∇
= V
D v (1) 動量方程式(Momentum equation)
b 我們選擇使用由Nichols 和 Hirt[8,9]等人所提 出的流體體積法 (Volume-of-Fluid Method ,
i.e.: VOF method)，以流體體積比例的概念來 追蹤自由表面的變動與型態。
首先建立一組流體體積函數 F(x, y, z, t)，表示流體佔據網格的體積分率。當網格內 充滿流體時 F 值為 1，空網格時 F 值為 0，
若F 值介於 0 和 1 之間則代表網格部分填滿
流體，此即涵括了表面部份。藉由指定特性
質 F 給每個計算網格可得到初始的表面型
態，在算出體積的流量之後，網格內F 值的 變化將可被計算出。因此，F 值可以用來表 示流體移動的行為。F 值的傳遞可由式(3)計 算:
0 ) ( ⋅∇ =
∂ +
∂ V F
t
F v (3)
其中F(x,y,z,0)已知。由流動的控制方程式解 出速度場Vuv以後，就可以根據式(3)計算出新
的F 值，並得到新的流體型態，進而得知流
體的流動分佈情形。F 函數是一階梯函數，
如此的假設是為了維持表面陡峭(不連續)變 化的部份。標準計算傳遞量的演算法以代數 方式計算流動量，將擴大不連續性，故必須 以特別的方法處理。
表面重建的方法在流體體積法中扮演重 要的角色，其影響計算的準確度甚大。重建 的界面位置越近似真實界面，表面法向量的 計算就能越準確，體積分率的分布就越能達 到物理上的平滑(Physically Smooth)，這在考 慮表面張力的計算上十分重要。早期採用 SLIC (Simple Line Interface Calculation)法，以 水平或垂直線來近似網格內的表面，如圖四 (a)所示。這樣的界面表示方法較粗糙，不過 仍然可以適用於許多問題，特別是在較小的 變 形 上 。 而 由 Youngs[10]所提出的 PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation)法允許
斜率不為 0 的任意直線來近似網格內的界
面，如圖四(b)。此界面重建方法可得更準確 的近似，體積分率的分布也較為平滑。
(a) (b)
圖 四 兩種自相同的體積分率(網格內數字) 數據重建界面的方法，圓弧曲線表真 實界面
因此，我們在界面重建及 F 值的傳遞問 題上採用PLIC 並耦合 VOF 法，在三度空間 上以一任意方向之平面來表示自由表面，進 而根據此平面的移動位置來計算F 的傳遞。
此方法主要包含三個步驟:
步驟 1：建立/重建自由表面
當每個自由界面網格中的 F 值決定後，
首先要計算自由表面的法向量，法向量可根 據下式來計算：
F
nv=∇ (4) 用來表示界面的平面方程式則為
ˆ− =0
⋅
−xv n α (5) 其中xv 為界面上的位置向量，nˆ代表界面 的 單 位 法 向 量 ，α為 平 面 常 數(Plane Con-stant)，負號表示法向量方向指向空氣。
步驟 2：計算速度場
速度場和壓力場可由式(1)和(2)求得。根 據SOLA 法則，首先要自(1)和(2)式中導得一 壓力修正項：
( D p)
p D
∂
− ∂
= /
δ (6) 首先以舊時間的壓力值當作新時間的壓力猜 測值，代入(1)和(2)式中可解出一組暫時的新 速度值，再將這組暫時的新速度值代入(1)式 中求得散度D。若散度 D 不為零，則代表新
時間的速度與壓力值無法滿足質量守恆方程 究採用 Brackbill[11]等人所提出的 CSF 模式 (CSF model, i.e.: Continuum Surface Force Model)來處理表面張力。此模式將表面張力
其中θeq是流體和固體邊牆所夾的靜態接觸 角，假設其為常數。nˆw是指向牆內的單位牆 面法向量。tˆw和牆面相切，垂直自由表面和 牆面間的接觸線，方向指向流體。
流體 固體邊牆
θeq t^w
n^
θeq n^w
xw
圖 六 靜態流體的自由表面與固體邊牆接觸 情形放大圖[12]
4.2 實驗方法
本研究採用實驗的主要目的是用來驗證 無荷重銲錫體積改變所產生形狀變化的模擬 結果。為簡易起見，本實驗採用BGA 製程所 用的基板，將不同尺寸的數個錫球重熔，配 製成不同體積的錫球，再將之放置在兩種不 同錫墊尺寸的BGA 基板上，經過迴銲過程，
