖
67
0 2 4 6 8 10
A 0
0.1 0.2 0.3 0.4
ξ K
L=400nm L=800nm L=2000nm
圖 4-17 齊列多孔奈米線之孔隙間隔高寬比與聲子強度變化關係
10 100 1000
LH (nm)
10 100
Keff. (W/mK)
L=400nm L=800nm L=2000nm L=4000nm
圖 4-18 交錯式多孔奈米線之孔隙尺寸與熱傳導係數關係圖
69
10 100 1000
LH (nm) 10
100
K eff.(W/mK)
Align
L=400nm L=800nm L=2000nm L=4000nm
Stagger L=400nm L=800nm L=2000nm L=4000nm
圖 4-19 多孔隙奈米線孔隙尺寸與等效熱傳導係數關係圖
五、結論與建議
由於熱電裝置的應用需要低導熱性的半導體結構，但過去廣泛討 論的超晶格結構製程複雜，且若要大幅提升性能則使用的材料稀少而 昂貴，使得熱電裝置的推廣受限。而奈米結構的應用能增加聲子熱傳 的阻抗、降低熱傳導係數，且製程較簡單、成本低，希望能應用在熱 電裝置上，提高其應用價值。
本文探討多種奈米線結構的聲子輻射熱傳，其中鑲嵌不同材料的 奈米線，雖增加了材料與材料間的界面熱阻，但因為嵌入材料的熱傳 導係數較高，導致熱傳能力不如預期的降低，而材料的排列方式對整 體性能的影響有限。多孔式奈米線則因為絕熱孔隙使得聲子散射，因 此降低聲子輻射熱傳導，其中多孔性的聲子散射更因為孔隙與孔隙之 間的影響，使得散射率有所不同，因此針對本文探討的數種多孔式奈 米線，提出以下結論：
1. 尺寸效應使得孔隙邊界上存在一能量密度較高的區域，降低熱傳 導係數。
2. 材料中增加絕熱孔隙使聲子碰撞邊界後發生散射，攔阻聲子運 動，致使熱傳導能力降低。
3. 齊列式多孔奈米線中，當尺寸效應發生，若孔隙間距高寬比介於 1.33~0.67 間，，孔隙間的散射將產生相互影響，使得散射率降低。
當孔隙間距高寬比小於 0.33，孔隙間距高寬比會影響聲子與孔隙
71
4. 當孔隙間距高寬比大於 1.33，則齊列或交錯排列的孔隙對聲子運 動的影響相同。當孔隙間距高寬比小於 1.33，則交錯排列的孔隙更能 有效的攔阻聲子運動，降低材料熱傳導能力。
在熱電致冷器的應用上，如何能減少聲子傳遞、降低材料熱傳能 力，成為提升其性能的重要方向，而本文提出的微孔隙結構能有效降 低聲子熱傳導，並預測孔隙對整體性能的影響，可提供作為未來發展 熱電致冷器的設計方向。
參考文獻
1. Majumdar, A.,”Microscale Heat Conduction in Dielectric Thin Films,” ASME Journal of Heat Transfer, Vol. 115, pp. 7-16, 1993
2. Yang, R., Chen, G., “Thermal Conductivity Modeling of Periodic Two-Dimensional Nanocomposites.” Physical Review B, Vol. 69, PP.
195316, 2004
3. Venkatasubramanian, R., Siivola, E., Colpitts, T., O'Quinn, B.,
“Thin-Film Thermoelectric Devices with High Room-Temperature Figure of Merit,” Nature, Vol. 413, pp. 597-602, 2001.
4. Dames, C., Dresselhaus, M. S., Chen, G., “Phonon Thermal Conductivity of Superlattice Nanowires for Thermoelectric Applications,” Thermoelectric Materials 2003-Research and Applications, Paper S1.2, Boston, December 1-5, 2003
5. Tien, C. L., Chen, G., “Challenges in Microscale Conductive and Radiative Heat Transfer,” ASME Journal of Heat Transfer, Vol. 116, pp. 799-807, 1994.
