碩 士 論 文

中 華 大 學

碩 士 論 文

題目：

QsY_A:設計與製程能力用於良率最佳化之分析

QsY_A: An Analysis of Design and Manufacturing

Capability for Yield Optimization

系 所 別：電機工程學系碩士班電子電路組 學號姓名：8801511 許人助

指導教授：陳竹一 博士

中華民國 八十九 年 七 月

摘 要

本論文之中，我們提出一種新的良率分析方法，此種方法 對於製程能力及設計能力之提昇提供一新的指標，進而得到一最 佳化之分析。此法是以多變量常態分佈，來取代不易得知的產品 特性之結合機率分佈，利用多變量分析方法推導出良率近似模型。

首先，我們將訂出多種不同產品之規格，包含對稱性及不對 稱性之規格，在規格無法變更之下我們可以利用經由標準化之常 態分佈來代表現行的製程能力或設計能力，並在不同產品規格內 訂出對稱性之軌跡，再將常態分佈之產品特性掃描此對稱性軌 跡，並在掃描的過程中同時變化二維常態分佈之平均值（μ）及 相關係數（ρ），進而得到此軌跡之常態分佈的機率密度及參數

（μ､ρ）的最佳條件。

經由本論文的探討，得知在對稱性規格下良率最佳化條件的 位置為二維常態分佈平均值（μ^x､μ^y）為中心點，相關係數（ρ

xy）為越接近-1 及 1 的位置。而在非對稱性規格下良率最佳化條 件的位置，則為二維常態分佈平均值（μx､μy）位置將不為中 心點而由規格形狀決定，相關係數（ρ^xy）為越接近-1 或 1 的位 置。此結果顯示不論是製程或是設計參數之調配，為提昇其能力，

應具備平均值（μ）趨近於中心，相關係數（ρ）趨近於-1 及 1 的觀念，而此觀念將對良率的提昇有很大的幫助。

Abstract

We propose a new method of the yield analysis in this thesis. It provides a idea to improve process and design capability and help us to approach the unknown production of Joint Probability Distribution by Multivariate Normal Distribution and adopts multivariate statistical analysis of making the Quasi-Yield Model.

First, We will order the symmetry and un-symmetry specifications for many different productions. In the situation of un-changeable specifications, we use standardize Normal Distribution to represent current process and design capability and fix the symmetry locus. After fixing the symmetry locus, we scan the locus by product character of Normal Distribution and change Mean Value（μ） and Correlation Coefficient（ρ） to get the optimum data of the probability density function and parameters（μ､ρ） in the scanning process.

After all, we known that the optimum yield position is at Mean Value（μ_x､μy） of Bi-variate Normal Distribution equals center and Correlation Coefficient （ρ_xy） near -1 or 1 in symmetry specifications. Optimum other Mean Value（μ_x､μ_y）

position not center position depends on specific form and Correlation Coefficient （ρ_xy） near –1 or 1 in un-symmetry specifications.

The result shows that either process or design parameters should be Mean value（μ） tend to center and Correlation Coefficient （ρ） approach – 1 or 1 to improve the capability. The idea is important to improve the yield.

誌謝

感謝陳竹一教授這些年來孜孜不倦的耐心教導與鼓勵，使我 在研究所求學階段，不但擁有豐碩的研究成果，更在治學態度上 獲益良多。而在研究進行的過程及論文撰寫的期間，經由陳老師 悉心的指導及幫忙，才能使其順利完成，在此僅向陳老師致上最 誠摯的謝意。