而後量測銲錫的高度並觀察其形狀變化。如 此銲錫的體積將是已知錫球體積的加成，將 有助於模擬銲錫體積與接觸角的關係。
首先準備直徑分別為 300μm，500μm，
760μm 的錫球，成份為 63 wt% Sn-37 wt%
Pb，以清洗方便的油酸作為助銲劑，將數顆 不同直徑(體積)的錫球加熱重熔，配製成所需 要的各種不同體積的錫球。之後將錫球分別 放置在錫墊尺寸分別為 600μm 及 420μm 的 BGA 基板上 (圖七)，再將試片置入紅外線迴 銲爐內加熱，完成之後經過鑲埋、光學顯微 鏡的金相觀察，量測銲錫隆點的高度及觀察 其橫截面。本實驗採用的BGA 基板有兩種不 同的錫墊尺寸，故將之分為 A (600μm)與 B (420μm)兩組，各放置 5 種不同的體積條件。
本實驗使用紅外線加熱的迴銲爐進行迴銲，
迴銲條件為在5 分 05 秒後升溫至 170℃，之 後持溫 30 秒，再經過 1 分 45 秒後升溫至 220℃，持溫 15 秒，最後在 2 分 20 秒後降溫 至80℃，然後迴銲爐停止運作，使之逐漸自 然降溫。
600μm
600μm
(a) (b)
圖 七 本實驗所使用 BGA 基板之幾何參數 (a) 基板 A，錫墊尺寸為 600μm，錫 墊間間距為600μm，(b) 基板 B，錫 墊尺寸為 420μm，錫墊間間距為 600μm
五、結果與討論
5.1 熱物性質
5.1.1 Sn-8.5Zn-0.5Ag-xAl 合金熱行為
圖 八 所 示 為 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl
合金經 DSC 量測所獲得熱及溫度變化曲
線。從曲線中可觀察到，每一合金在加熱過 程中，最大吸熱峰 (endothermic peak) 後都 有延伸的尾端 (tailing) 出現。曲線中 TOnset, TL(℃) and Ts(℃)隨 Al 含量增加而減少，往較 低的溫度偏移。在Al 含量為 2.0 wt%時，合 金有最小的 TOnset、潛熱及較小的糊狀區域 (pasty range)。
185 190 195 200 205 210 215 TOnset
TS
3.0Al 2.0Al
1.0Al
Heat Flow,W·g-1
Temperature (℃)
0.01Al TL
圖 八 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合 金 之 DSC 曲線，主要吸熱峰在 196～200℃
之間，鋁含量變化為0.01～3.0 wt%
不同鋁含量的Sn - 8.5Zn - 0.5Ag - 0.1Ga - xAl 合金冷卻曲線圖，如圖九所示。從冷卻 曲線圖中可發現，Sn - 8.5Zn - 0.5Ag - 0.1Ga - xAl 合金在冷卻過程中有一水平線段。尤其 Al 含量 0.01wt%合金熔點溫度為 198.8℃，非 常接近Sn-9Zn 合金的共晶溫度。隨 Al 含量 由 1.0wt%增加至 3.0wt%，合金液相溫度由 198.8℃減少至 196℃。當 Al 含量為 2.0wt%
時，合金有最小的糊狀區域(pasty range)大約 是2.7℃。
0 500 1000 1500 2000
0 100 200 300 400 500
Temperature, T/℃
Time, t/s
0.01Al 1.0 Al 2.0 Al 3.0 Al
圖 九 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合 金 之 冷 卻溫度曲線
由表一可知，經由比較加熱及冷卻二種 方法所獲得 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合金 相轉變溫度如表1 所示。當合金中 Al 含量增 加時，TL (℃)和 TS(℃)減少。合金中鋁含量 3.0wt% Al 比 2.0wt% Al 有較高的 TL (197.2℃) 和TS (193.6℃)。
表 一 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合金之相變化溫度 Solder
