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# 國二學生在兩種表徵題中商高定理概念及解題歷程之研究

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## 國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文

### 中華民國九十七年六月

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「形」、「面積」、「數」三類型，以放聲思考法及半結構性晤談來蒐集資料，並採 三角檢證法進行原案分析。

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A Study of Grade Eight Students’ Concepts on Pythagorean Theorem and Problem-Solving Process in Two Problem Representations

Abstract

The aim of this study is to analyze students’ mathematics concepts in solving Pythagorean Theorem problems presented in two different representations (word problems and word problems with diagrams). The investigators employed the mathematics competence indicators in Grade 1-9 Integrated Curriculum in developing such problems. In analyzing data, the investigator used Schoenfeld’s method in depicting their problem-solving processes, with attention to students’ sequence and difference in time consumption. Four eight grade students with good competence in mathematics and expressions from a secondary school were selected as research subjects. Problems related to Pythagorean Theorem were divided into three types:

Shape, Area, and Number. Data were collected using thinking aloud method and semi-structured interview, and triangulation was further applied in protocol analysis.

The research results revealed 3 findings: (1) For the “Shape” type problems, students’ problem-solving concepts varied with different problem representation. For the “Area” and “Number” types of problems (without diagram), students were required to use their geometric concept when processing word problems. Students”

use of problem-solving concepts would not significantly vary with problem representation types. However, students’ use of problem-solving methods would affect the types and priorities of concepts used. Generally, the types of mathematics concepts could be made up by the frequency of concepts used, and more types of problem-solving concepts would be used for word problems representation than for word problems with diagrams representation. (2) In terms of the time consumed in the first three problem-solving stages of Schoenfeld, the time required to solve word problems was 1.6 times of that required to solve word problems with diagrams. In terms of the total time consumed, the time required to solve word problems was 1.25 times of that required to solve word problems with diagrams. In the problem-solving stages, students needed to explore the problem first when dealing with word problems before they could go on to solve the problem, and such repetition was more frequent when they dealt with word problems. (3) For both type of problem representations, there is a higher number of correctly-answered problems. This finding indicated that a higher frequency of problem-solving concepts and less repetition in the problem-solving stage were required; and vice versa.

As to the sequence of Pythagorean Theorem concepts to be taught, the investigator suggest teachers to start with the concept of area filling in the “Shape”

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solving “Number” problems. After students have acquired basic competency in

“Shape” and “Number” Pythagorean Theorem problems, teachers could explain and introduce this theorem from the perspective of “Area”. Finally, in problem posing, teachers were also advised to apply various contexts; covering all kinds of representations of problems that enhance students’ utilization of mathematics concepts; and to cater for various needs of students.

Keywords: Pythagorean Theorem; Representation; Shape, Number, and Area.

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「解題歷程」做解釋。

1995、2000 年所公布的課程標準都把「問題解決」列為重點之一（NCTM，2000）。 我國九年一貫新課程中，數學學習領域的教學總體目標之一為「學習應用問題的 解題方法」。「獨立思考與解決問題---養成獨立思考及反省的能力與習慣，有系統 地研判問題，並能有效解決問題和衝突」列為國民教育階段中所要培養的十大基 本能力之一、在課程目標中也明定「培養學生獨立思考與解決問題的能力」，由 此可知學習數學解題的重要性，而如何培養學生的解題能力成為數學教學的重要 課題。

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（Krutetskii， 1976），並配合使用晤談原案（protocol）分析法，來進一步了解學 生解題時的心理歷程，從而對數學教學的診斷（diagnostic） 與處方（prescriptive）

（Vasquez，1982）。閱讀文字題的解碼過程中更涉及複雜的個人認知歷程

（Cummins，1991）。學生要解決應用問題，除了具備計算能力之外，還涉及語意 理解（comprehension）和問題解決（problem solving）的運作歷程（Kintsch & Greeno, 1985）。Lewis 與 Mayer（1987）指出數學文字題是一種涉及語言轉譯與數學理論 的題型，就數學能力來說比一般計算題更需要高深的綜合能力，學生對此問題感 到最困難的地方，就是如何將語文轉譯成算式。為了克服學生解文字題的困難，