其次；要感謝李信廷同學在論文進行期間的協助。並且感謝 華邦積體電路（股）公司董建成先生，世界先進積體電路（股）

公司林有彬經理、王敏哲經理及欣銓科技（股）公司駱永松博士，

於求學過程中給我的鼓勵及口試委員裕沛科技牟慶聰協理、華騰 科技林孟祺先生以及電機工程學系王志湖老師對本論文的指教。

最後要感謝我的家人及楊育周小姐多年來的支持，以及感謝 所有關心過我和曾經幫助我的朋友們所給予的勉勵，誠心的謝謝 您們。

目 錄

中文摘要 … … … .. 2

英文摘要 … … … .. 3

誌謝 … … … . 5

目錄 … … … 6

第一章 簡介 … … … 8

第二章 開端 … … … . 14

2.1 敘述統計量之相關名詞定義 … … … 14

2.2 二維常態分佈 … … … . 16

第三章 相關係數和二維常態分佈之關係 … … … 19

3.1 密度函數之一般型式 … … … 19

3.2 相關係數相對於密度函數等高線之變化 … … … 20

第四章 規格 … … … . 24

4.1 規格之種類 … … … . 24

4.2 規格之邊際條件 … … … 25

第五章 良率近似模型（QsY:Quasi-Yield Model）… … … . 27

5.1 良率近似模型之推導 … … … . 27

5.2 規格內之對稱軌跡上的 QsY 分佈 … … … 30

5.2.1 對稱正方規格對稱軌跡上之 QsY 分佈 … … … … 30

5.2.2 對稱菱形規格對稱軌跡上之 QsY 分佈 … … … … 34

5.2.3 非對稱三角形規格對稱軌跡上之 QsY 分佈 … . 38 5.3 平均值為原點時之相關係數對應 QsY 的變化分佈 . 44 第六章 總結 … … … . 48 參考文獻 … … … 50 附錄（每一規格對稱軌跡之 QsY 變化值）

對稱正方規格對稱軌跡上之 QsY 變化值

對稱菱形規格對稱軌跡上之 QsY 變化值

非對稱三角形規格對稱軌跡上之 QsY 變化值

第一章 簡介

良率（Yield）的提昇可以說是現今任何生產領域最重要 的能力指標，因為提昇良率代表著設計者對於電路效能認知的提 昇；製造者對於製程技術及製程穩定性的提昇及測試業者對於品 質觀念的提昇。而良率的提昇亦代表相對獲利增加，因此良率之 分析就成為一項重要且熱門的課題。

傳統上良率之分析是運用製程能力指標來表示。而一般 定量的製程能力定義是指一製程輸出如果以常態分佈表示，其分 佈之±3 倍標準差（standard deviation）之界限為製程能力上限

（UPL 及製程能力下限（LPL），此界限內之面積（指機率）為佔 總分佈的 99.73﹪（圖 1.1），也就是說此製程良率為 99.73﹪；

而不良率為 0.27﹪。

但由於考慮製程分佈之中央趨勢（Target）及分散度

（spread），因此傳統上製程能力又分為執行能力（performance capability）及潛在能力（potential capability）兩種；其中執行能

UPL

LPL

μ

6σ

99.73﹪

0.135﹪

0.135﹪

圖 1.1 The 6σ spread of a normal distribution

力（performance capability）就是一般所用的製程能力指標

（process capability indexes）。而 potential capability 是考慮此 分佈之分散度上的能力，以 Cp 表示。而製程能力指標（process capability indexes）是考慮此分佈之分散度及中央趨勢的能力，

以 Cpk 表示。另外；製程能力指標（Cpk）亦為下限能力指標（Cpl：

lower performance capability indexes）及上限能力指標（Cpu：

upper performance capability indexes）之函數。其各指標定義 如下【1】。

LSL USL

tolerance

Cp −

= σ

= 6 σ 6

---（式 1.1）

σ

−

= µ 3

Cpl LSL

---（式 1.2）

σ µ

= − 3

Cpu USL

---（式 1.3）

( )

 

 





σ µ

− σ

−

= µ

 

 





σ µ

− σ

−

= µ

=

, USL Minimun LSL

, USL Minimun LSL

Cpu , Cpl Minimun Cpk

3 1

3

3

_---（式 1.4）

其中μ為平均值；σ為標準差

於應用上 Cp 又稱為 first-generation index，因為 Cp 是 標準差（σ）的函數，另外；Cpk 又稱為 second-generation index，

因為 Cpk 是標準差（σ）及平均值（μ）的函數，一般上 Cp 及 Cpk 之應用於改善及對策之彼此關係可以用（表 1.1）表示。

potential capability

low high high not possible desired

state

performance

capability

low reduce variation

move average 由（表 1.1）可知如果 Cp 為高的值但 Cpk 很低，則應移動製程 平均值（μ）到規格中心以提昇 Cpk，進而降低不良品，提昇良 率【1】【2】。

