• 沒有找到結果。

國二學生在兩種表徵題中商高定理概念及解題歷程之研究

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "國二學生在兩種表徵題中商高定理概念及解題歷程之研究 "

Copied!
191
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文

國二學生在兩種表徵題中商高定理概念及解題歷程之研究

研究生:邱欣慧 撰 指導教授:梁淑坤 博士

中華民國九十七年六月

(2)

國二學生在兩種表徵題中商高定理概念及解題歷程之研究

摘要

本研究在商高定理單元中,使用九年一貫數學領域能力指標,分析學生面對 文字題及圖文題,解題時所使用的相關數學概念,並透過 Schoenfeld 數學解題歷 程,分析學生在兩種表徵題的解題歷程順序及時間差異。四位研究對象為高雄市 某完全中學國中部二年級數學程度及表達能力佳的學生,將商高定理題目分為

「形」、「面積」、「數」三類型,以放聲思考法及半結構性晤談來蒐集資料,並採 三角檢證法進行原案分析。

研究結果發現,第一,數學概念展現上,在「形」的商高定理題目中,學生 展現的解題概念種類的確因題目表徵不同而有所不同;而「面積」、「數」的題目 中,除了文字題因畫圖輔助解題,需比圖文題多出幾何的概念外,其餘解題概念 因題目表徵不同而造成的差異較少,但學生使用的解題方法不同會造成使用概念 種類及順序上的不同。總體來說,數學概念種類可用使用概念次數來彌補,而且 文字題使用的解題概念種類會比圖文題多。第二,解題時間中,學生在 Schoenfeld 前三個解題階段所花的時間,文字題是圖文題的 1.6 倍;整個解題所花的總時間,

文字題是圖文題的 1.25 倍。在解題階段上,學生面對文字題時,較多會經歷探 索階段,才能往下解題,而且在解題階段的往返次數較多。第三,無論是文字題 或圖文題,學生答對題數最多的,其概念使用次數最多、解題階段往返次數最少;

反之亦然。

教學建議方面,商高定理的教學順序中,研究者建議教師活用教具,先由「形」

的面積拼補概念導出商高定理公式,再將公式應用在各類型「數」的題目中,學 生有了以上「形」及「數」的商高定理概念後,教師再從「面積」的角度去解釋 並應用商高定理。另外,在佈題時,教師需發展要運用許多數學概念的問題情境 並涵蓋不同題目表徵,以加強學生數學概念的活用及兼顧不同學生的需求。

關鍵字:商高定理,表徵,形、面積、數。

(3)

A Study of Grade Eight Students’ Concepts on Pythagorean Theorem and Problem-Solving Process in Two Problem Representations

Abstract

The aim of this study is to analyze students’ mathematics concepts in solving Pythagorean Theorem problems presented in two different representations (word problems and word problems with diagrams). The investigators employed the mathematics competence indicators in Grade 1-9 Integrated Curriculum in developing such problems. In analyzing data, the investigator used Schoenfeld’s method in depicting their problem-solving processes, with attention to students’ sequence and difference in time consumption. Four eight grade students with good competence in mathematics and expressions from a secondary school were selected as research subjects. Problems related to Pythagorean Theorem were divided into three types:

Shape, Area, and Number. Data were collected using thinking aloud method and semi-structured interview, and triangulation was further applied in protocol analysis.

The research results revealed 3 findings: (1) For the “Shape” type problems, students’ problem-solving concepts varied with different problem representation. For the “Area” and “Number” types of problems (without diagram), students were required to use their geometric concept when processing word problems. Students”

use of problem-solving concepts would not significantly vary with problem representation types. However, students’ use of problem-solving methods would affect the types and priorities of concepts used. Generally, the types of mathematics concepts could be made up by the frequency of concepts used, and more types of problem-solving concepts would be used for word problems representation than for word problems with diagrams representation. (2) In terms of the time consumed in the first three problem-solving stages of Schoenfeld, the time required to solve word problems was 1.6 times of that required to solve word problems with diagrams. In terms of the total time consumed, the time required to solve word problems was 1.25 times of that required to solve word problems with diagrams. In the problem-solving stages, students needed to explore the problem first when dealing with word problems before they could go on to solve the problem, and such repetition was more frequent when they dealt with word problems. (3) For both type of problem representations, there is a higher number of correctly-answered problems. This finding indicated that a higher frequency of problem-solving concepts and less repetition in the problem-solving stage were required; and vice versa.

As to the sequence of Pythagorean Theorem concepts to be taught, the investigator suggest teachers to start with the concept of area filling in the “Shape”

(4)

solving “Number” problems. After students have acquired basic competency in

“Shape” and “Number” Pythagorean Theorem problems, teachers could explain and introduce this theorem from the perspective of “Area”. Finally, in problem posing, teachers were also advised to apply various contexts; covering all kinds of representations of problems that enhance students’ utilization of mathematics concepts; and to cater for various needs of students.

Keywords: Pythagorean Theorem; Representation; Shape, Number, and Area.

(5)

目錄

第一章 緒論 ………1

第一節 研究背景與動機………1

第二節 研究目的………4

第三節 名詞釋義 ………5

第四節 研究限制………5

第二章 文獻探討 ………7

第一節 數學解題的意義………7

第二節 數學解題的歷程………9

第三節 數學題目的表徵型式與相關研究………19

第四節 商高定理概念之相關研究………29

第三章 研究方法與設計 ………35

第一節 研究方法………35

第二節 研究對象………36

第三節 研究工具………37

第四節 資料蒐集及分析 ………41

第五節 研究流程 ………43

第四章 研究方法與設計 ………46

第一節 四位學生在「形」、「面積」、「數」三類型題目的數學 概念展現………46

第二節 國二學生在商高定理單元中面對文字題及圖文題時的解題 歷程………79

第三節 兩種表徵題的能力指標概念及Schoenfeld階段交叉分析 ……113

(6)

第五章 結論 ……….117

第一節 結論 ……… 118

第二節 建議.………122

參考文獻 一、中文部份………129

二、英文部分………132

附錄 附錄一-1 專家勾選題(圖文題) ……… 137

附錄一-2 專家勾選題(文字題) ……… 141

附錄二-1 預試題目(圖文題) ………143

附錄二-2 預試題目(文字題) ………145

附錄三-1 正式題目 1(圖文題) ……… 146

附錄三-2 正式題目 1(文字題) ……….149

附錄三-3 正式題目 2(圖文題) ………151

附錄三-4 正式題目 2(文字題)………154

附錄四 逐字稿 ………156

(7)

表目次

表 2-1-1 學者的解題各項特徵整理比較表……… 9

表 2-2-1 Schoenfeld之解題階段及相關問題表 ……… 14

表 2-2-2 解題歷程劃分表………18

表 2-3-1 文字與圖畫表徵的差異………26

表 3-3-1 預試試卷雙向細目表………38

表 3-3-2 正式試卷雙向細目表………39

表 3-3-3 面試提示與發問示例表………41

表 3-5-1 研究流程進度表………45

表 4-1-1 四位學生在文字題及圖文題解題使用數學概念種類及次數一覽表 77

表 4-2-1 四位學生文字題及圖文題在解題六階段的時間分佈………109

表 4-2-2 四位學生文字題及圖文題在解題六階段的使用情形 ………110

表 4-2-3 四位學生文字題及圖文題在解題六階段往返次數分佈 ………111

表 4-2-4 四位學生解題成功失敗統計表………112

表 4-3-1 四位學生解題使用概念及階段往返與答對題數的關係表 …………113

表 4-3-2 三類型題目下解題使用概念及階段往返與答對題數的規則表………114

表 4-3-3 三類型題目下解題使用概念及階段往返與答對題數的關係表 ……115

表 4-3-4 三類型題目下題目表徵對解題使用概念及階段往返與答對題數的影響 ………116

表 5-1-1 在三類型的題目中,不同表徵題對解題概念及解題歷程階段往返的 異與影響………117

表 5-1-2 不同表徵題對解題概念及解題歷程階段往返及時間的差異與影響 ………. 117

(8)

