實驗

這個實驗主要是把 microscopic 的粒子，放在一個螺旋階梯狀位能井中，裡 面的階梯高度的尺度大小都跟k_BT不會相差太多，如圖 3.1-1:

圖 3.1-1

縱使布朗粒子是呈現隨機運動的，但是由於處在螺旋階梯的關係，讓布朗 粒子往下移動的機會是比往上還要來的大。

今天在實驗當中，將安排一隻妖在系統裡面，而這隻妖將拿著一塊擋板，

這個妖將偵測布朗粒子的位置，觀察它是否有要往上跳的行為，一旦妖偵測到 布朗粒子往上跳了，那麼妖便會在布朗粒子後面將其用擋板擋住，以避免布朗 粒子往下跳，如圖 3.1-2。

圖 3.1-2

如此一來，有了妖所做的 feedback control，透過不斷重複這個動作，布朗 粒子將會反其道而行，沿著螺旋階梯往上爬，而非如一般想像的往下運動。通 常，在理想的環境底下，放置擋板所需的能量可以忽略；這樣一來暗示了布朗 粒子將可以在不注入其他能量的情況下，獲得 free energy。由理論可以知道，

是因為量測了布朗粒子的位置，所獲得的 information 量[5][10]，驅使布朗粒子 沿著螺旋階梯往上爬。

在 microscopic 系 統 中 ， 諸 如 功 、 熱 能 、 內 能 等 熱 力 學 物 理 量 是 fluctuate[12][13]的，縱使如此，熱力學第二定律仍舊是成立的，平均而言:

<Δ F-W>≦0

其中，Δ F 是指狀態與狀態之間 free energy 的變化，W 是指功，若為外界 對系統做功則為正，反之則為負，<‧>是指 ensemble average。此公式告訴我們:

系統 free energy 變化平均而言小於外力對系統作的功。

然而，feedback control 使我們能夠選擇性地操縱那些造成Δ F-W>0 的 fluctuation，像是利用系統的 information 量，使布朗粒子往上跳[14][15][16]。

得先說明，feedback 指的是控制的參數由測量結果而決定，由上可知，需要先 判斷布朗粒子是否有往上跳，再由這個結果，去控制妖用擋板擋住布朗粒子[17]。

Sagawa 與 Toyabe 的實驗說明了，透過引入 feedback control，information 量將 能夠做為 free energy 的來源。事實上，在我們上一章的理論中中說明了 Szilárd 的模型，轉換了系統裡 1bit 的 information 量，成為K_BTln2的自由能或功[1]。

而熱力學第二定律將可以被推廣成[24]:

B

TI

≦ K

>

W ΔF

-<

其中，上式由於 feedback control 與 information 量的關係，<Δ F-W>將會大 於零，而不等式若是 Szilard Engine 的話等號將會成立；I 是測量後而獲得的

"mutual information 量"[6][11]。

換句話說，這個 Szilard-typeMaxwell 妖使我們能夠同時評估 feedback control 的輸入(infromation)與輸出(獲得的能量)，並將他們連上關係。如此一來，這樣 的情況提供了一個理想的試驗性"information-to-energy"轉換。

那麼，在實驗上要如何做到可以成為 Szilard-type engine 呢?首先，Sagawa 與 Toyabe 用了兩塊玻璃，其中，將膠體粒子釘在上層的玻璃表面上，此時膠體 粒子會存在一旋轉布朗 motion，如圖 3.1-3。

圖 3.1-3

接著，在底部玻璃上，建立四個電極，擺設如圖 3.1-4。

圖 3.1-4

利用這四個電極，加上外加的 1 MHz 電場，方能造出週期性位能井，與此 同時也在粒子旋轉時對其施一定量常數的力矩。利用這樣的方式，粒子會處在 一理想且傾斜的類似周期性正弦狀位能井中，猶如處在一螺旋階梯狀位能井(圖

3.1-5)。

圖 3.1-5

而 feedback control 的執行，是利用一系列的影片拍攝、圖片分析、位能調 控與資料儲存來達到。其中，以 44ms 為一個循環一直重複，而 feedback delayɛ 為 1.1ms。值得注意的是，44ms 的大小比起切換後的 relaxation time(~10 ms)是 足夠大的，卻又比粒子自發性跳往下一個位能井所需的時間來的小(~1s)。