另外一種設計或製程能力的評價指標仍是以 Cpk 做為能 力量測的量化依據，並以平均值（μ）及標準差（σ）為座標軸，

繪出 Cpk 函數；此方法稱為 Mu-Sigma Graphs Method【3】。由

（式 1.4）可知，Cpk 等於 1 表示從任一規格界限到平均值之距 離為 3σ，且不良率為 0.135﹪，而 Cpk 等於 1.5 表示從任一規 格界限到平均值之距離為 4.5σ，不良率為 0.0003451﹪。

假定設計者或製程人員發現 Cpk 為 1 才可滿足良率及客 戶之需求，（圖 1.2）為三個製程輸出分佈，其每一分佈之標準差

（σ）及平均值（μ）均不相同，但從（圖 1.2）可以看出為維 持一定良率水準下，當平均值愈往規格上限（USL）偏移時，其

表 1.1 Relationship between performance and potential capability

標準差亦須變小，才能維持 Cp。而利用（式 1.4）Cpk 為平均值

（μ）及標準差（σ）之函數的關係下，便可得到 Mu-Sigma Graphs（圖 1.3）圖中橫軸為平均值（μ）；縱軸為標準差（σ）。

而設計或製程能力的認定標準為當 Mu-Sigma Graphs 內的 Cpk 線段低於 Cpk=1 之線段，則代表此設計或製程可被接受，反之；

如果 Cpk 線段高於 Cpk=1 之線段，則代表此設計或製程不被接 受（圖 1.4）【3】。

圖 1.2 A family of probability density functions with the same failure rate with respect to a USL. The mean value is 3σ from the specification limit.

圖 1.3 A mu-sigma graph that presents the information of 圖 1.2 in a different format. The line represents a failure rate of 0.13﹪.

以上兩種設計或製程能力的評價方式雖然簡單容易，但 均沒有考慮相關係數（correlation coefficient），是屬於單一參數 規格評價方式，但隨著微電子科技的進步，設計規格亦將被考慮 多參數規格。例如；一個接收器的 RF 前置放大器（ receiver’s RF preamplifier），如果增益（gain）增加，則應可獲得良好的接收 靈敏度（receiver sensitivity）。然而增益（gain）增加亦會導致 接收器內部調變失真（IM: intermodulation distortion）提高，所 以在此射頻電路設計規格上可能會有兩個參數，即為靈感度

（sensitivity）及內部調變失真（IM）。因此；若使用以上兩種傳 統方式來評價類似此射頻電路例子的設計能力將變得麻煩且困 難。

對於兩種參數之規格，在設計及製程能力評價上，我們 提出良率近似模型（QsY: Quasi-Yield Model）的評價方法。此

圖 1.4 Different failure rates plotted on the same mu-sigma graph.

二維之 QsY 模型考慮了二維規格之平均值（μx,μy）、標準差（σ x,σy）及相關係數（ρ）三者之關係，因此 QsY 為平均值（μ x,μy）、標準差（σx,σy）及相關係數（ρ）之函數。

由於產品特性之結合機率分佈（joint probability

distribution）不易求得下，我們以二維常態分佈（bi-variate normal distribution）來取代產品特性並探討此密度分佈與產品規格之間 的關係，進一步得到現形之製程能力及良率，而為尋求良率最佳 化，我們依據不同規格內部之對稱軌跡相對於不同之平均值（μ x,μy）、及相關係數（ρ）做掃瞄，得到此軌跡上良率之變化及 最佳平均值（μx,μy）座標位置之良率。

以 QsY 來當作良率之指標對於二維之規格下，QsY 模型 是便利的，且考慮了平均值、標準差及相關係數對 QsY 之變化。

而我們也發現當平均值愈接近規格中心且相關係數愈趨近-1 或 1 時將可得到最佳之良率及 QsY 值，此對於設計者挑選元件及尋找 主要參數或是製程人員調整參數是非常有利的指標。在往後各章 節裡，我們將逐步探討 QsY 模型的推演過程及能力驗證之結果。

第二章 開端

2.1 敘述統計量之相關名詞定義

想瞭解統計分析方法之前，首先需要認識敘述統計量相 關名詞之定義，如平均值（mean）、標準差（standard

deviation）、共變數（co-variance）… 等。接下來我們來介紹這些 名詞的定義【10】【11】。

˙平均值（mean）

一有限母體中有 N 個資料 X1,X2,… XN。則其平均值的定義為

N X N

X ...