圖目次

圖 2-2-1 Schoenfeld 之解題基模大綱………15

圖 2-2-2 Glass與Holyoakh問題解決模式………17

圖 2-3-1 Lesh, Post與Behr表徵關係圖 ………..23

圖 2-3-2 Lesh, R., Landau, M.與Hamilton, E.解題過程 ………. 24

圖 2-4-1 周髀前幾頁 ………..30

圖 2-4-2 周髀的”弦圖”………31

圖 2-4-3 趙爽注周髀算經之弦圖………... 31

圖 2-4-4 勾股定理課程流程………33

圖 4-2-1-(1) 小諺足球場文字題解題歷程………81

圖 4-2-1-(2) 小諺足球場圖文題解題歷程 ………81

圖 4-2-2-(1) 小諺池塘文字題解題歷程 ………82

圖 4-2-2-(2) 小諺池塘圖文題解題歷程 ………82

圖 4-2-3-(1) 小諺八邊形文字題解題歷程………84

圖 4-2-3-(2) 小諺八邊形圖文題解題歷程 ………84

圖 4-2-4-(1) 小諺直線距離文字題解題歷程 ………85

圖 4-2-4-(2) 小諺直線距離圖文題解題歷程 ………85

圖 4-2-5-(1) 小諺纜車文字題解題歷程 ………86

圖 4-2-5-(2) 小諺纜車圖文題解題歷程 ………87

圖 4-2-6-(1) 小愛足球場文字題解題歷程 ………88

圖 4-2-6-(2) 小愛足球場圖文題解題歷程 ………88

圖 4-2-7-(1) 小愛池塘文字題解題歷程 ………89

圖 4-2-7-(2) 小愛池塘圖文題解題歷程………90

圖 4-2-8-(1) 小愛八邊形文字題解題歷程………91

圖 4-2-8-(2) 小愛八邊形圖文題解題歷程………91

(9)

圖 4-2-9-(1) 小愛直線距離文字題解題歷程………92

圖 4-2-9-(2) 小愛直線距離圖文題解題歷程………92

圖 4-2-10-(1) 小愛纜車文字題解題歷程………93

圖 4-2-10-(2) 小愛纜車圖文題解題歷程………94

圖 4-2-11-(1) 小淨足球場文字題解題歷程………95

圖 4-2-11-(2) 小淨足球場圖文題解題歷程………95

圖 4-2-12-(1) 小淨池塘文字題解題歷程………96

圖 4-2-12-(2) 小淨池塘圖文題解題歷程………96

圖 4-2-13-(1) 小淨八邊形文字題解題歷程………98

圖 4-2-13-(2) 小淨八邊形圖文題解題歷程………98

圖 4-2-14-(1) 小淨直線距離文字題解題歷程………99

圖 4-2-14-(2) 小淨直線距離圖文題解題歷程………99

圖 4-2-15-(1) 小淨纜車文字題解題歷程 ………100

圖 4-2-15-(2) 小淨纜車圖文題解題歷程 ………100

圖 4-2-16-(1) 小聰足球場文字題解題歷程 ………102

圖 4-2-16-(2) 小聰足球場圖文題解題歷程 ………102

圖 4-2-17-(1) 小聰池塘文字題解題歷程 ………103

圖 4-2-17-(2) 小聰池塘圖文題解題歷程 ………104

圖 4-2-18-(1) 小聰八邊形文字題解題歷程 ………105

圖 4-2-18-(2) 小聰八邊形圖文題解題歷程 ………105

圖 4-2-19-(1) 小聰直線距離文字題解題歷程 ………106

圖 4-2-19-(2) 小聰直線距離圖文題解題歷程 ………107

圖 4-2-20-(1) 小聰纜車文字題解題歷程 ………108

圖 4-2-20-(2) 小聰纜車圖文題解題歷程 ………108

圖 5-2-1 商高定理建議教學順序流程圖……… 126

(10)

第一章 緒論

本章共分成三節,分別為「研究背景與動機」、「研究目的」與「名詞釋義」。

詳述本研究之研究動機與目的,以及針對「不同表徵題」、「商高定理概念」 及

「解題歷程」做解釋。

第一節 研究背景與動機

從以前到近年,有關數學教學的研究,尤其是數學解題(problem solving)

能力的研究發展越來越受到重視。1977 年美國督導學會(National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM)指出「解題是學習數學的主要理由」,美國教 師協會(National Council of Teachers of Mathematics,NCTM,1980)指出:「解題 必須是學校數學教學的重點」,1989 年 NCTM 在其出版的中小學課程及評量標準 中的第一項即指出「數學即解題」(Mathematics as problem solving),NCTM(2000)

在<學校數學原則和標準>中將「解題」和「連結」、「溝通」、「表徵」等並列為 重要的學習標準,其中解題表現和題目的性質有密切的關係;並且在其 1991、

1995、2000 年所公布的課程標準都把「問題解決」列為重點之一(NCTM,2000)。 我國九年一貫新課程中,數學學習領域的教學總體目標之一為「學習應用問題的 解題方法」。「獨立思考與解決問題---養成獨立思考及反省的能力與習慣,有系統 地研判問題,並能有效解決問題和衝突」列為國民教育階段中所要培養的十大基 本能力之一、在課程目標中也明定「培養學生獨立思考與解決問題的能力」,由 此可知學習數學解題的重要性,而如何培養學生的解題能力成為數學教學的重要 課題。

近年來的數學解題方面的研究,已不再只是看重解題的結果,也就是不只有 依學生解題後的答對率作為評量的資料,而是開始朝認知歷程的方向去探討

(11)

(Krutetskii, 1976),並配合使用晤談原案(protocol)分析法,來進一步了解學 生解題時的心理歷程,從而對數學教學的診斷(diagnostic) 與處方(prescriptive)

有所幫助(Marshall & Smith,1987)。因此,數學解題思考歷程的探討,是協助 老師了解學生認知發展和認知結構的最佳方式(謝淡宜,1998)。經由解題歷程 的探討,老師們可了解學生如何運用舊有的知識結構、如何綜合條件、如何系統 化擬定計畫及解決問題等,並可深刻理解學生數學概念內化的程度。

文字題,就是一般所謂的應用問題。陳立倫(2000)認為文字題提供學生將 數學的計算技巧運用於各個情境中。Lave(1992)認為應用題是孩童將其在學校 所學的數學,轉換成未來進入世界所需要的一種數學工具。數學文字題在數學解 題訓練過程中佔有重要地位,其最大的特徵是藉由文字來敘述題目,但不需直接 陳述需要用哪一種計算過程來解題 (Marshall,1987)。目前而言,國中數學課 程中,文字題及文字附圖之圖文題是主要的兩種應用問題模式。然而,數學文字 題就學生數學學習上並不容易,一直以來,學生對文字題存有一定程度的畏懼

(Vasquez,1982)。閱讀文字題的解碼過程中更涉及複雜的個人認知歷程

(Cummins,1991)。學生要解決應用問題,除了具備計算能力之外,還涉及語意 理解(comprehension)和問題解決(problem solving)的運作歷程(Kintsch & Greeno, 1985)。Lewis 與 Mayer(1987)指出數學文字題是一種涉及語言轉譯與數學理論 的題型,就數學能力來說比一般計算題更需要高深的綜合能力,學生對此問題感 到最困難的地方,就是如何將語文轉譯成算式。為了克服學生解文字題的困難,

並引起學生興趣,倪玫娟(2004)研究發現,擬定適合各年級的教學目標,運用 生活化的教學佈題,可以引起學生的學習興趣,提高學生解題意願並促進學生的 思考。因此如何增進學生解決應用問題的能力,並提高學習興趣,一直都是數學 教育研究者關注的焦點。

Kaput(1985)認為,表徵應用在數學解題和學習上的議題有(1)如何讓數

(12)

因此,從表徵這個觀點來看學生解應用問題,教師可以使用不同表徵的題目來降 低學生在語言轉譯上的困難。因此學生解文字題的困難,也可以從呈現問題的方 式著手。 Paivio(1991)提出「雙代碼理論(dual-code theory)」,該理論主張人 類利用形象的(imagined)、及語言的(verbal)兩種代碼表徵訊息。形象代碼專 門處理非語言性物件的知覺訊息,能夠產生心像。此兩種代碼是人類處理訊息的 主要模式。若同時利用兩種代碼表徵訊息,其解碼、組織、強化、擷取等表現會 優於只有單一代碼。Lesh 等人亦(1987)指出,「圖像」(picture)可以內化為心 像(images)。解題者若能因此形成適當的心智表徵,則可以幫助學生了解數學 題目的訊息及所有狀態的關係(Mayer,1985)。國內外也有不少研究是以不同題 目表徵的型式呈現問題,來協助學生理解題意 (陳美芳,1995;林美惠,1997;

Moyer, Sowder,Threadgill-Sowder&Moyer ,1984;Sowder & Sowder, 1982)。綜合來 說,大部分的研究結果是學生在圖畫題的解題表現優於文字題,但是這些研究均 是以小學生為研究對象,鮮少有針對國中學生做研究。其中國二的學生,根據皮 亞傑的認知發展論已進入形式運思期,他們可以處理假設情境並加以推理,尤其 能從所得到的訊息產生抽象的關係。因此,研究者覺得國二學生在解文字題時,

是否會因具備抽象思考的能力,而能減少在文字題中語言轉譯上的困難?或者,

相同文字再加上較具體圖形之圖文題才較能增進學生的題意理解?因此,國二學 生對於文字題及圖文題的理解,是否會如上述研究的一樣圖畫題會優於文字題?

