對稱菱形規格對稱軌跡上之 QsY 分佈

且從（圖 5.8）虛線上可找到 QsY 最大值，若從（圖 5.8 之平均值（μx，μy）座標垂直面看入如（圖 5.9），可得到 QsY 最大值結果下之平均值位置位於μ^x=μ^y=0。

-0.5

0

0.5

-0.5 0

0.5 0

0.2 0.4

-0.5

0

0.5

圖 5.8 The simulation result of rhombus specification.

μx=μy=0

相關係數座標垂直面

平均值座標垂直面

-0.5 0 0.5

-0.500.5 0

0.2 0.4

-0.5 0 0.5

圖 5.9 The direction of coordinate axis vertical of mean value on rhombus specification.

μx；μy

QsY

max

而從相關係數（ρ^xy）座標垂直面看入如（圖 5.10），可 得知相關係數（ρxy）仍然為-0.9 及 0.9 時可得到最大 QsY 值。

對於對稱菱形規格之對稱軌跡內 QsY 最大值模擬結果，

列於（表 5.3）。

如前（5.2.1 節）；我們亦在此規格上訂出七點（ μ^x，μ^y） 之座標位置如（表 5.4），其相對應此七點於規格上之位置如（圖 5.11）所示。而此七點（μ^x，μ^y）位置之相關係數（ρ^xy）從-0.9~0.9

-0.5 00.5

0 -0.5

0.5 0

0.2 0.4

0 0.2 0.4

QsY

max.

QsY

max.

ρxy

圖 5.10 The direction of coordinate axis vertical of correlation coefficient on rhombus specification.

表 5.3 The parameter condition for QsYmax. of rhombus

之範圍變化下和 QsY 之關係如（圖 5.12）。然而；由（圖 5.12）

可以看出其每一點平均值位置之 QsY 最大值仍然為相關係數（ρ

xy）位於-0.9 或 0.9 之位置。此結果和（5.2.1 節）所模擬的對稱 正方規格結果是一樣的。

圖 5.11 The corresponding site of 7 mean value points on the rhombus specification.

表5.4 These conditions are mean value positions corresponding to site of rhombus specification each.

圖 5.12 The simulation result of corresponding site of 7 mean value points on the rhombus specification.

由以上（5.2.1 節）及（5.2.2 節）發現此兩種對稱性規 格之 QsY 最大值條件是一樣的，即是平均值（μ^x，μ^y）要愈接 近中心原點（0,0），另外；相關係數（ρ^xy）必須趨近-0.9 或 0.9。

5.2.3 非對稱三角形規格對稱軌跡上之 QsY 分佈

在（5.2.1 節）及（5.2.2 節）我們得到對稱規格下之 QsY 的行為及最佳條件，而本節中將探討非對稱性之規格下 QsY 的行 為，在此非對稱規格中，我們以一個三角形規格如（圖 5.13）來 模擬並求出 QsY 最佳化下之平均值（μ^x，μ^y）及相關係數（ρ

xy）的值。

由（4.2 節）之規格邊際條件代入 QsY Model 可得到（式 5.10）

（ 2

2

−3

, 2

2 ） （

2 2 ,

2 2 ）

（ 2

− 2, 2

− 2 ）

（ 2 2 ,

2 2

−3

）

圖 5.13 The symmetrical locus of triangle specification.

( ) [ ]

dy dx e

QsY

y

y

x

y

y x

xy y

∫

^−µ

∫

x

µ

−

−

µ

−

µ

− µ

−

−

−

ρ

−

 +



 



 ρ

− −

 

 



 

 



ρ

−

= π

2

2 3

2 1

2

2 1

2 1

2

2 2 2

1 2

1

---（式 5.10）

而此規格之對稱軌跡如（圖 5.13）內之通過原點（0,0）

之 45°虛線所示。同樣的；利用平均值（μ^x，μ^y）及相關係數（ρ

xy）變化下的 QsY Model 掃瞄此對稱軌跡，其中；μx，μy，ρxy

之變化區間分別為，

2

− 1 ≤μ^x≤ 2 1 ；

2

− 1 ≤μ^y≤ 2

1 ；-0.9≤ρ

xy≤0.9，且掃瞄點間格為 0.1。經由掃瞄軌跡的結果如（圖 5.14）

可看到此軌跡上之 QsY 變化及 QsY 最大值。

另外；我們從（圖 5.14）之平均值（μx，μy）座標垂直 面看入如（圖 5.15），可看到 QsY 最大值之平均值位置位於μ^x=

-0.5

0

0.5

-0.5 0

0.5 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

0

0.5

相關係數座標垂直面

平均值座標垂直面

圖 5.14 The simulation result of triangle specification.

μx=μy= -0.307

μy=-0.307，

若從相關係數（ρ^xy）座標垂直面看入如（圖 5.16），可 得知相關係數（ρxy）為-0.9 時可得到最大 QsY 值。

而此非對稱三角形規格之對稱軌跡內 QsY 最大值模擬結 果，列於（表 5.5）。

-0.5 0 0.5

-0.50 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5 0 0.5

QsY

max.