X X

X + + + + _N = Σ

=

µ ^{1 2 3}

N 表示樣本及母體個數，而平均值在物理上的定義為資料 之重心所在。

˙變異數（variance）

一組母體或將本資料X1,X2,… XN中定義其變異數為

( )

1

2 2 1

− µ

= − σ

∑

⁼

N

N Xi

i

而變異數之物理定義，主要是指資料本身有平均值變異程度 的關係。另外變異數愈大，代表差異愈大。反之，則差異愈小。

˙標準差（standard deviation ）將變異數取平方根和平 均值相同單位，即為標準差。

σ = σ

² 母體：

母體：

母體：

標準差之物理意義是指分佈之離散程度。

˙共變數（co-variance ）與相關係數（correlation coefficient）

有些資料彼此之間有相互某種之關聯，可用共變數與相關係 數，表示資料彼此之關係，其中共變數之定義為

(

12 12 22 1 2 1 2

)

12 21

1

1 X X X X ... XnX nX X

n + + + ⁿ −

= − σ

另外和共變數非常密切相關的是相關係數，假設 x1,x2的相 關係數為 r¹²時，則定義 r¹²為：

2 1

12

12 σ σ

= σ r

本相關係數在-1 和 1 之間，當值愈接近-1 或 1 時，表示相關 性愈大，接近 0 的相關性愈低。若用向相量來表示的話，共變數 就是兩個向量的內積，而相關係數是指兩個向量 a 與 b 所形成

^q

角 的cosθ值。所謂相關係數值等於 1，是指兩向量朝相同方向，即

cosθ=1, θ=0也就是相依性，若相關係數為 0 時，則

cosθ=0 ,θ = π 2

1 ，因此兩向量 a，b 是互相垂直的，也就是不相依 性【9】。

˙資料的標準化

為解決處理不同單位之資料，常造成分析資料時產生迷惑。

若遇到這種情形時，可以將資料做標準化處理。所謂資料的標準 化處理，是指將所有資料變數的平均值換成 0，變異數則換成 1

【9】。

標準化的運算如下：

X

σ2

= X−X Z

2.2 二維常態分佈

如果二維隨機變數（x，y）的聯合機率密度函數為

( ) ( )

( )

_^































 σ

µ

 −

 

 σ

µ ρ −

 −











 σ

µ + −



 σ

µ

− ρ

− −

ρ

− σ

= π σ

y y

x x xy

y y

x x xy

xy y

x

x y x y

e y

, x f

1 2 2

1 1 2

1

2 2

2 2

---（式 2.1）

其中-∞＜x＜∞；-∞＜y＜∞，同時μ^x，μ_y，σ^x，σ^y和ρ^xy都 是滿足σx＞0，σy＞0，-∞＜μx＜∞，-∞＜μy＜∞和-1＜ρ

＜1 的常數。那麼（x，y）便定義為具有二變數常態分佈（bi-variate normal distribution）【4】。

圖 2.1 The bi-variate normal distribution

Z=f(x，y)

y x

（式 2.1）內的密度可用（圖 2.1）內鐘形曲面 z=f（x,y）

代表。任一個平行於 xy 平面的平面都與這個曲面交截一橢圓，任 一垂直 xy 平面的平面與它交截成一條常態曲線。這樣一來，點

（x，y）會在 xy 平面上任一區域 R 內的機率便可由這個區域內 的密度積分求得，而寫成

[ ( )

^∈

]

⁼

∫ ∫ ( )

R

dx dy y , x f R

y , x

P ---（式 2.2）

要證實（式 2.1）是個密度函數，也要它在全平面上的積分來定；

如果是密度函數便得到

∫ ∫

^∞

( )

∞

−

∞

∞

−

= 1 dx dy y , x

f

---（式 2.3）

同時也知道，密度都是正的。先用變換式

( ) ( )

y y x

x y

V x ;

U σ

µ

= − σ

µ

= − ---（式 2.4）

將積分化簡，得到

( ) ( )

dU dV e

V UV

∫ ∫

U

∞

∞

−

∞

∞

−

+

 −









 ρ

− −

ρ

− π

2 2

2 2

1 2

1

1

2

2

1

（式 2.5）

將指數內的 U 配完全平方後（式 2.5）又變成

( ) (

^{( )}

( ) )

dU dV e

V

∫ ∫

U

∞

∞

−

∞

∞

−

ρ

− + ρ

 −









 ρ

− −

ρ

− π

2 2 2

2 1

1 2

1

1

2

2

1

-（式 2.6）

在用替換

( )