其解題歷程中所運用的概念及解題歷程是否會因題目外在表徵不同而有所不 同?又有什麼差異?研究者覺得這是值得探討的問題。

由上述可知,無論國內外,在數學課程中都重視解題,而解題困難重重,包 括文字題的理解,專家們均認為數學文字題的理解與表徵有關,所以,表徵扮演 了重要的角色。尤其國中的課程,深入探討了數與量、幾何及代數、統計與機率 與連結五大主題,更可以利用表徵幫助學生解題,因此在國中課程中不難找得到 表徵對解題的重要性。在國中課程中,研究者認為,商高定理單元可充分利用表 徵的轉換來探討學生的解題。商高定理單元在國中課程上來說是一個很重要的單

(13)

元,除了它是我國數學史上一個很重要的定理發現之外,單元內容中其所蘊含的 概念包含了數與量、幾何及代數,因此學生如果能學好這個單元,除了能承接國 一學習的數與量及代數的部分之外,更能為國二下的幾何學習奠定良好的基礎。

根據美國學校數學的課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)建議「數學教師要發展需要運用許多數學概念的問題情境」

(NCTM,1989),教師在教學時最好在同一個問題中將許多所學過的數學概念連 結在一起,而不是只運用某單一一個概念,這樣學生才會將數學視為一個整合的 整體(Leung,1991)。因此,商高定理這個單元包含多種數學概念,更適合在學 生的解題歷程中探討其所運用的概念及歷程。

基於上述理由,本研究期望以更深入的方式探討不同題目表徵型式下學生所 運用的概念及其解題歷程,希望藉由研究成果,讓教師在佈題時做更詳盡的規劃 及思考,以及更深入了解學生在面對文字題及圖文題時其概念的運用的差異及解 題歷程的差異,以幫助學生學習、思考及解決數學問題。

第二節 研究目的

根據前一小節的研究背景與動機,本研究針對國二學生探討在不同表徵題中 其解題過程中商高定理概念的運用,及解題歷程之研究,一方面從理論分析;一 方面從實際解題中進行了解。本研究的目的如下:

一、探究國二學生在面對文字題及圖文題時,商高定理單元中「形」、「面積」、「數」

三類型題目的數學概念展現。

二、探究國二學生在商高定理單元中面對「文字題」及「圖文題」時的解題歷程。

(14)

第三節 名詞釋義

一、「兩種表徵題」

「表徵」(representation), Kaput(1987a)認為數學中的表徵主要為個體腦 海中的心智運作歷程及將心智活動的產物外在化。本研究所指之「兩種表徵題」

是指題目用兩種表徵方式來呈現,其分別為文字題及圖文題。文字題是指題目用 文字的方式來呈現,而圖文題是指題目用文字加圖形的方式呈現。文字題與圖文 題的文字敘述相同,只是圖文題除文字外再加上與文意相同的圖。

二、「商高定理概念」

本研究所指的「商高定理概念」係指學生在解商高定理題目時所需要用到的 相關數學概念。研究者依據九年一貫課程綱要(研究對象的國二學生在小學階段 是依據 88 年暫行綱要、國中階段是依據 92 年正式綱要),與商高定理中「形」

商高定理、「面積」商高定理、「數」商高定理,分三個向度有關的能力指標來呈 現概念,包括面積的保留概念、根號的運算、面積拼補、座標距離等。

三、「解題歷程」

「解題歷程」是指解題者在整個解題過程的個人行為,包含組織和處理訊息 的方法,用以計畫和執行的認知策略知識,以及用來評鑑解題的方法(Lester,

1980)。本研究中,研究者依據 Schoenfeld (1985) 的「讀題、分析、探索、計畫、

執行、驗證」將解題歷程區分為六階段編碼分析,以了解學生在題目不同表徵下 的解題歷程順序與時間。

第四節 研究限制

本研究所探討的是以放聲思考的方式來探討國二學生在面對兩種表徵題 時,解題過程中商高定理概念的運用及解題歷程的差異。但由於受限於研究者本

(15)

身的能力與物力,本研究在推論對象、研究工具、研究方法上有若干的限制,若 要將本研究的結果推論到研究範圍以外的材料與情境時必須謹慎。

(一)推論對象的限制

由於研究對象是高雄市某完全中學國中部二年級的 4 位學生,並非所有 的國二學生,因此所得的結論未必能代表所有國中二年級學生的解題情況。因 此,所得的結果僅供類似地區的學校參考,這是本研究在推論上的限制。

(二) 研究變項的限制

本研究所指的兩種表徵題是分為文字題及文字附圖的圖文題。Moyer 等 人(1984)對題目的表徵方式分為圖畫題、短語題與文字題。因考慮到國中階段 的題目比較複雜,題目較難直接由純粹的圖畫題或短語題表示出,因此研究者採 用國中最常出現的應用問題兩種表徵型態,即文字題及圖文題,來做為本研究的 研究變項;其他形式的題目表徵也可能會影響學生解題的概念運用及歷程,此有 待更多的研究加以驗證。

(三)研究方法的限制

本研究採用放聲思考的方式來探討國二學生在面對兩種表徵題時,解題 過程中商高定理概念的運用及解題歷程。對於解題歷程採用 Schoenfeld(1985)

的「讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證」,將解題歷程區分為六個階段。雖 然 Schoenfeld 對六個階段提出一些相關的問題,但卻不是具體的操作型定義。受 試者在解題的歷程中,腦中的運作狀態是很迅速且複雜的,因此研究者在劃分階 段時,有可能會有階段區分上的兩難。另外,因為本研究是屬質性研究,研究者 在整個資料蒐集、施測及分析中,雖然力求客觀,卻難免參雜個人偏見在內。這 也是本研究的一個限制,有待更多的研究來努力與克服。

(16)

第二章 文獻探討

本章共分成四節,主要根據國內外文獻研究 「數學解題的意義」、各專 家學者的「解題歷程」及「題目的表徵型式與相關研究」,及針對本研究所探討 單元「商高定理概念及歷史」。期在進行研究之前,先探討有關的重要理論與文 獻,做為本研究的依據。

第一節 數學解題的意義

無論是在國內或是國外,訓練學生的解題能力已是數學教育重要的一環。美 國數學教育強調解題能力,以發展學生的表述、抽象化、邏輯推理、歸納、尋找 規律性的數學能力,是一種思考能力的訓練(NCTM,2000)。

國內九年一貫的數學課程目標中明定培養學生獨立思考與解決問題的能 力,其中數學課程綱要也強調問題解決就是運用個人先前已備的經驗、知識、技 能和了解,去思索、探索、推理,到新的或不熟悉的情境,去尋求解答的歷程(教 育部,2003)。

解題的意義,美國督導學會(National Council of Supervisors of Mathematics , NCSM,1977)將數學解題界定為「個體將過去所獲得的知識,應用到一個未知 或不熟悉的問題情境歷程」。

除了 NCSM 之外,有許多國內外學者提出個人的見解,例如 Brownell(1942)

則認為「解題可界定在三種情境之下:1.題目要求一個在某一特定情況下的解 題;2.此人並沒有任何已建立的或容易評估的程序來解這個問題;3.此人試著來 解這個問題」。

Polya(1945)認為解決問題就是為了要達到一個被清楚意識到但又不能立即 達到的目標,期間沒有方法被告知,但卻要克服困難,繞過障礙去發現達到此目

(17)

標的方法。

另外,Lester(1980)認為數學解題是指 「個人面臨一種情境,在此種情境 下並沒有算式可以保證解答,個人必須利用所擁有的相關知識或訊息,去獲得問 題解答所涉及數學技能、概念的過程」。