Kaput（1985）認為，表徵應用在數學解題和學習上的議題有（1）如何讓數

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Moyer, Sowder,Threadgill-Sowder&Moyer ,1984；Sowder & Sowder, 1982）。綜合來 說，大部分的研究結果是學生在圖畫題的解題表現優於文字題，但是這些研究均 是以小學生為研究對象，鮮少有針對國中學生做研究。其中國二的學生，根據皮 亞傑的認知發展論已進入形式運思期，他們可以處理假設情境並加以推理，尤其 能從所得到的訊息產生抽象的關係。因此，研究者覺得國二學生在解文字題時，

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（NCTM，1989），教師在教學時最好在同一個問題中將許多所學過的數學概念連 結在一起，而不是只運用某單一一個概念，這樣學生才會將數學視為一個整合的 整體（Leung，1991）。因此，商高定理這個單元包含多種數學概念，更適合在學 生的解題歷程中探討其所運用的概念及歷程。

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「表徵」（representation）， Kaput（1987a）認為數學中的表徵主要為個體腦 海中的心智運作歷程及將心智活動的產物外在化。本研究所指之「兩種表徵題」

「解題歷程」是指解題者在整個解題過程的個人行為，包含組織和處理訊息 的方法，用以計畫和執行的認知策略知識，以及用來評鑑解題的方法（Lester，

1980）。本研究中，研究者依據 Schoenfeld (1985) 的「讀題、分析、探索、計畫、

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（一）推論對象的限制

（二） 研究變項的限制

（三）研究方法的限制

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Polya（1945）認為解決問題就是為了要達到一個被清楚意識到但又不能立即 達到的目標，期間沒有方法被告知，但卻要克服困難，繞過障礙去發現達到此目

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Brownell

（1942）

（1985）

Polya (1945)是最早有系統提出解題策略的學者，他在其所著的「怎樣 解題」(How to solve it)一書中，強調解題的重要性，並將解題歷程分為四 個階段：1.瞭解問題( understanding the problem)；2.擬定計劃( devising a

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plan)；3.執行計劃( carrying out the plan)；4.回顧解答( 1ooking back)。

(一)瞭解問題：

1. 解題者必須了解「未知數是什麼？」「已知數有什麼？」 「有什麼條 件？」 「要確定未知數，條件是否充足？不夠或過多？或是矛盾？」

2.畫一個圖，引入適當的符號。

3.解題者是否可寫下條件的各個部分？

(二)擬定計劃

1.解題者以前看過這個題目嗎？或看過相同但以不同形式表達的題目？

2.解題者知道與這個題目有關的問題嗎？知道解題可用的定理嗎？

3.注意未知數！嘗試去想一個有相同或類似未知數的熟悉問題。

4.解題者能重述問題嗎？是否能用不同的方式來重新敘述它？

5.如果解題者不能直接解這個問題，先嘗試從一些相關的問題著手。解 題相似或類比的問題嗎？或是能解這個問題的某個部分？解題者能從 已知條件導出有用的結果嗎？若只保留已知條件的一部分，這樣對於 未知數能確定到什麼程度？能考慮其他已知數以決定未知數嗎？解題 者可以怎麼改變已知數和未知數？如果必要的話，兩個都改變，則新 的未知數會和已知數更接近嗎？

6.解題者使用了所有的已知數了嗎？使用所有的條件了嗎？解題者是否 已經考慮過與這個問題相關的所有必要概念嗎？

(三) 執行計畫

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1.解題者能檢驗答案或檢驗論證過程嗎？

2.解題者能用不同的方法導出這個結果嗎？或能將這個結果或方法 應用到別的問題嗎？

Lester ( 1980 )以六階段來描述數學解題，並強調這六個階段的關係是不同但 卻相互關聯的。說明如下：

（一）察覺問題( problem awareness)：

1.在問題中相關及非相關的訊息是哪些？

2.了解訊息間的關係嗎？了解所有項目的意思嗎？

（二）理解問題( problem comprehension)：

1.轉譯( translation )：解題者將問題所提供的訊息轉換成對自己有意義、可 以理解的語句。

2.內化( internalization）：解題者提取相關的訊息並分類，且判斷彼此相關 的程度。

（三）目標分析( goal analysis)：

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1.有任何子目標可以幫助達成目標嗎？

2.這些目標有一定的次序嗎？

3.這樣的次序編排正確嗎？

4.有正確認清問題的運算條件嗎？

（四）計畫發展( plan development)：

1.是否有其他的方法可以解這個題目？

2.有更好的方法嗎？

3.是否曾經解過這類的問題？

4.這樣的計畫能達成目標或子目標嗎？

（五）計畫執行( plan implementation)：

1.使用的策略正確嗎？

2.計畫的步驟順序正確嗎？還是能使用不同的順序？

（六）程序和解答評估( procedures and solution evaluation )：

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2.解題者所學的能幫助我解其他的問題嗎？

Schoenfeld (1985)強調數學解題的研究方向需要考慮四個變項：資源

( resources )、捷思( heuristics )、控制( control )及信念系統( belief system )。此亦數 學解題表現應具備的知識及行為。此四個變項分述如下：