2

2

1

1 = − ρ

ρ

− ρ

= − dU

dw V ;

W U

---（式 2.7）

二重積分便成了兩個簡單積分的乘積

^{e dW e dV}

V

W

∫

∫

^∞

∞

−

∞ −

∞

−

−

π

π

^{2 2}

2 2

2 1 2

1

---（式 2.8）

而（式 2.8）兩個簡單積分的全積分都為 1，亦驗證了（式 2.3）

【4】。

第三章 相關係數和二維常態分佈之關係

3.1 密度函數之一般型式

二維常態分佈是一維常態分佈到二維分佈之歸納，一維 常態分佈其機率密度函數為

( )

^{( )}

− ∞ < < ∞

σ

= π

^σ

µ

− −

x

; e

x f

x

2 2

2

2 1

---（式 3.1）

而一維常態分佈之函數圖形如（圖 3.1）所示。

常態分佈密度函數可用 N（μ，σ²）表示，這種表示法 亦可延伸到多變數之分佈，另外；以標準差為單位下的一維常態 分佈之任一隨機變數 X 到μ之平方距離可以表示為（式 3.2）。

( ^{− µ} ) ( ) ^{σ ( − µ )}

 =



 



 σ

µ

−

⁻

x '

x

²

x

₂ ¹

---（式 3.2）

而（式 3.2）可以推廣常態分佈密度函數之一般型式。

設 X: p×1 為隨機向量，其密度函數 f（x）。若

圖 3.1 The uni-variate normal distribution

( ) ( ) ( )

( ) ( )_^

− −µ Σ⁻ −µ

Σ

= π

_P

e

^{x ' x}

x f

1

2 1

2 1

2

2

1

----（式 3.3）

而Σ＞0，則 X 從平均向量為μ為 p×1，共變數矩陣Σ為 p×p 之 非奇異常態分佈，若|Σ|=0，則 X 的分佈稱為奇異或退化常態，

而密度不存在【5】【6】【8】。

3.2 相關係數相對於密度函數等高線之變化

設 X：2×1 為服從 N（μ，Σ）之二維變數隨機向量，令 μ¹=E（X1），μ²=E（X2），σ¹¹=Var（X1），σ²²=Var（X2）；相 關係數ρ12=

22 11

12

σ σ

σ ，且共變數矩陣及逆矩陣為

∑ ^{= } _ ^ _σ ^σ _σ ^{σ } _ ^

22 21

12 11

 

 





σ σ

−

σ

− σ

σ

− σ

= σ

∑

⁻

11 21

12 22

12 2 12 11

1

1

由於σ¹²=ρ¹² σ₁₁ σ₂₂ ，故可得到σ¹¹σ²² -σ12² =σ¹¹σ²²

（1-ρ₁₂² ），另外（x-μ）’

∑

⁻¹（x-μ）squared distance 可以寫成

；其中σ12=σ21

( ) ( )

[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ^{− ρ} ) ^{ } _ ^{  } _ ^{ σ − µ  } _ ^{ +  } _ ^{ σ − µ  } _ ^{ − ρ  } _ ^{ σ − µ  } _ ^{  } _ ^{ σ − µ  } _ ^{  } _ ^

=

ρ

− σ σ

µ

− µ

− σ

σ ρ

− µ

− σ

+ µ

−

= σ

 

 





µ

− µ

−

 





 





σ σ

σ σ

−

σ σ σ

− σ

ρ

− σ µ σ

− µ

−

=

µ

− Σ µ

−

⁻

22 2 2 11

1 1 12 2

22 2 2 2

11 1 1 2 12

2 12 22

11

2 2 1 1 22 11 12 2

2 2 11 2 1 1 22

2 2

1 1 11

22 11 12

22 11 12 22

2 12 22

11 2 2 1 1

1

1 2 1

1 2 1

1

x x

x x

x x

x x

x x x

, x

x ' x

---（式 3.4）

若將共變數矩陣之絕對值|Σ|及 squared distance 代入常態分佈 密度之一般型式，則可得到包含μ1，μ2，σ11，σ22及ρ12參數 之二維常態分佈（式 3.5）【5】。

( ) ( )