美國的 Kilpatrick(1985)指出「所有的數學都是數學家們在形成問題及解題 的過程中創造出來的」。他曾以三個不同的觀點來敘述數學解題的定義:

一、從心理層面而言:數學解題常被定義為一個情境,在此情境中,某人想到達 某一目標,但直接通往此目標的路徑被封住了,因而產生問題,而在尋求答 案的過程中,需要用到一些數學概念、原理、方法等,亦即把解題看成「人 為了達成某種目的而做的一些活動」。

二、從社會—人類學的層面而言:把一個數學問題當作是老師給學生的一項任 務,學生在接受此項任務時與老師產生微妙關係,師生雙方根據自己所關注 的焦點,而相互解釋對方的行動和意圖,及從自我觀點出發來解釋對方的行 為。

三、從數學及數學教學的層面而言:將數學問題當作是數學建構的泉源及數學教 學的工具,亦即透過數學解題的教學,學生可以建構自己的數學知識。所以,

數學解題是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。

而 Mayer(1992)則認為一個問題的產生通常具有三種特徵,分別是:已知 特徵、目標特徵、及障礙特徵,而解題就是從已知狀態移動到目標狀態的歷程。

國內學者黃敏晃(1991)認為解題者對他所面臨的問題,可憑其自然的推理 能力,先前學過的知識或獲得的能力,或藉此問題之組織安排而加以了解,解題 就是解題者如何把自己從困境中解脫出來的過程。劉秋木(1996)認為解題是縮 減初始狀態與目標狀態的差異,是問題表徵的建構與再建構。

將上述各學者對解題各項特徵的敘述做比較整理成下表(表 2-1-1)。

(18)

表 2-1-1 學者的解題各項特徵整理比較表

解題特徵 各學者

情境 無預設方

法、程序

利用舊經驗 繞過障礙 達到目標

建構數學知 識

Brownell

(1942)

特定情況 沒有已建立 的程序

試著來解這 個問題 Polya(1945) 沒有方法被

告知

繞過障礙達 到目標 Lester(1980) 面臨某情境 沒有算式可

以保證解答

利用所擁有 的相關知識

獲得問題解 答所涉及數 學技能、概念 Kilpatrick

(1985)

老師給學生 一項任務

通往目標的 路徑被封住

為了達成某 種目的

學生可以建 構數學知識 Mayer(1992) 已知特徵 障礙特徵

目標特徵

黃敏晃(1991) 先前學過的

知識

將自己從困 境中解脫出

劉秋木(1996) 初始狀態 目標狀態 問題表徵的

再建構

綜合以上各學者的見解可知,數學解題的意義指解題者在面對一個新的或不 熟悉的數學問題情境時,無法由記憶中立刻蒐尋出解答,必須重新思考並運用自 己所擁有數學知識、經驗、策略技巧等,來解決問題獲得答案的心理歷程。

第二節 數學解題的歷程

本節參考 Polya (1945)、Schoenfeld (1985)、Lester (1980)等學者對解題歷程的 論說。分述如下:

一、Polya 的數學解題歷程模式

Polya (1945)是最早有系統提出解題策略的學者,他在其所著的「怎樣 解題」(How to solve it)一書中,強調解題的重要性,並將解題歷程分為四 個階段:1.瞭解問題( understanding the problem);2.擬定計劃( devising a

(19)

plan);3.執行計劃( carrying out the plan);4.回顧解答( 1ooking back)。

其解題歷程四階段說明如下:

(一)瞭解問題:

1. 解題者必須了解「未知數是什麼?」「已知數有什麼?」 「有什麼條 件?」 「要確定未知數,條件是否充足?不夠或過多?或是矛盾?」

2.畫一個圖,引入適當的符號。

3.解題者是否可寫下條件的各個部分?

(二)擬定計劃

找出原有資料和未知數之間的關係,如果找不到,要考慮如何輔助以去 解決,解題者應該有解決問題的計畫。

1.解題者以前看過這個題目嗎?或看過相同但以不同形式表達的題目?

2.解題者知道與這個題目有關的問題嗎?知道解題可用的定理嗎?

3.注意未知數!嘗試去想一個有相同或類似未知數的熟悉問題。

4.解題者能重述問題嗎?是否能用不同的方式來重新敘述它?

5.如果解題者不能直接解這個問題,先嘗試從一些相關的問題著手。解 題相似或類比的問題嗎?或是能解這個問題的某個部分?解題者能從 已知條件導出有用的結果嗎?若只保留已知條件的一部分,這樣對於 未知數能確定到什麼程度?能考慮其他已知數以決定未知數嗎?解題 者可以怎麼改變已知數和未知數?如果必要的話,兩個都改變,則新 的未知數會和已知數更接近嗎?

6.解題者使用了所有的已知數了嗎?使用所有的條件了嗎?解題者是否 已經考慮過與這個問題相關的所有必要概念嗎?

(三) 執行計畫

執行計畫並檢查每一個步驟。解題者能清楚的確定每一個步驟都正確

(20)

1.解題者能檢驗答案或檢驗論證過程嗎?

2.解題者能用不同的方法導出這個結果嗎?或能將這個結果或方法 應用到別的問題嗎?

二、Lester 的數學解題歷程

Lester ( 1980 )以六階段來描述數學解題,並強調這六個階段的關係是不同但 卻相互關聯的。說明如下:

(一)察覺問題( problem awareness):

解題者對所面臨的情境,能了解困難的存在並覺察到是一個問題, 並且 有意願解決問題。如果學生沒有意識到困難或沒意願去解決問題,這整個 歷程是無意義的。此時解題者須了解:

1.在問題中相關及非相關的訊息是哪些?

2.了解訊息間的關係嗎?了解所有項目的意思嗎?

(二)理解問題( problem comprehension):

此階段發生於當學生開始對這個問題產生感覺(making sense out of the problem)時。這個階段包含兩個子階段:

1.轉譯( translation ):解題者將問題所提供的訊息轉換成對自己有意義、可 以理解的語句。

2.內化( internalization):解題者提取相關的訊息並分類,且判斷彼此相關 的程度。

很重要的是,在這個階段解題者會形成內在的問題表徵(an internal representation of the problem),此表徵會隨著解題者在一步步尋求解答的過 程中,從起初可能的不正確到之後的精確性提高。

(三)目標分析( goal analysis):

對於某些題目適合建立子目標,有些則不需建立子目標,而此子目標的確 認,也包含了問題組成部分的確認,通常有助於問題理解及歷程發展,也

(21)

便於應用熟悉的策略與技巧。此階段解題者將訊息歸類,並作成細目,而 且認清問題的結構,以便更進一步了解問題的成分,是否符合以下條件:

1.有任何子目標可以幫助達成目標嗎?

2.這些目標有一定的次序嗎?

3.這樣的次序編排正確嗎?

4.有正確認清問題的運算條件嗎?

(四)計畫發展( plan development):

計畫的發展包括了辨認更多可能性的策略。解題者擬定一個可行計畫、清 楚可行的策略,將子目標編列程序和詳細運算。解題者要能了解解題進行 的程序和方法,而這個階段常是學生感到較難的部份,因為學生常無法去 組織他們的思考與計畫。因此解題者應注意下列事項:

1.是否有其他的方法可以解這個題目?

2.有更好的方法嗎?

3.是否曾經解過這類的問題?

4.這樣的計畫能達成目標或子目標嗎?

(五)計畫執行( plan implementation):

解題者執行擬定的計畫。執行錯誤的可能性會提升混淆的情境,有時解題 者會因為簡單的計算錯誤而無法找到正確的模式。因此解題者應注意下列 事項:

1.使用的策略正確嗎?

2.計畫的步驟順序正確嗎?還是能使用不同的順序?

(六)程序和解答評估( procedures and solution evaluation ):

此階段不僅要檢查答案是否有意義,而且從目標分析到發現解答的解題歷

(22)

2.解題者所學的能幫助我解其他的問題嗎?