μx；μy

圖 5.15 The direction of coordinate axis vertical of mean value on triangle specification.

-0.5 0 0.5

0 -0.5

0.5 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

QsY

^max.

ρ^xy

圖 5.16 The direction of coordinate axis vertical of correlation coefficient on triangle specification.

在此非對稱三角形規格中，我們亦訂出五點（μ^x，μ^y） 之座標位置如（表 5.6）做 QsY 相對於相關係數（ρxy）變化之 模擬，而相對此五點平均值（μx，μy）於規格上之位置如（圖 5.17）。

表 5.5 The parameter condition for QsYmax. of triangle specification.

圖 5.17 The corresponding site of 5 mean value points on the triangle specification.

表5.6 These conditions are mean value positions corresponding to site of triangle specification each.

每一平均值位置點上相關係數（ρxy）對應之 QsY 的變 化可從（圖 5.18）得到。

經由（圖 5.18）可發現此五個平均值位置點中，每一平均值位置 點之 QsY 最大值仍然為相關係數（ρ^xy）為-0.9 或 0.9 之位置。

因此；在非對稱三角形規格中，我們發現若要得到 QsY 最大值，其條件為平均值（μx，μy）座標仍在中心原點（0,0）

附近，而相關係數（ρ^xy）仍然是在-0.9 或 0.9。

總結以上的分析，我們可以找到一種利用 QsY Model 提 昇良率之程序，即在現行規格的設計或製程能力下，假設此時之 良率不佳情況時，平均值為μ^x1，μ^y1；相關係數為ρ^xy1=0 如（圖 5.19）。

圖 5.18 The simulation result of corresponding site of 5 mean value points on the triangle specification.

經由 QsY Model 良率最佳化分析後得到最佳之設計或製 程能力的分佈，且得到最大的 QsY 值。而最佳化分析後得到平均 值為μ^x2，μ^y2；相關係數為ρ^xy2如（圖 5.20）。

圖 5.19 The design or process capability distribution be shifted to right upon square specification.

圖5.20 Design or process capability distribution that is shifted to origin and correlation coefficient after QsY Model analysis.

所以可知現行設計或製程能力條件下，若想得到最佳良 率條件，則必須（a）.μ^x從μ^x1移到μ^x2；μ^y從μ^y1移到μ^y2。

（b）.原來之相關係數（ρ^xy1=0）須變更為ρxy趨近-1 或 1。

5.3 平均值為原點時相關係數對應 QsY 的變化分佈

在（5.2 節）我們發現 QsY 最大值均發生在平均值位置

（μx，μy）座標為中心原點（0,0），所以本章節我們將探討此 位置點之相關係數（ρ^xy）相對於 QsY 函數之變化情形。而（4.1 節）裡曾提到 B,C,E,F,H,I 六種規格，在此；我們稱 B,C 為對稱 正方規格之變形規格，E,F 為菱形規格之變形規格，H,I 為三角形 規格之變形規格。

由（4.2 節）之邊際條件，我們可列出此六種變形規格之 QsY 表示式。

( ) [ ]

dy dx

e QsY

xy y

∫ ∫

x

− −

ρ

−

 +



 



 ρ

− −



 





 



ρ

−

=

²

π

1

2 1

2

2

2 1

2 1

2

2 2 2

1 2

1

---（B 規格）

( ) [ ]

dy dx

e QsY

xy y

∫ ∫

x

− −

ρ

−

 +



 



 ρ

− −

 

 



 

 



ρ

−

= π

2

2

2 1

2 1

2 1

2 1

2

2 2 2

1 2

1

---（C 規格）

( ) [ ]

dy dx

e QsY

y

y

xy y

∫ ∫

x

−

+

−

ρ

−

 +



 



 ρ

− −



 





 



ρ

−

= π

1

1

1

1

2 1

2 1

2

2 2 2

1 2

1

---（E 規格）

( ) [ ]

dy dx

e QsY

y

y

xy y

∫ ∫

x

−

+

−

−

−

ρ

−

 +



 



 ρ

− −



 





 



ρ

−

= π

1

1

1

1

2 1

2 1

2

2 2 2

1 2

1

---（F 規格）

( ) [ ]

dy dx

e QsY

y

y

xy y

∫ ∫

x



 





 



ρ

−

= π

^{− +}

−

ρ

−

 +



 



 ρ

− − 2

0

2

2

2 1

2 1

2

2 2 2

1 2

1

---（H 規格）

( ) [ ]

( ) [ ]

dy dx

e

dy dx

e QsY

y x y xy

y x y xy

∫ ∫

∫ ∫



 





 



ρ

−

= π

 +

 





 



ρ

−

= π

+

−  + − ρ



 