al-loys Rate Ts (℃) TL (℃) TOnset (℃) Tpeak (℃) ΔH (J/g) Pasty range (℃) Heating 195.7 203.5 197.92 199.2 55.47 7.8 0.01Al
Cooling 195.6 198.7 3.1
Heating 193.2 202.6 195.5 197.4 55.89 9.3 1.0Al
Cooling 193.6 196.9 3.4
Heating 193.0 200.8 195.5 197.0 67.32 7.8 2.0Al
Cooling 194.1 196.8 2.7
Heating 192.6 201.9 195.8 197.2 52.48 9.4 3.0Al
Cooling 193.6 197.2 3.7
5.1.2 顯微組織分析
圖 十 所 示 為 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合金X 光繞射圖(XRD)。由 X 光繞射分析所 獲得的結果顯示，在Al 含量為 0.01wt%時，
組成相為富錫(Sn-rich)、富鋅(Zn-rich)和銀鋅 化 合 物(Ag-Zn compound) 。 當 Al 含 量 由 1.0wt% 增 加 至 3.0wt% 時 ， 可 發 現 鋁 鋅 相 (Al-Zn phase)形成。隨 Al 含量增加銀鋅化合 物減少，同時鋁鋅相隨之增加。Ag-Zn 化合 物組成相經 JCPDS 資料庫比對，主要為 ε-AgZn3和γ-Ag5Zn8二相。
0.01Al 1.0 Al 2.0 Al 3.0 Al
35 40 45 50 55 60 65 70 75
Relative Intensity
2θ (degree)
0.01Al 1.0 Al 2.0 Al 3.0 Al
0.01Al 1.0 Al 2.0 Al 3.0 Al
0.01Al 1.0 Al 2.0 Al 3.0 Al
35 40 45 50 55 60 65 70 75
Relative Intensity
2θ (degree)
圖 十 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合 金 之 XRD 繞射圖，Al 含量變化 0.01~3.0 wt.%；Al. (○)、Sn、(＋) Zn、(▲) Al、
(◇)、ε-AgZn3、(■) γ-Ag5Zn8
圖十一(a)為 Sn - 8.5Zn - 0.5Ag - 0.1Ga - 0.01Al 合金電子顯微鏡背向散射影像圖。圖 中顯示Sn - 8.5Zn - 0.5Ag - 0.1Ga - 0.01Al 合 金基底(matrix)為一不均勻的 Sn-Zn 共晶組 織，對比較淡的為 β-Sn，對比較暗的針狀 (needle-like)析出物為富鋅(Zn-rich)和銀鋅化 合 物(Ag-Zn compound)。銀鋅化合物經由 EDS 分析，最主要為 ε-AgZn3和γ-Ag5Zn8二 種 金 屬 間 化 合 物(Intermetallic compounds, IMCs)。此結果與 XRD 分析所獲得的結果相 同。
圖十一(b)所示為當 Al 含量為 1.0 wt%
時，Al-Zn 相明顯增加。較暗的富鋅針狀
(a)
(b)
(c)
(d)
圖 十一 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合 金 之 背向式電子散射圖，Al 含量變化為 (a) 0.01, (b) 1.0, (c) 2.0, (d) 3.0 wt.%
Al
(needle-like)析出物變得較粗，而 Al-Zn 相以 羽毛狀(feather-like)組織型態析出。
圖十一(c)為在 2.0 wt% Al 時，合金顯微 組 織 顯 示 有 較 粗 的 Al-Zn 相 以 及 少 量 的 Ag-Zn 金屬間化合物，並且在基底中有均勻 的富鋅(Zn-rich)相析出。鋁鋅相經由 EDS 分 析，主要成分比為94.12Al-5.88Zn。