三、Schoenfeld 的數學解題歷程模式

Schoenfeld (1985)強調數學解題的研究方向需要考慮四個變項:資源

( resources )、捷思( heuristics )、控制( control )及信念系統( belief system )。此亦數 學解題表現應具備的知識及行為。此四個變項分述如下:

1.資源是指解題者擁有有關解題的相關數學知識,而這些數學知識包含了數 學的直覺與非正式知識、已知的事實、數學原理原則及運算程序等知識。

2.捷思是指捷思策略( heuristics strategies )而言,就是用來解不熟悉或非標準 問題的策略和技巧,即有效率解題的主要法則。許多的解題研究都非常重 視學生在解題歷程所使用的啟思策略,例如簡化問題、畫表格、尋找組型、

逆推、猜測等等。

3.控制則是著重在解題者解題時,如何決定計畫、如何選擇目標和次目標,

監控並評估解題結果等方面,即有關前兩項資源與策略的選擇與執行的決 定。Schoenfeld 認為控制的因素與心理學上的後設認知有相當大的關連性。

4.信念系統是指解題者對於自己、環境、主題及數學的觀點,而解題者擁有 的數學觀將會影響其解題行為。

Schoenfeld (1985)曾使用放聲思考的方法訪談三位大學生,將轉譯出的原案分 為一塊一塊的情節(episodes),他發現在資源、捷思、控制及信念系統等四項變 項中,控制因素居於較為關鍵的地位。因為如何有效的運用資源,如何採用適當 的捷思策略,常常是由控制因素所主導。所以特別在解題歷程中,以控制因素的 觀點,將解題歷程區分為:1.閱讀;2.分析;3.探索;4.計畫;5.執行;6.驗證等 六個階段。他將解題行為分為上述六個情節,從鉅觀的原案分析可以看出解一道 數學問題時,花多少數時間在每一個情節上,以及情節之間轉移的情形(表 2-2-1)。另並將Schoenfeld之解題基模大綱表示於圖2-2-1。

(23)

表 2-2-1 Schoenfeld 之解題階段及相關問題表(譯自 Schoenfeld, 1985, p.279~301)

六 個 階 段 階 段 相 關 問 題

一、閱讀(reading) R1:注意到問題所有條件嗎?條件是明顯的?或是模糊 的?

R2:正確了解目標狀態嗎?目標狀態是明顯的?或是模糊 的?

R3:是否評估解題者現有知識與問題之間的關係?

二、分析(analysis) A1:選擇什麼觀點?此選擇是明確的或是不明確的?

A2:採取的行動是否根據問題條件?

A3:採取的行動是否有朝向目標?

A4:條件和目標有何關聯?

A5:解題者的行動(A1-A4)合理嗎?

三、探索(exploration) E1:本階段是問題的條件引起的?或目標引起的?

E2:所採取的行動有方向或重點嗎?行動有目的嗎?

E3:有無監控行為?監控行為的有無對解答的結果有何影 響?

E4:解題者所採取的行動是否合理?

四、計畫-執行 (planning-implementation)

PI1:是否有計畫行為?

PI2:計畫與解題有關係嗎?是否適當?是否有良好的架 構?

PI3:學生是否評估計畫的相關性、適當性及結構性?

PI4:執行時是否依循計畫有系統的進行?

PI5:是否在局部或整體層次評估執行?

PI6:評估的有無對結果的影響如何?

五、驗證(verification) V1:解題者是否重新檢查解答?

V2:有無考驗解答?若有的話,將如何考驗?

V3:有無對歷程及解答的評估?對結果的信心如何?

六、遷移(transition) T1:對解題的當前狀態有無評估?若放棄一種解題途徑,

是否有想去利用其中有用的部份?

T2:有無評估先前放棄的解題途徑,對解答產生的局部與 整體影響如何?所採行動適當而必要嗎?

T3:是否評估採取新解題途徑的任何影響?或直接就跳入 新的方法?

T4:採用新途徑後有無評估所有的影響?行動是否適當而 必要?

(24)

15

問題

可用的公式、

原則及結構

基模解答

暫時性解答

驗證後答案

較小困難

較大困難

更多可用的 相關問題或 新資訊 分析

了解問題陳述 簡化問題 重構問題

計畫 建構解題的論點 問題層次分解:

整體到特殊性

執行 逐步執行計畫

局部驗證

驗證 特殊性檢測 一般性檢測

探討 基本相似的問題 稍微地修改問題 廣泛地修改問題

(25)

四、Mayer 的數學解題歷程模式

Mayer (1992)從問題解決認知的觀點,將解題歷程分為兩個階段,每個階段 又包含二個步驟,分述如下:

(一)問題表徵( problem representation ):即將問題的文字或圖像轉換成內在的心 智表徵,此階段包含二個步驟如下:

1.問題轉譯( problem translation ):將每一個句子或主要的詞句轉變為內在心理表 徵。解題者在此步驟需要了解題目句子的意義,因此問題轉譯需要有良好的語 言知識及語意知識,而將問題從文字表徵轉換成心理表徵對學生來說常是不太 容易的。

2.問題整合( problem integration ):問題整合要求解題者將問題中的訊息統整成連 貫的表徵,為了整合問題的訊息,解題者需要具有基模知識( schematic knowledge ),以區分問題的類型。

(二)問題解決:即從問題的心理表徵到最後答案的過程,含二個步驟如下:

1.解答的計畫與監控( solution planning and monitoring ):解題者要能擬定解題計 畫,並監控自己的解題行為過程。此步驟需要具有如何解決問題的策略知識。

2.解題的執行( solution execution ):解題者要能運用數學算則以求得解答。此步 驟需要程序性知識,以便正確且有效的應用算則來執行計算工作。

在解題過程中,每個步驟所需的知識並不相同:在問題表徵階段,轉譯過程 涉及語言知識和語意知識;整合過程則運用到基模知識。在問題解決階段,解題 計畫與監控和策略知識有關;解題的實施則需運用程序知識。

(26)

五、Glass 與 Holyoak 的解題模式

Glass 與 Holyoak(1986)曾以一個可循環的通則的流程圖,如圖 2-2-3,來表 示解題的歷程:

圖 2-2-2 問題解決模式(譯自 Glass 與 Holyoak, 1986, p367)

此流程圖包括四個重要的步驟:

1. 形成問題表徵:理解題意,了解目標,形成適當的問題表徵。由於不同的表 徵會形成不同的解題策略,所以此步驟是問題解決的第一道關卡。

2. 嘗試計畫:此步驟乃是依照表徵形成計畫,利用方法---目標(means-ends)的 分析方式,一步一步找出答案,運用一些操作以建構能產生解答的步驟 。 3. 重新陳述問題:如果初步的問題表徵無法滿足解題的需要,嘗試以另一種方

法來陳述或表徵問題。通常此部分的工作,是移除一些觀念上的阻礙(conceptal block),或是找出與此題目相似的線索,來重新建立問題的表徵,以利解題(唐 淑華,1990) 。

4. 執行計畫並檢查結果:此為問題解決的最後步驟。執行所擬定的解題計畫,

嘗試重新 陳述問題

被困住,停頓之 後,重新回到(3) (3)

嘗試計畫,

以尋求答案

執行計畫,

並檢查結果 形成一個初步

的問題表徵

(4) (1) (2)

失 敗

成 功 成

功 失

作出 答案 計畫

有效

計畫無效

(27)

如果失敗,則加以檢討,重新擬定新的解題計畫。

六、Lesh 和 Landau(1983)的解題過程

Lesh 和 Landau(1983)由數學模式的角度,描述解題的過程

1. 將問題簡化,注意問題情境中的重要條件,忽視非相關的資訊。

2. 建立問題情境與數學模式的相對應關係。

3. 使用數學模式中擁有的條件,來推論出新資訊。

4. 將獲得的新資訊,由數學模式回應於原始情境,並檢查此結果是否合理。

綜合上述各學者對解題歷程的論說,發現彼此之間的內容有相似,但階段分 類有所不同,以 Schoenfeld 的六階段分類為主,將各學者對解題歷程的劃分做比 較整理如下表(表 2-2-2)。其中以 Schoenfeld 的六階段分類較為詳細,適合作為 國二學生解題歷程分析的理論依據,因此本研究選擇從 Schoenfeld 的讀題、分 析、探索、計畫、執行、驗證六個階段解題歷程來探討學生在面對文字題及圖文 題時其概念的運用的差異及解題歷程的差異。

表 2-2-2 各學者的解題歷程劃分比較表

學者 解題歷程 解題過程

Polya 瞭解問題 擬定計劃 執行計畫 回顧解答

Lester 察覺問題 理解問題 目標分析 計畫發展 計畫執行 程序和 解答評估 Schoenfeld 閱讀 分析 探索 計畫 執行 驗證 Mayer 問題轉譯 問題整合 解答的計畫與監控 解題的執行 Glass 與