 ρ

− −

−

+  + − ρ



 



 ρ

− −

2

0

2

0

2 1

2 1

2 0

2

2

0

2 1

2 1

2

2 2 2

2 2 2

1 2

1 1 2

1

---（I 規格）

而此六種變形規格之原點上的 QsY 變化，利用

Mathematica 計算後，分別得到（圖 5.21）、（圖 5.22）及（圖 5.23）之結果，從（圖 5.21）可以看出 B,C 之 QsY 函數相同，

這代表當規格為對稱性質且面積相等條件下，相關係數（ρ^xy）

=0 時 QsY 最小；相關係數（ρxy）為-0.9 或 0.9 時 QsY 最大。

B 規格

C 規格

圖5.21 The QsY of deformed（B&C）of square specification.

圖5.22 The QsY of deformed（E&F）of rhombus specification.

E 規格

F 規格

另外；E,F 規格屬於奇對稱性質之規格，從（圖 5.22）

可以看出此兩規格之 QsY 函數相交於相關係數（ρ^xy）等於零時，

而 QsY 最大值各於相關係數（ρxy）為-0.9 及 0.9 之處。

最後 H 規格屬於偶對稱性質之規格；I 規格屬於 H 規格 向順時鐘方向旋轉 90°。由（圖 5.23）發現在偶對稱性質之規格 但等面積的條件下，若以原點為旋轉中心點，旋轉 90°時可得到 一樣的 QsY 函數，另外可發現此種性質之規格內的 QsY 最大值 將和規格形狀有關而不一定是發生在相關係數（ρ^xy）為-0.9 或 0.9。

圖5.23 The QsY of deformed（H&I）of triangle specification.

I 規格

H 規格

第六章 總結

良率近似模型（QsY：Quasi-Yield Model）最佳化分析 的主要目的，是希望藉由二維常態分佈取代產品特性之結合機率 分佈的條件下，進而了解目前之現行的設計或製程能力，並經由 最佳化之分析結果，找出 QsY 的最大值（QsY Max），此亦代表最 大良率，並同時找出現行製程能力。若要得到 QsY Max，其規格 變數之平均值（μx，μy）及相關係數（ρxy）之調整方式是相當 重要的，並藉由 QsY 分析期望能在最短時間內改善現行的能力，

進而提昇良率。

在本篇論文之中，針對設計及製程上提出良率提昇最佳分析 的理論性推導，並提出多種對稱性規格及非對稱規格，針對 QsY 分析做計算。並變化平均值（μx，μy）及相關係數（ρxy）對規 格內之對襯軌跡做掃描運算，得到每一種規格之 QsY 函數的行 為，此種良率最佳分析方法，可供相關人員分析研究之用。

由本篇論文之結果發現，以 QsY 分析當作良率改善之方 法，是非常方便的。在標準差（σ^x，σ^y）愈小愈好的情形下，

考慮了平均值（μx，μy）及相關係數（ρxy）相對於 QsY 之變 化的結果中，可發現在對稱性規格條件下（此亦為一般常見規格 類型），平均值（μ ，μ ）位置為中心點且相關係數（ρ ）愈

接近-1 及 1 時，可得到最佳良率及 QsY Max值，而在非對稱性規 格下良率最佳化條件的位置，發現平均值（μ^x，μ^y）位置將不 為中心點而由規格形狀決定，相關係數（ρ^xy）為越接近-1 或 1 的位置，此驗證了 Design Centering 的觀念。對於設計者找尋電 路最佳化元件參數，及製程人員之參數調整，提供方便即時的指 標。

參考文獻

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【2】Forrest W.BreyfogleⅢ, “Statistical Methods for Testing, Development, and Manufacturing”, John Wiley & Sons.

【3】Peter Vizmuller, “Design Centering Using Mu-Sigma Graphs and System Simulation”, Artech House, 1998.

【4】Alexander McFarlane Mood, “Introduction to the Theory of Statistics”, McGraw Hill, 1974.

【5】Richard A.Johnson, Dean W. Wichern, “Applied Multivariate Statistical Analysis”, Prentice Hall, 1998.

【6】Subhash Sharma, “Applied Multivariate Techniques”, John Wiley Sons, 1996.

【7】Stephen Wolfram, “The Mathematica Book”, Cambridge University Press.

【8】S.James Press 原著, 林燦隆,沈明來 譯,” 應用多變數分 析”, 國立編譯館.

【9】張輝煌 編譯, “實用多變量分析”, 建興出版社, 1998.

【10】黃文隆 編著, “統計學上冊”, 東華書局, 1997.

【11】黃文隆 編著, “統計學下冊”, 東華書局, 1997.

附錄（每一規格對稱軌跡之 QsY 變化值）

對稱正方規格對稱軌跡上之 QsY 變化值

對稱菱形規格對稱軌跡上之 QsY 變化值

在文檔中 碩 士 論 文 (頁 34-53)