實驗平台

第四章馬達驅動系統共振與振動抑制

高頻率共振與機械低頻率振動一直是影響機械定位控制與數值工具機加工品質重要因素，本章節將介紹機械系統驅動與負載模型、共振系統頻譜鑑別、速度迴路控制下高頻共振抑制，以及於位置迴路控制下低頻振動抑制。

4.1 實驗平台

圖 4-1 為本研究驗證共振與振動抑制平台，其組成為一 400 瓦永磁交流伺服馬達，在馬達端搭配具每圈17bit 編碼器，其負載為長 17.5 公分撓性臂，於撓性臂頂端裝置加速度計與影像作為負載端共振與振動抑制效能評估之用，圖 4-2 為整體控制架構，其中θ_r與ω_r分別為馬達位置與速度命令，ω₁、θ₁分別為馬達編碼器速度與位置，ω₂、θ₂為負載速度與位置，在控制上，我們僅以編碼器位置回授

θ

₁與

ω

₁進行位置與速度控制。

圖 4-1 永磁交流伺服馬達與撓性臂平台

Kt ¹

TM ω1 θ₁

θ_r ^ω^r

ω2 ₁ s

θ2

ir i

圖 4-2 伺服馬達整體控制架構圖 4.2 馬達驅動系統共振與振動

交流伺服馬達驅動結構如下圖 4-3 所示，實際應用上，馬達負載可能包含螺桿、變速齒輪與皮帶等各式結構，但其結構能夠等效為圖 4-4 之示意圖，圖 4-4 中左方為驅動出力端馬達慣量，經過與負載間耦合結構，彈力系數為K ，帶動₁₂ 右端負載結構，其等效方塊圖如圖 4-5 所示。

馬達

負載

圖 4-3 馬達驅動結構圖

θ1

θ2

ω2

ω1

圖 4-4 馬達驅動模型示意圖

1 J s

K12

ω

ω2

b

圖 4-5 等效驅動方塊圖

12 1 2

1 2

/ sec ω =

K rad J J J J

處出現區域增益最大值，相較於理想耦合系統波德圖，耦合結構不理想而具共振特性系統，在共振頻率之後增益有一固定提升，造成開迴路增益在此共振頻率(ω_r)之後更容易產生增益邊限(Gain Margin)或相位邊限(Phase Margin)不足的現象，導致系統穩定度下降，造成振盪的現象。

若希望於無高頻振動情況下運轉，則必須兼顧共振點之後系統穩定度，降低控制增益，相較於無共振現象的波德圖響應，耦合不理想的結構，若無其他補償措施，將無法利用相同的控制器參數將系統提升到相同的頻寬。

-50 -40 -30 -20 -10 0 10

Magnitude (dB)

10¹ 10² 10³ 10⁴

-90 -45 0 45

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

resonant frequency

anti-resonant frequency

圖 4-6 理想耦合與非理想耦合波德圖比較 (實線：非理想耦合虛線：理想耦合)

在位置迴路控制上，由於與驅動端θ₁與負載端位置θ₂差異θ₁-θ₂，將造成耦合結構形變，彈力交互作用下，將造成位置上來回振動。

4.3 系統鑑別

系統的鑑別提供控制工程專家在設計控制器與診斷系統問題時所需資訊，

常見之系統鑑別方式有：

1. 頻譜掃描

頻譜掃描輸出結果為在穩態時系統對應於各種不同頻率弦波輸入，系統輸出在振幅與相位上的變化，透過頻譜掃描所得波德圖，能夠設計Lead、Lag 等控制器，其缺點為傳統頻譜掃描分析需透過頻譜分析儀提供輸入與輸出分析，在數位控制驅動架構中，若希望由數位控制板產生弦波命令則受限於：

控制板核心 DSP 晶片運算速度有限，在週期中斷間難以產生適當弦波命令

數位控制板所配置於儲存數值記憶體有限，由個人電腦運算產生各單一頻率序列無法完全儲存

即時產生命令經工業網路傳送於驅動器則受限傳輸速度，僅適用於傳送低頻命令

2. ARMA (auto-regressive moving average)模型 ARMA 模型假設系統輸出與輸入關係為[28]

( )

⁼

∑

⁻₋

( )

∑

k k

Y z b z X Z

a z ( 4-2 )

在鑑別時輸入 PRBS、RBS 等命令，經由統計方法，能夠推算出a 與_k b 數_k 值，ARMA 模型分析為強大的系統鑑別工具，由於其鑑別結果為具實際數值的轉移函數，因此，在狀態回授控制等需要系統確切數值控制器設計上，廣泛被使用，除此之外，其系統激發時間短，對於機械系統傷害較小。

但在本研究中，共振系統往往具複雜的系統響應，以ARMA 模型加以描述複雜而具多振動模態的系統，則需高階轉移函數加以描述，較不具效率，並且在 ARMA 模型分析上，為達系統鑑別準確度，其輸入激發命令須經過重複調整，