( ) _ ^{ }





 



 





 





 





 



 σ

µ

 −







 



 σ

µ ρ −

 −







 



 σ

µ + −

 





 



 σ

µ

− ρ

− −

ρ

− σ σ

= π

22 2 2 11 1 12 2

22 2 2 2

11 1 1 2

12

2 12 22

11 2

1

1 2 2

1

1 2

1

x x

x x

e X

, X f

x

---（式 3.5）

並且從（式 3.5）可知，當 x¹及 x²不相關（ρ¹²=0）時，f（x1， x2）=f（x1）f（x2）【5】。

令σ¹¹=σ²²，由（式 3.5）可得到（圖 3.2）為 x¹及 x² 是不相關（ρ¹²=0）時之二維常態分佈，而（圖 3.3）表示 x1及 x2有正相關，相關係數為 0.9 之二維常態分佈，反之；（圖 3.4）

為 x¹及 x²有負相關之二維常態分佈，其相關係數為-0.9【7】。

-4 -2

0 2

4-4 -2

0 2

4

0 0.1 0.2 0.3

-4 -2

0 2

4

-4 -2

0 2

4-4 -2

0 2

4

0 0.1 0.2 0.3

-4 -2

0 2

4

-4 -2

0 2

4-4 -2

0 2

4

0 0.1 0.2 0.3

-4 -2

0 2

4

（式 3.5）之虛線內之數式決定 f（x1，x2）的變異；若虛 線內為常數，則 f（x¹，x²）為常數。在（x¹，x²）空間上，沿著 f（x1，x2）為常數的軌跡係以（μ1，μ2）為中心的同心橢圓體，

而其長軸與短軸對（x1，x2）軸的傾斜角度由（ρ12，σ1，σ2） 之數值決定，這種沿等密度的曲線稱為分佈的密度等高線（圖 3.5）

因此；二維常態分佈的密度等高線為橢圓，（ρ¹²，σ¹，

圖 3.5 A constant-density contour for a bi-variate normal distribution withσ11=σ22 and σ12＞0（orρ12＞0）

圖 3.2（ρ12=0） 圖 3.3（ρ12=0.9） 圖 3.4（ρ12=-0.9）

σ2）的數值決定（圖 3.5）等高線的形狀。

若令 t^j=

j j

j )

x (

σ µ

− ，j=1,2，而視 t²為 t¹之函數圖示時，圖形

仍為橢圓，但中心移至新原點，而半長軸通過原點；若ρ12＞0，

則通過原點，並沿 45°線；若ρ12＜0，則沿 135°線。半長軸與半 短軸在ρ12＞0 時，分別與 ²

1

12) 1

( +ρ 及 ²

1

12) 1

( −ρ 成正比，而ρ12＜0，

則反過來，分別與 ²

1

12) 1

( −ρ 及 ²

1

12) 1

( +ρ 成正比。以上是根據任何二次 式At₁² +Bt₁t₂+At₂²+g =0經座標軸旋轉 45°後，可變換為

2 0

2 0 2 1

0V +CV +g =

A 而來，其中

0 2 A B

A = + ；

0 2 A B

C = − 【8】。

第四章 規格

4.1 規格之種類

基本上規格限制，亦是指規格界限，它是用以說明品質 特性之最大許可值，來保證每個元件產品之正確性能。而一般所 開立之規格大部份均為單一變數，但隨著微電子及通訊領域科技 日趨發達，不管在元件分析或電路性能評價上，均可能須考慮開 立二種變數之規格，以保證性能。

在本論文中，我們共設計了九種二維規格，且每一規格 內之面積均相同，此九種規格之種類分別如（圖 4.1）所示。

圖 4.1 There all kinds of specification

從（圖 4.1）可看出 A,B,C,D 屬於對稱性規格，E,F,G,H,I 屬於非對稱性規格，（圖 4.1）之九種規格，我們將取 A,D,G 三種 規格，針對平均值（μ^x，μ^y）及相關係數（ρ^xy）之變化來模擬 出最佳化之良率。而其它 B,C,E,F,H,I 六種規格，我們亦將以座標 原點位置觀察出平均值（μ^x，μ^y）及相關係數（ρ^xy）變化下相 對於良率之關係。