1.資源是指解題者擁有有關解題的相關數學知識，而這些數學知識包含了數 學的直覺與非正式知識、已知的事實、數學原理原則及運算程序等知識。

2.捷思是指捷思策略( heuristics strategies )而言，就是用來解不熟悉或非標準 問題的策略和技巧，即有效率解題的主要法則。許多的解題研究都非常重 視學生在解題歷程所使用的啟思策略，例如簡化問題、畫表格、尋找組型、

3.控制則是著重在解題者解題時，如何決定計畫、如何選擇目標和次目標，

4.信念系統是指解題者對於自己、環境、主題及數學的觀點，而解題者擁有 的數學觀將會影響其解題行為。

Schoenfeld (1985)曾使用放聲思考的方法訪談三位大學生，將轉譯出的原案分 為一塊一塊的情節（episodes），他發現在資源、捷思、控制及信念系統等四項變 項中，控制因素居於較為關鍵的地位。因為如何有效的運用資源，如何採用適當 的捷思策略，常常是由控制因素所主導。所以特別在解題歷程中，以控制因素的 觀點，將解題歷程區分為：1.閱讀；2.分析；3.探索；4.計畫；5.執行；6.驗證等 六個階段。他將解題行為分為上述六個情節，從鉅觀的原案分析可以看出解一道 數學問題時，花多少數時間在每一個情節上，以及情節之間轉移的情形（表 2-2-1）。另並將Schoenfeld之解題基模大綱表示於圖2-2-1。

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R2：正確了解目標狀態嗎？目標狀態是明顯的？或是模糊 的？

R3：是否評估解題者現有知識與問題之間的關係？

A2：採取的行動是否根據問題條件？

A3：採取的行動是否有朝向目標？

A4：條件和目標有何關聯？

A5：解題者的行動（A1-A4）合理嗎？

E2：所採取的行動有方向或重點嗎？行動有目的嗎？

E3：有無監控行為？監控行為的有無對解答的結果有何影 響？

E4：解題者所採取的行動是否合理？

PI1：是否有計畫行為？

PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？是否有良好的架 構？

PI3：學生是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？

PI4：執行時是否依循計畫有系統的進行？

PI5：是否在局部或整體層次評估執行？

PI6：評估的有無對結果的影響如何？

V2：有無考驗解答？若有的話，將如何考驗？

V3：有無對歷程及解答的評估？對結果的信心如何？

T2：有無評估先前放棄的解題途徑，對解答產生的局部與 整體影響如何？所採行動適當而必要嗎？

T3：是否評估採取新解題途徑的任何影響？或直接就跳入 新的方法？

T4：採用新途徑後有無評估所有的影響？行動是否適當而 必要？

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Mayer (1992)從問題解決認知的觀點，將解題歷程分為兩個階段，每個階段 又包含二個步驟，分述如下：

（一）問題表徵( problem representation )：即將問題的文字或圖像轉換成內在的心 智表徵，此階段包含二個步驟如下：

1.問題轉譯( problem translation )：將每一個句子或主要的詞句轉變為內在心理表 徵。解題者在此步驟需要了解題目句子的意義，因此問題轉譯需要有良好的語 言知識及語意知識，而將問題從文字表徵轉換成心理表徵對學生來說常是不太 容易的。

2.問題整合( problem integration )：問題整合要求解題者將問題中的訊息統整成連 貫的表徵，為了整合問題的訊息，解題者需要具有基模知識( schematic knowledge )，以區分問題的類型。

（二）問題解決：即從問題的心理表徵到最後答案的過程，含二個步驟如下：

1.解答的計畫與監控( solution planning and monitoring )：解題者要能擬定解題計 畫，並監控自己的解題行為過程。此步驟需要具有如何解決問題的策略知識。