使系統響應能夠展現各頻率特性，方能有準確鑑別結果，因此須經由專家操作。

本研究結合傳統頻譜掃描輸入命令無須專家調整與 PRBS 訊號激發時間短且命令長度短易於傳送儲存優點，提出複合頻率序列(compound frequency

sequence)，結合快速傅立葉(fast Fourier transform)轉換，達成以共振點鑑別為目的，高效率、高可靠性系統鑑別方式。

4.3.1 複合頻率序列(compound frequency sequence)系統鑑別

傳統頻譜分析方法如下圖 4-7 所示，在t ~₁ t 時間點輸入頻率為_n ω₁~ω_n的弦

對回收之系統響應進行快速傅立葉轉換(fast Fourier transform,FFT)，我們能夠得到系統對於各頻率穩態的響應狀況。

模擬上，圖 4-9 為一模擬系統，其離散時間轉移函數為

-1 -2 -3 -4 -5 -7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

0.0002 - 0.0000 0.0013 0.0021 - 0.0012 + 0.0001

( )

1 - 6.2972 17.3294 - 27.0844 26.0125 - 15.3638 5.1644 0.7608

10⁰ 10¹ 10²

-80 -60 -40 -20 0 20

Frequency (Hz)

Magnitude(dB)

10⁰ 10¹ 10²

-300 -200 -100 0 100

Frequency (Hz)

Phase(deg)

圖 4-9 模擬欲鑑別系統

為對系統進行鑑別，我們產生如下圖 4-10 具 1~400Hz 弦波合成激發命令，

其FFT 能量分析如圖 4-11 所示，為一等能量之頻譜分布，在 1~400Hz 弦波中，

1~9Hz 間的間隔為 1Hz，於 10~90Hz 間的間隔為 5Hz，100~400Hz 間的間隔為 10Hz，因此ω_d = 1Hz ，L = 1500，由於第一段1~1500 筆輸出資料由於可能具暫態響應，因此我們取1501~4500 筆，輸出資料進行 FFT 分析。

輸出響應如下圖 4-12 所示，以 L 為週期切割輸出響應進行 FFT，輸出響應經FFT 分析後可得圖 4-13 回授響應 FFT 能量分布，圖 4-13 可以明顯看出各個頻率在能量上的放大與遞減，圖 4-13 背景為對應時間中命令頻譜分析，仍為一等能量頻譜，藉此，我們能夠看出系統於各頻率間增益關係，而整體鑑別時間為取樣1.5k Hz 之系統執行 4500 筆命令時間，即為 3 秒。

在相位的分析上，由於輸入激發命令為sine 波，因此由 FFT 所得輸入命令相位為-90 度，而輸出相位由於 FFT 對於相位的定義為-180 度~+180 度，因此會出現如圖 4-14 輸出相位下降到超越-180 度或提升超過 180 度後的跳動，並且在未輸入的激發頻率中，也會產生運算上的雜訊，若只選取激發頻率相位資訊，並且修正相位跳動後，如圖 4-15 可明顯看出相位的變化，藉由兩者之相位差，我們能夠重建系統相位波德圖。

Frequency (Hz)

Magnitude(dB)

Frequency (Hz)

Phase(deg)

Frequency (Hz)

Magnitude(dB)

Frequency (Hz)

Phase(deg) 器(notch filter)抑制其共振，進而提在速度迴路高增益高頻寬下系統運作效能。

4.4.1 速度迴路控制

速度迴路控制架構如圖 4-17 所示，其負載如 4.1 節所示，為馬達驅動撓性臂架構，

ω

₁與

ω

₂分別為馬達編碼器回授速度以及負載速度，在控制器上，則以 PI 控制器作為控制。

ω

Kt ^T^M +

PI ⁱ

^r ⁱ

ω

圖 4-17 速度迴路控制架構

圖 4-18 為速度控制迴路下，速度迴路增益 kvp=7.0 Tvi=0.13 控制參數之系統響應，kvp=7.0 為原始系統所能正常運轉最大增益，其步階響應在 4.55 秒時，有一明顯反彈，除此之外，若放大 4.9~5.2 秒的穩態響應，如圖 4-19 所示，此共振現象振幅為±5rpm，經由 FFT 分析其能量分部如圖 4-20 所示，主要頻率集中於205Hz，並與系統轉速無關。

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Time(sec)

Velocity(rpm)

command response

圖 4-18 速度步階響應 kvp=7.0 Tvi=0.13

4.95 5 5.05 5.1 5.15 5.2 5.25

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

圖 4-19 速度穩態時高頻振動

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Frequency (Hz)

圖 4-20 高頻振動 FFT 分析

4.4.2 速度迴路系統鑑別

由速度響應可以以預期速度迴路閉迴路的複雜性，為對此系統進行有效共振抑制，我們利用4.3.1 介紹之複合頻率序列鑑別，取得系統之波德圖，圖 4-21 為對伺服馬達撓性臂系統於 1~400Hz 速度迴路閉迴路鑑別結果，其輸入激發命 令為±100rpm 複合頻率序列，由系統鑑別結果可以明顯發現，系統在 25Hz、