4.2 規格之邊際條件

由於邊際條件相當於規格界限，因此邊際條件對產品特 性、品質考量及良率可說是非常重要，從（圖 4.1）上規格之面 積可依不同之規格容忍度（specification tolerance）變更面積，

因此不同之規格條件及不同的規格形狀之下，其邊際條件亦隨規 格邊緣之邊際函數不同而有所變化。

而在本論文中，我們設定每一種規格之面積為四，在面 積相等下其每一種規格之邊際條件如（表 4.1）。

（表 4.1）內所列出之每一規格的邊際條件是對照於（圖 4.1）的 每一種規格與 X，Y 軸交點之座標而定。

表 4.1 There all limits of specification list

第五章 良率近似模型（QsY：Quasi-Yield Model）

5.1 良率近似模型之推導

由於產品特性之結合機率分佈（joint probability

distribution）不容易得知，所以要直接由產品特性之結合機率分 佈求得良率似乎不可行，因此，我們以常態分佈來取代產品特性 之結合機率分佈，並同時變化平均值(

µ

x,

µ

y)及相關係數(

ρ

xy)來觀 察良率之變化。

而我們提出之良率近似模型（QsY：Quasi-Yield Model）

便是以二維常態分佈來做為良率量化之函數，因此我們定義 QsY Model 為（式 5.1）。

( ^{x ; M ;} ) ^{dx dy}

N QsY

USLy

LSLy USLx

∫ ∫

LSLx

^Σ

=

---（式 5.1）

其中 N（x ;M,Σ）：multivariate normal distribution M：mean vector

Σ：co-variance matrix

而 N（x ;M,Σ）二維常態分佈可以用（式 5.2）表示。

( )

( )

( )

_^































 σ

µ

 −

 

 σ

µ ρ −

 −











 σ

µ + −



 σ

µ

− ρ

− −

ρ

− σ σ

= π

= Σ

y y

x x xy

y y

x x

xy

xy y

x

x y x y

e y

, x f

; M

; x N

1 2 2

1

1 2

1

2 2

2

2

---（式 5.2）

其中μx，μy：平均值（mean）

σ^x，σ^y：標準差（standard deviation）

ρxy：相關係數（correlation coefficient）

在（2.2 節）我們曾經推導過邊際條件為-∞＜x＜∞；-

∞＜y＜∞之二維常態分佈，但由於一般規格條件為有界限之規 格，因此邊際條件為 a＜x＜b；c＜y＜d 之情況下，有限規格之 QsY Model 推導如下：

令

x

x

x

U σ

µ

= −

；

y

y y

V σ

µ

= −

( ) [ ]

( ) [

^{( )}

( ) ]

dV dU e

dV dU e

dy dx ) y , x ( f QsY

V v

U d

c b

a

V UV U d

c b

a d

c b

a

y y

y y

x x

x x y

y

y y

x x

x x

2 2 2

2

2 2

2

1 1

2 1

2

2 1

2 1

2

1 2

1 1 2

1

ρ

− +

 −









 ρ

− − σ

µ

−

σ µ

− σ

µ

−

σ µ

−

+ ρ

 −









 ρ

− − σ

µ

−

σ µ

− σ

µ

−

σ µ

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

ρ

−

= π

ρ

−

= π

=

---（式 5.3）

再令 2

1−ρ ρ

= U− V

W ；

1−ρ2

= dU

dW 則（式 5.3）可寫成

dV e

dW e

V d

c b V

a V

W y

y

y y x

x

x x

1 2

1

2

2 2

2

2

2 1 2

1

^{σ −}

µ

−

σ µ

− ρ

− ρ σ −

µ

−

ρ

− ρ σ −

µ

−

−

∫

∫ _π ^⋅ _π

=

---（式 5.4）

將（式 5.4）變換原變數後為

( )

( )

( )

y d

c

y

x b y

a y

x y

e dy e dx

y y

y y

y y y

y x

x

y y x

x

y y x

x

ρ σ

− π σ

=

∫

^σ

∫

µ

−

σ µ

−











 σ

µ

− − ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−

ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−





















ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−

− 2

2

2

2

2

2 1

2 1

1

2 1 1

2 1 1

( )