Holyoak

形成問題表徵 嘗試計畫、重新陳述問 題

執行計畫並檢查結果 Lesh 與

Landau

簡化問題 建立對應 關係

推論新資訊 回應回原始情境並檢

查結果

(28)

第三節 數學題目的表徵型式

許多學者(Gagn’e, 1985;Mayer, 1987)認為,解題者對問題所形成的「表 徵」是解題成功或失敗的重要關鍵。然而學生因為無法充分了解題意,或無法形 成適當的問題表徵,可能與數學問題的呈現方式有很大的關係。因此,在本節中,

研究者將從 5 個部份:表徵的意義、種類、表徵間的轉換、不同題目表徵之間的 差異及數學題目表徵的相關研究,來探討表徵對學生解題的影響。

一、表徵的意義

由於每位學者所持的角度不同,因此對於「表徵」(representation)的定義 也有所不同的見解。配合本研究目的,從心理學及數學方面來說明表徵的意義及 其功能。

在心理學方面,張春興(1989)指出,表徵是事物以不同種類或符號化的形 式來代表的歷程,在認知心理學上是指訊息處理過程中,將訊息編碼並轉譯成另 一種形式,以便儲存或表達的歷程。

在數學方面,Lesh, Post 與 Behr ( 1987 )以溝通及問題解決的角度,指出「表 徵」是指心智過程模式化所使用的符號系統,如圖形、符號、語言文字、具體操 作物,也就是學童內心的概念轉為看得見的外在表現。而美國數學教師協會

(NCTM, 2000)主張數學表徵是一種數學概念的呈現方式,代表人們對於數學概 念的理解與應用。Kaput(1987a)認為數學中的表徵主要為個體腦海中的心智運 作歷程及將心智活動的產物外在化。

綜上所述,表徵是指將內心的想法,用他人可以理解的方式表現;亦即用另 一種形式將事物或想法重新表現出來,具有溝通的功能。所以,「表徵」除了是 人類進行學習的重要媒介以外,更是個體在進行運思時的重要工具;而且當個體 能將「表徵」所表現的意義確實掌握之後,「表徵」便更進一步成為運思的材料,

(29)

簡化了人類思考的過程(蔣治邦,1994)。因此表徵是幫助我們思考、解題、溝 通、以及詮釋各種事物以及現象的重要工具,其具備有溝通及運思的作用,與數 學學習有密不可分的關係。

二、表徵的種類

由上述表徵的意義得知,表徵扮演兩種角色:「運思的材料」與「溝通的媒 介」(蔣治邦,1994),而在數學教學上,老師又常將表徵型式當作一種「認知 歷程的輔助工具」。所以表徵的分類因切入的角度不同而有所差異,以下分別提 出三位學者的看法來說明表徵的三種觀點:

(一)從「運思」的觀點

Bruner(1966)由運思方式的觀點,區分成三種表徵,分別為:

1. 動作的(enactive)表徵:是指接受到刺激後,所引發的外在行動反應,透過行動 手段,來掌握概念或事物,例如:學生實際用桌角或牆腳來了解何謂垂直。

2. 圖像的(iconic)表徵:是指用「心像」(image)來掌握概念,換言之,即使具 體物已消失,在腦中仍留有心像。運思活動是以心像為材料,進行內在的活動。

例如:多邊形圖示法、用平面座標說明相關位置。

3. 符號的(symbolic)表徵:是指用符號來掌握概念,對符號進行運思。符號與心 像不同,它本身是一個隨意選擇的記號,它與實物之間並無任何類似之處,不像 心像是外在實物的影像,它代表了實物或心像的某一種性質的抽象意義。例如:

84 、2x2

Bruner(1966)認為智力的成長(即運思活動)逐漸可以使用符號來認知,

亦即漸漸地不再依賴外在的刺激。兒童運思活動從具體操作的過程獲得經驗,接 著運用感官對事物所得的心像,去了解周圍的事物與現象,得到圖像及符號表 徵,此二種表徵皆是心智活動的產物,可以保留在記憶中,或再重新自行建構出

(30)

現的時空限制,但是這些較抽象的表徵,是在學習經驗中發展出來的(蔣治邦,

1994)。

(二)從「認知歷程」的觀點

Kaput(1987a)從認知歷程的觀點,將數學中的表徵系統分為四類:

1.認知與知覺的表徵(cognitive and perceptual representation):指個體內在對於知識 與訊息的表徵,亦即為個體大腦中將訊息儲存或轉換的型式。

2.解釋性表徵(explanatory representation):指自然語言或心像與其他數學符號間的 聯結,用以描述心理結構的模式。

3.數學內的表徵(representation within mathematics):指不同數學結構之間的關聯,

亦即為以數學的某一結構來呈現另一種結構特性的系統。

4.外在符號表徵( external symbolic representation ):指以外在的符號物體來表徵數 學概念的系統,是用來表示抽象的數學概念的物質型式。

Kaput表徵的分類中,前三種屬於心智活動的產物,為「內在表徵」;第四類屬 於「外在表徵」。心智活動的產物主要是在個體腦海裡的心智運作。而外在表徵 則是將心智活動的產物,用不同的表徵方式表現出來,即指將問題的某些部份外 在化,利用不同型式表現出來。個人對於外在表徵的運用,即反映出知識的內在 表徵。

(三)從「溝通」的觀點

Lesh等人(1987)以溝通的觀點,認為數學學習及數學解題有五種不同的表 徵。不同的問題會影響所需的表徵系統,而直接影響題目的難易程度,更影響學 生的數學思考。數學概念可以用下列五種表徵呈現:

1.真實情境( experience-based scripts ):指學童運用實物或是真實情境的東西與知識 等,來表示問題中的情境與內容並藉以解決問題。如:學生實際用桌角或牆腳來 了解何謂垂直。

2.教具模型( manipulative models ):透過具體物之操作,以探討數學概念,如:用 商高定理泡棉拼圖組去理解商高定理面積拼補的概念。

(31)

3.圖像( pictures or diagrams ):利用靜態的圖畫模式,如:數線、平面座標等,

以增強概念的發展。

4.語言(spoken language):運用日常生活用的口語陳述,以表達想法或解題過程,

如:直角三角形兩邊平方的和會等於斜邊平方。

5.符號( written symbols ):常用之數學符號或數學算式,如同語言,也包括特殊化 的句子和片語。如: 84 、2x2等。

上述各學者對表徵的看法在某些觀點上是有所不同的,Bruner與Kaput認為表 徵是個體內心的活動,所以當個體形成心像或符號,並不必然需要與他人溝通,

而動作、圖像、與符號的表徵代表著運思的抽象程度;然而,Lesh所謂的表徵,

以溝通為目的,運用不同表徵之轉換能力作為判斷理解知識的證據。雖然三者的 分類觀點不同,但是相同的地方為學習者必需從不同型式的表徵系統中獲得數學 概念,更要能將同一數學概念在不同表徵之間自由轉譯,才表示完全理解數學概 念。

一般認為,圖像表徵及具體物表徵與被表徵的實物之間相似性比較高,也比 較容易掌握(蔣治邦,1994),也因此圖像表徵、符號表徵成為一般評量時最常 使用的題目表徵方式。因此本研究將數學題目的表徵分為圖像表徵、符號(文字)

表徵兩方面,即圖文題及文字題,來探討學生在商高定理的解題概念運用及歷程。

三、數學表徵的轉換

在數學的學習上,同一個數學知識或概念均可用多種不同的形式加以表徵,

數學概念並不受外在表徵形式改變所影響(蔣治邦,1994;Hiebert & Carpenter,

1992;Kaput, 1987a,1987b)。這是一種特殊的性質---「多義性」,使得相同的 數學概念並不會隨著外在表徵型式的變化而受到影響,例如,「⊥」、「90°」、

「垂直」雖是不同的表徵形式,仍代表同一個數學概念。

(32)

系統來表徵數學的概念,一個是能以多重的表方式徵來呈現某一個概念,並且能 夠在不同表徵系統間作轉換。Brenner 等人 (1999) 認為表徵系統的轉譯方式分為 兩類,一類為在某一個表徵系統做轉譯;另一類則在各個表徵系統之間的轉譯。