Al 含量為 3.0wt%其顯微組織與 2wt%Al 相似，如圖十一(d)所示。Al-Zn 相分散在合 金基底中，相對的Ag-Zn 金屬間化合物隨之 減 少 。 從 以 上 結 果 顯 示 ， Al 在 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合 金 凝 固 過 程 中，出現具有促進提高固相成核密度。當合 金中 Al 含量增加，Al-Zn 相增加並且富鋅 (Zn-rich)相有粗化的現象。
5.1.3 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合金固相率 在溫度與合金固相率(solid fraction)相關 的計算，採用 CACCA 的技術，所獲得的結 果如圖十二所示。此結果反映出在合金凝固 過程中共晶相的影響。依照 Ag-Zn 和 Al-Zn 相圖，在此必須注意到Ag-Zn 金屬間化合物 和 Al-Zn 相其熔點大約為 250℃比 Sn-Zn 開 始凝固溫度高[13,14]。由於 Ag-Zn 和 Al-Zn 相在合金中所佔比例非常小，整個凝固過程 中Ag-Zn 和 Al-Zn 相漂浮在液相中， 所以對 主要的凝固現象並沒有很大的影響。當合金 中Al 含量增加，Al-Zn 相含量也隨之增加。
然而，(Al)l 共晶液相分解溫度為 250℃，此 時飽和的Zn 被釋放出並且 Al-Zn 相形成。因 此 所 釋 放 飽 和 的 Zn 與 Sn 形 成 富 鋅 相 (Zn-rich)。先前研究 Sn-9Zn-xAg 合金固相率 與溫度(fs-T)關係文獻中指出，Sn-9Zn 合金在 固相率(fs)和溫度(T)曲線關係，實際上呈現一 垂直線段[915]。在本研究中不同 Al 含量 (0.01~3.0wt%)合金其固相率與溫度(fs-T)關 係也呈現垂直線段，此代表在凝固過程中有
共晶Sn-Zn 相形成。
192 194 196 198 200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Solid fraction, fs
Temperature, T/℃ 0.01Al
1.0 Al 2.0 Al 3.0 Al
圖 十二 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合金之固 相率對溫度曲線圖
5.1.4 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合金凝固行 為
綜 合 以 上 的 結 果 中 可 以 發 現 Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合 金 其 凝 固 行 為，剛開始為Ag-Zn 金屬間化合物的析出和 (Al)l相偏析，然後β-Sn 相，最後為 Sn-Zn 共 晶組織的成長。Sn-8.5Zn-0.5Ag-0.1Ga-xAl 合 金在凝固過程中複雜的行為，可以用以下步 驟來描述：L(liquid) → L+γ-Ag5Zn8+(Al)l → L+γ-Ag5Zn8+(Al)l+ε-AgZn3 → L+γ-Ag5Zn8+(Al)l+ε-AgZn3+β-Sn → γ-Ag5Zn8+Al-Zn phase+ε-AgZn3+β-Sn + eutectic(Sn-Zn).
5.1.5 熱傳導率之計算
由本計劃所建構之量測熱傳導率的設 備，利用比較的方法來量測熱傳導率，稱為 軸向流動法(Axial Flow Method)。軸向流動法 主要是透過熱量流經已知與未知試片，並利 用比較已知與未知試片之溫度梯度而間接求 得熱傳導率的方法。經由計算後，求得銅、
鋁、無鉛銲錫(Sn-9Zn)的熱傳導係數，實驗值 分別為360、207、282(W/m•K)，其中銅與鋁 的理論值分別為 385、255(W/m K)，理論值 皆大於實驗值。因此，實驗所得到的值仍需 校正後才可以得到較為正確的值。然而，就
實驗值而言，Sn-9Zn 無鉛銲錫材料的熱傳導 參數之關係，分別以Surface Evolver 以及本
實驗值而言，Sn-9Zn 無鉛銲錫材料的熱傳導 參數之關係，分別以Surface Evolver 以及本