6. Chen, G., Neagu, M., “Thermal Conductivity and Heat Transfer in Superlattices,” Applied Physical Letters, Vol. 71, 2761-2763, 1997 7. Chen, G., “Thermal Conductivity and Ballistic-Phonon Transport in
the Cross-Plane Direction of Superlattice,” Physical Review B, Vol.
57, 14958, 1998.
8. Ju, Y. S., Goodson, K. E., “Phonon Scattering in Silicon Films with Thickness of Order 1000nm,” Applied Physical Letters, Vol. 74, 3005-3007, 1999.
73
Thomas, S. G., “Cross-Plane Thermal Conductivity of Self-Assembled Ge Quantum Dot Superlattices,” Physical Review B, Vol. 67, 165333, 2003.
11. Song, D., Chen, G., “Thermal Conductivity of Periodic Microporous Silicon Films,” Applied Physical Letters, Vol. 84, 687-689, 2004.
12. Dames, C., Chen, G.,” Theoretical Phonon Thermal Conductivity of Si/Ge Superlattice Nanowires,” Journal of Applied Physics, Vol. 95, 682-693, 2004.
13. Mingo, N., “Thermoelectric Figure of Merit and Maximum Power Factor in Ⅲ － Ⅴ Semiconductor Nanowire,” Applied Physical Letters, Vol. 84, 2652-2654, 2004.
14. Dames, C., Dresselhaus, M. S., Chen, G., “Phonon Thermal Conductivity of Superlattice Nanowires for Thermoelectric Applications,”
15. Majumdar, A., “Thermoelectricity in Semiconductor Nanostructures,”
Science, Col. 303, 777-778, 2004.
16. Song, D. W., Shen, W. N. Moore, Dunn, B., ,Goorsky, M. S., Radetic, T., Gronsky, R., Chen, G., “Thermal Conductivity of Nanoporous Bismuth Thin Films,” Applied Physical Letters, Vol. 84, pp.
1883-1885, 2004
17. Lee, S. M., Cahill, D. G., Venkatasubramanian, R., “Thermal Conductivity of Si–Ge Superlattices,” Applied Physical Letters, Vol.
70, 2957-2959, 1997.
18. Rowe, D. M., “Thermoelectrics,” Ph. D., D. Sc., University of Wales, 1995.
19. Cahill, D. G., Ford, W. K., Goodson, K. E., Mahan, G. D., Majumdar, A., Maris, H. J., Merlin, R., Phillpot, S. R., “Nanoscale Thermal Transport,” Journal of Applied Physics, Vol. 93, 793-818, 2003.
20. Harman, T. C., Taylor, P. J., Walsh, M. P., Laforge, B. E., “Quantum
Dot Superlattice Thermoelectric Materials and Devices,” Science, Vol.
297, 2229-2232, 2002.
21. Zhang, Y., Zeng, G., Singh, R., Christofferson, J., Croke, E., Bowers, J. E., Shakouri, A., “Measurement of Seebeck Coefficient Perpendicular to SiGe Superlattice,”
22. Kittel, C., “Introduction to Solid State Physics,” Wiley, New York, 1986.
23. Chen, G., “Phonon Heat Conduction in Nanostructures.” Int. J. Therm.
Sci., 39, 471-480, 2000.
24. Phelan, P. E., “Application of Diffuse Mismatch Theory to the Prediction of Thermal Boundary Resistance in Thin-Film High-TC Superconductors,” ASME Journal of Heat Transfer, Vol. 120, pp.
37-43, 1998.
25. Swartz, E. T., “Solid-Solid Thermal Boundary Resistance,” Ph. D.
thesis, Cornell University, 1987
26. Modest, M. F., “Radiative Heat Transfer,” McGraw-Hill, New York, 1993.
27. Sgalari, G., Camera-Roda, G. and Santarelli, F., “Discrete Ordinate Method in the Analysis of Radiative Transfer in Photocatalytically Reacting Media,” Int. Comm. Heat Mass Transfer, Vol. 25, pp.
651-660, 1998.
28. da Silva, L. W. and Kaviany, M., “Micro-Thermoelectric Cooler:
Interfacial Effects on Thermal and Electrical Transport,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 47, pp. 2417-2435, 2004.