85Hz、200Hz 與 250Hz 即分別為(A)、(B)、(C)與(D)處有明顯共振點，根據波德圖上各共振點寬度與增益，整理如下表 4-1，比較其振幅與阻尼比，25Hz 共振點雖然振幅大，但其阻尼比高，在時域響應上衰減極快，但 200Hz 之共振為同時具增益高且阻尼比低特性，衰減慢為最需抑制的共振問題。

10⁰ 10¹ 10²

-40 -30 -20 -10 0 10

Frequency (Hz)

Magnitude(dB)

10⁰ 10¹ 10²

-300 -200 -100 0 100

Frequency (Hz)

Phase(deg)

圖 4-21 速度迴路閉迴路系統鑑別(kvp=7.0 Tvi=0.13)

表 4-1 各共振點阻尼與增益依大小排列比較大 >>> 小阻尼比 (A)25 (B)85 (D)250 (C)200

增益 (A)25 (C)200 (B)85 (D)250

4.4.3 帶斥濾波器(notch filter)共振抑制

常用於共振抑制的濾波器有低通濾波器(low pass filter)與帶斥濾波器[1]，低通濾波器能夠降低共振點的增益，提高共振點的增益邊限(gain margin)，但低通濾波器由於具有嚴重相位延遲特性，對於共振點之前系統頻率響應有不良影響，

除此之外，低通濾波器降低濾波器截止頻率之後所有增益，因此，低通濾波器僅適用於極高頻共振。

帶斥濾波器僅降低特定寬度頻率增益，並且由於除分母之極點外，轉移函 (A) (B) (C)

(D)

數亦具相同階數的零點，相位延遲問題相對較小，適合使用於具多共振點系統的補償，圖 4-22 為本論文於速度迴路控制下，高頻共振抑制濾波器方塊圖，帶斥濾波器設置於速度迴路PI 控制器之後，PI 控制器輸出之電流命令先經帶斥濾波器濾波後，形成修正後的電流命令。

Kt ^M

T

PI

ⁱ^r

_Notch i

filter

i

ω

圖 4-22 共振抑制濾波器系統方塊圖

本論文中所使用的帶斥濾波器轉移函數為：

( )

²2 ²2

2 2

z r r

p r r

s s

G s

s s

ζ ω ω

+ +

= + + ^{( 4-4 )}

帶斥濾波器基本精神為極零點對消，在知道低阻尼比極點頻率ω_r以及阻尼比ζ_z後，利用( 4-4 )式分子零點消去系統本身阻尼比低的極點，並以分子的極點取代，因此，為達共振抑制效果，新極點阻尼比須大於原極點，即ζ_p > ζ_z。

但系統確切極點位置無法精準估測，補償後將造成殘餘的振動，並且極零點對消概念無法考慮系統中其他頻率於帶斥濾波器補償後響應，因此，在速度迴路高頻共振抑制目的上，採用頻域為工具的補償設計，為較有效率分析方式。

在帶斥濾波器頻域的調整分析中，我們令n_width = ζ_z， _depth ^z

n ζ

= ζ ，n_width

與n_depth分別代表帶斥濾波器的寬度與深度，下圖 4-23 中，為兩n_depth分別為0.1

與0.01 但寬度相同濾波器，其濾波器最大衰減增益為^{20 log}¹⁰

(

ⁿ^depth

)

^{，而圖 4-24}

為兩衰減深度相同，但n_width分別為 0.1 與 0.5 帶斥濾波器，n_width越大表示濾波器影響頻率越廣，由圖 4-23 與圖 4-24 中可以看出，經過修改後，藉由調整n_width

與n_depth能夠分別調整濾波器衰減深度與寬度而不互相影響。

-40 -30 -20 -10 0

Magnitude (dB)

10³ -90

-45 0 45 90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

圖 4-23 寬度相同衰減增益相異

-20 -15 -10 -5 0

Magnitude (dB)

10² 10³ 10⁴

-90 -45 0 45 90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

圖 4-24 衰減增益相同寬度相異

4.4.4 尼可士圖(Nichols chart)分析

帶斥濾波器相位影響在共振點之前為相位落後，在共振點之後為相位領先，此特性讓我們必須在抑制共振點增益的同時，考慮相位所造成的影響，尼可

在文檔中以頻域設計伺服馬達之共振抑制與精密控制實現 (頁 55-0)

第 四 章 馬達驅動系統共振與振動抑制

θ

ω

ω

b

( )

∑

( )

∑

ω

ω

ω

PI i

ω

ω

T

PI

Notch i

filter

i

ω

ω

ω

( )

s s

G s

s s

ζ ω ω

ζ ω ω

(

)

第四章馬達驅動系統共振與振動抑制

PI ⁱ

_Notch i