學生在前三個解題階段所花的時間，文字題是圖文題的 1.6 倍：依 據 Schoenfeld （1985）時間序列圖前三個階段來看，學生在讀題、

分析、探索前三個階段所花的時間，文字題是圖文題的 1.6 倍。學 生在做文字題時，在前三個階段所花的時間，佔其解題總時間的

70%，但在做圖文題時，此三個階段只佔解題總時間的 50%。此結 果呼應了 Lewis & Mayer（1987）所指出的，數學文字題就數學能力 來說比一般計算題更需要高深的綜合能力，是一種涉及語言轉譯與 數學理論的題型，學生對此問題感到最困難的地方，就是如何將語 文轉譯成算式。因此，學生面對文字題時，需要花更多的時間解題。

3. 學生面對文字題時，較多會經歷探索階段，且常在解題階段往返：

從 Schoenfeld （1985）解題六階段發現，學生在做文字題或圖文題 時，最明顯的差別是在探索階段，整體來說，文字題比圖文題多 3 題有經歷探索階段。另外，學生在做文字題時較圖文題容易在解題 階段往返，尤其是在往返讀題及分析階段。

4. 圖文題的答對率比文字題高：從答對題數來看，圖文題的答對率比 文字題稍高一些，此結果呼應了 Paivio 提出的「雙代碼理論」

（dual-code theory）（Paivio，1991），若同時利用兩種代碼表徵訊息，

其解碼、組織、強化、擷取等表現會優於只有單一代碼。另外也可 以證明中國上古用「形」「數」結合的方式來說明商高定理，如此 圖示法的確可幫助學生的理解。而且此結果與一些研究支持圖示方 式可以促進數學的學習（吳昭容，1990；徐文鈺，1992，林美惠，

1997；Greeno，1987；Lewis，1989；Sellke，Behr & Voelker，1991）

的結論相同。但是，圖文題的答對率比文字題只有多 5%，根據皮亞 傑的認知發展論，國二學生已進入形式運思期，可以處理假設情境 並加以推理，尤其能從所得到的訊息產生抽象的關係，因此，研究 者覺得國二學生在解文字題時，因為具備抽象思考的能力，因而在 文字題中語言轉譯上雖仍有困難但會較小，因此，從題目表徵來看，

圖文題的解題表現的確會比文字題好，但差異並不是非常大。

三、從學生的解題數學概念及解題六階段歷程交叉來看：

1.無論是文字題或圖文題，學生答對題數最多的，其概念使用次數 最多、解題階段往返次數最少；反之，答對題數最少的，其概念 使用次數最少、往返次數最多：小淨及小愛分別在文字題或圖文 題答對題數最多，而她們有一個共同點就是解題時解題概念使用 的次數最多，但在解題階段往返次數最少。反之亦然。但學生在 解題階段往返(次)上，也需參雜學生的解題意願強弱在內。

2.在「形」的題目中，題目表徵差異會讓學生解題概念種類不同，

而且表徵差異會讓學生在往返解題各階段的次數差異大；「面積」

及「數」的題目則反之：對學生來說，在「形」的題目中，學生 在解文字題時需要較多樣及較深的幾何概念才可畫圖，也需要多 往返各階段才能順利解題，因此，文字題階段往返次數較圖文題 多。而「面積」及「數」的題目上，學生解文字題時只需要多 1 個幾何概念即可畫圖，且文字題及圖文題往返解題各階段的次數 差異也較小。

所以，上述本研究的研究結果，無論是「形」、「面積」及「數」的題目，從 解題概念的次數或種類，或從解題階段往返次數，或從解題時間來看，文字題相 對的比圖文題難，也就是學生在解圖文題時都比文字題要容易。因此可以得知，

使用圖的表徵確實可以讓學生更能理解文字題，讓解題過程更為順利。

第二節 建議

經由本研究對國二學生在兩種題目表徵下，商高定理單元數學概念 的展現及解題歷程的分析與討論，研究者擬提出下列幾點建議，以做為 國二學生在商高定理單元數學科教學與課程設計，及未來研究之參考。

壹、 對教學方面的建議

一、教師在面對「形」、「面積」、「數」三種類型題目教學時，分別 有以下建議：

(1)在教學中要多活用教具：對在商高定理單元中，強調公式 形成過程的「形」的題目，雖然在新課程（民國 82 年版）設計 下越來越受到重視，但因其題目敘述及圖形的拼補上，對有些 學生來說是較難理解的，因此大部分的學生仍會覺得在三種類 型題目中是比較困難的。建議教師在教學中要多活用教具，也 就是從 Bruner（1966）由運思方式中，讓學生由商高定理輔助 教具的動作表徵，轉化圖文題的圖像表徵，再進而強化為學生 在文字題的符號表徵，如此學生從不同型式的表徵系統中獲得 數學概念，並能將同一數學概念在不同表徵之間自由轉譯，才 能加強對「形」的題目的概念與理解。

(2)加強學生對「面積」題目的概念：從本研究中發現，學生在 做「面積」的題目時，仍大部分會從「數」的概念去著手，雖 然解題最後是正確的，但顯然對「面積」的商高定理概念較生 疏，因此建議在教學中要加強學生對「面積」的題目的概念與 練習。

