實驗結果與討論

本文所提的方法為基於傳統 CMA-ES 作改良，因此比較的對象包括傳統 CMA-ES 與 MS-CMAES 在搜尋效能上的差異，並與同是著重於全域搜尋的粒子 群演算法做比較，此部分的觀察重點著重在觀察 MS-CMAES 相對於其他演算法

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CMA-ES，PSO 和本論文所提 MS-CMAES 基於這八組測試函式下的完整實 驗數據包跨排名整理於表 4.4 到表 4.6。實驗的適應值與計算次數關係圖放在圖 4.3 到圖 4.10。

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圖 4.3 測試函式 F₁的適應值變化結果。其中 CMA-ES 是收斂速度最快的演算法。

圖 4.4 測試函式 F₂的適應值變化結果。PSO 前期領先，但收斂速度慢於 CMA-ES，所以後期被 CMA-ES 超越。

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圖 4.5 測試函式 F₃的適應值變化結果。其中 MS-CMA-ES 表現最好。

圖 4.6 測試函式 F₄的適應值變化結果。後期是 MS-CMA-ES 的表現最好。

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圖 4.7 測試函式 F₅的適應值變化結果。後期是 MS-CMA-ES 的表現最好。

圖 4.8 測試函式 F₆的適應值變化結果。三個演算法表現差不多，CMA-ES 稍差。

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圖 4.9 測試函式 F₇的適應值變化結果。後期是 MS-CMA-ES 的表現最好。

圖 4.10 測試函式 F₈的適應值變化結果。PSO 表現最差，CMA-ES 表現最好。

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表 4.4 第(0.2×最大適應值計算次數)次的適應值平均值，括號內容為適應值好壞 的排名。

2 CMA-ES MS-CMAES PSO

F1 1.380e-021(1)* 1.918e-009(3) 8.443e-017(2) F2 0.004611(2) 1145(3) 1.66e-010(1)*

F3 51.02(1)* 202.8(3) 82.45(2) F4 13.27(1)* 21.64(3) 15.09(2) F5 0.06198(1)* 0.01962(2) 0.3861(3) F₆ 171 (2) 516.2 (3) 139.9(1)*

F7 13.95(1)* 65.54(2) 102.4(3) F8 0.2643(1)* 0.7184(2) 0.7444(3)

表 4.5 第(0.5×最大適應值計算次數)次的適應值平均值，括號內容為適應值好壞 的排名。

5 CMA-ES MS-CMAES PSO

F1 1.512e-058(1)* 1.335e-028(3) 5.908e-049(2) F2 2.716e-040(2) 6.94e-013(3) 2.407e+044 (1)*

F₃ 0.9815(2) 2.643(2) 25.66(3) F4 9.754(1) 8.649(1)* 11.9(3) F5 0.06198(2) 0.04725(1)* 0.3771(3) F₆ 169.9(3) 144.2(2) 96.72(1)*

F₇ 12.57(2) 10.17(1)* 95.03(3) F8 0.1188(1)* 0.134(2) 0.7343(3)

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表 4.6 第(1×最大適應值計算次數)次的適應值平均值，括號內容為適應值好壞 的排名。

9 CMA-ES MS-CMAES PSO

F1 1.311e-120(1)* 2.632e+062(3) 7.854e-105(2) F2 4.489e-103(1)* 3.478e-046(3) 2.043e-097(2) F3 0.9434 (2) 0.7862 (1)* 18.85 (3)

F4 9.751(2) 7.721(1)* 11.86(2) F5 0.06198(2) 0.03893(1)* 0.3769(3) F₆ 169.9(3) 144.2(2) 87.36(1)*

F7 12.57(2) 6.652(1)* 95.03(3) F8 0.1055(1)* 0.1199(2) 0.7343(3)

本論文在這邊依照函式類型分三部分對實驗數據做討論：

一、 單峰函式

由實驗結果可以知道，在球形函式下的測試，CMA-ES 表現最好，顯 現出 CMA-ES 的快速區域解收斂能力。至於橢圓形函式在第一次平均值統 計結果，PSO 稍微優於 CMA-ES 和 MS-CMAES，之後到第三次統計時 CMA-ES 最優， PSO 次之。其原因可能是根據[8]所說的，如果 CMA-ES 適應完共變異數矩陣，收斂速度才是最快的時候。CMA-ES 需要時間適應 共變異數矩陣，所以這段時間內比 CMA-ES 較具有隨機搜尋性質的 PSO 演 算法已經快速找到好的解。

關於 MS-CMA-ES 在球形函式效能如此差的原因，本論文認為其中之 一是因為取樣數量太多；之二是因為分群突變方法造成搜尋能力無法集中的 關係，即使在球型函數組件數量也會有不規則的波動，並不會一定保持在一 個組件，依照 CMA-ES 的啟發式原則，單一個組件是最適合球形函式的個

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數。

二、 單漏斗型多峰函式

在單漏斗式多峰函數部分，F₃ 的統計結果，本論文所提方法均落後於 CMA-ES 和 PSO。而在 F4和 F5，MS-CMA-ES 最後時間點均勝於其他演算 法。總地來說收斂速度是 MS-CMA-ES 的最明顯缺點。

F3^、F4和 F5這類屬於由弦波雜訊構成大量區域最佳解的單漏斗型函式，

實驗顯示出 MS-CMA-ES 對這類雜訊行區域解有良好的抵抗性。圖 4.7 和圖 4.8 透露出了其他兩種演算法均陷入了某區域最佳解導致適應值大小呈現滯 留情況。

(a) (b)

圖 4.11 拉斯齊金函式實驗結果圖。(a)圖片中間位置是最佳解，每個粉紅色等高 線圓圈是一個區域解，黑色十字是四個平均值位置。可以看到 MS-CMAES 會同 時對許多區域解進行搜尋比較，其中最靠近最佳解的組件是藍色樣本群。(b)相

對應的核密度估計結果。

三、 多漏斗型多峰函式

此種函式比較的重點與本論文相符，就是著重在找尋最佳解的能力，這

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是本論文最欲解決的問題。從實驗得知前面的時間點其他兩種演算法各有勝 負，都優於 MS-CMA-ES 演算法。CMA-ES 勝的原因可能是快速收斂到區 域最佳解，MS-CMA-ES 輸的原因可能是資源分散在為了同時比較多個區域 最佳解而造成收斂緩慢，這是本論文認為 MS-CMAES 在前期效能不明顯的 原因。然在到了最後也就是第三次統計結果時間點時，本論文的 MS-CMAES 效能均不遜於其他演算法，尤其是在 F7和 F6函式上的全域解搜尋能力是超 越 CMA-ES 的。

總結來說，PSO 在初期四百次計算以內表現最好，CMA-ES 普遍平均良好，

而 MS-CMA-ES 則是需要一千次計算以後才有較佳表現。