2.解題的執行( solution execution )：解題者要能運用數學算則以求得解答。此步 驟需要程序性知識，以便正確且有效的應用算則來執行計算工作。

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Glass 與 Holyoak（1986）曾以一個可循環的通則的流程圖，如圖 2-2-3，來表 示解題的歷程：

1. 形成問題表徵：理解題意，了解目標，形成適當的問題表徵。由於不同的表 徵會形成不同的解題策略，所以此步驟是問題解決的第一道關卡。

2. 嘗試計畫：此步驟乃是依照表徵形成計畫，利用方法---目標（means-ends）的 分析方式，一步一步找出答案，運用一些操作以建構能產生解答的步驟 。 3. 重新陳述問題：如果初步的問題表徵無法滿足解題的需要，嘗試以另一種方

4. 執行計畫並檢查結果：此為問題解決的最後步驟。執行所擬定的解題計畫，

(4) (1) (2)

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Lesh 和 Landau（1983）由數學模式的角度，描述解題的過程

1. 將問題簡化，注意問題情境中的重要條件，忽視非相關的資訊。

2. 建立問題情境與數學模式的相對應關係。

3. 使用數學模式中擁有的條件，來推論出新資訊。

4. 將獲得的新資訊，由數學模式回應於原始情境，並檢查此結果是否合理。

Polya 瞭解問題 擬定計劃 執行計畫 回顧解答

Lester 察覺問題 理解問題 目標分析 計畫發展 計畫執行 程序和 解答評估 Schoenfeld 閱讀 分析 探索 計畫 執行 驗證 Mayer 問題轉譯 問題整合 解答的計畫與監控 解題的執行 Glass 與

Holyoak

Landau

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（NCTM, 2000）主張數學表徵是一種數學概念的呈現方式，代表人們對於數學概 念的理解與應用。Kaput（1987a）認為數學中的表徵主要為個體腦海中的心智運 作歷程及將心智活動的產物外在化。

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（一）從「運思」的觀點

Bruner（1966）由運思方式的觀點，區分成三種表徵，分別為：

1. 動作的(enactive)表徵：是指接受到刺激後，所引發的外在行動反應，透過行動 手段，來掌握概念或事物，例如：學生實際用桌角或牆腳來了解何謂垂直。

2. 圖像的(iconic)表徵：是指用「心像」（image）來掌握概念，換言之，即使具 體物已消失，在腦中仍留有心像。運思活動是以心像為材料，進行內在的活動。

3. 符號的(symbolic)表徵：是指用符號來掌握概念，對符號進行運思。符號與心 像不同，它本身是一個隨意選擇的記號，它與實物之間並無任何類似之處，不像 心像是外在實物的影像，它代表了實物或心像的某一種性質的抽象意義。例如：

84 、2x2

Bruner（1966）認為智力的成長（即運思活動）逐漸可以使用符號來認知，

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1994）。

（二）從「認知歷程」的觀點

Kaput（1987a）從認知歷程的觀點，將數學中的表徵系統分為四類：

1.認知與知覺的表徵(cognitive and perceptual representation)：指個體內在對於知識 與訊息的表徵，亦即為個體大腦中將訊息儲存或轉換的型式。

2.解釋性表徵(explanatory representation)：指自然語言或心像與其他數學符號間的 聯結，用以描述心理結構的模式。

3.數學內的表徵(representation within mathematics)：指不同數學結構之間的關聯，

4.外在符號表徵( external symbolic representation )：指以外在的符號物體來表徵數 學概念的系統，是用來表示抽象的數學概念的物質型式。

Kaput表徵的分類中，前三種屬於心智活動的產物，為「內在表徵」；第四類屬 於「外在表徵」。心智活動的產物主要是在個體腦海裡的心智運作。而外在表徵 則是將心智活動的產物，用不同的表徵方式表現出來，即指將問題的某些部份外 在化，利用不同型式表現出來。個人對於外在表徵的運用，即反映出知識的內在 表徵。

（三）從「溝通」的觀點

Lesh等人（1987）以溝通的觀點，認為數學學習及數學解題有五種不同的表 徵。不同的問題會影響所需的表徵系統，而直接影響題目的難易程度，更影響學 生的數學思考。數學概念可以用下列五種表徵呈現：

1.真實情境( experience-based scripts )：指學童運用實物或是真實情境的東西與知識 等，來表示問題中的情境與內容並藉以解決問題。如：學生實際用桌角或牆腳來 了解何謂垂直。