( ) ( )

dy e

dx e

y y

y y

y y y

y x

x

y y x

x

y y x

x

d

c

y b y

a y

x y

y

x

∫

^σ

∫

µ

−

σ µ

−











 σ

µ

− − ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−

ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−





















ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−

−

ρ

− σ

= πσ

2 2

2

2

2

2 1 1

1

2 1 1

1

2

2

1

---（式 5.5）

若將二維常態分佈標準化，σx=σy=1 的條件下，則（式 5.5）之 QsY Model 可改寫成（式 5.6）

( )

( ) ( )

dy e

dx e

QsY

y y

y y

y y y

y x

x

y y x

x

y y x

x

d

c

y b y

a y

x y

∫

∫

^σ

µ

−

σ µ

−











 σ

µ

− − ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−

ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−





















ρ

− σ

µ

−

−ρ σ

µ

−

−

ρ

−

= π

2 2

2

2

2

2 1 1

1

2 1 1

1

2

2 1

---（式 5.6）

而為了容易描述 QsY Model，往後章節我們將使用標準 化條件且經變換原變數後之（式 5.2）來描述 QsY Model（式 5.7）。

( ) [ ]

dy dx e

QsY

y

y x

x

d

c b

a

xy y

∫ ∫

^µ x

−

µ

−

µ

−

µ

−

ρ

−

 +



 



 ρ

− −

ρ

−

= π

^{21 2}

1

2

2 2 2

1 2

1

---（式 5.7）

5.2 規格內之對稱軌跡上的 QsY 分佈

在第四章中曾經介紹了九種不同之規格，而本章節我們 挑選了 A，D，G 三種規格（其中 A，D 為對稱性規格，G 為非 對稱性規格），針對 QsY Model 平均值（μx，μy）及相關係數

（ρ^xy）之變化下掃瞄此三種規格之 45°且通過原點（0，0）之 對稱軌跡，以了解在此軌跡範圍內之 QsY 值的變化情形，並得到 最大之 QsY 值（即最大良率）。

5.2.1 對稱正方規格對稱軌跡上之 QsY 分佈

由（4.2 節）之規格邊際條件，代入 QsY Model 可以寫 成（式 5.8）。

( ) [ ]

dy dx e

QsY

y

y

x

x

xy y

∫

^µ

∫

x

−

µ

−

−

µ

−

µ

−

−

ρ

−

 +



 



 ρ

− −



 





 



ρ

−

= π

1

1

1

1

2 1

2 1

2

2 2 2

1 2

1

---（式 5.8）

圖 5.1 The symmetrical locus of square specification.

且我們定義對稱正方規格內取 45°並經過原點（0，0）之 直線為此規格的對稱軌跡（圖 5.1），並變化μ^x，μ^y，ρ^xy參數的 情況下，計算掃瞄此軌跡之 QsY 值。其中；μx，μy，ρxy之變化 區間分別為，-1.0≤μ^x≤1.0；-1.0≤μ^y≤1.0；-0.9≤ρ^xy≤0.9，且掃 瞄點間格為 0.1。以上條件之模擬結果如（圖 5.2）。

從（圖 5.2）之平均值（μ^x，μ^y）座標垂直面看入如（圖 5.3），可發現 QsY 最大值結果下之平均值位置位於μx=μy=0。

-1 -0.5

0

0.5

1

-0.5 0

0.5 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5

0

0.5

1

平均值座標垂直面 相關係數座標垂直面

μx=μy=0

圖 5.2 The simulation result of square specification.

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.50 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0 0.5 1

μx；μy

QsY

max

而從相關係數（ρ^xy）座標垂直面看入如（圖 5.4），可得 知相關係數（ρ^xy）位於-0.9 及 0.9 時可得到最大 QsY 值。

綜合對稱正方規格之對稱軌跡內 QsY 最大值模擬結果，

列於（表 5.1）。

另外我們在此規格上訂出七點（μx，μy）之座標位置如

（表 5.2），而相對應此七點於規格上之位置如（圖 5.5）所示。

若在此七點（ μ^x，μ^y）之條件下變更相關係數（ρ^xy）從-0.9~0.9 之範圍下，可得到相對之 QsY 的結果如（圖 5.6），其中可發現

圖 5.3 The direction of coordinate axis vertical of mean value on square specification.

-1-0.500.51

0 -0.5

0.5 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

圖 5.4 The direction of coordinate axis vertical of correlation coefficient on square specification.

ρxy

QsY

^max.

QsY

max.

表 5.1 The parameter condition for QsYmax. of square specification.