其實,Davis 和Brenner 等人的說法是一樣的,例如,將∠ABC=90°在符號系統中 做轉譯,可轉譯成 AB ⊥BC…等符號表徵,是完全在單獨一個表徵系統作轉譯;

如果將∠ABC=90° 符號表徵透過畫圖、語言、具體物來表示,則是在各種表徵 系統之間的轉換。而許多學者認為學童是否能自由的將各種表徵系統互相翻譯或 轉換,是判斷數學概念理解程度的一項重要指標(吳昭容,1990; Lesh & Landau,

1983)。

Lesh等人(1987)認為表徵分類所強調的不在於區別不同表徵系統,而是在 於表徵系統間的轉譯(translation)。其彼此間的關係如圖 2-3-1:

圖2-3-1 表徵關係圖(譯自Lesh,Post 與 Behr, 1987, P34)

而圖2-3-2重現了一個雖然過度簡化、概念化但是有用的解題過程。例如,問 題的不同面向可能以不同的表徵系統被重現,而解題過程可能牽涉到在一些系統 中來回地建立圖像─可能使用圖片作為真實情境和書寫符號的媒介物。

圖畫

文字符號

口語符號 實物情境

具體操作物

(33)

圖2-3-2 解題過程(譯自Lesh, Landau & Hamilton, 1983, p271)

Lesh等人(1987)認為學生能在不同的表徵方式中自由轉譯,表示已經了解 其概念意義。而要如何知道學生是否能透過表徵來理解一個概念呢?其認為經由 不同形式的數學表徵轉譯過程,能夠得知學生對於概念意義的掌控情形。並認為 學生必須具有下列條件才算了解一個概念:

(一)他必須能將此概念放入各種不同的表徵系統之中。

(二)在給定的表徵系統內,他必須能很有彈性地處理這個概念。

(三)他必須能將此概念正確地從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。

而游自達(1995)也認為數學學習應該要注重不同表徵系統之間的連結,並 且能夠利用多樣化的表徵方式來代表數學概念,並認為老師在教學時,應注意下 列三點以讓學生能連結不同的表徵系統:

(一)讓學童能掌握符號系統,並做有意義的操作;

(二)注意不同表徵系統間的關聯;

真實情境

轉譯

圖像

轉換 轉譯

(34)

2003;蔣治邦,1994;Brenner,et al., 1999; Cramer, Post, & del Mas, 2002; Dreyfus &

Eisenberg, 1996)指出能夠彈性地運用多重的表徵去呈現數學概念,才代表真正 理解概念,這觀點也與Lesh等人有異曲同工之妙。也有一些學者(Brenner et al., 1999; Dreyfus & Eisenberg, 1996; Fennell & Rowan, 2001)進一步指出,善用多樣化 的表徵形式,例如圖形、操作具體物、或是寫出數學方程式… … 等等,將有助 於學生組織思考以及分析問題的呈現。

綜而言之,多位學者均肯定不同表徵方式在學生數學學習上的意義。學生若 能適當地運用多樣化的表徵,不僅能夠增進數學概念的理解,並且可做為與他人 溝通數學想法的媒介。若是將其應用在真實的問題情境,更能進一步解決生活當 中所面臨的問題。因此,在數學學習如果多提供學童運用表徵的機會,讓表徵成 為數學思考能力的工具,對於學童數學概念的發展有很大的助益。因此蔣治邦

(1994)認為,不論呈現何種表徵做為溝通的刺激,接受訊息者皆能轉譯,即使 用自己的方式重新表徵而不失原意,如此的轉譯過程,有助於學生解決問題及數 學的學習。

四、不同題目表徵之間的差異

由於表徵是運思的材料,若能透過不同題目表徵型式的輔助,幫助學生理解 問題的敘述,改善學生解題時的工作記憶負荷,對其解題表現將有所助益

(Juhani,1995)。由於本研究將表徵分為圖像表徵、符號(文字)表徵兩方面,

因此就圖像表徵、符號(文字)表徵的差異做探討:

圖示法是外在表徵中最常被應用的策略(杜佳貞,1999)。有些學者認為圖 示具有統整性與具體性,可以幫助學生形成恰當的表徵,豐富其數學概念,增進 解題表現(Bishop, 1989;Webb 與 Sherrill, 1974)。然而Clement(1981)認為圖 示法對於學生在形成有效的問題表徵上是無助益的,甚至會造成學生概念抽象化 的困難(引自陳啟明,1990)。以下就「訊息呈現」與「訊息解讀」兩方面來比 較:

(35)

(一)訊息呈現方面:使用圖畫形式加上簡單的文字說明,在訊息的傳達上較為 精鍊,容易引發學生的解題興趣。相反的,文字型式在訊息的傳達上就比較繁雜,

或許因此造成學生在閱讀理解上的困難(張欣怡,1997)。

(二)訊息解讀方面:個體讀取文字訊息時,必須從頭開始閱讀與搜尋相關資訊,

然後儲存在記憶中,之後週而復始的搜尋下一個需要的資訊,直到解題所需要資 訊都齊全為止。反之,在圖畫題中,通常找到第一個資訊,解題者就容易在鄰近 的地方搜尋到其他的相關資訊了(Larkin & Simon, 1987)。

以下將文字與圖畫表徵的差異整理成下表:

表2-3-1 文字與圖畫表徵的差異

表徵型式 文字 圖畫

差異性

*需要較多的說明與描述,因此 內容比較繁多。

*只可使用單一表徵方式(文字)

來呈現訊息。

*關係是隱示的(implicit)。

*資訊間的連結並不緊密,即下 一個資訊並不一定是在下一個敘 述中 。

*訊息表達較為精鍊,因此內 容較為簡單明瞭。

*可以利用各種不同的表徵方 式,如圖畫和符號,來呈現訊 息。

*關係是明確的(explicit)。

*資訊間的連結較緊密,即下 一個資訊即有可能是在鄰近的 位置出現。

因此有學者(Moyer et al., 1984)認為圖像表徵在數學的學習上的優點如下:

1.減少與閱讀有關的工作記憶 2.幫助學生回憶類似記憶,建立適當的問題表徵 3.鼓勵學生投入理解題意 4.使曖昧不清的題意更明確,彌補文字資料的不足。

另外,在文字題方面,若問題的陳述內容若與學生的經驗有關,將有助於訊

(36)

題的問題長度太長,包含了較多的訊息待處理,會增加解題者工作記憶的負擔

(Barnett, 1984;林文生,1996),減慢解題的速度或增加解題困難。

其實,每一個表徵的系統皆不相同,因為它們強調或不強調不同方面的概念 重點及建構。它們在處理相關概念、資料簡化、及在不同情況下的精簡皆不相同。

舉例來說,有些圖形值一千字,有些語言則簡潔與更有效率(Lesh, Landau &

Hamilton, 1983)。因此,學生在面對圖像表徵、符號(文字)表徵兩種不同的表 徵系統時,其解題概念運用及解題歷程的差異,是值得探討的問題。

五、數學題目表徵的相關研究

在進行數學教學時,教師常會利用一些圖表或圖示,做為輔助教學的工具,

此即數學解題中的「外在表徵」。而近年來,以外在表徵教學來促進學生數學解 題的能力,已是一個研究的焦點。在荷蘭 Freudenthal Institute 的評量工具建立 中,也明顯的指出真實性(realistic)的題目可以提高學生解題的興趣,因此建議 以真實感的圖畫來評量和編寫教科書(van den Heuvel-Panhuizen, 1996)。在國內 學者方面,梁淑坤(1996)在討論數學教科書的評鑑時,也建議數學教科書的編 寫除了應考慮數學內容、題目情境佈置之外,更應注重多重表徵系統的呈現。由 此可見,數學教育不僅處理語文與數字而已,也必須重視各種外在表徵的重要性。

目前研究外在表徵對解題的影響,大致以圖示法居多。其實驗研究上,多半 研究都支持圖示方式可以促進數學的學習(吳昭容,1990;徐文鈺,1992,林美 惠,1997;Greeno, 1987;Lewis, 1989;Sellke,Behr & Voelker, 1991),另有些研 究發現學生從文字轉換到圖表等外在表徵有相當大的困難(吳昭容,1990;謝毅 興,1991;Defour-Janvier,Bednarz & Belanger, 1987)。

以下列出一些學者以題目表徵的角度來研究不同題目表徵對學生解題的影 響:

Sowder 與 Threadgill- Sowder(1982)以262名五年級學生為對象,研究學生 解決文字題與圖畫題的差異,結果發現學生在圖畫題的解題表現優於文字題,而

(37)

且也比較喜歡解圖畫題。

Moyer et al.(1984)以854名三到七年級的學生為對象,依閱讀能力將學生分 成高、低兩組,探討學生在圖畫題、文字題與短語題的解題表現。結果發現:學 生在圖畫題的解題表現優於其他兩者,且有利於低閱讀能力學生提升解題能力。

陳啟明(1990)以133名五年級學生為研究對象,探討不同題目表徵型式(文 字題、短語題、圖畫題)及相關因素在應用問題解題表現之影響。結果發現:學 生在不同題目表徵型式之應用問題的解題表現上,彼此間都存在著顯著的差異。

其中,學生在「圖畫題」上的解題表現顯著優於「短語題」和「文字題」;而學 生在「短語題」上的解題表現也顯著優於「文字題」。

李俊彥(1994)以國中三年級90名學生為研究對象,探討不同題目表徵型式 ( 圖示題、文字題、情境題 ) 的面積問題及相關因素對國三學生解題表現的影 響。結果發現:學生在圖示題的解題表現顯著優於在文字題的解題表現,同時也 優於在情境題的解題表現。

綜合上述各相關研究的分析可知,不同的題目表徵型式會影響學生的解題表 現,而大部分的研究結果是學生在圖畫題的表現優於文字題。這樣的結果與訊息 處理理論所主張的,圖畫題因減少學生解題時的工作記憶負荷,有助於解題的理 論基礎大致相同。研究者以為上述的研究大部分都以小學生為對象,且並未針對 探討國中學生因題目表徵不同之下的解題歷程及概念。因此,不同的題目表徵型 式對學生的解題歷程到底有什麼影響?有何差異?他們在解題過程中因為題目 表徵的不同而所運用的數學概念是否會有不同?本研究以國中生為對象,探討在 不同表徵題中學生解題過程中數學概念的運用及解題歷程。

(38)

第四節 商高定理概念及歷史

勾股定理亦稱商高定理。有關勾股定理的內涵,我國有十分豐富的歷史紀 錄。我國最早的天文算學書周髀算經(約公元前100年) 中,其中一段周公(約 公元前1100年)與商高的對話,就有勾股定理的記載:「數之法出於圓方。圓出 於方,方出於矩,矩出於九九八十一。以為句(勾)廣三,股脩四,徑隅五。既 方之外,半其一矩。環而共盤,得成三、四、五。兩矩共長二十有五,是為積矩。

故禹之所以治天下,此數之所生也。」(原文:圖2-4-1,引自梁宗巨,1995)這 段話中,雖然只說明了3、4、5成為一直角三角形的邊長,並沒有說明一般直角 三角形的情形,但是由於大禹治水 ,必須要測量「高、深、廣、遠」,所用的 直角三角形知識正是勾股定理。

趙爽(字君卿,三國時代吳人,約3世紀時人)注釋周髀算經的「勾股圓方 圖」說,對勾股定理及勾股弦的一些關係式,做了幾何的證明,如圖2-4-2(此圖 為甄鸞 (南北朝北周)重述時所畫)、2-4-3(趙爽注周髀算經之弦圖)。在直 角三角形中,長邊為股,短邊為勾,斜邊為弦。 「弦實二十五」指的是弦所圍 成的正方形面積為二十五, 「朱實六」指的是此三角形所成的三角形面積六, 「中 黃實一」為中間的正方形面積為一。基本上這些勾股弦的關係,都可以由正方形 板 (以勾、股、弦為邊所構成的正方形)切割拼湊成的圖形觀察出來。

(39)

(2) (1)

圖 2-4-1 周髀前幾頁。(據宋嘉定六年(1213)本,引自梁宗巨,1995,p239~240)

(40)

圖2-4-2 周髀算經的”弦圖” 圖2-4-3趙爽注周髀算經之弦圖 (引自梁宗巨,1995,p245) (引自南一版國民中學數學教師

手冊第三冊,2006,p30)

劉徽的九章算數中的勾股章也描述了24個勾股定理及其相關的應用問題。其 中在「勾股術」中有說: 「勾股各自乘,并,而開方除之,即弦。」在此,劉 徽作注:「句自乘為朱方,股自乘為青方,今出入相補,各從其類,因就其餘不 移動也。合成弦方之冪,開方除之,即弦也。」(引自康軒版國民中學數學教師 手冊第三冊,2007)因此,勾股定理的證明中有一個很重要的方法,即是出入相 補,也牽涉到一個數學技巧就是自乘與開方。

從上述,無論是趙爽或劉徽對勾股定理的解說,中國古書中這種用視覺的方 式(圖形)呈現一個定理,讓學生更易於了解的證明方式,與西方所謂的推論(演 繹)的證明是不同的,這也是多元文化在數學教育中的展現(Fauvel, and van Maanen, 2000)。另一方面,中國用「形」「數」結合的方式來說明商高定理,

而且朱、黃等顏色的上色,雖非必要,但實際上是運用符號的作用,如此更可以 朱

朱 朱

(41)

說明圖示法可幫助學生的理解,因此,在數學教育中,表徵確實是教師在幫助學 生學習上可運用的一種工具。

在幾何學習中,勾股定理是求兩點間的距離或線段長的重要計算公式,西方 通常稱勾股定理為「畢達哥拉斯定理」(Pythagorean Theorem),簡稱畢氏定理。

勾股定理在古今中外,都流傳了許多證明方式,Loomis(1940)曾蒐集了367種 證明,寫成一本書—The Pythagorean Proposition。其中有許多切割拼補的證明都是 利用平形或垂直於斜邊的切割原理做出來的,也有些是用面積拼補、代數處理、

摺疊的方式來證明。

在商高定理的內容方面,人們對勾股定理有不同的理解,其表達方式也有不 同(梁宗巨,1995)。「形」的商高定理:指的是「拼補相等」--股上的兩個正方形 經切割之後,可拼補成斜邊上的正方形。形的商高定理可進一步看成「面積」的 商高定理:兩股上正方形面積之和為斜邊上正方形的面積(這些正方形分別簡稱 為勾方、股方即弦方) 。此時它是數的關係,並沒有平方的幾何概念。「數」的 商高定理:兩股長度平方的和等於斜邊長度的平方,此時它是數的關係,並無面 積或幾何形狀的意義。就此,本研究在選取商高定理施測的題目時,盡可能包含

「形」、「面積」、「數」的三類型題目,以完整涵蓋商高定理的所有概念。

因為商高定理包含「形」、「面積」、「數」的三類型題目,因此此單元內容中 其所蘊含的概念包含了數與量(「面積」、「數」的商高定理)、幾何(「形」的商 高定理)及代數(「面積」、「數」的商高定理),因此如果學生能學好這個單元,

除了能承接國一學習的數與量及代數的部分之外,更能為國二下的幾何學習奠定 良好的基礎,因此在國中的課程學習中,占有重要的地位。

在本研究中,有關勾股定理的單元乃是屬於國中數學教材(研究對象就讀的 學校選用之南一書局96年版本)第三冊第二章第三節的部分,根據九年一貫課程 標準(教育部,民國92年),其教學目標如下:能由面積的關係及計算導出勾股

參考文獻

相關文件

This article attempts to state the related issues of the translation of Buddhist texts in the early translator Zhu-Fahu's biography and the problems related to his translated

The Prajñāpāramitā-hṛdaya-sūtra (般若波羅蜜多心經) is not one of the Vijñānavāda's texts, but Kuei-chi (窺基) in his PPHV (般若波羅蜜多心經 幽賛) explains its

This study analyzes high school students’ problem-solving processes in different problem representations (Verbal, Drawn-Verbal) on graph of function using Schoenfeld’s

The aim of this study is to develop and investigate the integration of the dynamic geometry software GeoGebra (GGB) into eleventh grade students’.. learning of geometric concepts

The aim of this study is to investigate students in learning in inequalities with one unknown, as well as to collect corresponding strategies and errors in problem solving..

The purpose of this study is to use schematic video and animation to help students with LD solve real-life mathematical word problems.. The single-subject

Error types: The error types presented by students in solving time-related problems include: (1) interference of the decimal; (2) interference between non-decimal time

This study analyzes and reorganizes the problems proposed by the industry and develops the strategies regarding literatures and interview with experienced firms in order to serve