2.教具模型( manipulative models )：透過具體物之操作，以探討數學概念，如：用 商高定理泡棉拼圖組去理解商高定理面積拼補的概念。

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3.圖像( pictures or diagrams )：利用靜態的圖畫模式，如：數線、平面座標等，

4.語言（spoken language）：運用日常生活用的口語陳述，以表達想法或解題過程，

5.符號( written symbols )：常用之數學符號或數學算式，如同語言，也包括特殊化 的句子和片語。如： 84 、2x2等。

1992；Kaput, 1987a，1987b）。這是一種特殊的性質---「多義性」，使得相同的 數學概念並不會隨著外在表徵型式的變化而受到影響，例如，「⊥」、「90°」、

「垂直」雖是不同的表徵形式，仍代表同一個數學概念。

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1983）。

Lesh等人（1987）認為表徵分類所強調的不在於區別不同表徵系統，而是在 於表徵系統間的轉譯(translation)。其彼此間的關係如圖 2-3-1：

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Lesh等人（1987）認為學生能在不同的表徵方式中自由轉譯，表示已經了解 其概念意義。而要如何知道學生是否能透過表徵來理解一個概念呢？其認為經由 不同形式的數學表徵轉譯過程，能夠得知學生對於概念意義的掌控情形。並認為 學生必須具有下列條件才算了解一個概念：

（一）他必須能將此概念放入各種不同的表徵系統之中。

（二）在給定的表徵系統內，他必須能很有彈性地處理這個概念。

（三）他必須能將此概念正確地從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。

（一）讓學童能掌握符號系統，並做有意義的操作；

（二）注意不同表徵系統間的關聯；

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2003；蔣治邦，1994；Brenner,et al., 1999; Cramer, Post, & del Mas, 2002; Dreyfus &

Eisenberg, 1996）指出能夠彈性地運用多重的表徵去呈現數學概念，才代表真正 理解概念，這觀點也與Lesh等人有異曲同工之妙。也有一些學者（Brenner et al., 1999; Dreyfus & Eisenberg, 1996; Fennell & Rowan, 2001）進一步指出，善用多樣化 的表徵形式，例如圖形、操作具體物、或是寫出數學方程式… … 等等，將有助 於學生組織思考以及分析問題的呈現。

（1994）認為，不論呈現何種表徵做為溝通的刺激，接受訊息者皆能轉譯，即使 用自己的方式重新表徵而不失原意，如此的轉譯過程，有助於學生解決問題及數 學的學習。

（Juhani，1995）。由於本研究將表徵分為圖像表徵、符號（文字）表徵兩方面，

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（一）訊息呈現方面：使用圖畫形式加上簡單的文字說明，在訊息的傳達上較為 精鍊，容易引發學生的解題興趣。相反的，文字型式在訊息的傳達上就比較繁雜，

（二）訊息解讀方面：個體讀取文字訊息時，必須從頭開始閱讀與搜尋相關資訊，

＊需要較多的說明與描述，因此 內容比較繁多。

＊只可使用單一表徵方式（文字）

＊關係是隱示的（implicit）。

＊資訊間的連結並不緊密，即下 一個資訊並不一定是在下一個敘 述中 。

＊訊息表達較為精鍊，因此內 容較為簡單明瞭。

＊可以利用各種不同的表徵方 式，如圖畫和符號，來呈現訊 息。

＊關係是明確的（explicit）。

＊資訊間的連結較緊密，即下 一個資訊即有可能是在鄰近的 位置出現。

1.減少與閱讀有關的工作記憶 2.幫助學生回憶類似記憶，建立適當的問題表徵 3.鼓勵學生投入理解題意 4.使曖昧不清的題意更明確，彌補文字資料的不足。

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（Barnett, 1984；林文生，1996），減慢解題的速度或增加解題困難。

Hamilton, 1983）。因此，學生在面對圖像表徵、符號（文字）表徵兩種不同的表 徵系統時，其解題概念運用及解題歷程的差異，是值得探討的問題。

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Moyer et al.（1984）以854名三到七年級的學生為對象，依閱讀能力將學生分 成高、低兩組，探討學生在圖畫題、文字題與短語題的解題表現。結果發現：學 生在圖畫題的解題表現優於其他兩者，且有利於低閱讀能力學生提升解題能力。

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(39)

(2) (1)

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「形」、「面積」、「數」的三類型題目，以完整涵蓋商高定理的所有概念。

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