步驟是這樣的，在 t=0 的時候，偵測粒子的 angular position，此時，若粒 子是處在區域"region s"的話，在經過 feedback delay 後，位能將會被切換，而 切換後的位能與切換前恰為相反相位；若不是處在區域"region s"的話，將不會 進行任何動作。在 t=τ 時，又將再一次的偵測粒子所處的位置，決定要不要切 換。之後每經過時間τ 就量測一次，如此重複下去。region s 為在位能井中的某 區域，此區域切換前的位能井總是高於切換後的(如圖 3.1-6 中的灰色區域)。

圖 3.1-6

feedback delay ɛ 為偵測到粒子的 angular position 後，回傳給電腦，到切換 位能井所花費的時間。由於從偵測後到切換前，粒子還是在移動，若 ɛ 很小，

那麼粒子將不會移動得太遠，不會遠離處在 region s 中的切換要求；若 ɛ 很大，

那麼在切換前，粒子便遠離 region s，換句話說，就是妖的檔板檔得太慢，讓粒 子溜走。

圖 3.1-7

圖 3.1-8 是 Feedback time delay 與<Δ F-W>的關係圖，可以看到，當 Feedback time delay 愈小，表示妖一偵測到粒子便隨即切換，並無延遲，這樣 方能使<Δ F-W>>0；一旦延遲時間愈長，那麼表示偵測與切換這件事，粒子並

不在一樣的位置，會造成 W>0，即外界對系統做功，使的最終<Δ F-W>將會<0，

回歸熱力學第二定律的結果。

透過實驗發現，<Δ F-W>> 0 發生在 feedback delay ɛ 很小的時候，切換的 時機絕大部分都發生在粒子的 angular position 是處在 region S 中。在偵測粒子 的位置之前，粒子吸收了等溫環境下的熱能，利用此熱能來達到 region s。切換 時，粒子對環境做功，切換後成功的往右跳。這樣的結果透露了粒子切換前後，

獲得的淨 free energy 是大於吸收熱能後對外所做的功 W，這樣的行為，超出了 傳統熱力學第二定律中所規定的極限，也就是<Δ F-W>< 0。

其實，就算今天不使用 feedback control，粒子仍然有機率會自發性地往右 跳，不過，由於熱力學第二定律的限制，此事件發生的機率是很小的[18][19][20]。

然而，因為引入 feedback control 的關係，大大提升了這種事件發生的可能性。

而這個多出來的 free energy，它的來源是測量後獲得的 information 量。在實驗 中，該如何定義與使用 information 量是很重要的，一事件 k，伴隨著發生機率 為 p(k)，則與此事件有關聯的 Shannon information 量被定義為[21]:

-lnp(k)

而平均的 Shannon information 量I被定義為:

I₀ = − p k lnp(k)

k

由上式可知，一事件的 information 量是其發生機率的函數。

實驗中，測量的結果通常會伴隨著誤差，這些誤差的存在，讓獲得的 information 量減少。如前定義，I 是系統內所含的 information 量，假如 I 是 mutual information 量，則它是透過測量後，獲得的 information 量[11][23]:

I = p m|k p k ．lnp(m|k)/p(m)

k,m

其中 p(m|k)為"在第 k 事件確切發生的條件下，測量的結果是第 m 事件"的 條件機率。如果整個實驗的測量是"沒有誤差"發生，則:

m

粒子被偵測到處在 region s"機率為 p，“沒被偵測到”機率為 1-p。因此

I = -plnp-(1-p)ln(1-p)

在 Sagawa 與 Toyabe 的實驗中，在 feedback delay ɛ 很小的條件下，偵測到 粒子處於 region s 的機率為 0.059，偵測而獲得的 information 量為 0.22，<Δ F-W>

則為 0.062K_BT 。如此一來，提供了 information-to-energy 的轉換效率為:

< Δ F − W >

k

TI = 28%

其中，效率 100%將可發生在像是 Szilard engine 的準靜 information heat engine.[1] 種方法是以 Fokker-Planck Equation 來描述布朗粒子在位能場中受到隨機力後，

在時間 t、位置 x、速度 v 時的分布函數；第二種方法則是透過 Langevin Equation