(3) 加強學生對先備知識(根號)的運算能力：學生在做「數」的

就是因根號運算的錯誤而導致解題失敗。依照課程編排，根號 的運算和商高定理雖然放在同一章，但因月考進度的因素，商 高定理單元常會與根號的運算分開成兩次月考的進度，因此建 議在此單元教學中仍要加強學生對根號的運算能力，亦即，學 生的先備知識及舊經驗的連結必須更加清楚。

(4) 發展需運用許多數學概念的問題情境：從本研究發現學生 在解題過程中，使用數學概念種類較多的其答對題數較多。因 此建議教師在教學時，要發展需要運用許多數學概念的問題情 境，以讓學生能學習多種數學概念。此研究結果也呼應了 Leung

（1991）主張教師在教學時最好在同一個問題中將許多所學過 的數學概念連結在一起，而不是只運用某單一一個概念，這樣 學生才會將數學視為一個整合的整體。

(5)教學或設計試卷要涵蓋不同的題目表徵：因為「形」、「面 積」、「數」三種類型題目，其解題使用概念及往返次數會因題 目表徵不同而有所不同，因此，教師在教學或設計試卷，在發 展其中某一類型題目時（尤其是「形」的題目），需適時涵蓋不 同的題目表徵，以能在使用概念上，教導學生運用不同的概念 種類；及在解題往返次數上，讓學生在考試時做適當的時間分 配。

二、教師在面對文字題及圖文題兩種類型題目教學時，有以下建議：

(1) 漸進引導學生接觸幾何：依照現行各版本教科書，商高定 理單元是安排在國二上學期期中，而此時是學生上國中後第一 次接觸到含有幾何及證明概念的課程，因此建議在教學中需要 用到幾何及證明概念時，教師要慢慢的引導，讓學生了解如何 寫出證明過程及熟悉幾何類型題目的解題方法，也為國二下學 期真正進入幾何單元時奠定良好的基礎。並且在國三學完幾何

三角形及圓的單元時，要再回頭複習商高定理單元中牽涉到幾 何的部分，以期學生能夠完整學習到所有概念。

(2) 加強學生對文字題轉譯及畫圖的能力：從本研究中發現，學 生在文字題及圖文題的解題中，無論從答對率或從所花的時 間，或從階段往返次數來看，學生對於文字題的解題，仍是較 需要加強的，因此建議在教學中要加強學生對於文字轉譯及組 織基模並畫圖的能力，另外，也要加強學生若萬一圖形畫不出 來時，要如何從文字中尋找關鍵字句的能力。

(3) 設計試卷要兼顧不同學生的需求：從本研究的解題概念來 看，學生在解題時，圖文題因有圖輔助，解題所使用的概念 會較文字題少，往返解題階段的次數也較少，對數學低成就 的學生來說，做圖文題會比較容易正確解題。相反的，若要 訓練數學中高成就的學生，從文字題著手，能訓練學生分析 及探索的能力，並運用較多的數學概念去解題。因此建議在 教學中設計試卷時，圖文題及文字題都各要佔有一定的比 例，以兼顧不同學生的需求。期以此能回應 James J. Kaput

（1985）所主張表徵應用在數學解題和學習上的議題---如何 讓數學佈題者去操作表徵及如何讓數學教育研究者以關鍵 焦點的方式，去處理表徵系統和符號系統。

三、在教學中需加強學生的多元思考、探索及驗證能力：

(1) 教導學生尋找解題的關鍵條件：從本研究發現學生在解 題過程中，解題階段往返次數較少的其答對題數較多。因此 建議教師在教學時，要教導學生如何尋找解題的關鍵條件，

分辨有用及無用資訊，以減少解題階段往返次數，也能讓學

時會一直鑽牛角尖的的使用一種錯誤的解題方法解題而導致 失敗，因此建議在教學中加強學生的多元解題能力，訓練學 生另類解題方式的思考能力，平時就要能嘗試不同的形式或 方向去思考問題，如小淨的纜車題，用座標概念來解題也不 失為一個另類的方法。

(3) 教導學生有效解決問題和衝突：從本研究可發現，當學生 對某一數學公式不是很確定時，缺乏自己去做探索，以驗證 公式正確性的習慣。譬如小聰的第三題八邊形題及第四題直 線距離題，等腰直角三角形的斜邊邊長比例是√2 還是√3，

或當直線距離公式根號內到底是加還是減，小聰在猶豫時，

他只會不斷的去尋找長期記憶中存在的線索，而不會從商高 定理的概念去探索真正的答案，而造成解題失敗，因此建議 在教學中部要讓學生死背公式，而且要教導學生在當一時忘 記公式時，要從什麼方向去探索以得到正確的資訊，如此以 達到九年一貫十大基本能力之一的「有效解決問題和衝突」。 (4) 加強學生驗證習慣及後設認知：從本研究可得知，學生在做

數學題目時，大部分是沒有驗算習慣的，但解題驗證是解題 成功與否重要的一環，因此建議在教學中除了程序性的解題 過程之外，也應注重驗證階段的教學，包括評估解題過程的 合理性、是否和其他概念產生矛盾，以及驗證最後的答案 等，以培養學生的後設認知及自我反省的習慣。

貳、 對課程設計的建議

一、目前國中的課程安排，國一的課程內容均是數與量及代數的 部分，國二上學期也只有商高定理這個單元是有包含幾何概 念，其餘的仍是代數的課程，因此，商高定理這個單元安排